初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题27 数形结合[精品]

专题
27 数形结合
阅读与思考
数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度研究，也可以从“形”的角度探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系研究图形性质，或由图形的性质探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想. 数形结合有下列若干途径：
1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题；
3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题.
现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.
代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．
例题与求解
【例l 】设1342222+-+++=
x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）
解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=
x x y ＝
()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点
A （－1，1）和
B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.
【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角
形 ( )
A ．不存在
B ．至多1个
C ．有4个
D ．有2个
（黄冈市竞赛试题） 解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．
【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝0
90，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F . 求证：
BE
AE BF AE DF BD ⋅+
⋅=⋅1
11. （湖北省竞赛试题）
解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．
D
A
C
【例4】 当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52
有且只有相异的两实数根？ （四川省联赛试题） 解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52
-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．
【例5】 设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角
形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形． （江苏省竞赛试题）
解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为
a h a S +2，
b h b S +2，c
h c S
+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L c
S
c b S b a S a =+=+=+
222．则a ，b ，c 适合方程L x S x =+2.
【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++16
9
32532
2
22
2
2x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值． （俄罗斯中学生数学竞赛试题）
能力训练
1. 不查表可求得tan 0
15的值为__________.
2. 如图，点A ，C 都在函数x
y 3
3=
(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________. （全国初中数学联赛试题） 3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.
4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.
5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012
=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________. （太原市竞赛试题）
6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依 次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是( )
A . (13，13)
B ．(－13，－13) C.(14，14) D. (－14，一14)
y
x
D
B O
A
C
y
x
O
A 2
A 1A 3
A 4
A 6
A 5A 8
A 7
A 10
A 9
A 12
A 11
第2题图 第6题图
7．在△ABC 中，∠C ＝0
90，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝0
90，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果n
m
DB DE =，其中，m ，
n 是互质的正整数，那么n m += ( )
A. 25
B.128
C.153
D.243
E.256 （美国数学统一考试题） 8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且
c
b a b a b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是( ) A ．∠B ＞2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B ＜2∠A D ．不确定 9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ( ) A ．
a 1127 B ．a 1128 C ．a 1129 D ．a 11
30
10. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个
11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22
的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO . (1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如
果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由． （武汉市中考题）
12.已知正数a ，b ，c ，A ，B ，C 满足a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝k . 求证：a B 十b C ＋c A ＜2
k .
13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，求DE ． （美国数学邀请赛试题）
第13题图
B
14.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC //QN ，AM ＝MB ＝ 2cm ，QM ＝ 4cm .动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△
ABC 的边相切（切点在边上）．请写出t 可以取的一切值：_______________（单位：秒）．
第14题图
15. 如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝0
60． 求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．
（全国初中数学联赛试题）
16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，．求证：≤
S 4
1
． （长春市竞赛试题）
l
第16题图
D
B
C
A E
17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2). 在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标． （江苏省竞赛试题）
y x
第17题图
=2x O B
A。