圆教学设计

圆

目标认知

学习要点

1. 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．

2. 了解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．

3. 了解圆周角的概念，理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

重点

1. 垂径定理及其运用．

2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．

3. 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．

难点

1. 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

2. 探索定理和推论及其应用．

3. 运用数学分类思想证明圆周角的定理．

一、知识要点梳理

知识点一、圆的定义

1.定义1：

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一圈，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆(circle)，固定的端点O叫做圆心(center of a circle)，线段OA叫做半径(radius). 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

(1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

(2)圆是一条封闭曲线.

2.定义2：

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

要点诠释：

(1)定点为圆心，定长为半径；

(2)圆指的是圆周，而不是圆平面；

(3)强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球

面，一个闭合的曲面.

知识点二、与圆有关的概念

1.弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦(chord).

直径：经过圆心的弦叫做直径(diameter).

要点诠释：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

∴直径AB是⊙O中最长的弦.

2.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc).以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆(semi-circle).

优弧：大于半圆的弧叫做优弧.

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

要点诠释：

(1)半圆是弧，而弧不一定是半圆.

(2)无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

要点诠释：

等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视.

知识点三、圆的对称性

1.圆是轴对称图形

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.

2.圆是中心对称图形

圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能和自身重合，对称中心就是圆心，因此，圆又是中心对称图形.

要点诠释：

(1)圆有无数条对称轴；

(2)因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆

的对称轴是直径所在的直线”.

知识点四、垂直于弦的直径

1.垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

知识点五、弧、弦、圆心角的关系

1.圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角(central angle)．

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

要点诠释：

(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.

(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

知识点六、圆周角

1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

二、规律方法指导

圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题.另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，

综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章.

经典例题透析

类型一、圆及有关概念

1.判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)

(1)半圆是弧，但弧不一定是半圆；

(2)弦是直径；

(3)长度相等的两段弧是等弧；

(4)直径是圆中最长的弦.

思路点拨：(1)因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；(2)直

径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；(3)

只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；(4)直径是

圆中最长的弦，正确.

答案：(1)√(2)×(3)×(4)√.

举一反三

【变式1】下列说法错误的是( )