最小生成树
phyloviz最小生成树解读
phyloviz最小生成树解读（原创实用版）目录1.最小生成树的概念及作用2.PhyloViz 的背景和应用领域3.PhyloViz 最小生成树的算法实现4.最小生成树在 PhyloViz 中的应用案例5.总结正文最小生成树是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
在生物学领域，最小生成树被广泛应用于构建物种的进化树，以揭示物种之间的亲缘关系。
PhyloViz 是一款基于 Web 的生物信息学工具，用于绘制和分析生物序列数据，如 DNA 序列、蛋白质序列等。
在最近的研究中，PhyloViz 开始采用最小生成树算法，以提高其对生物序列数据的分析能力。
PhyloViz 的背景和应用领域是生物信息学，它主要用于分析和可视化生物序列数据。
利用最小生成树算法，PhyloViz 能够更好地揭示生物序列数据之间的亲缘关系和进化规律。
此外，PhyloViz 还支持多种数据格式，如 FASTA、GenBank 和 embl 等，方便用户导入和分析生物序列数据。
PhyloViz 最小生成树的算法实现主要基于 Prim 算法和 Kruskal 算法。
Prim 算法是一种贪心算法，从任意一个顶点开始，不断地寻找与当前生成树距离最近的顶点，将其加入生成树中，直到所有顶点都加入生成树为止。
Kruskal 算法也是一种贪心算法，但它是从边的角度出发，每次选择边权最小的边，将其加入生成树中，直到所有顶点都加入生成树为止。
这两种算法在 PhyloViz 中的实现，有助于更准确地构建生物序列数据的进化树。
最小生成树在 PhyloViz 中的应用案例主要是构建生物序列数据的进化树。
利用最小生成树算法，PhyloViz 可以快速地揭示生物序列数据之间的亲缘关系和进化规律。
例如，在研究鸟类物种的进化关系时，科学家可以通过 PhyloViz 构建鸟类物种的进化树，以了解不同鸟类物种之间的亲缘关系和进化历史。
最小生成树名词解释
最小生成树名词解释
最小生成树是一种用于解决图论中最小连接问题的算法，它在一个给定的连通图中寻找一个子图，该子图包含所有顶点，且边的权重之和最小。
在最小生成树中，只有图中的一部分边被选中，以连接图中的所有顶点，并且这些边的权重之和最小。
换句话说，最小生成树是图中的一棵树，它连接了图中的所有顶点，并且其边的权重之和最小。
最小生成树经常被应用于网络设计、城市规划、电网建设等领域。
通过找到最小生成树，可以有效地构建具有最小成本的网络或路线，并优化资源的分配。
常见的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法，它们通过不同的策略来选择连接顶点的边，最终得到最小生成树。
最小生成树的概念和应用在实际生活中具有重要意义，可以帮助优化各种资源的利用和规划。
采用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,求最小生成树
采用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,求最小生成树普利姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）是求解最小生成树的两种常用方法。
最小生成树是指连接图中所有节点，且边的权重和最小的树。
这两种算法各有特点，在不同的场景中使用。
1.普利姆算法：适用于边稠密的图普利姆算法是一种贪心算法，从一个节点开始，不断选择与当前树相连的、权重最小的边，并将该边连接的节点加入树中，直到所有节点都被遍历完。
这样就得到了最小生成树。
以下是普利姆算法的伪代码：1.创建一个空的树，用于保存最小生成树2.选择一个起始节点，将其加入树中3.从树中已有的节点出发，找到与树相连的边中权重最小的边4.将找到的边连接的节点加入树中5.重复步骤3和4，直到所有节点都加入树中普利姆算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边的数量，V为节点的数量。
2.克鲁斯卡尔算法：适用于边稀疏的图克鲁斯卡尔算法是一种基于排序和并查集的贪心算法，按照边的权重从小到大的顺序选择，并判断是否会构成环。
如果不会构成环，则选择该边，并将其加入最小生成树中，直到所有节点都被连接。
以下是克鲁斯卡尔算法的伪代码：1.创建一个空的树，用于保存最小生成树2.将所有边按权重从小到大排序3.创建一个并查集，用于判断边是否会构成环4.遍历排序后的边，对于每条边，判断其连接的两个节点是否属于同一个集合（即是否会构成环）5.如果不会构成环，则选择该边，并将其加入树中，同时将该边连接的两个节点合并到同一个集合中6.重复步骤4和5，直到所有节点都连接在一起克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
这两种算法的应用场景有所不同。
如果要求解的图是边稠密的（即边的数量接近节点数量的平方），则使用普利姆算法更为高效。
因为普利姆算法的时间复杂度与边的数量有关，所以处理边稠密的图会更快一些。
而对于边稀疏的图（即边的数量接近节点数量的线性），克鲁斯卡尔算法更加适用，因为它的时间复杂度与边的数量有关。
采用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,求最小生成树
采用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,求最小生成树什么是最小生成树？最小生成树是图论中的一个重要概念，它是指在一个给定的无向连通图中，找到一棵树，使得这棵树连接图中的所有顶点，并且具有最小的权值总和。
最小生成树在很多实际问题中有着广泛的应用，比如城市规划、电力网络规划等。
普里姆算法：普里姆算法又称为“加点法”，它从一个初始随机点开始，逐渐往图中加入新的点，直到能够生成一棵包含所有节点的最小生成树。
1. 首先选择一个任意节点作为起始节点，加入最小生成树中。
2. 从已经加入最小生成树的节点中，选择一个与之相邻的节点并且不在最小生成树中的边，找到权值最小的边，将其加入最小生成树。
3. 重复第二步，直到最小生成树包含了所有的节点，即生成了一棵最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：克鲁斯卡尔算法又称为“加边法”，它从原图的边集中选择权值最小的边，逐步加入生成树的边集中，直到遍历完所有的边，同时生成一棵最小生成树。
1. 首先把图中的所有边按照权值从小到大进行排序。
2. 依次遍历排序后的边，判断每一条边的两个顶点是否属于同一个连通分量。
3. 如果不属于同一个连通分量，将该边加入最小生成树的边集中，并将两个顶点所在的连通分量合并。
4. 重复第二步和第三步，直到遍历完所有的边或者最小生成树的边数达到图中节点数减一。
两种算法的比较：普里姆算法是从一个初始点开始，每次加入一个与最小生成树相连的具有最小权值的点，直到生成一棵最小生成树。
这种算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中的顶点数。
因此，普里姆算法适用于顶点数较少的情况。
克鲁斯卡尔算法是将边按照权值排序后逐步加入最小生成树的边集中。
这种算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E表示图中的边数。
因此，克鲁斯卡尔算法适用于边数较少的情况。
从时间复杂度的角度来看，克鲁斯卡尔算法在边数较少的情况下更为高效，而普里姆算法在顶点数较少的情况下更为高效。
总结：最小生成树是一个在图论中非常重要且常用的概念，可以用于解决很多实际问题。
最小生成树唯一的充要条件
最小生成树唯一的充要条件最小生成树是一种在图论中常见的概念，它是一个连通无向图中的一棵生成树，其所有边的权值之和最小。
在实际应用中，最小生成树有着广泛的应用，比如在通信网络、电力网络和交通运输等领域。
要确定一个图的最小生成树是否唯一，需要满足以下充要条件：图中的每条边的权值互不相同。
这个条件是非常重要的，因为只有当图中的每条边的权值都不相同时，才能确保最小生成树的唯一性。
如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么可能会有多个最小生成树。
为了更好地理解最小生成树唯一的充要条件，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个无向图，其中包含4个顶点A、B、C、D，以及4条边AB、AC、BC、BD。
如果这些边的权值分别为1、2、3、4，那么根据最小生成树的算法，我们可以得到唯一的最小生成树，即连接顶点A、B、C的边AB、AC。
因为在这种情况下，每条边的权值都不相同，所以最小生成树是唯一的。
相反，如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么就会出现多个最小生成树的情况。
比如，如果在上面的例子中，边AC的权值改为1，那么就会有两个最小生成树，一个是连接顶点A、B、C的边AB、AC，另一个是连接顶点A、C、D的边AC、CD。
这是因为存在两条权值相同的边AB和AC，所以会有多个最小生成树。
因此，最小生成树的唯一性与图中每条边的权值是否相同密切相关。
只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。
这个充要条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。
最小生成树唯一的充要条件是图中的每条边的权值互不相同。
只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。
这个条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解最小生成树的唯一性条件，为实际应用提供参考。
最小生成树问题(共7张PPT)
个，所以支撑树是有不唯一]。
C n1 m
求最小树的Kruskal算法
赋权的连通图G=(V,E)中m=|E|,n=|V|,
S1:对E中各边的权排序，设 w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)
S2:初始化： w←0,T←φ,k←1,t←0
S3:若t=n-1则转S6，否则转S4
Y
N
T’←T∪{ek}
T’成圈? N END
Y
T←T+ {ek},
k←k+1 w←w+wk,
t←t+1,k←k+1
用Kruskal算法求最小树
用Kruskal算法(避圈法)求赋权连通图G的最小树
V2
5
V6
Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点:
T为最小树，w为T的权。
4
T={v1,v2,v3,v5}
Prim法求最小支撑树 E的权排序w1≤w2≤…≤wm w←0,T←φ,k←1,t←0
对要m让条程边序的读边懂长“图排”，序S程3，:序m如个何元判素断排是序否较成好“的圈算”？法谈是何基容于易分，治时策间略、的空快间速复排杂序性(Q绝u不ick应S小or看ting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
min S2:初始化：w←0,T←φ,k←1,t←0 设: {w(vv )}w(vv ) 简对称m条最边小的树边或长最排短序树，[管vvm线ij个 铺ST 元设素]。排序较好的i算法j是基于分治策略的快l速排k序(Quick Sorting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，否则 转S5
S5: T←T∪{ek},w←w+wk, t←t+1, k←k+1,转S3
离散数学最小生成树例题
离散数学最小生成树例题（实用版）目录1.最小生成树的概念和性质2.最小生成树的算法原理3.最小生成树的算法举例4.最小生成树的应用实例正文一、最小生成树的概念和性质最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称 MST）是指在一个加权连通图中，选择一些边，使得所有节点都能被联通，并且边代价之和最小。
最小生成树具有以下性质：1.树中的边是最短的边：在生成树中，任意两个节点之间的边都是最短的边，即不存在比这条边更短的边能连接这两个节点。
2.树是没有圈的：最小生成树显然不应该有圈，因为如果有圈，可以通过删除圈中的一条边来形成一个更小的生成树。
二、最小生成树的算法原理求解最小生成树的经典算法有 Kruskal 算法和 Prim 算法。
这里我们以 Prim 算法为例介绍最小生成树的算法原理。
Prim 算法的基本思想是从一个初始节点开始，不断地寻找与当前生成树距离最近的节点，将其加入到生成树中，直到所有节点都加入到生成树中为止。
在寻找距离最近的节点时，我们需要使用贪心策略，即每次都选择距离最近的节点。
为了判断一个节点是否已经加入了生成树，我们可以使用并查集数据结构。
三、最小生成树的算法举例这里我们以一个简单的例子来说明 Prim 算法的求解过程。
假设有一个图，共有 4 个节点，5 条边，边的权值分别为 1, 2, 3, 4, 5。
我们选择节点 1 作为初始节点，按照 Prim 算法的步骤，可以得到最小生成树的权值为 9，生成树如下所示：```1 --2 --3 -- 4```四、最小生成树的应用实例最小生成树在实际应用中有很多实例，如网络路由、数据压缩、图像处理等。
这里我们以网络路由为例，介绍最小生成树的应用。
在网络中，为了提高传输效率，我们需要在网络中建立一条最短路径。
通过求解最小生成树，我们可以得到网络中的最短路径，从而为数据包的传输提供指导。
在求解最小生成树时，我们可以将网络中的节点看作是图的顶点，边看作是图的边，边的权值看作是节点之间的距离。
最小生成树
}edge[111边的条数,s用来存放最小生成树的总权值 int root[111];//存储父节点
bool cmp(Edge a,Edge b) {
return a.d<b.d; } int find(int a)//寻找父节点
T1
u
顶 点 集 U
u'
T2 v
顶 点 集 V－U
13
应用举例——最小生成树
Prim算法
34 B 12
A 19
26 E
F
46 25
25 38
C
D
17
U={A}
V-U={B, C, D, E, F}
cost={(A, B)34, (A, C)46, (A, D)∞, (A, E)∞, (A, F)19}
最小生成树
生成树是一个连通图G的一个极小连通子 图。包含G的所有n个顶点，但只有n-1条 边，并且是连通的。
当生成树中所包含的边的权值和最小， 我们称之为最小生成树。
最小生成树性质
最小生成树的边数必然是顶点数减一，|E| = |V| - 1。 最小生成树不可以有循环。 最小生成树不必是唯一的。
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应用举例——最小生成树
Prim算法
34 B 12
A 19
26 E
F
46 25
25 38
C
D
17
U={A, F, C, D} V-U={B, E} cost={(A, B)34, (F, E)26}
{ if(root[a]==a) return a; return root[a]=find(root[a]);
最小生成树的方法
最小生成树的方法
最小生成树（Minimum Spanning Tree）是指在一个带权无向连通图中，找到一个包含所有顶点且总权值最小的树。
常用的方法有以下几种：
1. Prim算法（普里姆算法）：从一个起始顶点开始，逐步扩展生成树，每次选择一个与当前生成树距离最小的顶点加入，直到所有顶点都被包含在生成树中。
2. Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）：首先将图的所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边加入生成树中，但要保证加入边后不会形成环，直到生成树中包含所有顶点，或者图中的所有边都被考虑过。
3. Boruvka算法（博鲁卡尔算法）：将图的所有顶点分成多个不相交的集合，每个集合中的顶点组成一棵生成树，然后每次选择具有最小权值且连接两个不同集合的边加入生成树中，直到只剩下一个集合。
4. Jarnik算法（加尔尼克算法）：也称为更改版的Prim算法，首先选择一个起始顶点加入生成树中，然后通过比较当前生成树中的顶点到其他顶点的距离，选择一个距离最小的顶点加入生成树，重复该过程直到所有顶点都被包含在生成树中。
这些方法都可以得到最小生成树，但在某些情况下，它们的效率和性能可能会不同。
选择合适的方法取决于具体的应用场景和图的特征。
最小生成树算法的应用
最小生成树算法的应用最小生成树算法是图论中重要的算法之一，其可用于解决许多实际问题。
在无向连通图中，最小生成树指的是图中所有边的集合，使得连接所有节点的代价最小。
最小生成树算法主要有Prim算法和Kruskal算法两种，本文将探讨这两种算法的应用。
一、Prim算法及其应用Prim算法是一种基于贪心思想的最小生成树算法，它将整个图分为两个集合：已经包含在最小生成树内的节点集合和未包含在最小生成树内的节点集合。
算法开始时，已经包含在最小生成树内的节点集合为空，未包含节点集合包含整个图。
随着算法的进行，两个集合中的节点不断互相转移，直至最小生成树形成为止。
以下是Prim算法的基本步骤：1. 从任意一个节点开始，将其加入已包含节点集合中。
2. 对于已包含节点集合中的所有节点，找出它们与未包含节点集合中节点的边中权值最小的那条，将与之相连的节点加入已包含节点集合中。
3. 重复步骤2，直至最小生成树形成。
Prim算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N为图中节点数。
因此，Prim算法适用于节点数量较少的图。
Prim算法有许多实际应用，其中之一是在计算机网络中实现路由协议。
在网络中，每一个节点都需要选择一个和自己相连的节点作为下一步传递数据的目标。
为了避免重复传输或者丢失数据包，路由协议需要保证每一个数据包能够找到最短的传输路径，同时尽可能地避免网络拥塞。
Prim算法恰好能够解决这个问题，它能够由网络中的节点生成一颗树，树上的每个节点都能够连接网络中所有的节点，同时保证整个连接过程中的最短路径。
因此，Prim算法成为计算机网络中重要的算法之一。
二、Kruskal算法及其应用Kruskal算法也是一种基于贪心思想的最小生成树算法，它将整个图先看做是一个节点的集合，然后不断地将边加入其中，形成最小生成树。
Kruskal算法的基本步骤如下：1. 将图中所有边按照权值从小到大排序。
2. 依次遍历所有的边，在加入当前边时，判断当前边的两个节点是否在同一个集合中，如果不在同一个集合中，就将它们合并，并将这条边加入最小生成树的边集中。
普里姆算法最小生成树例题
普里姆算法最小生成树例题含解答普里姆算法（Prim's Algorithm）是一种用于求解无向图的最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）的算法。
最小生成树是一个包含图中所有顶点的树，且树的边权值之和最小。
下面是一个示例图，我们将使用Prim's算法找到其最小生成树：```图：2 3A --------- B| \ |1| \5 |4| \ |C --------- D6```对应的邻接矩阵：```A B C DA [0, 2, 1, 0]B [2, 0, 5, 3]C [1, 5, 0, 6]D [0, 3, 6, 0]```假设我们从顶点A开始，下面是Prim's算法的执行步骤：1. 初始化：-选择任意起始顶点，这里选择A。
-将A标记为已访问。
-初始化一个最小堆（优先队列），用于存储候选边。
2. 找到最小权值的边：-将A相邻的边（AB、AC）加入最小堆。
3. 选择最小边：-从最小堆中选择权值最小的边，这里是AB（权值为2）。
-将B标记为已访问。
-将与B相邻的边（BD、BC）加入最小堆。
4. 重复步骤3：-从最小堆中选择权值最小的边，这里是BC（权值为3）。
-将C标记为已访问。
-将与C相邻的边（CA、CD）加入最小堆。
5. 继续重复：-从最小堆中选择权值最小的边，这里是CA（权值为1）。
-将A标记为已访问。
-将与A相邻的边（AB、AC）加入最小堆。
6. 重复步骤3和5：-从最小堆中选择权值最小的边，这里是AC（权值为1）。
-将C标记为已访问。
-将与C相邻的边（CA、CD）加入最小堆。
7. 继续重复：-从最小堆中选择权值最小的边，这里是CA（权值为1）。
-将A标记为已访问。
最终，我们得到的最小生成树为：```3A --------- B| \1| \| \C --------- D6```边的权值之和为1+2+3=6，这是该最小生成树的总权值。
请注意，Prim's算法的最终生成树可能不是唯一的，但总权值应始终是最小的。
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式
最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是一种在连通加权无向图中找到一棵包含所有顶点且边的权值和最小的树。
最小生成树的数学模型可以用以下公式表示：
1. 设图G=(V,E)是一个连通加权无向图，其中V是顶点的集合，E是边的集合。
每条边e=(u,v)∈E都关联一个正权重w(u,v)。
2. 最小生成树T是G的一个子图，它包含G的所有顶点，并且T中边的权重和最小。
最小生成树的数学公式可以表示为：
minimize Σ w(u,v) （其中(u,v)∈T）
其中，Σ表示求和，w(u,v)表示边(u,v)的权重。
最小生成树算法的目标是找到一个满足上述条件的子图T，使得T中所有边的权重之和最小。
克鲁斯卡尔算法最小生成树过程
克鲁斯卡尔算法最小生成树过程嘿，朋友！咱们今天来聊聊克鲁斯卡尔算法最小生成树过程，这玩意儿听起来有点复杂，是不是？但别怕，跟着我，保证让你弄个明白！咱先来说说啥是生成树。
你就想象你有一堆城市，城市之间有路相连。
要把这些城市都连起来，还得让线路最短，这连起来的线路就是生成树。
那最小生成树呢，就是在所有可能的连线方式里，线路总长最短的那种。
克鲁斯卡尔算法就是找到这个最小生成树的好办法。
它就像个聪明的小侦探，一步步找出最合适的连线。
它是怎么工作的呢？一开始，它把所有的边都按照长度从小到大排好队。
这就好比把一堆长短不一的小木棍按照长度排整齐。
然后呢，从最短的边开始，一条一条地看。
如果加上这条边不会形成环，那就把它留下来，就好像你找到了一根合适的木棍能稳稳地搭在你的“城市线路”里。
要是加上这条边就形成环了，那可不行，得扔掉，这就好比一根木棍放进去会让你的线路乱套，那可不能要。
你说这是不是有点像搭积木？得挑合适的，不合适的就扔一边。
比如说，有五个城市A、B、C、D、E ，它们之间的距离是这样的：A 到 B 是 3 ，A 到 C 是 5 ，B 到 C 是 4 ，B 到 D 是 2 ，C 到 E 是 6 。
按照克鲁斯卡尔算法，先把边按照长度排好，最短的是 B 到 D ，长度为 2 。
加上这条边，没问题，不会形成环。
然后是 A 到 B ，长度为 3 ，加上，也没问题。
再看 A 到 C ，长度为 5 ，加上，还是没问题。
就这样一步步地，最后就能找到那个能把所有城市连起来，而且线路最短的办法，也就是最小生成树啦！你想想，如果在现实生活中，要铺设管道啊，架电线啊，用这个算法是不是能省好多材料，省好多钱？所以说，克鲁斯卡尔算法虽然听起来有点神秘，但其实就是个聪明的小技巧，能帮我们解决好多实际问题呢！学会了它，咱们在处理这类问题的时候，就能像个高手一样，轻松搞定！。
最小生成树c语言
最小生成树c语言全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最小生成树（Minimum Spanning Tree）是图论中的一个重要概念，它表示一个无向连通图的子图，该子图是该连通图的一棵树，包含图中的所有顶点，并且具有最小的权值总和。
在计算机科学领域中，最小生成树的算法被广泛应用在网络设计、通信传输、电力分配等领域，具有重要的实际意义。
Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
Prim算法基于贪心策略，在每一步选择连接已经选取的顶点和未选取的顶点之间权值最小的边，直到所有顶点都被选取为止。
而Kruskal算法则是基于并查集实现的，首先将所有的边按照权值排序，然后按照权值从小到大的顺序逐个考虑，如果该边连接的两个端点不在同一个集合中，就将它和这两个端点所在的集合合并，直到生成最小生成树。
在本文中，我们将介绍使用C语言实现Prim算法和Kruskal算法的方法，并通过一个具体的例子来说明如何计算最小生成树。
我们来看看Prim算法的实现：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAXV 10000#define INF 1000000int graph[MAXV][MAXV];int visited[MAXV];int parent[MAXV];int key[MAXV];int prim(int n) {int i, j, u, v, min, mincost = 0; for (i = 0; i < n; i++) {key[i] = INF;visited[i] = 0;}key[0] = 0;parent[0] = -1;for (i = 0; i < n; i++) {min = INF;u = -1;for (j = 0; j < n; j++) {if (!visited[j] && key[j] < min) {min = key[j];u = j;}}if (u == -1) return -1;return mincost;}上面的代码实现了Prim算法，通过输入图的顶点数和边数，以及每条边的起点、终点和权值，计算得到最小生成树的最小权值总和。
最小生成树唯一的充要条件
最小生成树唯一的充要条件最小生成树是图论中的一个重要概念，它是一棵生成树，包含所有图中的节点，并且具有最小的总权值。
在实际应用中，最小生成树被广泛运用于网络设计、城市规划等领域，因此，了解最小生成树的充要条件对于深入理解这些应用至关重要。
接下来，我们将介绍最小生成树唯一的充要条件。
一、什么是最小生成树最小生成树指的是一个无向图的生成树，它的所有边的权值之和最小。
一个无向图的生成树是指一棵树，包含所有图中的节点，并且只有图中的边。
因此，最小生成树是一个无向图的一种特殊情况。
二、最小生成树的唯一充要条件最小生成树有一个重要的性质，即它是唯一的当且仅当该无向图中不存在权值相同的边。
具体来说，设有一个无向图G=(V,E)，其中V是节点的集合，E是边的集合。
假设生成树T是G的一个生成树，我们需要证明最小生成树T是唯一的当且仅当G中不存在权值相同的边。
充分性证明：首先，假设最小生成树T是唯一的，我们需要证明G中不存在权值相同的边。
假设存在权值相同的边e1和e2，它们的权值都为w。
根据前提条件，T是最小生成树，因此T必须包含一条边e1或e2，假设T包含边e1，那么将边e1替换成e2，得到一棵新的生成树T'。
此时，T'中还有n-2条边需要加入。
因为T是最小生成树，所以T'的总权值必须大于等于T的总权值。
但是，由于e1和e2都是权值为w的边，所以将其替换不会改变T的总权值，即T'的总权值等于T的总权值。
因此，T'不能是最小生成树，与前提条件不符。
综上所述，最小生成树T是唯一的，则G中不存在权值相同的边。
必要性证明：然后，我们需要证明G中不存在权值相同的边，则最小生成树T是唯一的。
假设存在两棵生成树T1和T2，它们的权值之和相等，但是它们不相同。
由于T1和T2都是生成树，因此它们都包含n-1条边。
我们假设T1中有一条边e不在T2中，而T2中有一条边f不在T1中。
由于e不在T2中，因此e和f可以构成一个环。
数据结构（三十三）最小生成树（Prim、Kruskal）
数据结构（三⼗三）最⼩⽣成树（Prim、Kruskal） ⼀、最⼩⽣成树的定义 ⼀个连通图的⽣成树是⼀个极⼩的连通⼦图，它含有图中全部的顶点，但只有⾜以构成⼀棵树的n-1条边。
在⼀个⽹的所有⽣成树中，权值总和最⼩的⽣成树称为最⼩代价⽣成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称为最⼩⽣成树。
构造最⼩⽣成树的准则有以下3条：只能使⽤该图中的边构造最⼩⽣成树当且仅当使⽤n-1条边来连接图中的n个顶点不能使⽤产⽣回路的边 对⽐两个算法，Kruskal算法主要是针对边来展开，边数少时效率会⾮常⾼，所以对于稀疏图有很⼤的优势；⽽Prim算法对于稠密图，即边数⾮常多的情况会更好⼀些。
⼆、普⾥姆（Prim）算法 1.Prim算法描述 假设N={V,{E}}是连通⽹，TE是N上最⼩⽣成树中边的集合。
算法从U={u0，u0属于V}，TE={}开始。
重复执⾏下⾯的操作：在所有u属于U，v 属于V-U的边(u,v)中找⼀条代价最⼩的边(u0,v0)并加⼊集合TE，同时v0加⼊U，直到U=V为⽌。
此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最⼩⽣成树。
2.Prim算法的C语⾔代码实现/* Prim算法⽣成最⼩⽣成树 */void MiniSpanTree_Prim(MGraph G){int min, i, j, k;int adjvex[MAXVEX]; /* 保存相关顶点下标 */int lowcost[MAXVEX]; /* 保存相关顶点间边的权值 */lowcost[0] = 0;/* 初始化第⼀个权值为0，即v0加⼊⽣成树 *//* lowcost的值为0，在这⾥就是此下标的顶点已经加⼊⽣成树 */adjvex[0] = 0; /* 初始化第⼀个顶点下标为0 */for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) /* 循环除下标为0外的全部顶点 */{lowcost[i] = G.arc[0][i]; /* 将v0顶点与之有边的权值存⼊数组 */adjvex[i] = 0; /* 初始化都为v0的下标 */}for(i = 1; i < G.numVertexes; i++){min = INFINITY; /* 初始化最⼩权值为∞， *//* 通常设置为不可能的⼤数字如32767、65535等 */j = 1;k = 0;while(j < G.numVertexes) /* 循环全部顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)/* 如果权值不为0且权值⼩于min */{min = lowcost[j]; /* 则让当前权值成为最⼩值 */k = j; /* 将当前最⼩值的下标存⼊k */}j++;}printf("(%d, %d)\n", adjvex[k], k);/* 打印当前顶点边中权值最⼩的边 */lowcost[k] = 0;/* 将当前顶点的权值设置为0,表⽰此顶点已经完成任务 */for(j = 1; j < G.numVertexes; j++) /* 循环所有顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]){/* 如果下标为k顶点各边权值⼩于此前这些顶点未被加⼊⽣成树权值 */lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将较⼩的权值存⼊lowcost相应位置 */adjvex[j] = k; /* 将下标为k的顶点存⼊adjvex */}}}}Prim算法 3.Prim算法的Java语⾔代码实现package bigjun.iplab.adjacencyMatrix;/*** 最⼩⽣成树之Prim算法*/public class MiniSpanTree_Prim {int lowCost; // 顶点对应的权值public CloseEdge(Object adjVex, int lowCost) {this.adjVex = adjVex;this.lowCost = lowCost;}}private static int getMinMum(CloseEdge[] closeEdges) {int min = Integer.MAX_VALUE; // 初始化最⼩权值为正⽆穷int v = -1; // 顶点数组下标for (int i = 0; i < closeEdges.length; i++) { // 遍历权值数组，找到最⼩的权值以及对应的顶点数组的下标if (closeEdges[i].lowCost != 0 && closeEdges[i].lowCost < min) {min = closeEdges[i].lowCost;v = i;}}return v;}// Prim算法构造图G的以u为起始点的最⼩⽣成树public static void Prim(AdjacencyMatrixGraphINF G, Object u) throws Exception{// 初始化⼀个⼆维最⼩⽣成树数组minSpanTree，由于最⼩⽣成树的边是n-1，所以数组第⼀个参数是G.getVexNum() - 1，第⼆个参数表⽰边的起点和终点符号，所以是2 Object[][] minSpanTree = new Object[G.getVexNum() - 1][2];int count = 0; // 最⼩⽣成树得到的边的序号// 初始化保存相关顶点和相关顶点间边的权值的数组对象CloseEdge[] closeEdges = new CloseEdge[G.getVexNum()];int k = G.locateVex(u);for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (j!=k) {closeEdges[j] = new CloseEdge(u, G.getArcs()[k][j]);// 将顶点u到其他各个顶点权值写⼊数组中}}closeEdges[k] = new CloseEdge(u, 0); // 加⼊u到⾃⾝的权值0for (int i = 1; i < G.getVexNum(); i++) { // 注意，这⾥从1开始，k = getMinMum(closeEdges); // 获取u到数组下标为k的顶点的权值最短minSpanTree[count][0] = closeEdges[k].adjVex; // 最⼩⽣成树第⼀个值为uminSpanTree[count][1] = G.getVexs()[k]; // 最⼩⽣成树第⼆个值为k对应的顶点count++;closeEdges[k].lowCost = 0; // 下标为k的顶点不参与最⼩权值的查找了for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (G.getArcs()[k][j] < closeEdges[j].lowCost) {closeEdges[j] = new CloseEdge(G.getVex(k), G.getArcs()[k][j]);}}}System.out.print("通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {");for (Object[] Tree : minSpanTree) {System.out.print("(" + Tree[0].toString() + "-" + Tree[1].toString() + ")");}System.out.println("}");}} 4.举例说明Prim算法实现过程 以下图为例： 测试类：// ⼿动创建⼀个⽤于测试最⼩⽣成树算法的⽆向⽹public static AdjacencyMatrixGraphINF createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree() {Object vexs_UDN[] = {"V0", "V1", "V2", "V3", "V4", "V5", "V6", "V7", "V8"};int arcsNum_UDN = 15;int[][] arcs_UDN = new int[vexs_UDN.length][vexs_UDN.length];for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = 0; j < vexs_UDN.length; j++)if (i==j) {arcs_UDN[i][j]=0;} else {arcs_UDN[i][j] = arcs_UDN[i][j] = INFINITY;}arcs_UDN[0][5] = 11;arcs_UDN[1][2] = 18;arcs_UDN[1][6] = 16;arcs_UDN[1][8] = 12;arcs_UDN[2][3] = 22;arcs_UDN[2][8] = 8;arcs_UDN[3][4] = 20;arcs_UDN[3][6] = 24;arcs_UDN[3][7] = 16;arcs_UDN[3][8] = 21;arcs_UDN[4][5] = 26;arcs_UDN[4][7] = 7;arcs_UDN[5][6] = 17;arcs_UDN[6][7] = 19;for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = i; j < vexs_UDN.length; j++)arcs_UDN[j][i] = arcs_UDN[i][j];return new AdjMatGraph(GraphKind.UDN, vexs_UDN.length, arcsNum_UDN, vexs_UDN, arcs_UDN);}public static void main(String[] args) throws Exception {AdjMatGraph UDN_Graph = (AdjMatGraph) createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree();MiniSpanTree_Prim.Prim(UDN_Graph, "V0");} 输出为：通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {(V0-V1)(V0-V5)(V1-V8)(V8-V2)(V1-V6)(V6-V7)(V7-V4)(V7-V3)} 分析算法执⾏过程：从V0开始：-count为0，k为0，closeEdges数组的-lowCost为{0 10 INF INF INF 11 INF INF INF}，adjVex数组为{V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0}-⽐较lowCost，于是k为1，adjVex[1]为V0，minSpanTree[0]为（V0，V1），lowCost为{0 0 INF INF INF 11 INF INF INF}-k为1，与V1的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为：{0 0 18 INF INF 11 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V0，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为5，adjVex[5]为V0，minSpanTree[1]为（V0，V5），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 12}-k为5，与V5的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为{0 0 18 INF 26 0 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V5，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为8，adjVex[8]为V1，minSpanTree[2]为（V1，V8），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 0}... 三、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 1.Kruskal算法描述 Kruskal算法是根据边的权值递增的⽅式，依次找出权值最⼩的边建⽴的最⼩⽣成树，并且规定每次新增的边，不能造成⽣成树有回路，直到找到n-1条边为⽌。
最小生成树题目
最小生成树文档========1. 图的表示和基本操作-----------在图论中，图是由顶点（vertices）和边（edges）组成的一种结构。
顶点通常用V表示，边用E表示。
一个边连接两个顶点，可以用一个有序对(u, v)表示一条从顶点u到顶点v的边。
无向图中的边没有方向，而有向图中的边有方向。
在图的操作中，常见的有添加/删除顶点，添加/删除边，查找顶点等。
在最小生成树算法中，主要涉及到的操作有添加/删除边，查找顶点等。
2. 最小生成树的定义和性质----------------最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是指一个连通无向图中，一个连接所有顶点的子图，使得所有边的权值和最小。
最小生成树具有如下性质：* 最小生成树是连通的，即任意两个顶点之间都有路径相连。
* 最小生成树的边数等于V-1，其中V是顶点的数量。
* 最小生成树的权值和等于所有边的权值和。
4. Kruskal算法---------Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 将所有的边按照权值从小到大排序。
2. 初始化一个空的森林F。
3. 从第一条边开始，遍历所有的边，如果这条边的两个顶点在森林F中不连通，则将这条边加入森林F中，否则忽略这条边。
4. 如果森林F中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
否则，森林F就是最小生成树。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的数量。
该算法具有稳定性和可并行性。
但是由于需要维护森林的数据结构，实际实现起来比较复杂。
5. Prim算法-------Prim算法是一种基于贪婪策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 初始化一个空的集合C，用于存储已经访问过的顶点。
2. 从任意一个顶点开始，将其加入集合C中。
3. 对于每一个顶点v，计算它到集合C中所有已经访问过的顶点的最小距离。
将距离最小的边对应的顶点加入集合C中。
4. 如果集合C中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
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kruskal
算法步骤：
1、把图中的边按权值从小到大排序。 2、按从小到大的顺序依次向树中加边。 在添加每一条边（u，v）时，如果u和V两个点都已在 树中，一旦添加，就回构成回路，所以放弃该边，在向 后找下一条边。 3、直到添加n-1条边。
Kruskal算法在实现过程中的关键和难点在于： 如何判断欲加入的一条边是否与生成树中已保留 的边形成回路？
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0
1
2
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5
6
我们解决这种问题所用到的算法就是：
生成树的概念
严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的 全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边 集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵 生成树。 由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方 法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点 不同亦可导致不同的生成树。 可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。
网络建设
Net.pas/net.in/net.out 【问题描述：】 LOI国由n个成员组成（虽然n是常数），所有成员位于一平面坐标系中，每人拥有一 台Dell计算机，每台计算机的坐标是已知的，且坐标都是整数。现在，LOI国为加强 成员间的交流学习，决定采用每周一人讲课的办法，但这是有硬件要求的，需要对 每台计算机之间用一条高速网线相连，并且使所有的计算机都可以直接或间接相连。 但分管LOI国的部长莎查· 利仕墉(Saca· leesiyon)是个非常抠门的人，想让LOI国用尽量 少的资金达到所需的效果(即用最短的网线)，已知两计算机之间的距离为它们的直 线距离，求所需网线的最小长度。 【输入：】 n n行，每行有两个整数x , y 表示第i个计算机的坐标为 (x , y ) 【输出：】 最短的网线的长度。 结果保留3为小数。 【输入样例：】 【输出样例：】 6 9.236 21 数据规模 n<=500 1<= x, y 41 <=1000 54 35 返回 33 23
function find(i:integer):integer; //查找i的父亲 begin if f[i]=0 then exit(i); //i是根 if f[f[i]]=0 then exit(f[i]); //i的父亲是根 find:=find(f[i]); //递归查找 f[i]:=find; //路径压缩 end;
首先把这个结点包括进生成树里，然后在那些其一个端 点已在生成树里、另一端点还未在生成树里的所有边中 找出权最小的一条边，并把这条边、包括不在生成树的 另一端点包括进生成树，…。依次类推，直至将所有结 点都包括进生成树为止。
Prim 算法过程
8 4 a 8 h 1 g 2 f b 2 i 7 6 10 c 7
Prim算法的性能
Prim算法的性能取决于如何选取下一个适合条件的最小权 值边，因为最小生成树必定有n-1个边，因而选取操作必须 进行n-1次。 朴素的方法是用邻接矩阵，线性扫描。复杂度为O(n*n)。 （用于稠密图） 如果用二叉最小堆来实现，可以优化到O(Elgn)。（用于稀 疏图） 如果使用斐波那契堆，运行时间可以改进为O(E+nlgn)。 （用于稀疏图）
procedure kruskal; var i:integer; begin qsort; for i:=1 to n do f[i]:=0; //初始化根为0 ans:=0; for i:=1 to m do union(e[i]); end; procedure union(p:node); //检查边p是否能加到生成树中 var x,y:integer; begin x:=find(p.u); //找u的根 y:=find(p.v); //找v的根 if x<>y then //不同根，构不成环，加入 begin inc(ans,p.data); f[y]:=x; // 根合并 end; end;
并查集！
Kruskal 算法过程
8 4 a 8 h 1 构成环路 构成环路 构成环路 g 2 f b 2 i 7 6 10 c
7
d
9 14 e
11
4
全部节点都被覆 盖，算法结束
type node=record data:integer; u,v:integer; end; var e:array[1..maxn*(maxn-1) div 2] of node; //边 f:array[1..maxn] of integer; //父亲接点 n,m:integer; ans:integer; readln(n); m:=0; while not seekeof do begin readln(i,j,k); inc(m); e[m].data:=k; e[m].u:=i; e[m].v:=j; end;
含有n个结点的图，从中选n-1条边，保持n-1个点中 任意两点是连通的，并且n-1条边的和最小。这n个点和 这n-1条边就成为原图的最小生成树。
朱最学
17 5
周真学
10
范很学
23
30
歪博特
24
吴司令
7
最小生成树
求最小生成树的方法主要有以下两 种贪心策略： Prim算法 Kruskal算法
任意结点开始（不妨设为a）构造最小生成树：
生成树的另外几种类型： 1.次小生成树 2.瓶颈生成树 3.最小度限制生成树
有兴趣（DT）可以看一下..
膜拜两位神犇
Whybert(王怀远)
Tim(周昕宇)
d
9 14 e
11
4
全部节点都被覆 盖，算法结束
//a[i，j]：i到j的边长。
//D[i]：结点i到生成树中结点的最短距离 //f[i]:true:在生成树中，false：不在生成树中。
for i:=1 to n do begin d[i]:=a[1,i]; f[i]:=false; end; f[1]:=true; //放在生成树中 ans:=0; for i:=2 to n do begin min:=maxlongint; for j:=1 to n do if (not f[j]) and (d[j]<min) then begin min:=d[j]; k:=j; end; inc(ans,d[k]); f[k]:=true; for j:=1 to n do if (not f[j]) and(a[k,j]<d[j]) then d[j]:=a[k,j];//修改d end;
Kruskal算法的性能
Kruskal也需要进行n-1次选取操作，它的选取范围是整个 图，因而可以用O(ElgE)的时间对所有的边进行排序。从 这个有序的排列依次选取，若选取的边的加入不能构成 回路，则加入。否则对排列的下一个边进行相同操作。 直到选取了n-1个边为止。
对prim算法与kruskal算法比较和总结
样例
2 )Prim and Kruskal and Kruskal+快排 算法的时间比较
prim 在跟普通的kruskal比较空间是肯定没有普通的kruskal来的好。 但时间方面的话prim就比普通kruskal来的更恐怖一些，用prim时间 比普通的kruskal快20倍。在这时我就想如果那数据变态的很，用普 通的kruskal绝对超时，用prim绝对爆内存那就惨了。这时惟有改进 算法。prim算法从中砍内存，怎么砍，换一个超大内存的电脑，你 去哪找啊。拿刀砍，开玩笑。方法一放弃。方法二在改进kruskal算 法从中砍时间，普通的kruskal在选择感染了的边的时候还要进行搜 索其所有被感染了的边中值最小的边，每一次都要在此处进行重复 的搜索觉的很费时，索性事先排好序。所以改进后变为kruskal+快 排，结果时间跟prim相差无几，而且又省内存。这就是王道啊。。。
1 )Prim and Kruskal 算法的空间比较
数据给的情况不同空间有所不同 当点少边多的时候如1000个点500000条边这样BT的数据用prim做 就要开一个1000*1000的二维数组 而用kruskal做只须开一个500000的数组，恐怖吧500000跟 1000*1000比较相差一半。 当点多边少的时候如1000000个点2000条边像这中BT数据就是为卡 内存而存在的，如果用prim做你想开一个1000000*1000000的二维 数组没门内存绝对爆挂你。而像这种情况用kruskal只须开一个2000 的数组绝对赚到了。
所以原则上如果是稀疏图，选Kruskal算法；稠密图，选 Prim算法。个人认为一般情况下求解最小生成树问题时用 排过序的Kruskal就能秒杀。
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TYVJ 1222 TYVJ 1357 Poj 1789 Poj 1258 TYVJ 1307 TYVJ 1391 Poj 2485 Poj 3026