函数的基本性质知识点

函数的基本性质知识点 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

✌单调性

1、定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

2、函数单调性的证明方法：

（1）定义法：其一般步骤为：

①任取2121,,x x D x x ＜且∈;

②论证)()()()(2121x f x f x f x f ＞（或

＜； ③根据定义得出结论。

（2）用已知函数的单调性

（3）图象法

3、复合函数的单调性

如果是增函数；如果单调性相同，那么和))(()()(x g f y x g u u f y ===)(u f y =和是减函数。单调性相反，那么))(()(x g f y x g u ==

也就是说，复合函数的单调性由其内、外函数的单调性共同决定，它遵循“同增异减”的原则，即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减。

✌函数的奇偶性

1、 定义：设函数A x x f y ∈=),(，如果对于任意的A x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数；如果对于任意的A x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数。

2、 性质

（1）前提条件：定义域关于原点对称。

(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。

(3)若)(x f 的定义域为R ，且当[)+∞∈,0x 时为增函数，则当)(x f 为奇函数时，它在()0,∞-上为增函数，当)(x f 为偶函数时，它在()0,∞-上为减函数。

(4)若奇函数)(x f 的定义域中包含0，则0)0(=f 。

3、 判断函数奇偶性的方法

（1） 定义法：①确定定义域，看是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶。

②若定义域关于原点对称，函数表达式能化简则适当化简，再判断。

③若函数较复杂，可利用变形式子，用求和（或差）法：即看)()(x f x f ±-与0的关系；或用求商法（即看)

()(x f x f -与1±的关系）。 ④分段函数应分段讨论。

（2）图像法：若函数图象关于原点中心对称，则为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则为偶函数。

4、熟记结论：

（1）设)(x f 、)(x g 的定义域分别是D 1、D 2，那么在它们的公共定义域21D D D ⋂=上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇

（2）对于奇函数：)0)((1)

()(0)()()()(≠-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f x f 对于偶函数：)0)((1)

()(0)()()()(≠=-⇔=--⇔=-x f x f x f x f x f x f x f