图的连通性及最小生成树

合集下载

最小生成树的算法

最小生成树的算法王洁引言：求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。

下面将介绍几种最小生成树的算法。

一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法1 理论根据1.1 约化原则给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ⊆ E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树．（1）基本回路将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。

基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路．（2）基本割集设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合），若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。

基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝．（3）等长变换设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ∉ H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, 'e }也是一棵生成树。

当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。

图的常用算法——最小生成树

TE= {（V1，V4）5，（V4，V2）3 ，（V4，V6）7，
（V6，V3）2 ，（V3，V5）6 } LW= {（V4，V7）15
9
第六次 U={ V1，V4，V2 ，V6，V3 ，V5，V7 } TE= {（V1，V4）5，（V4，V2）3 ，（V4，V6）7，（V6，V3）2 ，（V3，V5）6}，（V4，V7）15 } LW= { }
3
5
7
20
所以最小生成树由GE数组中的1，2，3，5，7 边组成。 2012-1-10
2012-1-10
10
2012-1-10
11
（4）算法如下： Procedure Prim(GA,CT); begin for I:=1 to n-1 do { 给CT赋初值，对应第0次的LW值 } [ CT[I].from :=1 ; ct[I].end: =I+1 ; ct[I].w:=GA[1, i+1 ]; for k:=1 to n-1 do { 进行n-1次循环，求出最小生成树的第K条边 } ①[ min:=maxint ; m:=k ; for j:=k to n-1 do if ct[j].w < min then min:=ct[j].w ; m:=j; ] ② if m<> k then ct[k] 与ct[m] 的交换 { 将最短边调到第K单元 }
1. 从图“G”的选取一个顶点放到“G’” 中，因只有一个顶点，因此该图是连通的； 2. 以后每加入一个顶点，都要加入以该点为顶点与已连通的顶点之中的一个顶点为端点的一条边，使其既连通而不产生回路，进行n-1次后，就产生G’，在G’ 中有n个顶点，n-1条边且不产生回路。
二、图的最小生成树

图的基本概念图的存储表示图的遍历与连通性最小生成树最短路径汇总

为了实现逐层访问, 算法中使用了一个队列, 以记忆正在访问的这一层和下一层的顶点, 以便于向下一层访问。为避免重复访问, 需要一个辅助数组 visited [ ]，给被访问过的顶点加标记。
深度优先搜索DFS ( Depth First Search )

深度优先搜索的示例
1
A
2
B
3
E G 4 I
1
A
2
B
C 5 H
3
E
G 4 I
7 D
6 F
C 5
H
7 D
6 F
前进深度优先搜索过程来自89回退深度优先生成树
8
9

DFS 在访问图中某一起始顶点 v 后, 由 v 出发, 访问它的任一邻接顶点 w1; 再从 w1 出发, 访问与 w1邻接但还没有访问过的顶点 w2; 然后再从 w2 出发, 进行类似的访问, … 如此进行下去, 直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止。接着, 退回一步, 退到前一次刚访问过的顶点, 看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。如果有, 则访问此顶点, 之后再从此顶点出发, 进行与前述类似的访问; 如果没有, 就再退回一步进行搜索。重复上述过程, 直到连通图中所有顶点都被访问过为止。
邻接表 (Adjacency List)

无向图的邻接表
A
data adj 0 A 1 B 2 C 3 D dest link
dest link
1 0 1 0
3 2
B D
C
同一个顶点发出的边链接在同一个边链表中，每一个链结点代表一条边(边结点), 结点中有另一顶点的下标 dest 和指针 link。

最小生成树的模型数学公式

最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式是：
给定无向连通图G(V,E)，其中V为图的顶点集合，E为图的边集合。

每条边e∈E都带有一个非负权重w(e)。

找到一个包含图中所有顶点的子图T(V,E')，使得E' ⊆ E，并且E'构成一颗树（即连通且无环），使得所有的边的权重之和最小。

拓展：
最小生成树的应用十分广泛，可以用于解决多种问题。

以下是最小生成树的一些常见拓展场景：
1.带有约束条件的最小生成树：
在某些情况下，除了最小化权重之和外，还需要满足一些特定的约束条件。

例如，可以要求最小生成树的边数限制在特定的范围内，或者要求选择特定类型的边。

这时可以在最小生成树的模型中引入额外的约束条件，从而得到满足要求的最小生成树。

2.多目标最小生成树：
有时候，最小生成树问题不仅需要最小化权重之和，还需要考虑其他目标。

例如，可以同时考虑最小化权重之和和最大化生成树中的最长边权重。

这样的问题可以转化为多目标优化问题，并通过权衡不同目标之间的关系来求解。

3.带有边权重动态变化的最小生成树：
在某些场景中，图的边权重可能会根据一些规则进行动态变化。

例如，网络中的通信链路可能会根据网络拓扑和负载情况进行变化。

这时可以通过动态更新最小生成树来快速适应环境变化，从而保持最小生成树的有效性。

总之，最小生成树的模型可以通过引入不同的约束条件和目标函数进行拓展，以适应不同的应用场景。

最小生成树的两种构造方法

离散数学大作业 ---最小生成树姓名：陈强学号：辅导老师：李阳阳一、最小生成树的概念：给定一个连通图，要求构造具有最小代价的生成树时，也即使生成树各边的权值总和达到最小。

把生成树各边的权值总和定义为生成树的权，那么具有最小权值的生成树就构成了连通图的最小生成树，最小生成树可简记为MST 。

二、构造无向连通图的最小生成树的方法：1.Prim （普里姆）算法算法:假设G(V,E)是有n 个顶点的无向连通图，用T(U,TE)表示要构造的最小生成树，其中U 为顶点集合，TE 为边的集合。

（1）初始化：令V={Φ} ,TE={Φ}。

从V 中取一个顶点u0放入生成树的顶点集U 中，作为第一个顶点，此时T=（{u0}，{Φ}）；（2）从U V v V u -∈∈,的边（u,v ）中找一条代价最小的边*)*,(v u ，将其放入TE 中，并将*v 放入U 中。

（3）重复步骤（2），直至U=V 为止。

此时TE 集合中必有n -1条边，T 即为所要构造的最小生成树。

特殊处理：如果两个顶点之间没有直接相连的边，权值置为一个max 的数自身和自身的权值置为MAX 的值代码：function [T]=Prim(i,G_dist)%Prim.m 实现了普里姆的方法生成无向连通图G 的最小生成树%T是返回的最小生成树%i为输入的为最小生成树选定的第一个顶点%G_dist是待输入的数据，是图G边（u,v）的权值矩阵[m,n]=size(G_dist);%读入无向图的顶点数目为m=nv=i;%将选定的顶点放入中间变量v中T=zeros(3,m-1);%最小生成树有（m-1）条边。

第一行存放边的起点，第二行存放边的终点，第三行存放边的权值%%%初始化最小生成树的矩阵for j=1:m-1T(1,j)=v;%将第一个顶点放入最小生成树的矩阵中if j>=vT(2,j)=j+1;T(3,j)=G_dist(v,j+1);elseT(2,j)=j;T(3,j)=G_dist(v,j);endend%%%求第k条边for k=1:(n-1)min=10000;%初始化一个最小的权值%找出最短边，并将最短变的下标记录在mid中for j=k:(n-1)if T(3,j)<minmin=T(3,j);mid=j;endende=T(:,mid);T(:,mid)=T(:,k);T(:,k)=e;%将最短的边所在的一列和第k列交换 v=T(2,k);%v中存放新找到的最短边在V-U中的顶点for j=(k+1):(n-1)%修改所存储的最小边集d=G_dist(v,T(2,j));if d<T(3,j)T(3,j)=d;T(1,j)=v;endendendDG=sparse(T(1,:),T(2,:),T(3,:),m,m);%用稀疏矩阵view(biograph(DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'));%画图调用函数G=[10000,10,3,10000,10000,10000;10,10000,5,8,6,10000;3,5,10000,10000, 2,10000;10000,8,10000,10000,7,11;10000,6,2,7,10000,17;10000,10000,100 00,11,17,10000;];%G表示图G的各边权值，自身到自身的权值和不直接相连的顶点的权值设为10000i=1;T1=[1,2,1,3,2,2,4,4,5;3,3,2,5,5,4,5,6,6;3,5,10,2,6,8,7,11,17;0,0,0,0, 0,0,0,0,0];%T1表示图G的边的信息，第一行是边的起始点，第二行是边的终点，第三行是边的权重，第四行表示对边的选择T=T1(1:3,:);DG=sparse(T1(1,:),T1(2,:),T1(3,:),m,m);%用稀疏矩阵view(biograph(DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'));%画图Prim(i,G);结果：图G：Prim生成的最小生成树：2.Kruskal(克鲁斯卡尔)算法算法：假设G(V,E)是有n个顶点的无向连通图。

最小生成树（Kruskal和Prim算法）

最⼩⽣成树（Kruskal和Prim算法）关于图的⼏个概念定义：关于图的⼏个概念定义：连通图：在⽆向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该⽆向图为连通图。

强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。

连通⽹：在连通图中，若图的边具有⼀定的意义，每⼀条边都对应着⼀个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通⽹。

⽣成树：⼀个连通图的⽣成树是指⼀个连通⼦图，它含有图中全部n个顶点，但只有⾜以构成⼀棵树的n-1条边。

⼀颗有n个顶点的⽣成树有且仅有n-1条边，如果⽣成树中再添加⼀条边，则必定成环。

最⼩⽣成树：在连通⽹的所有⽣成树中，所有边的代价和最⼩的⽣成树，称为最⼩⽣成树。

构造最⼩⽣成树的准则有3条：（1）必须只使⽤该⽹络中的边来构造最⼩⽣成树。

（2）必须使⽤且仅使⽤n-1条边来连接⽹络中的n个顶点。

（3）不能使⽤产⽣回路的边。

下⾯介绍两种求最⼩⽣成树算法1 Prim（普利姆算法）算法--加点法此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最⼩的边对应的点，加⼊到最⼩⽣成树中。

算法从某⼀个顶点s开始，逐渐长⼤覆盖整个连通⽹的所有顶点。

Prim算法从任意⼀个顶点开始，每次选择⼀个与当前顶点集最近的⼀个顶点，并将两顶点之间的边加⼊到树中。

Prim算法在找当前最近顶点时使⽤到了贪婪算法。

实现过程：5int logo[1010];///⽤0和1来表⽰是否被选择过6int map1[1010][1010];7int dis[1010];///记录任意⼀点到这⼀点的最近的距离8int n,m;9int prim()10 {11int i,j,now;12int sum=0;13for(i=1;i<=n;i++)///初始化14 {15 dis[i]=MAX;16 logo[i]=0;17 }18for(i=1;i<=n;i++)19 {20 dis[i]=map1[1][i];21 }22 dis[1]=0;23 logo[1]=1;24for(i=1;i<n;i++)///循环查找25 {26 now=MAX;27int min1=MAX;28for(j=1;j<=n;j++)29 {30if(logo[j]==0&&dis[j]<min1)31 {32 now=j;33 min1=dis[j];34 }35 }36if(now==MAX)///防⽌不成图37 {38break;39 }40 logo[now]=1;41 sum=sum+min1;42for(j=1;j<=n;j++)///填⼊新点后更新最⼩距离，到顶点集的距离43 {44if(logo[j]==0&&dis[j]>map1[now][j])45 {46 dis[j]=map1[now][j];47 }48 }49 }50if(i<n)51 {52 printf("?\n");53 }54else55 {56 printf("%d\n",sum);57 }58 }59int main()60 {61while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)///n是点数62 {63if(m==0)64 {65break;66 }67 memset(map1,0x3f3f3f3f,sizeof(map1));///map是邻接矩阵储存图的信息68for(int i=0;i<m;i++)69 {70int a,b,c;71 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);72if(c<map1[a][b])///防⽌出现重边73 {74 map1[a][b]=map1[b][a]=c;75 }76 }77 prim();78 }79return0;80 }邻接表实现：1 #include<stdio.h>2 #include<string.h>3 #include<vector>4 #include<algorithm>5#define INF 0x3f3f3f3f6using namespace std;7struct node8 {9int end;///终点10int power;///权值11 } t;12int n;///n为点数13 vector<node>q[500001];///邻接表储存图的信息14int dis[500001];///距离15int vis[500001];///标记数组16void prime()17 {18int i,len,j,pos,sum,start;19 memset(vis,0,sizeof(vis));20 sum=0;21 start=1;///任意取起点22for(i=0; i<=n; i++)23 {24 dis[i]=INF;25 }26 len=q[start].size();27for(i=0; i<len; i++)///从任意起点开始的dis数组更新28 {29if(q[start][i].power<dis[q[start][i].end])30 {31 dis[q[start][i].end]=q[start][i].power;32 }33 }34 vis[start]=1;35for(j=0; j<n-1; j++)36 {37int pos,min=INF;38for(i=1; i<=n; i++)39 {40if(vis[i]!=0&&dis[i]<min)41 {42 min=dis[i];43 pos=i;///找到未访问节点中权值最⼩的44 }45 }46if(pos==INF)///防⽌不成图47 {48break;49 }50 vis[pos]=1;51 sum=sum+min;52 len=q[pos].size();///再次更新dis数组53for(j=0; j<len; j++)54 {55if(vis[q[pos][j].end]==0&&dis[q[pos][j].end]>q[pos][j].power)56 {57 dis[q[pos][j].end] = q[pos][j].power;58 }59 }60 }61if(j<n)62 {63 printf("?\n");64 }65else66 {67 printf("%d\n",sum);68 }69 }70int main()71 {72int m,i;73int begin,end,power;74int a,b;75while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)76 {77for(i=0; i<=n; i++)78 {79 q[i].clear();///将victor数组清空80 }81for(i=0; i<m; i++)82 {83 scanf("%d%d%d",&begin,&end,&power);///输⼊84 t.end=end;85 t.power=power;86 q[begin].push_back(t);87 t.end=begin;///⽆向图88 t.power=power;89 q[end].push_back(t);90 }91 prime();92 }93return0;94 }这⾥再给出⼀个没有使⽤标记数组的代码：int prim(int s){int i,j,sum=0;int now;for(i=1;i<=n;i++){closest[i]=INT_MAX;}for(i=1;i<=n;i++){closest[i]=map[s][i];}closest[s]=0;for(i=1;i<n;i++)//这⾥的i代表的是边数，有n个点就会有n-1条边{int min=INT_MAX;for(j=1;j<=n;j++){if(closest[j]&&closest[j]<min){min=closest[j];now=j;//找到所需的最⼩边}}sum+=min;closest[now]=0;//将找到的边加⼊到最⼩⽣成树之中for(j=1;j<=n;j++)//找到新的点加⼊已选点集合之后，更新该点到未选点集合的距离{if(map[now][j]&&map[now][j]<closest[j]){closest[j]=map[now][j];}}}return sum;}2 Kruskal（克鲁斯卡尔）算法--加边法1.概览 Kruskal算法是⼀种⽤来寻找最⼩⽣成树的算法，在剩下的所有未选取的边中，找最⼩边，如果和已选取的边构成回路，则放弃，选取次⼩边。

最小生成树定理

摘要：最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个基本概念，它在网络设计、数据结构、算法设计等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍最小生成树定理的定义、性质、算法以及在实际应用中的重要性。

一、引言在图论中，一个图由顶点和边组成。

如果这个图是一个连通图，那么它的任意两个顶点之间都存在一条路径。

最小生成树定理研究的是如何从一个连通无向图中选择一些边，使得这些边构成一个连通子图，并且所有边的权值之和最小。

二、定义1. 图：由顶点集合V和边集合E组成，记为G=(V,E)，其中V表示顶点集，E表示边集。

2. 连通图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若存在一条路径连接u和v，则称图G是连通的。

3. 无向图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若边(u,v)和边(v,u)同时存在，则称边(u,v)为无向边。

4. 权值：对于图G中的任意一条边(u,v)，可以赋予一个非负实数w(u,v)作为权值。

5. 最小生成树：对于图G的一个连通子图T，如果满足以下两个条件，则称T为G 的最小生成树：（1）T是连通的；（2）T中的边权值之和最小。

三、性质1. 存在性：对于任意一个连通无向图，都存在一个最小生成树。

2. 唯一性：对于任意一个连通无向图，其最小生成树是唯一的。

3. 极小性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最小。

4. 极大性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最大。

四、算法1. 克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）（1）将图G中的所有边按照权值从小到大排序；（2）初始化一个空的最小生成树T；（3）遍历排序后的边，对于每条边(u,v)：①检查边(u,v)是否与T中的任意一条边形成环；②若不形成环，则将边(u,v)加入T；（4）当T中的边数等于顶点数减1时，算法结束。

2. 普里姆算法（Prim's Algorithm）（1）从图G中选择一个顶点作为起始顶点v0；（2）初始化一个空的最小生成树T，并将v0加入T；（3）对于图G中的其他顶点v，初始化一个距离数组dist，其中dist[v]表示顶点v到T的距离，初始时dist[v]=∞（v≠v0）；（4）遍历T中的顶点，对于每个顶点v，更新其相邻顶点的距离；（5）从距离数组中选择距离最小的顶点u，将其加入T；（6）重复步骤（4）和（5），直到T中的边数等于顶点数减1。

详解图的应用(最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径)

详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。

这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。

在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。

n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。

对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。

即无向连通图的生成树不是唯一的。

连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。

图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。

1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。

最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。

1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。

他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。

时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。

【算法】关于图论中的最小生成树（MinimumSpanningTree）详解

【算法】关于图论中的最⼩⽣成树（MinimumSpanningTree）详解什么是图(network)什么是最⼩⽣成树 (minimum spanning tree)最⼩⽣成树的算法这⾥的图当然不是我们⽇常说的图⽚或者地图。

通常情况下，我们把图看成是⼀种由“顶点”和“边”组成的抽象⽹络。

在各个“顶点“间可以由”边“连接起来，使两个顶点间相互关联起来。

图的结构可以描述多种复杂的数据对象，应⽤较为⼴泛，看下图：为了更好地说明问题，下⾯我们看⼀个⽐较⽼套的通信问题：在各⼤城市中建设通信⽹络，如下图所⽰，每个圆圈代表⼀座城市，⽽边上的数字代表了建⽴通信连接的价格。

那么，请问怎样才能以最⼩的价格使各⼤城市能直接或者间接地连接起来呢？我们需要注意两点：最⼩的价格各⼤城市可以是直接或者间接相连的稍稍留⼼可以发现，题⽬的要求是，城市只需要直接或者间接相连，因此，为了节省成本，我们稍稍优化⼀下上述⽅案如下：可以看到，我们砍掉了原先在AD，BE之间的两条道路，建设价格⾃然就降下来了。

当然这个⽅案也是符合我们题⽬的要求的。

按照国际惯例，这⾥要说蛋是了。

上⾯的实例由于数据很简单，优化的⽅案很easy就看出来了。

但在实际中，数据量往往是⾮常庞⼤的。

所以，我们更倾向于设计⼀种⽅法，然后利⽤计算机强⼤的运算能⼒帮我们处理这些数据得出最优的⽅案。

那么，针对上述问题，我们⼀起来看看如何应⽤图的相关知识来实现吧。

为了直观，还是⽤图⽚给⼤家解释⼀下：对于⼀个图⽽⾔，它可以⽣成很多树，如右侧图2，图3就是由图1⽣成的。

从上⾯可以看出⽣成树是将原图的全部顶点以最少的边连通的⼦图，对于有n个顶点的连通图，⽣成树有n-1条边，若边数⼩于此数就不可能将各顶点连通，如果边的数量多于n-1条边，必定会产⽣回路。

对于⼀个带权连通图，⽣成树不同，树中各边上权值总和也不同，权值总和最⼩的⽣成树则称为图的最⼩⽣成树。

基本思想：假设有⼀个⽆向带权图G=(V,E)，它的最⼩⽣成树为MinTree=(V,T)，其中V为顶点集合，T为边的集合。

最小生成树,拓扑排序,强连通分量总结

h a
f
h
16
Kosaraju算法（双DFS）实现算法： Tarjan算法 Gabow算法
DFN[i] / LOW[i] LOW[i] = 有未访问出边：min(LOW[i],DFN[nei(i)])
无未访问出边：min(LOW[i],LOW[son(i)])
DFN[i] : 结点i在深搜中的访问顺序
v2
v5
v4 v5 v6
v7
v5 v7 v8 v7 v4 v6 v2 v3 v1
出栈条件：栈顶结点的所有邻接点都已访问
实质：对每个顶点查找其邻接点
v1 v2 v4 v8 v5 v3
stack
v6 v7
v8
6
大纲
图的基础知识 DFS
基本的图算法
BFS 拓扑排序
强连通分量
最小生成树
7
3.BFS
1 /1
A
2 /2 /1
C
3 /3
E
初始：LOW[i] = DFN[i]
时间复杂度：O(n+e)
B D F
6 /6 /5
stack A C
5 /5 /1
D E F B
4 /4
出栈条件：LOW[i] = DFN[i]
强连通分量：{F}， {E}， {A,C ,D,B}
17
强连通分量是DFS树中的子树。找到子树的根,从DFS树的最低层开始，求强连通分量。 DFN[i] = LOW[i]就出栈，表示i是强连通分量的根为什么从DFS树最低层开始？
a
b
c
d
13/14
11 /16
1/10
8/9
12/15 e
3/4 f

离散数学中的图的连通分量和最小生成树

在离散数学中，图是研究的重要对象之一。

图由节点和连边组成，可以用来描述许多实际问题，比如社交网络、交通网络等等。

在图的研究中，连通分量和最小生成树是两个重要的概念。

首先，我们来介绍连通分量。

在一个图中，如果任意两个节点之间存在路径，那么这个图被称为是连通的。

如果一个连通图的任意两个节点之间不存在路径，并且如果将其中的任何一个节点移除后，剩下的子图也不再连通，那么这个图的连通部分被称为是连通分量。

连通分量可以将一个复杂的图分割为若干个互不相交的子图，每个子图都是一个连通图。

连通分量在许多应用中有着重要的意义。

例如，在社交网络中，每个人可以看做是一个节点，而他们之间的关系可以用边来表示。

如果某个社交圈的人之间相互认识，那么他们就属于同一个连通分量。

通过分析连通分量，可以了解社交网络中的人际关系、信息传递等情况。

另一个重要的概念是最小生成树。

最小生成树是指一个连通图的最小权重的生成树，其中每个节点都连接在一起，并且总权重达到最小。

生成树是保留了原图中部分边的子图，该子图包含了原图的所有节点，但是其中的边数比原图少一。

最小生成树则是在所有生成树中权重最小的一种。

最小生成树可以用来优化资源分配、路径规划等问题。

最小生成树的算法有很多种，其中一种常用的算法是Prim算法。

Prim算法从一个起始节点开始，逐步扩展生成树的边。

每次选择与已经生成的树相连的边中权重最小的边。

然后，继续选择与生成树相连的边中权重最小的边，直到生成树包含了所有的节点。

另一个常用的算法是Kruskal算法。

Kruskal算法从边的权重最小的边开始，依次将未加入生成树中且不会形成环的边加入生成树中。

然后，继续选择权重次小的边，直到生成树包含了所有的节点。

最小生成树可以用来解决一些实际问题。

例如，在一个城市的交通网络中，每个路口可以看成是一个节点，而道路可以看成是边。

通过最小生成树算法，可以找到将所有路口连接起来的最短路径，从而优化城市交通的规划。

最小生成树算法详解

Prim算法
总结词
详细描述
时间复杂度
适用场景
Kruskal算法
01
02
03
04
03
Prim算法详解
01
Prim算法是一种求解最小生成树问题的贪心算法，通过不断添加边来构成最小生成树。
算法原理
02
Prim算法的基本思想是从一个点开始，逐步扩展最小生成树的边集合，直到覆盖所有的顶点。
03
在每一轮迭代中，Prim算法选择当前生成树到未被覆盖的顶点中距离最短的边，并将其对应的顶点加入到生成树中。
O(ElogE)，其中E为边集合的长度。
空间复杂度
O(V)，其中V为顶点集合的长度。
时间复杂度与空间复杂度
04
Kruskal算法详解
Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法，其核心思想是按边权值从小到大选择边，并保证选择的边不构成环。
Kruskal算法的基本步骤是将原始图G的所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择每条边，如果这条边连接的两个顶点在已选择的边的集合中没有公共的顶点，则将这条边加入到最小生成树中。
Prim算法应用案例
在一个连接了若干个顶点的无向图中，每个边都有一个与之相关联的权重，我们的目标是按照边的权重重小到大的顺序选择若干条边，使得选择的边的集合构成了一个连通图，并且总权重最小。
问题描述
例如，在物流运输中，如果每个节点代表一个仓库或中转站，边代表运输路径，那么Kruskal算法可以帮助我们找到用最少的运输成本将所有节点连接起来的最小生成树。
定义：最小生成树是一种用于图形数据结构的算法，它寻找一棵包含图中所有顶点的树，使得树的边的权值和最小。
特点
1
应用场景

图与最小生成树

图的连通性问题
1
目录
CONTENTS
图的连通分量生成树
最小生成树
2
01
图的连同分量
3
图的连通分量 •最大的连通分量：无向图的极大连通子图，即再加一个顶点就不连通。
无向图G
A
B
EFG
H
IJ
K M
C
L D
无向图G的三个连通分量
A
B
FG
E
H
M C
IJ
D
K
L
4
02
生成树
5
生成树
• 生成树(Spanning Tree): 极小连通子图 • 包含原连通图的所有n个顶点 • 包含原有的其中n-1条边 • 极小: 少一条边就不连通
a d
bc e
a d
bc e
7
7
生成树 • 求无向图的生成树
• 对无向图进行遍历(深度或者广度优先) • 所经过的边的集合 + 所有顶点 = 生成树
8
生成树-深度优先生成树深度优先生成树：深度优先遍历得到的生成树
深度优先生成树的生成，假如从V1开始，一直深度的挖掘。深度优先生成的生成树如下：
V1
深度优先生成森林
A
CD
F
G
I J
L
B E H K
M
A
D
L FC E M JB
G
K
I
H
11
03
最小生成树
12
最小生成树
最小生成树：给定一个无向网络，在该网的所有生成树中，使得各边权数之和最小的那棵生成树称为该网的最小生成树，也叫最小代价生成树。
V1 6
V2

图论算法--最小生成树

最小生成树。在此例中，最小
生成树的权值之和为 39。
A, D, F, 无 B, E, C,
G
算法时间复杂度：O (N2)。【例 02】最优布线问题(wire) 【问题描述】
学校有 n 台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。
率先选择了边 AD。这样我们的图就变成了左图
第 6 页共 12 页
南京外国语学校史钋镭
在剩下的变中寻找。我们找到了 CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了 6,7,7，即 DF，AB，BE。
下面继续选择，BC 或者 EF 尽管现在长度为 8 的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于 BC 可以通过 CE,EB 来连接，类似的 EF 可以通过 EB,BA,AD,DF 来接连）。所以不需要选择他们。类似的 BD 也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。最后就剩下 EG 和 FG 了。当然我们选择了 EG。
二、最小生成树用来解决什么问题？
就是用来解决如何用最小的“代价”用 N-1 条边连接 N 个点的问题。
【例 01】城市公交网建设问题【问题描述】
有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少？【输入格式】
}
int cmp(const point &a,const point &b){
//sort()自定义的比较函数

信息学竞赛中的的连通性与最小生成树算法

信息学竞赛中的的连通性与最小生成树算法信息学竞赛中的连通性与最小生成树算法在信息学竞赛中，连通性与最小生成树算法是一个重要的主题。

连通性指的是在一个图中，判断给定的节点是否相互连通，即是否能够通过边的集合将所有节点连接起来。

最小生成树算法则是用于找到一个连通图的最小生成树，即用最少的边将所有节点连接起来的一棵树。

1. 连通性的应用在信息学竞赛中，连通性的应用十分广泛。

例如，可以用连通性算法来解决一些求解路径问题，比如求解两点之间的最短路径或者最小生成树等。

在这些问题中，连通性算法能够判断两个节点之间是否存在路径，以及找到连接这些节点的最优路径。

2. 连通性算法常见的连通性算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

深度优先搜索是一种递归的搜索方式，它从一个节点开始，沿着一条路径尽可能远地访问节点，直到达到某个终止条件或者无法继续访问为止。

广度优先搜索则是从一个节点开始，逐层扩展访问其相邻节点，直到访问到目标节点为止。

3. 最小生成树算法最小生成树算法主要用于求解连通图中的最小生成树。

常见的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法从一个初始节点开始，逐渐添加边来构建最小生成树；Kruskal算法则是按照边的权重递增的顺序添加边，直到生成一棵连通图。

这些算法都能够找到连通图的最小生成树，但是在不同的场景下，某一种算法可能更加高效。

4. 连通性与最小生成树的应用举例连通性与最小生成树算法在实际问题中有着广泛的应用。

比如，在城市规划中，可以用最小生成树算法来规划道路建设，以确保城市的任意两个地点都可以通过最短路径相互连通。

在电力网络的规划中，可以利用最小生成树算法来确定建设电力线路的最优方案，以降低建设成本和能源损耗。

此外，在通信网络的建设中，最小生成树算法也可以用来构建连接各个节点的通信链路，以提高网络的可靠性和稳定性。

总结：信息学竞赛中的连通性与最小生成树算法是一项重要的主题。

7.4.17.4图的连通性与最小生成树

6
1
251
3
3
4
5
data 1 2 3 4 5 6
set set set set set set
1
2
1
31
4
1
5
2
1
6
4
1
构造顺序
vexh vext weight flag
4 01 2 6 0
2 1 1 3 1 01
2 1 4 5 20
6 32
3
5
10
4 2 5 3 10
53 4 5 0 63 5 6 0
算法实现：图用邻接矩阵表示算法评价：T(n)=O(n²)
Prim算法流程图
重复n-1步
选择起点v0，初始化备选边信息表为关联于v0的边（或弧）选择备选边信息表中权重最小的边(u,v)
V=V+{v}
删除备选边信息表中所有以v为头的边，更新以集合U-V中顶点为头的边
10
例
6
1
5
2
1
4
5
5
7.4 图的最小生成树（Minimum Spinning Tree）
相关概念克鲁斯卡尔Kruskal算法普里姆Prim算法
光纤通信网络问题
要在n个城市间建立通信联络网，使总造价最低。其中：顶点——表示城市权——城市间建立通信线路所需花费代价
1
13
9
17 3
7 7 5 12 18
2
5
6
该边的flag=1, 选中该边；再令该边依附的两顶点的set 以及两集合中所有顶点的 set相同（连通分量合并，取小set 值），若该边依附的两个顶点的set值相同，即连通，则令该边的flag=2, 即舍弃该边（4）重复上述步骤，直到选出n-1条边为止

的连通性与最小生成树算法的实现

的连通性与最小生成树算法的实现连通性问题是图论中的一个重要概念，指的是在一个无向图中，是否存在一条路径能够连接图中的任意两个顶点。

而最小生成树算法是解决连通性问题的一种常用方法，它可以找到一棵包含图中所有顶点的树，并且使得树的总权值最小。

本文将介绍的连通性的概念以及最小生成树算法的实现过程。

1. 连通性的概念在无向图中，连通性指的是图中的任意两个顶点之间存在一条路径。

如果一个图是连通的，则可以通过任意两个顶点之间的路径相互到达。

如果图不连通，则存在顶点无法通过路径到达其他顶点。

2. 最小生成树算法最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是一种在无向连通图中生成一棵树的算法，这棵树包含了图中的所有顶点，并且使得树的总权值最小。

最常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。

3. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，从一个顶点开始，逐步扩展生成最小生成树。

具体步骤如下：(1) 选择一个起始顶点，将该顶点加入最小生成树中，并且标记为已访问。

(2) 从已访问的顶点中选择与之相连的边中权值最小的边，将其连接的顶点加入最小生成树中，并且标记为已访问。

(3) 重复步骤(2)，直到最小生成树包含了图中的所有顶点。

4. Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法，逐步扩展生成最小生成树。

具体步骤如下：(1) 对图中的所有边按照权值进行排序。

(2) 依次从权值最小的边开始，将边加入最小生成树中，但要保证加入边的两个顶点不在同一个连通分量中。

(3) 重复步骤(2)，直到最小生成树包含了图中的所有顶点或者边已经全部考虑完毕。

5. 最小生成树算法的实现最小生成树算法可以通过编程实现。

下面是一个使用Prim算法实现最小生成树的示例代码:```代码示例：function prim(graph):select an arbitrary vertex v from graphinitialize an empty set mstSet to store vertices included in minimum spanning treeinitialize a priority queue pq to store edges connected to the mstSetmark v as visitedenqueue all edges connected to v into pqwhile pq is not empty:dequeue an edge with minimum weight from pqif the edge connects two vertices not in mstSet:add the edge to the minimum spanning treemark the two vertices as visitedenqueue all edges connected to the selected vertex into pqreturn the minimum spanning tree```通过使用这个代码，可以根据给定的无向图找到其最小生成树。

图和连通性(最小生成树和算法思想)

5
③值数替据代结大构值的，动且态用分G析.vexs[K] G相.a应rcs的如a下dj：vex的值。
0 123 4 5
0 ∞ 6 1 5 ∞∞
1的值(即v3)取代1
v2
5
2
v3
5
3
v4
1 6 ∞5∞ 3 ∞
3
6
4
2
2 1 5∞5 6 4
3 5 6 5∞∞ 2
4 v5
6
5
v6
4 ∞ 3 6∞∞ 6
5 ∞∞4 2 6 ∞
0 123 4 5
0 ∞ 6 1 5 ∞∞ 1 6 ∞5∞ 3 ∞
0
v1
6
5
1
1
3
v2
5
5
v4
2
v3
3
6
4
2
2 1 5∞5 6 4
3 5 6 5∞∞ 2
4 v5
6
5
v6
4 ∞ 3 6∞∞ 6
5 ∞∞4 2 6 ∞
G.vexs: v1 v2 v3 v4 v5 v6
算法执行期间一维数组closedge的动0态1变化2 过3 程4：5
G.vexs: v1 v2 v3 v4 v5 v6
算法执行期间一维数组closedge的动0态1变化2 过3 程4：5
i
closedge
012345
U
V-U K
adjvex v1 v1 v1 v1 v1 v1
{v1}
2 {v2, v3,v4,v5,v6}
lowcost 0 6 0 5 ∞ ∞
一、最小生成树
G.vexs: v1 v2 v3 v4 v5 v6
算法执行期间一维数组closedge的动0态1变化2 过3 程4：5