球杆系统技术方案报告

球杆系统技术方案报告

引言

球杆系统是一个由一根直杆和放置于其上的一个小球组成的控制对象。其中小球在沿直杆方向上有一个自由度可以自由滚动，而直杆与水平方向的夹角可以通过伺服电机进行控制。当直杆偏离水平方向时，小球在重力的作用下将沿着直杆滚动。该系统的设计目的就是通过伺服电机控制直杆的角度，进而控制小球在直杆上的滚动，实现在最短时间、最小过调量等控制条件下，让小球滚动并稳定到横杆上的指定位置[1]。

球杆系统是一个非线性不稳定系统，其中小球在导轨上滚动过程的动态描述十分复杂。它具有自身时滞时间小、响应速度快的特性[2]，是控制实验室里常见的实验设备。球杆系统通常用来检验控制策略的效果，是控制理论研究中较为理想的实验手段。

图1 德国Amira公司的Ball and Beem 实验装置BW500[3]

1球杆系统设计

球杆系统包括V型槽轨道、不锈钢球、连杆、直流减速电机[4]，直线位移传感器，角度传感器。球杆系统通过执行部件直流减速电机带动杆和角度传感器轴转动。杆倾斜时，小球由于自身重力的作用在杆上滚动，通过直线位移传感器检测小球在杆上的位置，角度传感器检测杆的倾角[5]。球杆系统原理图如下图所示。

图1.1 球杆系统原理图

直流电机的驱动放大都是采用晶体管功率放大器来实现的，晶体管放大系统可以分为两种类型，线性放大器和开关型放大器。线性放大器几乎都采用晶体管，线性地提供所需的直流电源，而开关型放大器可采用晶体管，也可采用普通晶闸管。在开关型放大器中，输出级的功率器件工作在迅速地从非导通时功率器件上的压降很小，这样避开了工作在线性放大区域，因此功率输出级的损耗就很小。目前，线性放大器一般仅在小功率的场合有所应用，而大量采用的是开关型放大器。开关型放大器通常可分为三种；脉宽调制，脉冲频率调制和可控硅整流。

这里使用L298N直流电机驱动芯片，L298N是一款性能优越的小型直流电机驱动芯片，它可以用来驱动两个直流电机在4－46V电压下，提供2A的额定电流，并且还有过热自动关断功能，驱动电路图如图1.2所示。

图1.2 直流电机驱动电路原理图

2系统模型

基于拉格朗日方程的线性化方法，通过此方法建立起球杆系统简洁而直观的

数学模型。

2.1 拉格朗日方程

由于系统中小球的速度和加速度与横杆的角度以及角度的变化都有关联，如果采用牛顿力学方程建立，公式中的变量过多，因此，采用拉格朗日方程对系统的能量进行分析，以此建立球杆系统的运动模型[6]。

考虑由n 个质点组成的质点系，有k 个自由度，以k 个广义坐标q i ，(i=1,2,…k)确定质点系的位置，则质点系中任一质点的矢径为广义坐标与时间的矢量函数，即

12(,,...,;)i i k r r q q q t =

该质点的虚位移为：

1k

i i j j j r r q q δδ=∂=∂∑

代入动力学方程，得： 11()0n k

i i i i j i j j r F m a q q δ==∂-=∂∑∑ 记i Ij i

j

r Q F q ∂=∂∑为广义力，通过对广义坐标q l 求偏导后再对时间t 求导，经整理可得[7]： 221111()()22n n Ij i i i i i i j

j d Q m v m v dt q q ==∂∂=-+∂∂∑∑ 设质点动能为T ，2112

n i i i T m v ==∑，如果系统中的主动力均为有势力，刚广义力可表示为j j V Q q ∂=-∂，又由于势能函数中不包含速度q j ，即0j

V q ∂=∂。于是有： ()()0j j

d T V T V dt q q ∂∂---=∂∂ 即：

0j j

d L L dt q q ∂∂-=∂∂ 式中L =T -V 称为拉格朗日函数。如果质点所受力含有非有势力，并记τ为质点所受非有势力之和，则拉式方程写为[8]：

j j j d T T V dt q q q τ∂∂∂-=-+∂∂∂ 2.2 球杆的运动学模型

根据系统设计方案可以绘出球杆的运动学模型。

图2.1 球杆系统坐标系

以下为变量表示的物理意义：m ：球的质量，M ：杆的质量，g ：重力加速度，r ：球的旋转半径，I b ：球的惯性力矩，I w ：杆的惯性力矩，x ：球相对于杆的坐标，y ：球相对于杆的坐标，ψ：球相对于杆的转角，α：杆与水平线的夹角。

由图2-1可见，该球-杆对象的自由坐标有3个：球在杆上的坐标x,球的滚转角ψ和杆的转角α。

系统的动能分为小球的动能T w 和导轨的动能T b ：其中导轨的动能为：

212

w w T I α= 221122

b b b T m I ω=+v ω=⨯v v'+r

上式中，v 是球线速度，v ’是球在杆坐标第中的线速度，r 是球质心在杆的坐标第中的位置向量。改写为向量形式：

000000x x x R R R ααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⨯=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

v = ωb 也是由两个分量组成的：球在杆上的滚动和杆的转速，即

b x R

ωα=+ 222()2()b x x x R R R

ωαα=++≈ 整理可得系统动能为：

2221[()()]2b w w b x T T T I m x x I R

αα=+=+++ 系统的势能为：

sin V mgx α=-

现将各已知条件带入到拉格朗日方程来推导系统的运动方程，得：

2222221{[()()]}()2b w b I T x I m x x I m x x x R R

αα∂∂=+++=+∂∂ 忽略了系统的阻尼，记电机力矩为τ，可得到系统关于广义坐标α的拉格朗日方程为：

22()sin b I m x mx mg R

αα+-= 2()2cos mx I mxx ngx ωααατ++-=

2.3 拉格朗日方程线性化

考虑到是研究微小偏差下的性能，取sin αα=，cos 1α=，故得最终的线性化方程组为：

2()b I m x mg R α+= 2()mx I mgx αατ+-=

这一组线性化方程将球杆系统的特点描绘得非常清楚，式(2-28a)表示杆转动α角引起的重力加速度分量使球沿杆运动，(2-28b)则说明球处于不同位置产生的力矩与外力矩使杆偏转，杆和球在一起的转动惯量是2()mx I α+，随球在杆上的位置而变，而球位置的影响是正反馈。可见不仅这种线性化处理过程比较直观、简单，处理结果的物理概念也非常清晰。

根据球杆对象的线性运动方程式，选取系统变量1x x =，2x x =，3x α=，4x α=，则1x 代表球在杆上的位置，2x 代表球在杆上的线速度，3x 代表杆的倾斜角度，4x 代表杆的旋转角速度。将具体数据代入上式，有

12x x =

122()b I x m mg R

α-=+ 34x x =

21401()()x mx I mgx ωτ-=++