双星模型、三星模型、四星模型
双星系统
(2)特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供 ②两颗星的周期及角速度都相同 ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为 (3)两颗星到圆心的距离与星体质量成反比，与星体 运动的线速度成反比．
拓展： 1．若在双星模型中，图中L、m1、m2、G为已知量， 双星运动的周期如何表示？ 2．若双星运动的周期为T，双星之间的距离为L，G 已知，双星的总质量如何表示？
球的影响，可以将月球和地球看成 上述星球A和B，月球绕其轨道中 心运行的周期记为T1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ但在近似处 理问题时，常常认为月球是绕地心
做圆周运动的，这样算得的运行周 期为T2。已知地球和月球的质量分 别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg 。求T2与T1两者的平方之比。(结果 保留3位小数)
[典例2] (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星 系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略
其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角 形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则
（1）每颗星做圆周运动的线速度？ （2）每颗星做圆周运动的角速度？ （3）每颗星做圆周运动的周期？
(二)宇宙三星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运 动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期 相同． (2)三星模型： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕
星围绕中央星在同一半径 为R的圆形轨道上运行 ②三颗质量均为m的星体位 于等边三角形的三个顶点 上(如图乙所示)．
(三)宇宙四星模型
万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央 星体外，各星体的角速度或周期相同．
三星和多星模型问题
三星和多星模型问题1.三星模型：(1)如图1所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡，运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm2r2＋Gm2（2r）2＝ma向．两行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．(2)如图2所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供，即Gm2 L2×2×cos30°＝ma向，其中L＝2r cos30°. 三颗行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．2.四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．①另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．3.(1)记忆口诀：N星系统周期同，受力源自其他星；几何关系找半径，第二定律列方程．(2)思维导图【题型1】在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的是双星、三星甚至多星系统。
如图所示为一个简化的直线三星系统模型：三个星球的质量均为m ，a 、b 两个星球绕处于二者中心的星球c 做半径为r 的匀速圆周运动。
已知引力常量为G ，忽略其他星体对他们的引力作用，则下列说法正确的是（ ）2GmC ．星球b 做匀速圆周运动的周期为Gmr 543 D ．若因某种原因中心星球c 的质量缓慢减小，则星球a 、b 的线速度均将缓慢增大 【题型2】宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，下列说法正确的是( )A.每颗星做圆周运动的角速度为GmL 3B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关C.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍【题型3】进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的( ) A.1倍 B.2倍 C.12倍 D.22倍【题型4】(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M ，并设两种系统的运动周期相同，则 ( )A ．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B ．直线三星系统的运动周期T ＝4πRR5GMC ．三角形三星系统中星体间的距离L ＝3125RD ．三角形三星系统的线速度大小为125GMR 针对训练1.(多选)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则( )A ．甲星所受合外力为5GM 24R 2B ．乙星所受合外力为5GM 24R 2C ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同2.(多选)如图所示，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )A.三颗星的质量可能不相等B.某颗星的质量为4π2l 33GT 2C.它们的线速度大小均为23πl TD.它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 43.(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。
2021学年高中物理微专题四双星三星模型课件人教版必修2.ppt
(1)对第一种形式中 A 而言，B、C 对 A 的万有引力的合力提
供 A 做圆周运动的向心力，则有
GRm12 2＋G2Rm122＝mR1(2Tπ)2. (2)对第二种形式中 A 而言，B、C 对 A 的万有引力的合力提
供 A 做圆周运动的向心力，则有Gm2 r2源自cos30°＋Grm2 2
cos 30°＝mR22Tπ2
答案：BD
练 2 月球与地球质量之比约为 1:80，有研究者认为月球和
地球可视为一个双星系统，它们都围绕地月连线上某点 O 做匀
速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕 O 点运动线速度大
小之比约为( )
A．1:6 400 B．1:80
C．80:1
D．6 400:1
解析：月球和地球绕 O 点做匀速圆周运动，它们之间的万有引 力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球、地球 和 O 点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有 mω2r＝Mω2R，所以vv′＝Rr ＝Mm，线速度和质量成反比．故选 C.
微专题(四) 双星、三星模型
模型建构
模型一 双星模型
1．模型构建 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引 力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星 球称为双星．
2．模型特点：它们间的距离为 L.此双星问题的特点是：
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某 一点．
【解析】 双星系统周期相同(角速度相同)，所受万有引力作 为向心力相同，所以 B 项错误，D 项正确；由 F＝mω2r，m1r1ω2＝ m2r2ω2，得 m1v1＝m2v2，vv12＝mm21＝23，A 项错误；rr12＝mm21又 r1＋r2＝L，
双星模型
.双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双??FF，作用力的方向在双星间的连线上，角速度星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：?????。
相等，21【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G）】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案2【例题天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了.之一是观测双星系统的运动规律不考两星视为质点，B构成，LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星点做匀速圆周运动，它们之间的OB围绕两者连线上的虑其他天体的影响.A、v的速率由观测能够得到可见星A.引力常量为G，距离保持不变，如图4-2所示T.和运行周期视为质(m′的星体F可等效为位于O点处质量为(1)可见星A所受暗星B的引力a). m表示m′(用m、A和B的质量分别为m、m，试求点)对它的引力，设2121 m之间的关系式；v、运行周期T和质量求暗星B的质量m与可见星A的速率(2)12A.若可见星2倍，它将有可能成为黑洞(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m的s45有B，试通过估算来判断暗星，质量m m/s，运行周期T=4.7π×10=6m s的速率v=2.7×10s1可能是黑洞吗？302-112 10）/kg kg，m（G=6.67×10=2.0×N·m s】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距3【例题、ML，质量分别为始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为1）双星运动的周期。
高考物理复习微专题 双星和多星问题
微专题：双星和多星模型解题攻略(一)双星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图8所示．图8(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω 22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1，与星体运动的线速度成反比．[思维深化]1．若在双星模型中，图8中L 、m 1、m 2、G 为已知量，双星运动的周期如何表示？答案 T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)2．若双星运动的周期为T ，双星之间的距离为L ，G 已知，双星的总质量如何表示？ 答案 m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G[典例1] 如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间的距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 点始终共线，A 和B 分别在O 点的两侧。
引力常量为G 。
图1(1)求两星球做圆周运动的周期。
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。
但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35×1022kg 。
求T 2与T 1两者的平方之比。
(结果保留3位小数)[解析] (1)A 和B 绕O 点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等，且A 、B 的中心和O 点始终共线，说明A 和B 组成双星系统且有相同的角速度和周期。
设A 、B 做圆周运动的半径分别为r 、R ，则有m ω2r ＝M ω2R ，r ＋R ＝L联立解得R ＝mM ＋m L ，r ＝MM ＋mL 对A ，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm L 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2MM ＋mL解得T ＝2πL 3G M ＋m。
(完整版)双星三星四星问题
双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
专题 天体运动的“”四个热点“”问题
专题 天体运动的“四个热点”问题双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。
如图1所示。
图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。
2.多星模型模型 三星模型(正三角形排列) 三星模型(直线等间距排列) 四星模型图示向心力的来源 另外两星球对其万有引力的合力 另外两星球对其万有引力的合力 另外三星球对其万有引力的合力【例1】 (多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。
根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。
将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。
双星三星四星问题说课讲解
双星三星四星问题双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
多星系统模型讲课教案
5.化变力为恒力求变力做功
变力做功直接求解时,通常都比较复杂,但 若通过转换研究对象,有时可转化为求恒力 做功,可以用W=Flcos α求解。此法常应用于 轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
结束语
谢谢大家聆听！！！
32
特点： 四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等
（2）三颗质量相等的行星位于三角形的三个顶点上，另一 颗恒星位于三角形的中心o点，三颗行星以o点为圆心。绕正 三角形的外接圆做匀速圆周运动。
特点： 外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等
解题模板
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3.用F-x图象求变力做功
在F-x图象中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表 示力F在这段位移方向上所做的功,且位于x轴上方的 “面积”为正,位于x轴下方的“面积”为负,但此方法中 学阶段只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角 形、矩形、圆等规则的几何图)。
例3(图象法)一物体所受的力F随位移x变化的图象如 图所示,求在这一过程中,力F对物体做的功为多少?
4.利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小 段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力 做功转化为在无数个无穷小的位移方向上的恒力所 做元功的代数和。此法在中学阶段常应用于求解大 小不变、方向改变的变力做功问题。
例5(微元法)如图所示,在水平面上,有一弯曲的槽道 AB,槽道由半径分别为 R/2 和R的两个半圆构成。现用 大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点, 若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致,则此过程中拉 力所做的功为
特点： 两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小 相等
（2）三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕 三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需要的向心力都 由其余两颗行星对其的引力的合力来提供。
万有引力与双星和多星问题
万有引力与双星和多星问题转动方向、周期、角转动方向、周期、角速度、一、双星问题1、双星问题的模型构建对于做匀速圆周运动的双星问题，双星的角速度(周期)以及向心力大小相等，基本方程式为G M 1M 2L 2＝M 1r 1ω2＝M 2r 2ω2，式中L 表示双星间的距离，r 1，r 2分别表示两颗星的轨道半径， L ＝r 1＋r 2.2、做匀速圆周运动的双星问题中需要注意的几个关键点(1)双星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，两星轨道半径之和与两星距离相等； (2)双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相等；(3)双星做匀速圆周运动的向心力由双星间相互作用的万有引力提供，大小相等；(4)列式时须注意，万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，而不是轨道半径(双星系统中两颗星的轨道半径一般不同).抓住以上四个“相等”，即向心力、角速度、周期相等，轨道半径之和与两星距离相等，即可顺利求解此类问题.宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。
在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。
这种结构叫做双星。
（1）由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。
（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mr ω2可得mr 1∝，得L m m m r L m m m r 21122121,+=+=，即固定点离质量大的星较近。
注意：万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，按题意应该是L ，而向心力表达式中的r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r 1、r 2，千万不可混淆。
当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。
第26讲 双星、多星模型(原卷版)
第26讲 双星、多星模型1．（重庆高考）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统．质量比约为7：1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的（ ）A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17 C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍一.知识回顾1．双星模型 (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L2＝m 1ω21r 1， Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L 。
④两颗星到轨道圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。
⑤双星的运动周期T ＝2πL 3Gm 1＋m 2。
⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G。
2．三星模型(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。
每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。
(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m 的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
3.四星模型：(1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。
Gm 2L 2×2×cos 45°＋Gm 22L 2＝ma ，其中r ＝22 L 。
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
宇宙多星系统模型
动旳周期之比
解析:(1)三颗星绕另一颗中心星运动时,其中任意一种绕行星球受 到另三个星球旳万有引力旳合力提供向心力,三个绕行星球旳向心 力一定指向同一点,且中心星受力平衡,因为星球质量相等,具有对 称关系,所以向心力一定指向中心星,绕行星一定分布在以中心星为 重心旳等边三角形旳三个顶点上,如图甲所示。
GLm2 2×2×cos 30°＝ma 向 其中 L＝2r cos 30°。 三颗行星运行的方向相同，周期、 角速度、线速度的大小相等。
【例3】 宇宙中存在某些离其他恒星较远旳、由质量相等旳 三颗星构成旳三星系统,一般可忽视其他星体对它们旳引力作 用。已观察到稳定旳三星系统存在旳一种形式是三颗星位于 等边三角形旳三个顶点上,并沿外接于等边三角形旳圆轨道运 营,其周期为T。设每个星体旳质量均为m, 万有引力常量为G,则星体之间旳距离应 为多少?
a2
( 2a)2
T22 2
解得T2
2
=
4(4
2)
7Gm
2
a3
④
故 T1 = (4 2)(3 3) 。
T2
4
(1)三星同线模型 ①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位 置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位 于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行 星的引力提供向心力：Grm2 2＋G2mr22＝ma 向
两行星运营旳方向相同，周期、角 速度、线速度旳大小相等。
②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处， 都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其 余两颗行星对其万有引力的合力来提供。
3GmT2
4 2
双星模型三星模型四星模型专练
`双星模型、三星模型、四星模型专练(1)可见星A所受暗星B的引力F可等效为位于O点处质量为m′的星a体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m、m，试求m′(用21m、m表示1、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为).21双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特(2)求暗星B的质量m与可见星A的速率v、运行周期T和质量m之间12的关系式；已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上征可推算出它们的总质量。
(3)的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m的，两颗恒星之间的距离2倍，它将有可能s54 s，运行周期T=4.7π×10若可见星G为r，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为）A的速率v=2.7×10m/s，成为黑洞.质量m=6m，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？s1-112230 kg）m=2.0××（G=6.6710·N m10/kg，s、神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的2 .方案之一是观测双星系统的运动规律天文学家观测河外星系大麦哲伦3云时，发现了B和不可见的暗星双星系统，它由可见星LMCX3A、天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引构成，力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运.A两星视为质点，不考虑其他天体的影响点做OB、围绕两者连线上的动，设双星间距为4-2如图匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，L，质量分别为，G引力常量为.所示M、M，试计算（1）双星的轨道半径21和运行周期v的速率A由观测能够得到可见星）双星运动的周期。
2T.（文档Word`5、宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统, 通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式和B:一种是三颗星位于同一直线上,在引力作用下都绕O两、如右图，质量分别为4m和M的两个星球A颗星围绕中央星在同一半径为R。
完整版双星模型、三星模型、四星模型
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用依照万有引力的规律，他们的运动规律也同样依照开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力供应向心力为出发点的。
双星系统的引力作用依照牛顿第三定律： F F ，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，1 2。
【例题 1】天文学家将相距较近、仅在相互的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很宽泛。
利用双星系统中两颗恒星的运动特色可计算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r ，试计算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G）【剖析】：设两颗恒星的质量分别为m1、 m2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω 1、ω 2。
依照题意有1 2 ①r1 r2 r ②依照万有引力定律和牛顿定律，有G m1m2 m1w12 r1 ③r 2G m1m2 m1 w22 r1 ④r 2联立以上各式解得m2 r⑤r1m2m1依照解速度与周期的关系知1 2 2⑥T联立③⑤⑥式解得m1 m24 2 3r T 2 G【例题 2】奇异的黑洞是近代引力理论所预知的一种特别天体，探望黑洞的方案之一是观察双星系统的运动规律.天文学家观察河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3 双星系统，它由可见星A 和不可以见的暗星 B 组成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、 B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2 所示 .引力常量为 G，由观测可以获取可见星 A 的速率 v 和运行周期 T.(1) 可见星 A 所受暗星 B 的引力 F a 可等效为位于 O 点处质量为 m ′的星体 (视为质点 )对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m 1、 m 2，试求 m ′(用 m 1、 m 2 表示 ).(2) 求暗星 B 的质量 m 2 与可见星 A 的速率 v 、运行周期 T 和质量 m 1 之间的关系式；(3) 恒星演化到末期， 若是其质量大于太阳质量 m 的 2 倍，它将有可能成为黑洞 .若可见星 As的速率 v=2.7 ×105 m/s ，运行周期 T=4.7 π×410s ，质量 m 1=6m s ，试经过估计来判断暗星 B 有 可能是黑洞吗？ （×10-11 N ·m 2/kg 2， m s =2.0 ×1030 kg ）剖析：设 A 、 B 的圆轨道半径分别为，由题意知， A 、 B 做匀速圆周运动的角速度同样，设其为。
高一物理力学专题提升专题19双星和多星问题
专题19 双星和多星问题【专题概述】 1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω 22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L (3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1. 2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图甲所示)． ②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．【典例精讲】1. 双星问题典例1：2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图所示的双星系统中，A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A的质量为太阳质量的29倍，恒星B的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L＝2×105m，太阳质量M＝2×1030kg，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π2＝10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( )A．102 Hz B．104 Hz C．106 Hz D．108 Hz【答案】A由①得T ＝ 4π2L 3×3665GM B ，则f ＝1T＝GM B4π2L 3×3665＝6.67×10－11×36×2×103053×3665Hz≈1.6×102Hz. 典例2：经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．(1)计算出该双星系统的运动周期T ；(2)若该实验中观测到的运动周期为T 观测，且T 观测∶T ＝1∶N (N >1)．为了理解T 观测与T 的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．【答案】(1)πL2LGM(2)N －M2πL2. 三星问题：典例3：由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：(1)A星体所受合力大小F A；(2)B星体所受合力大小F B；(3)C星体的轨道半径R C；(4)三星体做圆周运动的周期T.【答案】(1)23G m2a2(2)7Gm2a2(3)74a(4)πa3Gm(3)由于m A ＝2m ，m B ＝m C ＝m通过分析可知，圆心O 在BC 的中垂线AD 的中点 则R C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝74a (4)三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m (2πT )2R C ，可得T ＝πa 3Gm. 典例4： 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则( )A ．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm RB ．每颗星做圆周运动的角速度为 3GmR 3C ．每颗星做圆周运动的周期为2πR 33GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 【答案】ABC3. 四星问题：典例5：宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )A ． 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ． 四颗星的轨道半径均为C．四颗星表面的重力加速度均为D．四颗星的周期均为2πa【答案】B【总结提升】我们在解双星问题时应该有这样的思路：1 要明确双星中两个子星做匀速圆周运动的向心力来源。
(完整版)双星三星四星问题
双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
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双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G1221221r w m rm m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221== ⑥联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？ （G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
由牛顿运动定律，有121r m F A ω=，222r m F B ω=，B A F F =设A 、B 间距离为，则21r r r += 由以上各式解得1221r m m m r +=由万有引力定律，有221r mm G F A =，代入得21221321)(r m m m m G F A += 令211r m m GF A '=，通过比较得22132)(m m m m +=' （2）由牛顿第二定律，有121221r v m rm m G = 而可见星A 的轨道半径π21vTr = 将代入上式解得G Tv m m m π2)(322132=+ （3）将s m m 61=代入上式得G Tv m m m s π2)6(32232=+ 代入数据得s s m m m m 5.3)26(232=+设)0(2>=n nm m s ，将其代入上式得s s s m m nnm m m 5.3)16(}6(2232=+=+s s s m m nnm m m 5.3)16(}6(2232=+=+可见，2232)6(m m m s +的值随的增大而增大，试令2=n ，得s s s m m m nn 4.3125.0)16(2<=+可见，若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B 的质量s m 必大于s m 2，由此可得出结论：暗星B 有可能是黑洞。
【例题3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为L ，质量分别为M 1、M 2，试计算（1）双星的轨道半径（2）双星运动的周期。
15.解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即：222121221L M L M LM M Gωω==---------① ..L L L =+21-------② 由以上两式可得：L M M M L 2121+=，L M M M L 2122+=又由12212214L T M L M M G π=.----------③ 得：)(221M M G LL T +=【例题4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T ,S 1到C 点的距离为r 1,S 1和S 2的距离为r ,已知引力常量为G .由此可求出S 2的质量为 （ D ）A .212)(4GTr r r -2πB .2312π4GTrC .232π4GTrD . 2122π4GTr r 答案 ：D解析 双星的运动周期是一样的,选S 1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律得221121π4Tr m =r m Gm 2,则m 2=2122π4GT r r .故正确选项D 正确. 【例题5】如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。
引力常数为G 。
⑴ 求两星球做圆周运动的周期。
⑵ 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。
但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。
求T 2与T 1两者平方之比。
（结果保留3位小数）【答案】⑴)(23m M G L T +=π ⑵1.01【解析】 ⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。
且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。
因此有R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L Mm m R +=，L M m Mr +=对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M MT m L GMm +=22)2(π 化简得 )(23m M G L T +=π⑵将地月看成双星，由⑴得)(231m M G L T +=π将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m LGMm 22)2(π= 化简得 GML T 322π=所以两种周期的平方比值为01.11098.51035.71098.5)(242224212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T【例题6】【2012•江西联考】如右图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M>> m 1，M>> m 2）。
在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ∶T b =1∶k ；从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则 （ ） A ．a 、b 距离最近的次数为k 次 B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次 C ．a 、b 、c 共线的次数为2k D ．a 、b 、c 共线的次数为2k-2 【答案】D【解析】在b 转动一周过程中，a 、b 距离最远的次数为k-1次，a 、b 距离最近的次数为k-1次，故a 、b 、c 共线的次数为2k-2，选项D 正确。
【例题7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m .(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?答案 (1)R GmR 25 GmR 5π43(2)R 31)512(解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:F 1=22222)2(R Gm F R Gm =F 1+F 2=mv 2/R运动星体的线速度:v =RGmR25 周期为T ,则有T =vRπ2 T =4πGmR 53(2)设第二种形式星体之间的距离为r ,则三个星体做圆周运动的半径为 R ′=30cos 2/r由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有：F 合=222r Gm cos30°F 合=m 22π4T R ′所以r =31)512(R【例题8】（2012•湖北百校联考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比12T T . 【答案】12(42)(33)4T --=T 【解析】对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a ，a Oa Or所受合力等于向心力，因此有22222142m +G =m a a T π⋅︒ ①解得321a T =Gmπ ②对正方形模式，四星的轨道半径均为2a ，同理有22222242cos 452m G a a T π⋅︒ ③ 图4 解得22T ④故12T T。