正多边形和圆练习题及答案
2023年中考数学一轮专题练习 ——正多边形和圆(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——正多边形和圆一、单选题（本大题共8小题）1. （上海市2022年）有一个正n 边形旋转90后与自身重合，则n 为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．15 2. （湖南省邵阳市2022年）如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，若AB =3，则⊙O 的半径是（ ）A．32 B ．C D ．523. （四川省雅安市2022年）如图，已知⊙O 的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 为（ ）A ．3B ．32CD ．34. （四川省南充市2022年）如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE AF =B ．EAF CBF ∠=∠C ．F EAF ∠=∠D ．CE ∠=∠ 5. （四川省内江市2022年）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为（ ）A ．4，3πB ．πC ．43πD ．32π6. （四川省成都市2022年）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）AB ．C ．3D ．7. （广西玉林市2022年）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A 处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )A ．4B ．C ．2D ．08. （河南省2022年）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF 的中心与原点O 重合，AB x ∥轴，交y 轴于点P ．将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A 的坐标为（ ）A ．)1-B ．(1,-C ．()1-D ．( 二、填空题（本大题共5小题）9. （辽宁省营口市2022年）如图，在正六边形ABCDEF 中，连接,AC CF ，则ACF ∠= 度．10. （江苏省宿迁市2022年）如图，在正六边形ABCDEF 中，AB =6，点M 在边AF 上，且AM =2．若经过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长是 ．11. （吉林省长春市2022年）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC 和等边三角形DEF 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若27AB =厘米，则这个正六边形的周长为 厘米．12. （吉林省2022年）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角()0360αα︒<<︒后能够与它本身重合，则角α可以为 度．（写出一个即可）13. （黑龙江省绥化市2022年）如图，正六边形ABCDEF 和正五边形AHIJK 内接于O ，且有公共顶点A ，则BOH ∠的度数为 度．三、解答题（本大题共1小题）14. （浙江省金华市2022年）如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；②以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接,,AM MN NA ．(1)求ABC ∠的度数．(2)AMN 是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值．参考答案1. 【答案】C【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90一致或有倍数关系的则符合题意．【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90是30的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．2. 【答案】C【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠B =60°，∵AD 为直径，∴∠ACD =90°，∵∠D =∠B =60°，则∠DAC =30°，∴CD =12AD ， ∵AD 2=CD 2+AC 2，即AD 2=(12AD )2+32，∴AD∴OA =OB =12AD 故选：C ．3. 【答案】C【分析】 利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG ．【详解】∵圆O 的周长为6π，设圆的半径为R ，∴26R ππ=∴R =3连接OC 和OD ，则OC=OD=3∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠COD =360606︒=︒， ∴△OCD 是等边三角形，OG 垂直平分CD ， ∴OC =OD =CD ，1322CG CD ==∴OG =故选 C4. 【答案】C【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：∵多边形ABCDE 是正五边形，∴该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =， ∴5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ∵ABF 是正三角形，∴60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，∴1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∴EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；∵AB AE =，AB AF FB ==，∴AE AF =，故A 选项正确；∵60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，∴F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．5. 【答案】D【分析】连接OC 、OB ，证出BOC ∆是等边三角形，根据勾股定理求出OM ，再由弧长公式求出弧BC 的长即可．【详解】解：连接OC 、OB ，六边形ABCDEF 为正六边形，360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC =，BOC ∴∆为等边三角形，6BC OB ∴==，OM BC ⊥，132BM BC ∴==，OM ∴==BC 的长为6062180ππ⨯==． 故选：D ．6. 【答案】C【分析】连接OB ，OC ，由⊙O 的周长等于6π，可得⊙O 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．【详解】解：连接OB ，OC ，∵⊙O 的周长等于6π，∴⊙O 的半径为：3，∵∠BOC 61=⨯360°＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF 的边长为3，故选：C ．7. 【答案】B【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，∴67461122,20226337÷=⋅⋅⋅⋅⋅÷=，∴经过2022秒后，红跳棋落在点A 处，黑跳棋落在点E 处，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，如图所示：在正六边形ABCDEF 中，2,120AF EF AFE ==∠=︒， ∴1,302AG AE FAE FEA =∠=∠=︒， ∴112FG AF ==，∴AG =∴AE =故选B ．8. 【答案】B【分析】首先确定点A 的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A 的坐标即可．【详解】解：正六边形ABCDEF 边长为2，中心与原点O 重合，AB x ∥轴，∴AP ＝1， AO ＝2，∠OPA ＝90°，∴OP ＝∴A（1第1次旋转结束时，点A -1）；第2次旋转结束时，点A 的坐标为（-1，第3次旋转结束时，点A 的坐标为（1）；第4次旋转结束时，点A 的坐标为（1，∵将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A 的坐标为（-1，9. 【答案】30【分析】连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，先求出360606AOF ︒∠==︒，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．【详解】连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，在正六边形ABCDEF 中，360606AOF ︒∴∠==︒， OA OC =OAC OCA ∴∠=∠2AOF OAC ACF ACF ∠=∠+∠=∠30ACF =∴∠︒，故答案为：30．10. 【答案】【分析】如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ，由正六边形是轴对称图形可得：,ABCODEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOM DOH MOF CHO S S S S ,OM OH = 可得直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ， 由正六边形是轴对称图形可得：,ABCODEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOM DOH MOF CHO S S S S ,OM OH =∴直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心，由正六边形的性质可得：AOF 为等边三角形，60,AFO 而6,AB =6,3,ABAF OF OA AP FP 226333,OP2,AM 则1,MP22OM13327,MH OM247.故答案为：11. 【答案】54【分析】设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．【详解】设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，∵六边形MNGHPO是正六边形，∴∠GNM=∠NMO=120°，∴∠FNM=∠FNM=60°，∴△FMN是等边三角形，同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，∵等边△ABC≌等边△DEF，∴AB=DE，∵AB=27cm，∴DE=27cm，∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，故答案为：54．12. 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．【详解】 解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角3601606︒∠==︒， 0360α︒<<︒，∴角α可以为60︒或120︒或180︒或240︒或300︒，故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．13. 【答案】12【分析】连接AO ，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．【详解】连接AO ，如图，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB =360°÷6=60°，∵多边形AHIJK 是正五边形，∴∠AOH =360°÷5=72°，∴∠BOH =∠AOH -∠AOB =72°-60°=12°，故答案为：12．14. 【答案】(1)108︒(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得BC CD DE AE AB ====，则AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD ∠=︒-︒=︒，即可得出结论．(1)解：∵正五边形ABCDE ．∴BC CD DE AE AB ====， ∴360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ∵3AEC AE =，∴AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ∴1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； (2)解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,∵ON OF =，∴ON OF FN ==，∴OFN △是正三角形，∴60OFN ∠=︒，∴60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，∴60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，∴AMN 是正三角形；(3)∵AMN 是正三角形，∴2120A N A N M O =∠=︒∠．∵2AD AE =，∴272144AOD ∠=⨯︒=︒，∵DN AD AN =-，∴14412024NOD ∠=︒-︒=︒， ∴3601524n ==．。
部编数学九年级上册24.3正多边形和圆(7大题型)2023考点题型精讲(解析版)含答案
24.3 正多边形和圆正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．题型1：正多边形的相关概念1.下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为720°C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【答案】C【解析】【解答】解：正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；【变式1-1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】A.【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．故选A．【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．【变式1-2】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．故选B．正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是.注意：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形题型2：正多边形与圆有关的计算-角度2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）A．45°B．38°C．36°D．30°【答案】C【解析】【解答】解：连接OC、OB，如下图：根据正多边形的性质可得：∠BOC=360°5=72°根据圆周角定理可得：∠BAC=12∠BOC=36°故答案为：C【分析】连接OC、OB，根据正多边形的性质可得∠BOC=360°5=72°，再根据圆周角定理求解即可。
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。
人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案
人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案1.若正多边形的一个外角为72︒，则这个正多边形的中心角的度数是( )A.18︒B.36︒C.72︒D.108︒2.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,点M在AF上( )A.60︒B.45︒ C.30︒ D.15︒3.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为( )A.4B.5C.6D.74.如图，正五边形ABCDE内接于O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，⊥DG PC垂足为G，则∠PDG等于( )A.72°B.54°C.36°D.64°5.如图，正六边形ABCDEF内接于，正六边形的周长是12，则的半径是( )A.3B.2C.22D.236.如图是半径为4的O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是( )O OA.23B.3C.2D.37.如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为( )A.32 πB.332 πC.332 2π3D.33 π8.如图,正三角形ABC 和正六边形ADBECF 都内接于,O 连接,OC 则∠+∠=ACO ABE ( )A.90︒B.100︒C.110︒D.120︒9.如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则∠=CPD ________°.10.如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的周长等于6π，则正六边形的边长为______.11.早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为_________________.12.如图，圆内接正六边形ABCDEF的半径为2，则该正六边形的面积是_________________.13.有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的面积.（结果保留根号）14.如图，O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于O.（1）求圆心O 到AF 的距离.（2）求正六边形ABCDEF 的面积.参考答案及解析1.答案：C 解析：正多边形的一个外角为72︒∴正多边形的边数为360725︒÷︒=∴这个正多边形的中心角的度数是360572︒÷=︒故选：C.2.答案：C解析:连接OC ,OD多边形ABCDEF 是正六边形60∴∠=︒COD1302∴∠=∠=︒CMD COD故选:C.3.答案：C解析：内接正n 边形的边长与⊙O 的半径相等∴正n 边形的中心角为60︒360606︒÷︒=∴n 的值为6故选：C.4.答案：B解析：正五边形ABCDE 内接于O∠CPD 与所对的弧相同1362∴∠=∠=︒CPD COD故选：B.5.答案：B解析：如图，连结OA ，OBABCDEF 为正六边形1360606∴∠=︒⨯︒=AOB∴AOB △是等边三角形正六边形的周长是1211226∴=⨯=AB2∴===AO BO AB故选B.6.答案：A解析：如图，做⊥OM AB 于点M360725COD ︒∴∠==︒COD ∠180903654PDG ∠=︒-︒-︒=∴︒正六边形ABCDEF 外接半径为4的O4∴==OA OB 360606︒∠==︒AOB 1302∴∠=∠=∠=︒AOM BOM AOB122∴===AM BM OA2223∴=-=OM OA AM ∴圆心O 到边AB 的距离为23故选：A.7.答案：D解析：连接OB 、OC六边形ABCDEF 为正六边形360606︒∴∠==︒BOC 。
正多边形和圆(解析版)九年级数学-下册
27.4正多边形和圆姓名：_______班级_______学号：________题型1直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2023上·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程212200x x -+=的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题主要考查了三角形内切圆，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为6、8、10，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出OD 的长即可得到答案．【详解】解：212200x x -+=，()()2100x x --=，10x ∴=或2，当2x =时，268+=，不能组成三角形，不符合题意；10x ∴=，当第三边为10时，2226810+= ，此三角形是直角三角形，如图所示，在Rt ABC △中，点O 是Rt ABC △的内接圆，分别与,,AB BC AC 相切于D 、E 、F ，,,OD OE OF OD AB OE ∴==⊥ABC ABO ACO BCO S S S S ∴=++ 111222AB BC AB OD BC ∴⋅=⋅+1683452OD OE OF ∴⨯⨯=++2OD ∴=，∴圆O 的半径为2，【答案】()5,1()8093,1【分析】作PD OA ⊥交OA 于D ，PF OB ⊥交OB PB ，由A 、B 的坐标得出4OA =，3OB =，由勾股定理可得点A的坐标为()3,0，0,4，点B的坐标为()OA=，∴=，43OB2222∴=+=+=，AB OA OB435点P是Rt OAB内切圆的圆心，PD OA⊥⊥，PF OB【答案】3cm【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出1()2CD CF AC BC AB ==+-是解题关键．设易证得四边形OFCD 是正方形；那么根据切线长定理可得：在Rt ABC △，90C ∠=︒，9cm BC =根据勾股定理2215(cm)AB AC BC =+=四边形OECF 中，OD OF =，ODC ∠∴四边形OFCD 是正方形，题型2圆外切四边形模型5．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆．若70AOB ∠=︒，则COD ∠=（）A ．110︒B ．125︒C ．140︒D ．145︒【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵O 是四边形ABCD 的内切圆，∴OAB OAD ∠=∠，ODA ODC ∠=∠，OCD OCB ∠=∠，OBC OBA ∠=∠，∵360OAB OAD ODA ODC OCD OCB OBC OBA ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴180OAB OBA ODC OCD OAD ODA OCB OBC ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，∵70AOB ∠=︒，180OAB OBA AOB ∠+∠+∠=︒，180ODC OCD DOC ∠+∠+∠=︒，∴18070110COD ∠=︒-︒=︒，故选：A ；【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到180OAB OBA ODC OCD ∠+∠+∠+∠=︒．6．（2021·九年级课时练习）下面图形中，一定有内切圆的是（）A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．平行四边形【答案】C【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案．【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角，所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆，选项中只有菱形，对角线平分对角．故选C【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键．7．（2019上·浙江温州·九年级校考期末）如图，正方形EBFI ，正方形MFCG 和正方形HLGD 都在正方形ABCD 内，且=BF HD ．O 分别与AE ，EI ，HL ，AH 相切，点M 恰好落在【答案】1682-【分析】连接AC ，由题意可知【详解】解：如图所示，连接∵正方形EBFI ，正方形MFCG ∴45ACD MCD DAC ∠=∠=∠=∵O 分别与AE ，EI ，HL ，∴四边形AQOP 是正方形，∴AC 过点O ，M ，四边形ABCD 为正方形，题型3三角形内心有关应用9．（2023上·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆A ．12B ．【答案】B 【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，【详解】解：过O 点作OD ∵O 是正ABC 的内切圆，A．100︒B．【答案】D【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出1【答案】52-/2-+【分析】在AB 的下方作等腰直角三角形过点K 作KT DB ⊥交DB ∵点P 是ACB △的内心，∠∴12PAB CAB ∠=∠，PBA ∠=∴(12PAB PBA CAB ∠+∠=∠∴18045135APB ∠=︒-︒=︒，∴点P 在以K 为圆心，KA 为半径的圆上运动，∵2AB =，AK BK =，AKB ∠设这个三角形内切圆的半径为r ，则11145222S ar br cr =++=，即()1452r a b c ++=，∵三角形的三边a ，b ，c 分别为7，6，∴()1763452r ++=，则：DAC DBC ∠=∠，∵I 是ABC 内心，∴,ABD DBC CAI ∠=∠∠=∴DAC DBA ∠=∠，∴DAC CAI DBA ∠+∠=∠+则：222CH AC AH =-=即：(222141315x -=--解得：425x =，∴22CH AC AH =-=设AD x =，则2BD =-由勾股定理得：2CD AC =222243(2)x x ∴-=--．解得： 2.75x =．【答案】4【分析】首先利用勾股定理求出斜边切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．【详解】如图，连接OD 、在Rt ABC △中，AC AB =设内切圆半径为r ，AB 、BC ∴OD AB ⊥，OE BC ⊥，∵AB BC ⊥，OD OE =，∴四边形ODBE 为正方形，∴OD OE BD BE r ====，由切线长定理得，8AF AD r ==-，6CE CF r ==-，MD MP =，NE NP =，∴8610AC AF CF r r =+=-+-=，解得2r =，则的周长为BM BN MN++BM BN MP NP=+++BM BN MD NE=+++BD BE=+2BD=2r=4=．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形ODBE 为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．题型5三角形内切圆与外接圆综合18．（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知O 是ABC 的内心，70BAC ∠=︒，P 为平面上一点，点O 恰好又是BCP 的外心，则BPC ∠的度数为（）A ．50︒B ．55︒C ．62.5︒D ．65︒【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得OB OC 、分别是ABC ACB ∠∠、的角平分线，进而求出BOC ∠的大小，再利用三角形外心的性质得出BPC ∠等于BOC ∠的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．∵O是ABC的内心，，∴12OBC ABC ∠=∠，∴12 OBC OCB∠+∠=∠【答案】65︒/65度【分析】本题考查三角形的内心和外心、角平分线的定义、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接OB、OC，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得BOC∠，再根据圆周角定理得到∵80BAC ∠=︒，∴180ABC ACB ∠+∠=︒-∵O 是ABC 的内心，∴12OBC ABC ∠=∠，OCB ∠【答案】58【分析】作AD BC ⊥于点D ，作PF 且AD 垂直平分BC ，及BD CD ==得BQ 、PF 和DQ ，由PCF ≌ R R t 答案．则90ADB ADC ∠=∠=︒，∵5AB AC ==，∴AD 平分BAC ∠，且AD 垂直平分∵6BC =，∴1=32BD CD BC ==，【答案】40︒/40度【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出COB ∠的度数和OGE ∠【详解】解：连接,OD OE【答案】5【分析】连接OA 、OB 、OC 、33BE BD OE ===，进而得出【详解】解：如图，连接OA 、OB ∵ABC 的内切圆半径3r =，30ABO CBO ∴∠=∠=︒，33BE BD OE ∴===，8BC = ，A．72°【答案】A【分析】根据正n边形的中心角的度数为【答案】2【分析】本题考查圆内接正多边形的性质、形的中心角36060AOB︒∠==︒，进而证明由题意，360 AOB∠=∴AOB为等边三角形，【答案】72︒/72度【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得解．【详解】∵五边形ABCDE1【答案】72︒/72【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．【详解】解：如图，连接∵五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，∴3605AOB BOC ︒∠=∠=∴7272144AOC ∠=︒+︒=∴1722AFC AOC ∠=∠=A．4B【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形，运用垂径定理求出60BOC ∠=︒，OB OC =∴BOC 是等边三角形，∴6OB BC ==，OM BC ⊥，1A ．2B ．确定，所以CMP S △的值不确定【答案】A【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积，根据正六边形的性质，得出1S S =则2MN OM =，∵12COD S CD OM = ，PCM S ∴COD PCM S S = ，∵16COD ABCDEF S S = 正六边形，34．（2023上·浙江温州记ACE △的周长为1C ，正六边形为【答案】32【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含长为a ，利用含30︒角的直角三角形的性质求出【详解】解：设正六边形的边长为∵六边形ABCDEF 是∴DC DE a ==，CDE ∠∴60,EDH DEH ∠=︒∠∴12DH a =，(1)在方格纸中画出以AC为对角线的正方形小正方形的顶点上；∠为顶角的等腰三角形(2)在方格纸中画出以GFE格点上，连接AG，并直接写出线段【答案】(1)见详解；∠为顶角的等腰三角形（2）解：以GFE22AG=+=．5334【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．36．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知的内接正方形ABCD法，作出O【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙【详解】解：如图，正方形ABCD的直径，∵BD垂直平分AC，AC为O的直径，∴BD为O∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，的内接正方形．∴四边形ABCD是O【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．37．（2020下·山东青岛·九年级统考学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．38．（2022上·江西景德镇·九年级统考期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：(1)在图1中，画出CD的中点G；(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．39．（2023上·江苏盐城【答案】（1）3；（2）21316AN≤≤；（3）9373222r-≤≤【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果；（2）当MNA'的外接圆与线段DC相交，且点N与D重合时，此时AN外接圆与线段DC相切时，此时AN最小，利用勾股定理构建方程求解即可；由折叠的性质得：A D AD'=，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相交，且点N 与D 重合时，此时AN 最大，即3AN =，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相切时，设半径为r ，则3,OF r AO r =-=，则1924AF AM ==，∴()222934r r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，当N 与D 重合时r 最大，3,6,6A F r MF r MA ''∴=-=-=，Rt FA M ' 中，()()222366r r -+-=，1r =9372+（舍），29372r -=，故答案为：93732r -≤≤．。
24.3正多边形和圆-人教版九年级数学上册练习
人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆一.选择题（共6小题）1.如图，正六边形ABCDEF 内接于。
0, 连接BD.则ZCDB 的度数是（）3.下列判断中正确的是（）A.矩形的对角线互相垂直B.正八边形的每个内角都是145°C.三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 4.正六边形的周长为6,则它的外接圆半径为（）5.若一个正六边形的半径为2,则它的边心距等于（）6.有一边长为2去的正三角形，则它的外接圆的而积为（二.填空题（共6小题）7. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么匕1=60° C. 45° D. 30°2.若一个圆内接正多边形的中心角是36’ ,则这个多边形是（A.正五边形B.正八边形C.正十边形D. 正十八边形A. 1B. 2C. 3D.A. 2B. 1c. VsD.2^3C. 4nD. 12n8.如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则ZABC的度数为9.我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为.10.如果一个正〃边形的每个内角为108° ,那么这个正〃边形的边数为.11.正六边形的中心角为:当它的半径为1时，边心距为.12.已知。
过正方形ABCD顶点A、B,且与CO相切，若正方形边长为2,则圆的半径13.有一正六边形ABCDEF的内切圆半径为R,求R与这个正六边形ABCDEF的外接圆半径之比.14.如图，已知正六边形ABCDEF内接于。
，且边长为4.(1)求该正六边形的半径、边心距和中心角;(2)求该正六边形的外接圆的周长和面积.15.如图所示，在正五边形ABCDE中，A/是CD的中点，连接AC, BE, AM.求证：(1)AC=BE；(2)AMLCD.人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆参考答案一. 选择题（共6小题）1.如图，正六边形ABCDEF 内接于。
人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心 圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距。
2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ） 中心（O ） 中心角（∠AOB ） 半径（R ）） 边心距（r ） 如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆 关系定义圆心 实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。
在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。
人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆(含答案)
24.3 正多边形和圆知识点1 .相等,也相等的多边形叫做正多边形 .2 .把一个圆分成几等份,连接各点所得到的多边形是 ,它的中央角等于3 .一个正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中央,外接圆的叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中央角,中央到正 多边形的一边的 叫做正多边形的边心距. 4 .正n 边形的半径为 R,边心距为r,边长为a, (1)中央角的度数为：. (2)每个内角的度数为：. (3)每个外角的度数为： . (4)周长为： ,面积为： .5 .正n 边形都是轴对称图形,当边数为偶数时,它的对称轴有 条,并且还是中央对 称图形；当边数为奇数时,它只是.(填“轴对称图形〞或“中央对称图形〞) 一、选择题1 .以下说法正确的选项是 A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角相等的圆内接多边形是正多边形 6,那么其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()2. (2021以津)正六边形的边心距与边长之比为3.(2021山东滨州 )假设正方形的边长为A. 6, 3亚B. 3行,3C. 6, 3D. 6• 3匹4 .如下图,正六边形ABCDEF内接于.O, 那么/ADB的度数是( ).A. 60°B. 45C. 30D. 22. 55 .半径相等的圆的内接正三角形,正方形,正六边形的边长的比为〔〕A.1： .2 : 3B. 3: 2:1C.3:2:1D.1:2:36 .圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,那么/APB的度数是〔〕.A. 36°B, 60° C. 72° D, 108°7 . 〔2021?自贡〕如图,点O是正六边形的对称中央,如果用一副三角板的角,借助点0〔使该角的顶点落在点O处〕,把这个正六边形的面积n等分,那么n的所有可能取值的个数是〔〕A.4B.5C.6D. 78 .如图,△ PQ幅..的内接正三角形,四边形ABC皿OO的内接正方形,BC// QR那么/A0Q的度数是〔〕A.60 °B.65 °C.72 °D.75、填空题9 .一个正n边形的边长为a,面积为S,那么它的边心距为.10 .正多边形的一个中央角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于度.11 .假设正六边形的面积是24j3cm2,那么这个正六边形的边长是.12 .正六边形的边心距为B那么它的周长是.13 .点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点,且AM=BN,点O是正八边形的中央,那么/ MON=.14 .边长为a的正三角形的边心距、半径〔外接圆的半径〕和高之比为15 .要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片,那么选用的圆形铁片的直径最小要_________ cm.16 .假设正多边形的边心距与边长的比为1:2,那么这个正多边形的边数是17 .一个正三角形和一个正六边形的周长相等,那么它们的面积比为18 .〔2021超州〕如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20cm2,那么正八边形的面积为_______ cm2.三、解做题19 .比拟正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点正五边形正六边形例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等^它们的一个不同点：正五边形不是中央对称图形,正六边形是中央对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点：〔1〕_________________________________________________________________ （2）. 不同点：〔1〕_________________________________________________________________________(2) ___________________________________________________________________21 .如图,O O 的半径为 短,..的内接一个正多边形,边心距为 1,求它的中央角、边长、面积.22 ..O 和.O 上的一点 A.(1)作.O 的内接正方形 ABCDF 口内接正六边形 AEFCGH(2)在(1)题的作图中,如果点 E 在弧AD 上,求证：DE 是..内接正十二边形的一边.20.,如图,正六边形 距「6、面积S 6.ABCDEF 的边长为6cm,求这个正六边形的外接圆半径R 、边心第21题第22题23 .如图1、图2、图3、…、图n, M N分别是.0的内接正三角形ABC正方形ABCD正五边形ABCDE…、正n边形ABCDE•的边AR BC上的点,且BM=CN连结OM ON.圉1 图2 囹斗3图式(1)求图1中/ MON勺度数；(2)图2中/ MON勺度数是 ,图3中/ MON勺度数是(3)试探究/ MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).知识点 1 .各边各角2 .正多边形正多边形每一边所对的圆心角3 .圆心半径圆心角 距离 5.n 轴对称图形 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B解：根据圆内接正多边形的性质可知, 只要把此正六边形再化为正多边形即可,以30的倍数就可以解决问题. 360+30=12; 360+60=6; 360+90=4; 360+120=3; 360+180=2.因此n 的所有可能的值共五种情况, 应选B. 8.D 二、填空题9. 2S 10.144 11.4cm 12.12 13.45° 14.1:2:3 15.4 v2 16.na18.40 三、解做题19.相同点：〔1〕每个内角都相等〔或每个外角都相等或对角线都相等〕；〔2〕都是轴对称图形〔或都有外接圆和内切圆〕^不同点：〔1〕正五边形的每个内角是 108° ,正六边形的每个内角是120°〔2〕正五边形的对称轴是 5条,正六边形的对称轴是 6条.参考答案4.360(2)(『2)|18°n360 nar⑷皿⑸方即让周角除四 17.2:3解：连接OA,OB.过点O作OG AB于G.** AOB =60 , OA OB* AOB是等边三角形OA OB 6 即R=6O OA OB ,OG AB1 1AG -AB -63 2 2在Rt AOG 中,r6 OG JOA 2~AG 2相~3T3 点S6 1- 6 6 3 /3 54 . 3R 6 cm,「6 3 .. 3cm , S6 54 .3 cm 2.21.解：连结OB•・在•△AOC^, AC=J OA2 OC2^/T7=1AC=OC / AOCh OAC=45• .OA=OB OCL AB• .AB=2AC=2 /AOB=2 OAC=2< 45° =90°,这个内接正多边形是正方形「•面积为22=4••・中央角为90.,边长为2,面积为4.22. (1)作法：①作直径AC;②作直径BDL AC;③依次连结A、B、C D四点,四边形ABCD^为.0的内接正方形；于E、H、F、G;④分别以A、C为圆心,以OA长为半径作弧,交.0⑤顺次连结A、E、F、C G H各点.六边形AEFCG即为.0的内接正六边形(2)证实：连结OE DE.•. /AOD= 360- = 90° , /AOE= 360-= 60° ,・ ./DOB Z AOD- /AO2 90° -60 ° =30・•・DE为.0的内接正十二边形的一边 .23. (1)方法一：连结OB OC.・•・正4ABC内接于.O,・・./OBM =OCN= 30° , ZBOC=120 .X / BM=CN OB=OC・.△OB阵AOCN( SAS . ・./ BOM= /CON.・./ MON=BOC=120 .方法二：连结OA OB. ・•・正^ABC内接于.O, .•.AB=AC /OAM =OBN=30 , ZAOB=120 .又「BM= CN.•.AM=BN.X/OA=OB,・.△AO阵△BON SAS . ・./AOM = BON.・./MON =AOB=120 .(2)90 ° 72 °(3) / MON=360-.。
九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析
九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：________________一、填空题1．已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为_______，面积为_______．2．正十二边形的中心角是_____度．二、解答题3．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图①，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A'、D的位置时，你能求出①A'、①D、①1与①2之间的数量关系吗？并说明理由．4．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2，正五边形ABCDE 内接于①O ，AB ＝2，求对角线BD 的长．5．如图，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝4．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若反比例函数的图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．6．如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ．（1）求证：AC ①ED ；（2）求证：ME ＝AE ．7．如图1，正五边形ABCDE 内接于①O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；①以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与①O 交于点M ，N ；①连接,,AM MN NA ．(1)求ABC∠的度数．(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在①O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．8．如图，ABC是等边三角形，点D、E、G分别在边AB、AC、BC上，且AD CE BG==，BE、CD、AG分别相交于点F、P、Q．求证：①PQF是等边三角形．9．如图，在圆内接正三角形ABC中,若①DOE保持120°角度不变，求证：当①DOE绕着O点旋转时，由两条半径和①ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是①ABC的面积的13．10．已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．三、单选题11．如图，已知①O 的半径为1，AB 是直径，分别以点A 、B 为圆心，以AB 的长为半径画弧．两弧相交于C 、D 两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．52π-B ．56πC ．53πD ．83π-12．对于等边三角形的性质，下列说法不正确的是（ ）A ．等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等；B ．等边三角形的边都等于60，角都等于60°；C ．等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点；D ．等边三角形具有等腰三角形的所有性质；132，则这个多边形的内角和为（ ）A ．720︒B ．360︒C ．240︒D ．180︒14．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A．6B．8C．10D．1215．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分①CHEC．整个图形不是中心对称图形D．CEH△是等边三角形参考答案及解析：1．1)a22)a【分析】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可；利用正八边形的面积等于正方形的面积减去剪掉的四个等腰直角三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，∴正方形边长为a，如图所示，设正八边形的边长为x，在Rt AEL 中，LE x =,AE AL x ==，2x x a ∴+=，解得：1)x a =，即正八边形的边长为1)a ．2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=正方形正八边形．故答案是：1)a ，22)a ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程．2．30 【分析】根据正多边形的中心角公式：360n计算即可 【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12＝30°．故答案为30．【点睛】本题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式3．（1）2①A ＝①1+①2；见解析；（2）2①A ＝①1﹣①2；见解析；（3）2（①A +①D ）＝①1+①2+360°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，①3=EDA '∠=12（180-①1），①4=DEA '∠=12（180-①2），①①A +①3+①4=180°，①①A +12（180-①1）+12（180-①2）=180°，整理得，2①A =①1+①2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180+①2），①①A+①3+①4=180°，①①A+12（180-①1）+12（180+①2）=180°，整理得，2①A=①1-①2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180-①2），①①A+①D+①3+①4=360°，①①A+①D+12（180-①1）+12（180-①2）=360°，整理得，2（①A+①D）=①1+①2+360°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．4．（1）AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅；（2）1【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接,AD AC ，根据圆周角与弦的关系可得AD AC BD ==，设BD x =，在四边形ABCD 中，根据托勒密定理有，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，建立方程即可求得BD 的长【详解】（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接,AD AC ，五边形ABCDE 是正五边形，则E ABC BCD ∠=∠=∠,2AB BC CD ===AD AC BD ∴==设BD x =，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅即2222x x =⨯+解得1211x x ==1BD ∴=+【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键．5．(1)点A在该反比例函数的图象上，理由见解析(2)3+【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝4，G是CD的中点，所以P（4，；（2）易求D（6，0），E（8，，待定系数法求出DE的解析式为y﹣次函数即可求点Q．（1）解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P作x轴垂线PG，连接BP，①P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，①BP＝4，G是CD的中点，①sin604PG BO BC==⋅︒==①P（4，，①P在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上，①k＝①反比例函数解析式为y由正六边形的性质可知，A（2，，①点A在反比例函数图象上；（2）解：由（1）得D （6，0），E （8，，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，①608m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①y﹣由方程y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x＝3，①Q点横坐标为3+．．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒，由①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，得到①EAC ＝1144722⨯︒=︒，同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，则 ①EAC +①AED ＝180°，即可证明ED∥AC ；（2）由①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，得到①AEB =36°，则①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，可推出①EAM ＝①EMA ＝72°，即可证明 EA ＝EM ．【详解】解：①正多边形必有外接圆，①作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒， ① ①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，① ①EAC ＝1144722⨯︒=︒， 同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，① ①EAC +①AED ＝180°，① ED∥AC ；（2）①①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，①①AEB =36°，①①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，① ①EAM ＝①EMA ＝72°，① EA ＝EM ．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．7．(1)108︒(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得BC CD DE AE AB ====，则AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD ∠=︒-︒=︒，即可得出结论．（1）解：①正五边形ABCDE ．①BC CD DE AE AB ====， ①360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ①3AEC AE =，①AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ①1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； （2）解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,①ON OF =，①ON OF FN ==，①OFN △是正三角形，①60OFN ∠=︒，①60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，①60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，①AMN 是正三角形；（3）①AMN 是正三角形，①2120A N A N M O =∠=︒∠．①2AD AE =，①272144AOD ∠=⨯︒=︒，①DN AD AN =-，①14412024NOD∠=︒-︒=︒，①3601524n==．【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．8．见解析【分析】先根据“SAS”证明△ACD①△CBE，得到①ACD=①CBE，结合三角形外角的性质可证①BFD=①60°，进而可证△PQF是等边三角形．【详解】证明：①△ABC是等边三角形，①①A=①BCE=60°，AC=CB，又①AD=CE，①△ACD①△CBE（SAS）；①①ACD=①CBE，①①ACB=①ACD+①BCF=60°，①①BFD=①CBE+①BCF=①ACD+①BCF =60°，同理可得，①APE=60°，①△PQF是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，综合运用各知识点是解答本题的关键．9．见解析【分析】连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得：①OAB①①OBC①①OCA．则①1＝①2，再证明①OAG①①OCF，即可求解．【详解】如图：连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得①OAB①①OBC①①OCA．①①1＝①2．设OD 交BC 于F ，OE 交AC 于G ，则①AOC ＝①3+①4＝120°，①DOE ＝①5+①4＝120°，① ①3＝①5．∴在①OAG 和①OCF 中2135OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，① ①OAG ①①OCF ．① ΔAOC ΔABC 13OFCG S S S ==四边形． 【点睛】本题考查了正多形和圆的性质，全等三角形的判定和性质，将阴影部分的面积转化为固定的三角形面积是解题关键．10．(1)2(3)-【分析】（1）根据题意可得GE DC ∥，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得AG AD AE AC ==根据旋转的性质可得DAG CAE ∠=∠，进而证明GAD EAC ∽，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明①ADG ①①ACE ，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．（1） 解：正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ，点G 在AD 上，F 在AB 上，GE DC ∴∥AG AE DG EC ∴= EC AE DG AG∴= 四边形AFEG 是正方形 ∴AE =∴2DG AGE === （2）解：如图，连接AE ，正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，DAG CAE ∴∠=∠AG AD AE AC ==GAD EAC ∴∽∴AC CE DG AD= （3） 解：①如图，AB =AG AD =，AD AB ∴==8AG ==,16AC ==， ,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC ==8CE GC GE ∴=-=，由（2）可知GAD EAC ∽，∴CE AC DG DA==()816DA CE DG AC ⋅∴==4==． ①如图：由（2）知△ADG ①①ACE ，①DG AD CE AC ==，①DG ， ①四边形ABCD 是正方形，①AD =BC ，AC 16，①AG ，①AG =8， ①四边形AFEG 是正方形，①①AGE =90°，GE =AG =8，①C ，G ，E 三点共线．①①AGC =90°①CG①CE =CG +EG，①DG =综上，当C ，G ，E 三点共线时，DG 的长度为-【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．11．A【分析】连接AC 、BC ，如图，先判断△ACB 为等边三角形，则①BAC ＝60°，由于S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，所以图中阴影部分的面积＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O ，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【详解】解：连接BC ，如图，由作法可知AC ＝BC ＝AB ＝2，①①ACB 为等边三角形，①①BAC ＝60°，①S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，①S 阴＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O＝4（S 扇形BAC ﹣S △ABC ）+2S △ABC ﹣S ⊙O＝4S 扇形BAC ﹣2S △ABC ﹣S ⊙O＝42602360π⨯⨯-222﹣π×12 53=π﹣ 故选：A ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．12．B【分析】根据等边三角形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ． 等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等，故该选项正确，不符合题意；B ． 等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等，不一定等于60，故该选项不正确，符合题意；C ． 等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点，故该选项正确，不符合题意；D ． 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．13．A【分析】设AB 是正多边形的一边，OC①AB ，在直角①AOC 中，利用三角函数求得①AOC 的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：①2，①2，设AB 是正多边形的一边，OC①AB ， 2OC OA OB k ===，，在直角①AOC 中，OC cos AOC AO ∠== ①①AOC=30°，①①AOB=60°， 则正多边形边数是：360660︒︒=， ①多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．14．D【分析】连接,,AC OD OF ，先根据圆内接正多边形的性质可得点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，从而可得1145,3022CAD BAD CAF EAF ∠=∠=︒∠=∠=︒，再根据角的和差可得15DAF ∠=︒，然后根据圆周角定理可得230DOF DAF ∠=∠=︒，最后根据正多边形的性质即可得．【详解】解：如图，连接,,AC OD OF ，四边形ABCD 为O 的内接正四边形，AEF 为O 的内接正三角形，∴点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，90,60BAD EAF ∠=︒∠=︒，1145,3022CAD BAD CAF EAF ∴∠=∠=︒∠=∠=︒， 15DAF CAD CAF ∴∠=∠-∠=︒，230DOF DAF ∴∠=∠=︒， DF 恰好是圆O 的一个内接正n 边形的一边，3603601230n DOF ︒︒∴===∠︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．15．D【分析】根据正八边形和圆的性质进行解答即可．【详解】解：A ．① 根据正八边形的性质， 四边形ABCH 与四边形EFGH 能够完全重合，即四边形ABCH 与四边形EFGH 全等①四边形ABCH 与四边形EFGH 的周长相等，故选项正确，不符合题意；B ．连接DH ，如图1，① 正八边形是轴对称图形，直线HD 是对称轴，① HD 平分①CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．①八边形ABCDEFGH是正八边形，① B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，①DOE＝360=45 8︒︒①OE＝OH①①OEH＝①OHE＝12①DOE＝22.5°①①CHE＝2①OHE＝45°①①HCE＝①HEC＝12（180°－①CHE）＝67.5°①CEH△不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．。
2020-2021学年苏科版数学中考复习专题练习—正多边形与圆及圆中有关计算(含答案)
正多边形与圆及圆中有关计算一、学习目标1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，并会进行有关计算；2．会用弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式计算有关问题；3．体会方程思想和转化思想．二、题型训练题型一、正多边形与圆【例题1】如图，等边△ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．22∶3B．2∶3C．23∶2D．3∶2【例题2】如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【例题3】如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM·BE.【题小结】转化思想，正多边形转化为等腰三角形或直角三角形、三角形面积的转化、相等的线段之间的转化．借题发挥：1.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD2.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝cm．借题发挥1借题发挥2ab借题发挥3例题3例题1例题23.如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若∠ADB ＝18°，则这个正多边形的边数为 ． 题型二、圆中与弧长、面积有关的计算 【例题4】如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，⌒FA 1,⌒A 1B 1，⌒B 1C 1，⌒C 1D 1,⌒D 1E 1，⌒E 1F 1，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．【例题5】在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分面积为（ ）A ．π4B ．π－32C ．π－34D ．3π2【题小结】弄清旋转的本质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．借题发挥：1．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 为⌒AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE 为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π 2．若一个扇形的圆心角为60°，面积为π6cm 2，则这个扇形的弧长为 cm （结果保留π）． 3.如图，AB 是⊙O 的弦，C 是⊙O 外一点，OC ⊥OA ，CO 交AB 于点P ，交⊙O 于点D ，且CP ＝CB ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠A ＝30°，OP ＝1，求图中阴影部分的面积．题型三、与圆锥有关的计算【例题6】已知圆锥的底面半径为1cm ，高为3cm ，则它的侧面展开图的面积为＝ cm 2．【例题7】已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．【题小结】转化及方程思想：立体图形与平面图形的相互转化，由圆锥有关的公式列出方程解决问题. 借题发挥： 例题4 借题发挥1 例题5 借题发挥3A B C'C B'。
24.3正多边形和圆+同步练习+2024-2025学年人教版数学九年级上册
24.3正多边形和圆同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册一、单选题1．正十边形的每一个外角的度数都等于（）A．135°B．45°C．36°D．144°2．如图，已知A，B、C，D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，⊙BCD=110°，则⊙AEB的度数为()A．70°B．35°C．40°D．20°3．如图，连接正五边形的两条对角线，得到的图形（）A．既是轴对称图形也是中心对称图形B．是轴对称图形不是中心对称图形C．是中心对称图形但不是轴对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形4．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2⊙O的半径为（）A．2B6C．2D．265．用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形6．下列命题是假命题的是（）A．三角形两边的和大于第三边B．正六边形的每个中心角都等于60°C．半径为R的圆内接正方形的边长等于2RD．只有正方形的外角和等于360°7．正多边形的一个外角等于40°．则这个多边形的边数为（）A．6B．9C．10D．128．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，若⊙B＝70°，则⊙CAD的度数为（）A．70°B．55°C．35°D．20°9．下列说法正确的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形10．已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且MN BC．在点M从E移向D（与D不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（）A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小二、填空题11．如图，正五边形ABCDE中，将半径OA绕点O逆时针旋转90︒得OF，连接OC，OF，CF，则∠的度数为．F12．半径为6 cm的圆内接正四边形的边长是cm.13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2．14．如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点．15．⊙ ABC中，⊙ ACB=120°，AC=BC=3，点D为平面内一点，满足⊙ ADB=60°，若CD的长度为整数，则所有满足题意的CD的长度的可能值为．三、解答题16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙BOD=88°，求⊙BCD的度数.17．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．（1）若⊙E+⊙F=α，求⊙A 的度数（用含α的式子表示）；（2）若⊙E+⊙F=60°，求⊙A 的度数．18．已知直线l 与⊙O 相切于点C ，AB 是⊙O 的直径，AD⊙l 于点D ．（1）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若⊙DAC=30°，求⊙BAC 的大小； （2）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若⊙DAE=18°，求⊙BAF 的大小． 19．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？20．如图所示，四边形ABCD 内接于O AC ，为O 的直径，ADB CDB ∠=∠.（1）试判断ABC 的形状，并给出证明.（2）若21AB AD =，，求CD 的长度.21．如图，在正六边形ABCDEF 中，AB=2，P 是ED 的中点，连结AP ．求AP 的长．22．如图，已知三角形ΔABC 中，AB=AC ，D 是ΔABC 的外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ，C 重合），延长BD至E。
27.6 正多边形与圆(作业)(解析版)
27.6 正多边形与圆（作业）一、单选题1．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据题意可以求出这个正n 边形的中心角是60°，即可求出边数.【详解】⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则这个正n 边形的中心角是60°，360606¸°=on 的值为6，故选C【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.2．（2020·上海）如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（ ）A ．sin 36a°B ．cos36a°C ．2sin18a°D ．2cos18a°【答案】C【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM 中，直接利用三角函数即可得到OA.【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=12a ；∴OA=AM sin OAM Ð=218a sin °故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键.3．（2020·上海九年级二模）如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【答案】B【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．【详解】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．4．（2019·上海市嘉定区丰庄中学九年级二模）（ ）D．A．2B．4C．【答案】A【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．【详解】如图，AOG＝30°，在Rt△AOG中，OG÷2；∴OA＝OG÷cos 30°故选A．【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算．5．（2020·上海九年级专题练习）正六边形的半径与边心距之比为（ ）B1C2D．2A．1【答案】D【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径...正多边形的边心距就是其内切圆的半径.【详解】∵正六边形的半径为R，∴边心距r，2D．∴R：r＝1【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.6．（2019·上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模）下列四个命题中，错误的是（）A．所有的正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．所有的正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．所有的正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．所有的正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补【答案】B【分析】利用正多边形的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．【详解】A 、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项不符合题意；B 、正奇数多边形不是中心对称图形，错误，故此选项符合题意；C 、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故此选项不符合题意；D 、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故此选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．7．（2019·上海市西南模范中学九年级二模）若一个正九边形的边长为a ，则这个正九边形的半径是( )A ．cos 20a°B ．sin 20a°C ．2cos 20a°D ．2sin 20a°【答案】D【分析】先根据题意画出图形，经过圆心O 作圆的内接正n 边形的一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．接OA ，则在直角△OAC 中，∠AOB=3609°．OC 是边心距，OA 即半径．根据三角函数即可求解．【详解】解答：如图所示，过O 作OC ⊥AB 于C ，则OC 即为正九边形的边心距，连接OA ，∵此多边形是正九边形，∴∠AOB=3609°=40°，OA=OB ，∴∠AOC=12∠AOB=12×40°=20°，∵AB=a ，∴AC=12a ，∴OA=sin AOCAC Ð=2sin20a °=2sin20a°．故选D ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，关键是构造直角三角形，利用圆内接正多边形的性质及直角三角形中三角函数的定义解答．8．（2020·上海九年级一模）如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．pB ．p -C ．2pD ．2p -【答案】D 【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，∴△ABC 的面积为12BC•AD=122´，S扇形BAC =2602360p´=23p，∴莱洛三角形的面积S=3×23p﹣﹣，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．二、填空题9．（2019·上海交大附中九年级）如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．【答案】4p【分析】假设圆心为O，正五边形的内切圆与AB的切点为F，连接OA、OF，设OA=R，OF=r，则根据切线定理、勾股定理及圆环的面积公式可直接求解．【详解】连接OA、OF，设OA=R，OF=r；Q AB与⊙O相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1，\90AFOÐ=°，AF=1122AB=\在Rt AFO △中，222AF AO FO =-即2221124R r æö=-=ç÷èø又Q ()22=S R r p -圆环，\1=4S p 圆环．故答案为4p ．【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键．10．（2020·上海大学附属学校九年级三模）正五边形绕着它的中心至少旋转_______度，能与它本身重合．【答案】72【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE 至少旋转的度数为AOB Ð的度数，再根据正五边形的性质求解即可得．【详解】如图，由题意可知，所求的问题为AOB Ð的度数由正五边形的性质得：AOB BOC COD DOE AOEÐ=Ð=Ð=Ð=Ð又360AOB BOC COD DOE AOE Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°Q 1360725AOB \Ð=´°=°故答案为：72．【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键．11．（2020·上海九年级二模）已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为________．【答案】【分析】此题由题意做出图，做出边心距根据勾股定理求解即可．【详解】由题意作图，再作OP ⊥BC ，OP 的长即为边心距，即OP=1，由△ABC 是正三角形，∴∠ABC=60°，又∵OP 平分∠ABC ，则∠OBP=30°，∴OB=2OP ，由勾股定理知：，∴BC=，即边长为，故答案为【点睛】本题考查三角形外接圆与圆心的关系，中间用勾股定理解题是关键．12．（2020·上海九年级二模）如图，在正六边形ABCDEF 中，如果向量AB a =uuu r r ，AF b =uuu r r ，那么向量AD uuu r 用向量a r ，b r 表示为____．【答案】2a +r 2b r ．【分析】如图，连接BE 交AD 于O ．则AOB D 是等边三角形，OA OD =，根据三角形法则求出AO uuu r即可解决问题．【详解】如图，连接BE 交AD 于O ．∵ABCDEF 是正六边形，∴△AOB 是等边三角形，AO =OD ，∴∠FAO =∠AOB =60°，OB =AB =AF ，∴AF ∥OB ，∴BO AF b ==uuu r uuu r r ，∵AO AB BO a b =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，∵AD =2AO ，∴AD =uuu r 2a +r 2b r ．故答案为：2a +r 2b r ．【点睛】本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．三、解答题13．（2020·上海九年级一模）如图,在⊙O 中,AB 、CD 是两条弦,⊙O 的半径长为rcm,弧AB 的长度为1l cm,弧CD 的长度为2l cm(温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别) 当1l =2l 时,求证:AB=CD【分析】利用弧长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.【详解】解：令∠AOB=α，∠COD=β.∵1l =2l ，∴12180180r r ap bp =∵AB 和CD 在同圆中，r 1=r 2 ，∴α=β，∴AB=CD【点睛】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键.14．（2014·上海）如图，已知AD 既是△ABC 的中线，又是角平分线，请判断：（1）△ABC 的形状；（2）AD 是否过△ABC 外接圆的圆心O ，⊙O 是否是△ABC 的外接圆，并证明你的结论．试题分析：（1）过点D 作DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F ，根据HL 定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD=CD ，可知AD 过圆心O ，故可得出结论．试题解析：（1）答：△ABC是等腰三角形．证明：过点D 作DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F ．∵AD是角平分线，∴DE=DF．又∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（HL）．∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．证明：∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AD过圆心O．作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心，∴⊙O是△ABC的外接圆．考点：1.三角形的外接圆与外心；2.全等三角形的判定与性质．。
九年级数学下册 27.4 正多边形和圆课时练习(含解析)(新版)华东师大版
第27章 第4节 正多边形和圆课时练习一、单选题（共15小题）1．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是，高为3，因而等边三角形的面积是∴正六边形的面积， 故选C ．分析：掌握正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．2．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为（ ）A ． 2，3πB ． ，πC ．23πD ． ，43π 答案：D解析：解答：如图所示：连接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴，BC= 604180π⨯=43π，故选D．分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解．3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A． R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2r tan36°D．r=Rc os36°答案：A解析：解答：如图所示：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC=15×360°=72°，∴∠1=12∠BOC=12×72°=36°，R2﹣r2=（12a）2=14a2，12a=Rsin36°，a=2Rsin36°；12a=r tan36°，a=2r tan36°，cos36°=rR，r=Rcos36°，所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．故选A．分析：由圆内接正五边形的性质求∠BOC，再由垂径定理求出∠1后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可．4．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A． 5：4 B．5：2 C． 2 D．答案：A解析：解答：如左图所示：连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：52π；如右图所示： 连接MB 、MC ，∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形， ∴∠BMC=90°，MB=MC ， ∴∠MCB=∠MBC=45°， ∵BC=2，∴，∴⊙M 的面积是π）2=2π， ∴扇形和圆形纸板的面积比是52π÷（2π）=54． 故选：A ．分析：求出扇形和圆的半径，根据扇形和圆的面积公式求出面积，最后求出比值． 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF 的对称中心与原点O 重合，点A 在x 轴上，点B 在反比例函数ky x=位于第一象限的图象上，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B解析：解答：如图所示：连接OB ，过B 作BG ⊥OA 于G ， ∵ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB=60°， ∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形， ∴OB=OA=AB=6， ∵BG ⊥OA ， ∴∠BGO=90°， ∴∠OBG=30°，∴OG=12OB=3，由勾股定理得：，即B 的坐标是（3，， ∵B 点在反比例函数ky x上，∴k ， 故选B ．分析：连接OB ，过B 作BG ⊥OA 于G ，得出等边三角形OBA ，求出OB ，求出OG 、BG ，得出B 的坐标，即可．6．正八边形的中心角是（ ） A ． 45° B ． 135°C ． 360°D ． 1080°答案：A解析：解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°； 故选A分析：中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角．7．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ ）A ．B ． 20C ． 18D ．答案：B解析：解答：如图所示：作出正方形ABCD ．△AEF 中，AE=x ，则AF=x ，x x ．则正方形的边长是（）x ．x （）x =20，解得：x 2﹣1）． 则阴影部分的面积是：2[x （）x ﹣2×12x 2]=2+1）x 2=2+1﹣1）=20． 故选B ．分析：设直角△AEF 中，AE=x ，则AF=x ，x x ．根据空白部分的面积是20即可列方程求得x 的值，利用矩形和三角形的面积求解．8．如图，已知边长为2cm 的正六边形ABCDEF ，点A 1，B 1，C 1，D 1，E 1，F 1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 答案：A解析：解答：如图所示：边长是2cm 的正六边形ABCDEF 的面积是：6×12×sin60°×22cm 2． 作出连接中心O ，连接OD 1，OC ． 在直角△OCD 1中，∠O=30°，CD 1=12CD=1（cm ）．则OD 1CD 1，OG=12OD 1，C 1D 1则A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是：6×12）2cm 2．则图中阴影部分的总面积是12（）．故选A ．分析：六边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1都是正多边形，两个多边形的面积的差的一半就是阴影部分的面积．9．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，连接AC ，AE ，则AEAC的值是（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．答案：B解析：解答：如图所示：连接AG 、GE 、EC ，则四边形ACEG 为正方形，故AEAC． 故选B ．分析：连接AG 、GE 、EC ，四边形ACEG 为正方形，根据正方形的性质求解． 10．边长为1的正六边形的内切圆的半径为（ ）A ． 2B ． 1C ． 12D ． 答案：D解析：解答：如图所示：连接OA 、OB ，OG ；∵六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形， ∴△OAB 是等边三角形， ∴OA=AB=1，，∴边长为a．故选D．分析：利用正六边形中的等边三角形的性质求解．11．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°答案：B解析：解答：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为36060=6，其中心角为3606=60°．故选B．分析：由正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出中心角．12．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°答案：B解析：解答：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，∵AB=AE，∴∠BEA=12×（180°﹣150°）=15°，∵∠DAE=120°，AD=AE，∴∠AED=1801202︒-︒=30°， ∴∠BED=15°+30°=45°． 故选B ．分析：由正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°可得∠BEA=30°，∠AED=30°后求解．13．如图，边长为a 的正六边形，里面有一菱形，边长也为a ，空白部分面积为S 1，阴影部分面积为S 2，则12S S =（ ）A ． 12 B ． 13C ．D ．答案：A解析：解答：如图所示：连接BC ，找到正六边形的中心D ，作△DEF ，∵正六边形边长为a ，菱形边长为a 且有一角为60°， ∴S △DEF =S △ABC ， ∴S 1=2S △ABC ，S 2=6S △ABC ﹣2S △ABC =4S △ABC ； ∴12S S =24ABC ABCS S=12． 故选A ．分析：连接BC，找到正六边形的中心D，作△DEF，求出S1=2S△ABC，S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；再求比值．14．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（）A． 10 B．8 C．6 D．5答案：A解析：解答：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴360n=36°，解得n=10．故选A．分析：设正多边形的边数是n，根据正多边形的中心角是36°求出这个正多边形的边数．152，则此正多边形的边数是（）A．八B．六C．四D．三答案：B解析：解答：根据勾股定理得：22）2=1，∴正多边形的边长为2，∴正多边形的中心角为60°，∴此正多边形是正六边形，故选B．分析：由正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数．二、填空题（共5小题）16．已知正六边形ABCDEF，则正六边形的半径为cm．答案：2解析：解答：如图所示：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠OA D=60°，∴OD=OA•sin∠，解得：AO=2．故答案为：2．分析：画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解．17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有个．答案：8解析：解答：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF 共有8个．故答案是：8．分析：在正六边形的六个顶点是圆的六等分点，可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．18，则这个正六边形的边长为．答案：2解析：解答：如图所示：，∴，∠OAB=60°，∴AB= tan 60OB =1， ∴AC=2AB=2．故答案为：2分析：用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理求解．19．如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A 点的坐标为（﹣1，0），则点C 的坐标为 ．答案：（12） 解析：解答：如图所示：连接OE ，由正六边形是轴对称图形知：在R t △OEG 中，∠GOE=30°，OE=1．∴GE=12，．∴A （﹣1，0），B （﹣12），C （12）D （1，0），E （12），F （﹣12，）．故答案为：（12） 分析：连接OE ，由正六边形是轴对称图形，设EF 交Y 轴于G ，则∠GOE=30°；在R t △GOE中，则GE=12，．可求得E 的坐标，和E 关于Y 轴对称的F 点的坐标，其他坐标类似．20．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．答案：54°解析：解答：如图所示：连接OB ，则OB=OA ，∴∠BAO=∠ABO ，∵点O 是正五边形ABCDE 的中心，∴∠AOB=3605=72°， ∴∠BAO=12（180°﹣72°）=54°； 故答案为：54°．分析：连接OB ，则OB=OA ，得出∠BAO=∠ABO ，再求出正五边形ABCDE 的中心角∠AOB 的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．三、解答题（共5小题）21．如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连结FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．答案：解答：如图所示：连接BD．∵CE= 12×1=12，∴，在R t△ABD中，，∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，∴△DEB∽△FEC，∴FC CEBD BE=，，∴．解析：分析：连接BD，构造△DBE，然后证出△DBE∽△FCE，列出FC CEBD BE=，计算FC．22．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．答案：解答：如图所示：作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．∵△ABC为等边三角形，∴AF垂直平分BC，∵四边形BDEC为正方形，∴AH垂直平分正方形的边DE．又∵DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．在R t△ABF中，∵∠BAF=30°，．∴OH=AF+FH﹣+2﹣r．在R t△ODH中，OH2+DH2=OD2．∴（﹣r）2+12=r2．解得r=2．∴该圆的半径长为2．解析：分析：作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据轴对称，则圆心必定在AH 上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可求AH，DH，设圆的半径是r．Rt BOH中，根据勾股定理列方程求解．23．如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．求证：四边形ABCD是正方形．答案：解答：证明：连结OE、OF、OG、OH．∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．∴AB=BC=CD=DA．∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．∴四边形ABCD是正方形．解析：分析：连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．24．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F．证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．答案：解答：证明：如图所示：连接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，∴AF=CF，AE=BE，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，====，∴AE AF BE BC FC∴AE=AF=BE=BC=FC，∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．∴五边形AEBCD为正五边形．解析：分析：要求证五边形是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等．25．如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；答案：解答：如图所示：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，BC=2，∴BD=CD=12BC=1，在△BDA 中由勾股定理得：，∴△ABC 的面积是12BC•AD=12，（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O ，那么点O 落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）答案：解答：由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是2×2=4，连接OA 、OB ，∵图形是正六边形，∴△OAB 是等边三角形，且边长是2，，∴正六边形的面积是=6∴点O 落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是：≈0.54， 答：点O 落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.54．解析：分析：（1）过A 作AD ⊥BC 于D ，根据等边△ABC ，得到BD ，由勾股定理求出AD ，根据△ABC 的面积即可求出答案；（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O 落在镶嵌图案中的正方形区域的概率．。
人教版九年级数学上册圆一章正多边形和圆练习题及答案
初中数学试卷金戈铁骑整理制作九年级数学圆一章正多边形和圆练习题及答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.5.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 二、课中强化(10分钟训练)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26 B.43 C.36D.343.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 3 4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图24-3-1三、课后巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A.63 B.43 C.332 D.332.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-26.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-38.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图24-3-49.用等分圆周的方法画出下列图案：图24-3-510.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.图24-3-6(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案).参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 思路解析：如图，设正三角形的边长为a ，则高AD=23a ，外接圆半径OA=33a ，边心距OD=63a ， 所以AD ∶OA ∶OD=3∶2∶1. 答案：A3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.思路解析：正n 边形的对称轴与它的边数相同. 答案：5 64.中心角是45°的正多边形的边数是__________.思路解析：因为正n 边形的中心角为n ︒360，所以45°=n︒360，所以n=8.答案：85.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.思路解析:由切线长定理及三角形周长可得. 答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 思路解析：因为正n 边形的外角为n ︒360，一个内角为nn ︒•-180)2(，所以由题意得n ︒360=32·nn ︒•-180)2(，解这个方程得n=5. 答案：52.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26 B.43 C.36D.34思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A. 答案：A3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 3 思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大. 答案：B4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图24-3-1思路分析：求作⊙O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O 的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE 是⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于360°÷12＝30°.(1)作法： ①作直径AC; ②作直径BD ⊥AC;③依次连结A 、B 、C 、D 四点, 四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形;④分别以A 、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G; ⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点. 六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形. (2)证明：连结OE 、DE. ∵∠AOD ＝4360︒＝90°，∠AOE ＝6360︒＝60°， ∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝30°. ∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边. 三、课后巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A.63 B.43 C.332 D.33思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为33. 答案：D2.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B. 答案：B3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P 6＝6a n 求出周长.答案：184.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.答案：144.5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-2思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R 3与R 6的平方比即可.解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为R 3，正六边形外接圆⊙O 2的半径为R 6，由题意得R 3=33AB ，R 6=AB ，∴R 3∶R 6＝3∶3.∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3. 6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求. 解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为n n ︒•-180)2(，外角为n︒360，依题意得n n ︒•-180)2(-n︒360＝100°.解得n ＝9. 7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-3思路分析：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，设大圆的圆心为O ，则点O 是正△O 1O 2O 3的中心，求出这个正△O 1O 2O 3外接圆的半径，再加上⊙O 1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O1O2O3，则正△O1O2O3外接圆的半径为334cm，所以大圆的半径为334+2=3634(cm).8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图24-3-4答案：略.9.用等分圆周的方法画出下列图案：图24-3-5作法：(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆；(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.图24-3-6(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).答案：(1)方法一：连结OB、OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON=∠BOC=120°.方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.又∵BM＝CN，∴AM=BN.又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120°.(2)90°72°(3)∠MON=n360.。
人教版九年级数学上册正多边形和圆2同步练习题含答案
第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (2)1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是 A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形． B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条． C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．(3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:14． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（ ）A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A =∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。
人教版数学九年级上册 24.3---24.4练习题带答案
《24.3正多边形和圆》1.若一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r1，r2，r3，则r1:r2:r3等于（）A.1:2:3B.√3:√2:1C.1:√2:√3D.3:2:12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠DCE=70∘，则∠A等于( )A.60∘B.70∘C.80∘D.90∘3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=62∘，那么∠BOD=()A.124∘B.100∘C.62∘D.31∘4.下列判断正确的是（）A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.圆内接矩形是正方形D.圆内接菱形是正方形5.如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧BC的中点M重合，折痕分别交AB、AC 于D、E，若BC=5，则线段DE的长为（）A.52B.103C.10√33D.5√336.六边形的边长为10cm，那么它的边心距等于（）A.10cmB.5cmC.2√3cmD.5√3cm7.⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是________．8.在圆内接四边形ABCD中，若∠C的度数是∠D度数的2倍，则∠C=________．9.如果正六边形的边长为a，那么它的外接圆的半径r=________．10.在纸上画一个正六边形，在六边形外画一条直线l，从六个顶点分别向直线l引垂线可以得到k个不同的垂足，那么k的值在3，4，5，6这四个数中不可能取得的是________．11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A:∠C=5:7，则∠A=________度．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160∘，则∠BCD=________．13.如图，在△ABC中，∠A=60∘，BC=10cm．(1)画出能够将△ABC完全覆盖的最小的圆；(2)求出所画圆的直径．14.正六边形ABCDEF内接于⊙O，在弧AB上取点P,连接AP,BP，过点D作DQ//AP交⊙O于点Q，连接BQ，已知BP=1,BQ=3,PQ的长为________,AP的长为________.15.大家知道：任意四个点不能确定一个圆，但是有些特殊四边形的四个顶点在同一个圆上，请说出这些特殊的四边形，并研究这些四边形的四个内角之间有什么特殊的关系．16.已知一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求正三角形和一个正六边形的内切圆半径之比．参考答案1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】√3:28.【答案】120∘9.【答案】a 10.【答案】5 11.【答案】75 12.【答案】100∘ 13.【答案】解：(1)略(2)连接OB ，OC ，作OG ⊥BC ， ∵ ∠A =60∘，且∠A 为⊙O 的圆周角，所对弧为BC ⌢， ∴ ∠BOC =120∘. ∵ OB =OC ， ∴ ∠BOG =60∘. ∵ OG ⊥BC ， ∴ ∠OBC =30∘， ∴ OG =BO 2.∵ OG ⊥BC 且BC 是弦， 又∵ BC =10cm ， ∴ BG =5cm .∵ √BO 2−OG 2=BG ， ∴ OG =5√33， ∴ OB =10√33. ∵ OB 是半径，∴ 直径=20√33．14.【答案】√10,3−√3215.【答案】解：∵ 矩形、正方形的对角线相等且互相平分， ∴ 四个顶点到对角线交点距离相等， ∴ 矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上； 四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补． 16.【答案】解：过A 作AD ⊥BC 于D ， 设正△ABC 的内切圆半径AD =a ， ∴ BC =AB =AD sin60∘=2√33a ， ∴ S △ABC =12BC ⋅AD =12×2√33a ×a =√33a 2； 连接OA 、OB ，过O 作OD ⊥AB ， 设正六边形的内切圆半径OD =b ； ∵ ∠AOB =360∘6=60∘，∴ OA =AB =ODsin60∘=bsin60∘=2√33b ， ∴ S △OAB =12×2√33b ×b =√33b 2， ∴ S 六边形=6S △OAB =6×√33b 2=2√3b 2，∵ S △ABC =S 六边形 ∴ √33a 2=2√3b 2， ∴ a:b =√6:1．即正三角形和一个正六边形的内切圆半径之比为√6:1．24.4弧长和扇形面积1.圆锥的母线与高的夹角为30，母线长为8cm ，则它的侧面积为 （结果保留 ）2.圆锥的母线长为9cm ，底面圆的直径为10cm ，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是______.3.直角三角形的斜边长为5，一直角边长为4，以斜边为轴旋转一周，则得到的几何体的表面积为 （结果保留π）4.圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ） A ．B ．C ．D ．5.如图，有一圆心角为120、半径长为cm 6的扇形，若将OA 、OB 重合 后围成圆锥的侧面，那么圆锥的高是（ ）A ．cm 24B ．cm 35C ．cm 62D ．cm 32 6.上题中围成的圆锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 7.如图，在正方形铁皮下剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成一个圆锥， 则扇形半径R 和圆形半径r 的关系为（ ）A.r R 2=B.r R 29=C.r R 3=D.r R 4= 8.如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60的扇形ABC ， 将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为（ ）A.31 B.63 C.33 D.439.如图，一个圆锥的高为cm ，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）求的度数； （3）圆锥的侧面积（结果保留）．9012018024πcm 26πcm 29πcm 212πcm 33BAC ∠πCBOA8题图120°O BA5题图7题图h lCBA Or9题10.如图所示，一个几何体是从高为4m ，底面半径为3cm 的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上， 求这个几何体的表面积．11. 下图是一纸杯，它的母线AC 和EF 延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB ．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm ，下底面直径为4cm ，母线长8EF cm ．求扇形OAB 的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用π表示）．12.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个圆锥模型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.10题13.如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积．14.如图，从一个边长为2的菱形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（2）在剩下的一块余料中，能否从余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．DCAB。
九年级数学上册24-3《正多边形与圆》基础课时练习题(含答案)
九年级数学上册24-3《正多边形与圆》基础课时练习题（含答案）1、正十边形的中心角等于度．2、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE⌢上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD的度数为()A. 30°B. 36°C. 60°D. 72°3、已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为．4、若正六边形的边长为2，则它的半径为．5、若正六边形的内切圆半径为3，则其外接圆半径为．6、若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）．A. √2B. 2√2C. √2D. 127、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M是边CD的中点，连接AM，若⊙O的半径为2，则AM=．8、一个正方形的内切圆半径，外接圆半径与这个正方形边长的比为．9、如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（）．A. 2B. 1+√2C. 3D. 2+√210、从一个半径为10的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边长是（）．A. 10B. 5√2C. 5√3D. 10√311、圆内接正八边形，一边所对的圆心角为．12、如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．13、一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的一个外角度数是．14、若正六边形的边长为2，则它的面积为．15、半径为5的圆内接正六边形的边心距为．16、若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是．17、如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为．18、ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为．19、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48√3，试求正六边形的周长．20、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径是，扇形AOB的面积．1 、【答案】36;【解析】正十边形的中心角等于：360∘10=36∘．故答案为：36．2 、【答案】 B;【解析】解：如图，连接OC，OD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=360°5=72°，∴∠CPD=12∠COD=36°．故选：B．3 、【答案】12;【解析】如图所示，连接OB、OC，∵此六边形是正六边形，∴∠BOC=360°6=60°，∵OB=OC=2，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，所以正六边形周长=6×2=12．4 、【答案】2;【解析】如图所示，连接OB、OC，∵此六边形是正六边形，∴∠BOC=360°6=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，∴它的半径为2，故答案为2．5 、【答案】2√3;【解析】如图，连接OA，OB，作OG⊥AB于G，则OG=2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OA=OGsin60°=√32=2√3，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为2√3．6 、【答案】 A;【解析】方法一 : 如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE=OE，∴△AOE是等腰直角三角形，OA=√2．∴OE=√22方法二 : 如图 :由“正方形的外接圆半径为2”可得OB=2，∠OBC=45°，由切线性质可得∠OCB=90°，所以△OBC为等腰直角三角形，由勾股定理得OC2+BC2=OB2．OB=√2．所以OC=√227 、【答案】√13;【解析】连接OM，AD，过M 作MN ⊥AD 交AD 于点N ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠CDO =60°，∵M 为CD 中点，∴∠OMD =90°，∴∠DOM =30°，DM =CM =1，∴OM =√3，在Rt △OMN 中，MN =√32，ON =32， ∴AN =AO +ON =2+32=72，MN =√32， ∴在Rt △AMN 中，AM =√AN 2+MN 2=√(72)2+(√32)2=√13．8 、【答案】 1:√2:2;【解析】 如图所示，设正方形边长a ，连接OA 、OB ，过O 作OE ⊥AB ，∵∠AOB =360°4=90°，OA =OB ，∴∠AOE=12∠AOB=12×90°=45°，∴AE=OE=a2，OA=AEsin45°=a2√22=√22a，∴内切圆半径、外接圆半径与这个正方形边长的比为：OE:OA:AB=a2:√22a:a=1:√2:2，故答案为：1:√2:2．9 、【答案】 B;【解析】设DE与⊙O相切于点N，连接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，如图所示：则ON⊥DE，DE=2，OD=OE，∠DOE=360°8=45°，∵DM⊥OE，∴△ODM是等腰直角三角形，∴DM=OM，OE=OD=√2DM，设OM=DM=x，则OD=OE=√2x，EM=OE−OM=(√2−1)x，在Rt△DEM中，由勾股定理得：x2+(√2−1)2x2=22，解得：x2=2+√2，∵△ODE的面积=12DE×ON=12OE×DM，∴ON=OE×DMDE =√2x22=√2(2+√2)2=√2+1，即⊙O的半径为：1+√2．故选B．10 、【答案】 A;【解析】∵圆内接正六边形的边长等于圆的半径，∴一个半径为10的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边长为10．故选A．11 、【答案】45°;=45°．【解析】正八边形，即圆被8等分，圆心角度数为360°812 、【答案】72°;【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，(5−2)×180°=108°，∴∠ABC=∠C=15∵CD=DB，(180°−108°)=36°，∴∠CBD=12∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=72°．故答案为：72°．13 、【答案】40°;【解析】∵正多边形一个中心角为40°，∴正多边形的边数为：360°÷40°=9，∴正九边形每个外角为：360°÷9=40°．故答案为：40°．14 、【答案】6√3;【解析】如图：O点为正六边形的中心，AB为正六边形其中一个边长，过点O向AB作垂线，垂足为G，∵此多边形为正六边形，=60°，∴∠AOB=360°6∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∴OG=OA⋅cos30°=2×√32=√3，∴S△OAB=12×AB×OG=12×2×√3=√3，∴S六边形=6S△OAB=6×√3=6√3．15 、【答案】5√32;【解析】如图连接对角线可知过O作OH⊥CD，∠OCD=3606=60°，∵OC=OD，∴△OCD为等边三角形，又∵OC=5，OH⊥CD，∴CH=12CD=52，在Rt△CHO中由勾股定理得OH=√OC2−CH2=5√32，∴边心距为5√32．16 、【答案】√3或√3:2;2【解析】设该正多边形为正n边形，则(n−2)⋅180=120n，解得n=6，r，设正六边形外接圆半径为r，则内切圆半径是正六边形的边心距√32．∴两者之比为√3217 、【答案】6√3;【解析】连接OA，OB，OC，过O作OH⊥BC于H，BC，∴∠OHB=90°，CH=BH=12∵AB是⊙O内接正方形的一边，AC是⊙O内接正十二边形的一边，∴∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠COB=∠AOB+∠AOC=120°，∵OC=OB=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=3，∴OH=12∴BH=√OB2−OH2=3√3，∴BC=2BH=6√3．π;18 、【答案】14，【解析】联结切点F与圆心O，则OE2−OF2=EF2=14∴S环=π(OE2−OF2)=14π．19 、【答案】正六边形的周长为48．;【解析】连接OA，作OH⊥AE于点H，则∠OAH=30°，在Rt△OAH中，设OA=R，则OH=12R，由勾股定理可得AH=√OA2−OH2=√R2−(12R)2=√32R，∴3√34R2=48√3，∴R=8．故正六边形的周长为48．20 、【答案】√3;23π;【解析】如图，连接OA、OB，OG，∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA⋅sin60°=2×√32=√3，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为√3，S扇形OAB=60360π⋅22=23π．。
2020年人教版九年级数学上册24.3《正多边形和圆》同步练习(含答案)
2020年人教版九年级数学上册24.3《正多边形和圆》同步练习一．选择题1．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形2．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2 D．23．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM 边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.54．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2 C．D．15．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．6．下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等7．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．28．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形9．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个10．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2 D．4二．填空题11．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．12．如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．13．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．14．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．15．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．（1）图2中的图案外轮廓周长是；（2）在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．16．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．17．我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ．18．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．19．如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．20．如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是．21．正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．22．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．23．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．24．半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．25．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．26．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为．27．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为．28．如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是．参考答案1．A．2．B．3．C．4．A．5．A．6．A．7．B．8．B．9．C．10．A．11．72°．12．12+4．13．：1．14．815．14，21．16．72．17．．18．π+1．19．﹣1．20．≤a≤3﹣．21．96cm2．22．．23．3．24．1：：．25．8+8．26．2．27．8．28．3n﹣1•．。
初中数学中考正多边形与圆的关系(含答案解析)
正多边形与圆的关系一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<b<a2.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为()A. √2B. 2√2C. √22D. 13.一个正方形的边长为a，则它的内切圆的面积为()A. 34a2π B. 14a2π C. 32a2π D. a2π4.若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是()A. 45°B. 60°C. 72°D. 90°5.有下列四个命题：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆外切多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各角相等的圆外切多边形是正多边形．其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 46.下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是()A. 正三角形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形7.正六边形的半径与边心距之比为()A. 1：√3B. √3：1C. √3：2D. 2：√38.若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为()．A. 4√3B. 4C. 2√3D. 29.正四边形的边心距为1，则它的半径是A. 2√2B. √2C. 2D. 110.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠OCD的度数是()A. 60°B. 54∘C. 76°D. 72°二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON=120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点。
若多边形AMONF的面积为2√3，则正六边形ABCDEF的边长是____.12.半径为2的圆内接正六边形的边心距等于_____．13.圆内接正六边形的边长为10cm，它的边心距等于__________cm．14.正六边形的半径为1，则正六边形的面积为____________________；15.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接EA，则∠AED=____度；若OA=4，则该正六边形的面积为__________.16.半径为4的正n边形边心距为2√3，则此正n边形的边数为_____．17.已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________．18.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是________．19.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是______°.20.半径为3的圆的内接正方形的边长是________．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．根据三角函数即可求解．【解答】解：设圆的半径为R，则正三角形的边心距为a=R×cos60°=12R.四边形的边心距为b=R×cos45°=√22R，正六边形的边心距为c=R×cos30°=√32R.∵12R<√22R<√32R，∴a<b<c，故选：A．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正方形和圆、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意画出图形，属于中考常考题型．根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】解：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE=OE，∴△AOE是等腰直角三角形，AE2+OE2=AO2，∴OE=√22OA=√2．故选：A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，知道正方形的内切圆的直径等于正方形的边长是解题的关键.根据正方形的内切圆的直径等于正方形的边长求得圆的半径，最后再求出圆的面积即可．【解答】解：因为正方形的内切圆的直径等于正方形的边长，所以r=a2，所以正方形的内切圆的面积为πr2=π(a2)2=14a2π，故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定与性质；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的判定与性质来分析、解答．如图，作辅助线，由题意可得OA=OB= AB，从而得出△OAB是等边三角形，进而求出∠AOB的度数，问题即可解决．【解答】解：如图，连接OA、OB；AB为⊙O的内接正多边形的一边，∵正多边形的边长与半径相等，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，即这个正多边形的中心角为60°．故选B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理.根据命题的“真”“假”进行判断即可．【解答】解：①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确；②各边相等的圆外切多边形不一定正多边形，比如菱形，所以错误；③各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，比如长方形，所以错误；④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确．故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆上等分点的尺规作图．根据尺规作图取圆的等分点的作法即可得出答案．【解答】解：取圆上一点为圆心，相同的长度为半径画弧，重复此种作法可得到圆的六等分点，据此可得圆的内接正六边形；在以上所得六等分点中，间隔取点，首尾连接可得圆的内接正三角形；由于圆的直径可以将圆二等分、两条互相垂直的直径可以将圆四等分，据此可作出圆的内接正四边形；综上可知，不可以用尺规作图作出的是圆的内接正五边形，故选C．7.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查正多边形与圆的知识，等边三角形高的计算，要求学生熟练掌握应用.可设正六边形的半径为R，欲求半径与边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．解：如图所示，设正六边形的半径为R，又该多边形为正六边形，故∠OBA=60°，R，在Rt△BOG中，OG=√32∴边心距r=√3R2即半径与边心距之比2：√3，故选D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查正多边形与圆，用到的知识点为：n边形的中心角为360÷n，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．根据正六边形的边长等于正六边形的半径，即可求解．【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°．那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．∴它的外接圆半径是4．故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的构造如图所示的直角三角形并求解．利用正四边形的外接圆的半径是边心距的√2倍计算．【解答】解：如图，∵正四边形的边心距为1，∴OB=1，∵∠OAB=45°，∴OA=√2OB=√2，故选：B．10.【答案】B【解析】【分析】是解题的关键．本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°n根据正多边形的中心角的计算公式：360°计算出∠COD，再由等腰三角形的性质可得．n【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，=72°，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360°5∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCD=(180°−72°)÷2=54°．故选B．11.【答案】2【解析】略12.【答案】√3【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆、解直角三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键．构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°，AB=2，则AM=1，∴OM=OA⋅cos30°=√3∴正六边形的边心距是√3．故答案为√3．13.【答案】5√3【解析】【分析】本题考查的是正多边形与圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理直接计算即可．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG=60°，∴BG=5cm，OB=10cm，根据勾股定理可得：边心距OG=5√3cm；故答案为：5√3．14.【答案】3√32【解析】略15.【答案】90°；24√3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，属于中档题．六边形ABCDEF为正六边形，可得出∠AFE和∠FED的度数，进而得出∠AEF的度数，从而得出∠AED；连接OA，OF，过O作OG⊥AF于点G，先得出△AOF的面积，再乘以6，即可得出该正六边形的面积．【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴AF=FE，且∠AFE=∠FED=(6−2)×180°=120°，6=30°，则∠AEF=180°−120°2∴∠AED=∠FED−∠AEF=120°−30°=90°，连接OA，OF，过O作OG⊥AF于点G，∵点O为正六边形ABCDEF的中心，∴∠OAF=60°，则△AOF为等边三角形，∠AOG=30°，(三线合一)在Rt△OGA中，GA=12OA=12×4=2，则OG=√OA2−AG2=√42−22=2√3，故该正六边形的面积为：6S△AOF=6×12×4×2√3=24√3．故答案为90°；24√3．16.【答案】6【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，根据已知得出中心角∠AOB=60°是解题关键．由三角函数求出∠DAO=60°，得出∠AOD=30°，求出中心角∠AOB=60°，即可得出答案．【解答】解：如图所示AB为正n边形的边长，OA为半径，OD为边心距，∵半径为4的正n边形边心距为2√3，∴sin∠DAO=DO AO =2√34=√32，∴∠DAO=60°，∴∠AOD=30°，∴∠AOB=60°，∴n=360°60°=6故答案为6．17.【答案】12【解析】解：∵l正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a=2，正六边形的周长=6a=12，故答案为12．根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．18.【答案】72°【解析】【分析】本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用由正五边形的性质得出∠CDE=(5−2)×180°÷5=108°，AE=AB=BC，得出AE⏜= AB⏜=BC⏜，由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠CDE=(5−2)×180°÷5=108°，AE=AB=BC，∴AE⏜=AB⏜=BC⏜，×108°=72°；∴∠ADC=23故答案为72°．19.【答案】54【解析】【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C= 108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．【解答】解：连接AD，∵AF 是⊙O 的直径，∴∠ADF =90°，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠ABC =∠C =108°，∵BC =CD ，，∴∠ABD =72°，∴∠F =∠ABD =72°，∴∠FAD =18°，∴∠CDF =∠DAF =18°，∴∠BDF =36°+18°=54°，故答案为54．20.【答案】3√2 【解析】 【分析】该题主要考查了正多边形和圆，解直角三角形，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．画出图形，先根据题意首先求出BE 的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∴∠OBE =45°；∵OE ⊥BC ，∴BE =CE ；又OB =3，∴sin45°=OE OB ，cos45°=BE OB ，∴OE =3√22，即BE =3√22，∴BC=3√2，故答案为3√2．。
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正多边形和圆练习)
分钟训练一、课前预习(5) ( 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没 D. 扩大了两倍 C.扩大了四倍扩大了一倍A. B. 有变化)
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为(
C.4∶2∶1 B.4∶3∶2 A.3∶2∶1
3
4∶D.6∶. __________条对称轴3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________.
45°的正多边形的边数是4.中心角是那么相切于点D,AD=4,△ABC的内切圆与边AB5.已知△ABC的周长为20,BC=__________.
)
(10分钟训练二、课中强化2时，此时该正n边形有_________条对1.若正n边形的一个外角是一个内角的3.
称轴) 同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( 2.4366 D. C.
A. B. 34323.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S、S、S之间的大小关系634是( )
A.S>S>S
B.S>S>S
C.S>S>S 436436643
D.S>S>S 3464.已知⊙O和⊙O上的一点A(如图24-3-1).
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的
一边.
图
24-3-1
)
分钟训练三、课后巩固(30) 11.正六边形的两条平行边之间的距离为，则它的边长为(
33323 D. C. A. B.
43361已知正多边形的边心距与边长的比为2. ) ，则此正多边形为( 2正十D. C.正六边形 A.正三角形 B.正方形
二边形__________ cm. ，则这个正六边形的周长为已知正六边形的半径为3 cm3.于角等一个内这个正多边形的么中正4.多边形的一个心角为36度,那.
___________度2，在⊙O中为内接正三角形的一边，如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为5.31在⊙O中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
2
图24-3-2
6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
的三个圆形纸片两两外切，现用一个大cm2 ，在桌面上有半径为24-3-3如图7.圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
图24-3-3
8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图24-3-4
9.用等分圆周的方法画出下列图案：
图24-3-5
10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图24-3-6
(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；
(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数；_________是
). (直接写出答案MON的度数与正n边形边数n的关系(3)试探究∠
参考答案)
(5分钟训练一、课前预习
边形的边长圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n1思路解析：由题意知. 边形的边长与半径之比没有变化n也扩大一倍，所以相应的圆内接正D
答案：3，外接圆半径思路解析：如图，设正三角形的边长为a，则高aAD=2. 233OD=a，所以AD∶OA∶OD=3a，边心距∶2∶1.答案：OA=A 363.答案：5 6
360?360?，所以45°=n4.思路解析：因为正边形的中心角为，所以n=8.
nn8
答案：:6 由切线长定理及三角形周长可得5.思路解析:.答案) 二、课中强化(10分钟训练?)?180(360?n?2边形的外角为1.思路解析：因为正n，一个内角为，nn?2)180?n?3602(?5
n=5.答案：=所以由题意得·，解这个方程得n3n2. 思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A.答案：A
3.思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案：B
4. 思路分析：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE
所对圆心角等于360°÷12＝30°.
AC; ⊥(1)作法：①作直径AC;②作直径BD, 四点B、C、D③依次连结A、;
的内接正方形四边形ABCD即为⊙OG; 、、H、F于④分别以A、C为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙OE. 各点、G、H⑤顺次连结A、E、F、C. 的内接正六边形
六边形AEFCGH即为⊙ODE. 、(2)证明：连结OE?360?360＝＝60°，＝90°，∠AOE∵∠AOD＝64. －∠AOE＝30°∴∠DOE＝∠AOD. DE为
⊙O的内接正十二边形的一边∴)
三、课后巩固(30分钟训练则1，所以边心距为0.5,1. 思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为3D 边长为答案：.3B 答案：2.思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B.18 答案：3.144.
答案：4.思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半5.
与R的平方比即可径R63，O的半径为R设正三角形外接圆⊙O的半径为R，正六边形外接圆⊙解：63123＝∶3.∴⊙O的面积∶⊙，∴=R∶RO的面AB，R=AB 由题意得R323613633.
积＝1∶??360180??(n2)，依题，外角为n6.解：设此正多边形的边数为，则各内角为nn?360??2(n?)1809.
＝-100°.意得解得＝n nn7.思路分析：设三个圆的圆心为O、O、O，连结OO、OO、OO，可得边131223213长为4 cm的正△OOO，设大圆的圆心为O，则点O是正△OOO的中心，331122求出这个正△OOO外接圆的半径，再加上⊙O的半径即为所求.
1231解：设三个圆的圆心为O、O、O，连结OO、OO、OO，可得边长为133221321．34所以大圆的半，O，则正△OOOcm外接圆的半径为O4 cm的正△O331122
36?3434径为(cm). +2= 33
8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图24-3-4
答案：略.
9.用等分圆周的方法画出下列图案：
图24-3-5
作法：(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆；
(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.
10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图24-3-6
的度数；MON中∠24-3-6(1)求图(1)．
(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
答案：(1)方法一：连结OB、OC.
∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30°，∠BOC=120°.
又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON=∠BOC=120°.
方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，
∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.又∵BM＝CN，∴AM=BN. ∵OA=OB,∴△AOM≌△BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120°. 360 . (3)∠MON= (2)90°72°n。