2019届高三一模数学试卷 含答案

上海市长宁、嘉定区2018届高三一模数学试卷

2018.12.21

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 设集合{||2|1,}A x x x R =-<∈，集合B Z =，则A

B = 2. 函数sin()3y x π

ω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=

3. 设i 为虚数单位，在复平面上，复数23(2)

i -对应的点到原点的距离为 4. 若函数2()log (1)f x x a =++的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a =

5. 已知(3)n

a b +展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n =

6. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的 选法有 种；

7. 若圆锥的侧面展开图是半径为2cm ，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为 3cm

8. 若数列{}n a 23n n =+（*n N ∈），则 1221lim ()231

n n a a a n n →∞++⋅⋅⋅+=+

9. 如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，

5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为

10. 有以下命题：

① 若函数()f x 既是奇函数又是偶函数，则()f x 的值域为{0}；

② 若函数()f x 是偶函数，则(||)()f x f x =；

③ 若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；

④ 若函数()f x 存在反函数1()f x -，且1()f x -与()f x 不完全相同，则()f x 与1()f x -图 像的公共点必在直线y x =上；

其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）

11. 设向量(1,2)OA =-，(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，

若A 、B 、C 三点共线，则12

a b

+的最小值为 12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ，

一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A

点的最短路线的长为 cm

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. “2x <”是“24x <”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

14. 若无穷等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，{}n a 的前n 项和为n S ，则以下结论 中一定正确的是（ ）

A. n S 单调递增

B. n S 单调递减

C. n S 有最小值

D. n S 有最大值

15. 给出下列命题：① 存在实数α使3sin cos 2αα+=；② 直线2

x π=-是函数sin y x = 图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；④ 若α、β都是第 一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；其中正确命题的题号为（ ）

A. ①②

B. ②③

C. ③④

D. ①④

16. 如果对一切实数x 、y ，不等式

29cos sin 4y x a x y -≥-恒成立，则实数a 的取值范围 是（ ）

A. 4(,]3-∞

B. [3,)+∞

C. [-

D. [3,3]-

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且2AB BC ==；

（1）求三棱锥A BCD -的体积；

（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM

所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

18. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且2

8sin 2cos 272B C A +-=； （1）求角A 的大小；

（2）若a =

3b c +=，求b 和c 的值；

19. 某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域 ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为(1,2)，曲线OD 是函 数2

y ax =图像的一部分，过边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数y kx b =+

（0k >）的图像，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有 且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区； （1）求证：2

8

k b =-； （2）设点P 的横坐标为t ，

① 用t 表示M 、N 两点坐标；

② 将四边形MABN 的面积S 表示成关于

t 的函数()S S t =，并求S 的最大值；

20. 已知函数()9233x x f x a =-⋅+；

（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；

（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；

（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由；

21. 已知无穷数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =， 11n n n rS a a +=-，其中1a ≠，常数r N ∈；

（1）求证：2n n a a +-是一个定值；

（2）若数列{}n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*n N ∈，都有n T n a a +=成立，则称{}n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；

（3）若数列{}n a 是各项均为有理数的等差数列，123n n c -=⋅（*n N ∈），问：数列{}n c 中

的所有项是否都是数列{}n a 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例；