2021高职高考数学复习第八章平面解析几何：考题直通

b
0),
c 13,b 6, 所以a2 b2 c2 36 13 49,
故椭圆E的方程为 x2 y2 1. 49 36
(2)由于 | PF1 | | PF2 | 2a 14, 所以 | PF1 | 14- | PF2 | 14 - 4 10,
因此以 |
PF1
| 为直径的圆的面积
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r2
A和B两点,记以AB为直径的圆为圆C;以点F1(-3, 0)和F2 (3, 0)为 焦点, 短半轴长为4的椭圆为D.
(1)求圆C和椭圆D的方程;
(2)证明 : 圆C的圆心与椭圆D上的任意一点的距离大于圆C的半径.
【解】(1)设C(x, y)为圆C的圆心,
椭圆D的方程为
x a
2 2
y2 b2
1,由题意知x
三、解答题
22.(2014年)已知点F1(- 13,0)和点F2 ( 13,0)是椭圆E的两个焦点, 且点A(0, 6)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上的一点,若 | PF2 | 4,求以线段PF1为直径的圆的面积.
【解】(1)由题意知,
椭圆E的方程为
x a
2 2
y2 b2
1(a
【解】(1)设半圆的半径为r,
4 1 故选B.
5.(2015年)若圆(x -1)2 ( y 1)2 2与直线x y - k 0相切,则k
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
【答案】A 圆心为C(1, 1),半径r 2,圆与直线相切, 圆心到直线的距离等于圆的半径， 即|1-1- k | 2,k 2,
y12 16
1,
y12
16(1-
x12 ). 25
因为 | SC |2 (x1 1)2 y12
( x1
1)2
16(1 -
x12 25
)
9 25
x12
-
2 x1
17
9 25 [(x1
-
25 ) 2 9
-
( 25)2 ] 17 9
17 - 25 8 r2.所以 | SC | r. 9
从而圆C的圆心与椭圆D上的任意一点的距离大于圆C的半径.
圆心(1, 1)到直线2x y 2 0的距离为 | 211 2 | 5, 5
即圆的半径为 5,所求圆的方程为(x 1)2 ( y 1)2 5.
20.(2019年)以点(2,1)为圆心,且与直线4x-3y=0相切的圆的标 准方程为 .
【答案】 (x 2)2 ( y 1)2 1 Q 圆与直线相切 圆心O(2,1)到直线4x 3y 0的距离等于半径 r d | 4 2 31| 1
由题意得c 1,| PF1 | | PF2 | 2 | F1F2 | 4,
可知2a 4, a 2,b a2 c2 22 12 3, 于是所求椭圆的方程为 x2 y2 1.
43
(2)过F2
(1,
0)倾斜角为
3
的直线P1F2的方程为y
x2 y2
解方程组
4
3
1 ,
y 3(x -1)
A.x2 y2 0 B.x2 2 y C.3x2 4 y2 1 D.2x2 y2 2
【答案】D 根据双曲线的标准方程， 故选D.
8.(2017年)已知双曲线
x2 a2
-
y2 6
1(a 0)的离心率为2,则a
A.6 B.3 C. 3 D. 2
【答案】D
Q
c2
a2
6,e2
c2 a2
(|
PF1 2
|)2
25 .
23.(2015年)已知中心在坐标原点,两个焦点F1, F2在x轴上的椭圆E
的离心率为
4 5
, 抛物线y 2
16x的焦点与F2重合.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线y k(x 4)(k 0)交椭圆E于C, D两点,试判断以坐标原点
为圆心, 周长等于CF2 D的圆O与椭圆E是否有交点？请说明理由.
4.(2014年)若圆x2 y2 2x 4 y 3 2k k 2与直线2x y 5 0
相切,则k
A.3或-1 B. 3或1 C.2或 1 D. 2或1
【答案】B 圆的方程化为标准式方程得(x -1)2 ( y 2)2 8 2k k 2,
圆心C(1, 2), r 8 2k k 2 , Q 直线与圆相切 圆心到直线的距离d等于圆的半径r， 即| 2 2 5 | 8 2k k 2 , k 1或k 3，
42 (3)2 圆的标准方程为(x 2)2 ( y 1)2 1.
21.(2018年)双曲线 x2 y2 1的离心率e= . 4 32
【答案】 3 双曲线 x2 y2 1的焦点在x轴, a2 4,b2 32,
4 32 c2 a2 b2 36, c 6, e c 6 3.
a2 6 a2
4,
即a 2,
故选D.
9.(2019年)双曲线 x2 y2 1的焦点坐标为( ) 25 16
A.( 41,0),( 41,0)?
B.(0, 41),(0, 41)
C.(0, 3),(0,3)
D.(3, 0), (3, 0)
【答案】A Q 双曲线的焦点在x轴上, 且a2 25,b2 16, c2 a2 b2 25 16 41,c 41, 双曲线的焦点为( 41,0),故选A.
2 圆的标准方程为(x 1)2 ( y 4)2 9.
18.(2017年)已知点A(1,2)和B(3,-4),则以线段AB的中点为圆
心,且与直线x+y=5相切的圆的标准方程是
.
【答案】 (x 2)2 ( y 1)2 8 Q AB的中点为O(2, 1), 又Q 直线x y 5与圆相切, 圆心O(2, 1)到直线的距离等于半径,即r | 2 1 5 | 2 2,
16.(2015年)已知点A(2,1)和点B(-4,3),则线段AB的垂直平分
线在y轴上的截距为
.
【答案】 5 线段AB的中点为(1, 2),
uuur 线段AB的垂直平分线的法向量为n AB (3,1), 由直线的点法式方程得 3(x 1) ( y 2) 0, 整理得3x y 5 0,令x 0, 解得y 5, 所以线段AB的垂直平分线在y轴上的截距为5.
【解】(1)设椭圆E的方程为
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0),
因为抛物线y2 16x的焦点坐标为(4, 0),
所以c 4, F1(-4, 0), F2 (4, 0).
又因为 c 4 ,所以a 5,b a2 c2 3, a5
故椭圆E的方程为 x2 y2 1. 25 9
(2)有交点.因为直线y k(x 4)过焦点F1, 所以CF2D的周长为4a 20,
斜角的2倍, 且l2经过坐标原点O, 则l2的方程为( )
A.2x y 0
B.2x y 0
C.x y 0
D.x y 0
【答案】D
Q 直线l1的斜率为
3 ,倾斜角为30, 3
直线l2的倾斜角为60,斜率k tan60 3,
直线l2的方程为y 0 3(x 0),即 3x y 0.
12 12 故圆的标准方程为(x 2)2 ( y 1)2 8.
19.(2018年)以两直线x+y=0和2x-y-3=0的交点为圆心,且与直 线2x-y+2=0相切的圆的标准方程是 .
【答案】 (x 1)2 ( y 1)2 5
由2x
y0 x y3
0
得两直线交点为(1,
1),即圆心为(1,
1),
求出椭圆和直线的两交点坐标为
3(x -1),
(0, - 3)和(8 , 3 3 ). 55
因P1为椭圆C在第一象限上的点,
故P1的坐标为(
8 5
,
3
3 5
).
由P1向x轴作垂线, 垂足为Q,
则 tan P1F1F2
| |
P1Q | F1Q |
33 5
1
8 5
33 13
.
24.(2013年)在平面直角坐标系xOy中, 直线x 1与圆x2 y2 9交于
17.(2016年)已知直角三角形的顶点A(-4,4),B(-1,7)和C(2,4),
则该三角形的外接圆方程是
.
【答案】 (x 1)2 ( y 4)2 9
Q| AB | 3 2,| BC | 3 2,| AC | 6, 该三角形的外接圆以线段AC为直径, AC的中点为圆心O(1, 4), 半径r | AC | 3,
程是( )
A.3x-y-3=0
B.3x+y-9=0
C.3x-y-10=0
D.3x+y-8=0
【答案】A
点A(1, 4)、B(5, 2)的中点是(2,3), 排除C、D,
AB的斜率k AB
24 51
1 2
,所求直线斜率为3, 排除B,选A.
3.(2019年)直线l1的方程为x 3y 3 0.直线l2的倾斜角为l1的倾
二、填空题
15.(2014年)已知点A(1,3)和点B(3,-1),则线段AB的垂直平分
线的方程是
.
【答案】 x 2 y 0 uuur
AB的中点为(2,1),法向量n AB (3, 1) (1,3) (2, 4), 由直线的点法式方程得2(x 2) 4( y 1) 0, 整理得x 2 y 0.
10.(2014年)下列抛物线中,其方程形式为y2=2px(p>0)的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A 抛物线标准方程一次项x的系数2 p 0, 焦点在x中的正半轴上, 故选A.
11.(2016年)抛物线x2=4y的准线方程 ( )
A.y=-1
B.y=1
C.x=-1
D.x=1
【答案】A 抛物线的焦点坐标为(0,1), 准线方程为y 1, 故选A.
a2
23.(2012年)已知椭圆C的焦点F1(1,0)和F2 (1,0), P为椭圆C上的点, 且 | F1F2 | 是 | PF1 | 和 | PF2 |的等差中项. (1)求椭圆C的方程；
(2)若P1为椭圆C在第一象限上一点,
F1F2 P1
2
3
,求
tan
P1F1F2 .
【解】(1)设所求椭圆C的方程为 x2 y2 1, a2 b2
1, y
0;
又圆C的半径为r 9 1 8,
于是圆C的方程为(x -1)2 y2 8.
又由题意知,b 4, c 3,a2 b2 c2 42 32 25,
因此椭圆D的方程为 x2 y2 1. 25 16
(2)证明: 设S(x1, y1)是椭圆D上任意一点,
则 x12 25
12.(2018年)抛物线y2=4x的准线方程是 ( )
A.x=-1
B.x=1
C.y=-1
D.y=1
【答案】A y2 4x, 2 p 4, p 2, 1, 焦点在x正半轴,准线为x 1,选A.
13.(2017年)抛物线y2= -8x的焦点坐标是 ( )
A.(-2,0)
B.(2,0)
C.(0,-2)
D.(0,2)
【答案】A 抛物线的焦点坐标为(2, 0), 故选A.
14.(2019年)抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为3,则点P
到y轴的距离为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】 C ∵抛物线的焦点在x轴的正半轴上,且焦点坐标为(1,0), 抛物线的准线方程为x=-1, ∴点P到焦点的距离等于它到准线的距离, ∴点P到准线的距离为3, ∴点P到y轴的距离为2,故选C.
周长为20的圆的半径R 20 5 a,
2
所以b R a,与椭圆有交点.
24.(2016年)如图所示, 在直角坐标系xOy中,点A(-2, 0),点B(8, 0), 以AB为直径画半圆交y轴正半轴于M ,点P为半圆的圆心;以AB为边 长画正方形ABCD,交y轴正半轴于N,连接CM ,连接MP. (1)分别求点C, P和M的坐标; (2)求四边形BCMP的面积S.
2 故选A.
6.(2017年)设直线l经过圆x2 y2 2x 2 y 0的圆心,且在y轴上
的截距为1,则直线l的斜率为
A.2 B. 2 C. 1 D. 1
2
2
【答案】A 圆心为C(1, 1),又Q 直线过点(0,1), 直线的斜率k 1 (1) 2,
0 (1) 故选A.
7.(2015年)下列方程的图象为双曲线的是
考题直通
一、选择题
1.(2016年)直线l的倾斜角是 ,在y上的截距为2,则直线l的方程是
4 A.x y 2 0 B.x y 2 0 C.x y 2 0 D.x y 2 0
【答案】C
Q 直线的斜率k tan 1,
4 由直线的斜截式方程得y x 2, 故选C.
2.(2018年)已知点A(-1,4)和点B(5,2),则线段AB的垂直平分线的方