《极坐标系--简单曲线的极坐标方程》教案
简单曲线的极坐标方程教案
简单曲线的极坐标方程教案高二年级数学集体备课材料说课人:李德辉说课时间:2013-5-27构建高效课堂教学设计案(正页)高二年级数学学科课题简单曲线的极坐标系方程预讲授时间 2013年 5月 30 日第 1 课时授课类型新授课知识目标:进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法，掌握极坐标方程的意义教和掌握一些特殊位置下的圆和直线(如过极点或垂直于极轴的直线)的极坐标方程.能力目标: 学结合数学实例培养学生归纳类比推理的能力，培养学生逻辑推理能力.目情感目标:标通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识，辨析能力以及良好的思维品质。
教学重点求简单曲线的极坐标方程的基本方法教学难点求简单曲线的极坐标方程的基本方法教学方法学生自主探究为主，教师引导为辅三、简单曲线的极坐标系方程板一.圆的极坐标方程: 例1 例2 书设计二.直线的极坐标方程:学在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿操作，但情让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师的点拨引导。
这点可采分取的措施是:小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。
析构建高效课堂教学设计案(副页)教学环教师活动学生活动节及时(教学内容的呈现及教学方法) (学习活动的设计) 间分配问题1、引例(如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为引领 ,0)(>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， (aa的极坐标(,,,)满足的条件, 4分钟学生观察、思考，教师引导，从而引出本节的课题，并给出概念2、提问:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗,自主曲线的极坐标方程与极坐标方程的曲线定义教师板书，强调含义构建 3分钟1.求以点为圆心，为半径的圆C的极aC(a,0)(a,0)学生依据所学知识进行小组合作合作解决相应问题，实现教学内容的探究坐标方程. 获得. 7分钟2.已知圆心的极坐标为，圆的半径为，M(,,,)r 00求圆的极坐标方程.点拨例1(求圆心在点(3，0)，且过极点的圆的极坐标学生独立思考回答，教师进提升方程.行纠错，并指导. ,7分钟 (4,)练习:1(求以为圆心，4为半径的圆的极坐 2 标方程. 2.已知一个圆的极坐标方程是 ,,53cos,,5sin,，求圆心的极坐标与半径., l【问题1】:求经过极点，从极轴到直线的夹角是 4合作 l探究的直线的极坐标方程.13分钟【问题2】:求过点A(a，0)(a>0)且垂直与极轴的学生在学习小组内部展开讨直线的极坐标方程. 论，教师指导，然后进行交l【问题3】:设点P的极坐标为(,,,)，直线过点P流展示. 教师板书，强调符号11 互相转换的方法 l, 且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程.【问题4】:在问题3中,如果以极点为直角坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,那么直线l 的直角坐标方程是什么?比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程,你对不同坐标系下的直线方程有什么认识?, 例2(求经过极点，且倾斜角是的直线的极坐标方自主学生观察、独立思考回答，6构建程. 教师教师规范步骤.学生整理9分钟记忆.,3 练习:求直线的直角坐标方程. ,,(,,R) 4总结本节课你有哪些收获, 评价知识层面:思想层面: 学生总结归纳，教师提示补充.方法层面: 2分钟布置红对勾 A层 P9: 1-4 6-12P11: 1—3，6—13作业 B层 P9 :5，13，14 P11: 4，5，14总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
《极坐标系 简单曲线的极坐标方程》教案
三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
1． 直线与圆的极坐标方程① 过极点，与极轴成α角的直线极坐标议程为αθραθtan tan )(=∈=或R②以极点为圆心半径等于r 的圆的极坐标方程为 r =ρ【知识迷航指南】 例1求（1）过点)4,2(πA 平行于极轴的直线。
（2）过点)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线。
解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4,2(πA ，所以|MH|=224sin=⋅π在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4,2(πA 平行于极轴的直线为2sin =θρ。
（2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点。
)3,3(πA ， OA =3，3π=∠AOB xO由已知43π=∠MBx ，所以125343πππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=-=∠OAM 又θπθ-=-∠=∠43MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 127sin)43sin(3πρθπ=- 又426)34sin(127sin+=+=πππ 将)43sin(θπ-展开化简可得23233)cos (sin +=+θθρ 所以过)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。
将它用坐标表示。
再通过代数变换进行化简。
例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。
（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。
解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。
圆C 交极轴于另一点A 。
由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程。
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教案内容：一、教学目标：1. 让学生掌握极坐标系的基本概念。
2. 让学生了解极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 让学生学会求解简单曲线的极坐标方程。
二、教学内容：1. 极坐标系的基本概念。
2. 极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 圆的极坐标方程。
4. 直线的极坐标方程。
5. 椭圆的极坐标方程。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解。
2. 教学难点：椭圆的极坐标方程的求解。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解极坐标系的基本概念，极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 采用案例分析法，分析圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解过程。
3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入极坐标系的基本概念，讲解极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
3. 讲解直线的极坐标方程，举例说明求解过程。
4. 讲解椭圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、案例分析和练习，评价学生对极坐标系的理解和掌握程度，以及对简单曲线极坐标方程的求解能力。
六、教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 极坐标系的图示或模型。
3. 圆、直线、椭圆的图示或模型。
4. 练习题。
七、教学步骤：1. 回顾极坐标系的基本概念，通过PPT或黑板展示极坐标系的图示，让学生回顾极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程。
以一个具体的圆为例，说明圆的极坐标方程的求解过程。
将圆的直角坐标方程(x-a)²+ (y-b)²= r²转换为极坐标方程。
利用极坐标与直角坐标之间的关系，即x=ρcosθ，y=ρsinθ，将直角坐标方程中的x和y替换为极坐标方程中的ρcosθ和ρsinθ，得到圆的极坐标方程ρ=2a·cosθ。
3. 讲解直线的极坐标方程。
以一个具体的直线为例，说明直线的极坐标方程的求解过程。
简单曲线的极坐标方程
第周第课时教案时间：简单曲线的极坐标方程教学主题一、教学目标1、掌握极坐标方程的意义，掌握直线的极坐标方程2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程，会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化3、过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、教学重点、极坐标方程的意义，理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化教学难点：极坐标方程的意义，直线的极坐标方程的掌握<三、教学方法讲练结合四、教学工具无五、教学流程设计教学教师活动学生活动环节圆的极坐标方程一、复习引入：、问题情境1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程极坐标系的建立是否可以求曲线方程学生回顾1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3、求曲线方程的步骤4、极坐标与直角坐标的互化关系式:二、讲解新课：/1、引例．如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为,(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(,)满足的条件解：设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有：OM=OAcosθ，即：ρ＝2acosθ①，2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗可以验证点O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.反之，适合等式①的点都在这个圆上.3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单 ①建系；②设点；M （ρ，θ）③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明.变式练习：求下列圆的极坐标方程:(１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ； (２)中心在(a,/2)，半径为a ； (３)中心在Ｃ(a ,０)，半径为a答案：(1)＝2acos(2)＝2asin(3)0cos()a ρθθ-＝２例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程。
高中数学经典教案三 简单曲线的极坐标方程
简单曲线的极坐标方程
第一课时
课题：常用曲线的极坐标方程（1）
教学目的：
知识目标：了解掌握极坐标系中直线和圆的方程
能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：求直线与圆的极坐标方程
教学难点：寻找关于ρ，θ的等式
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题情境
情境1：3cos =θρ , 5=ρ, 2sin =θρ, πθ4
3=分别表示什么曲线？ 情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？
二、讲解新课：
1、若直线l 经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线l 的极坐标方程。
变式训练：直线l 经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4
π，求此直线l 的极坐标方程。
把前面所讲特殊直线用此通式来验证。
2、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程。
运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。
简单曲线的极坐标方程 说课稿 教案 教学设计
常见曲线的极坐标方程教学目标：1．掌握各种圆的极坐标方程；2．能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形．教学重点：极坐标系中根据条件求出圆的极坐标方程．教学难点：圆的极坐标方程及其应用．教学过程：一、问题情境：1．阅读课本12-13页回答下面问题⑴直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？⑵曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义⑶求曲线方程的步骤2．(1)如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？(2)曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？二、新知探究：思路分析：1．先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴2．把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上明确标出来ρ、θ 即明确长度ρ与角度θ是哪一边， 哪一个角3．找边与角能共存的三角形，最好是直角三角形4．利用三角形的边角关系的公式与定理列等式5．列式时要充分利用所给的圆心与半径的条件6．引出指明极坐标方程的条件 三、建构数学 若圆心的坐标为M (ρ0,θ0)，圆的半径为r ，求圆的方程． 022********P()MOP MP =OM +OP -2OM OP cos . -2cos()0POM r ≠∆⋅∠-+-=ρρθρρρθθρ解：当时，设圆上任意一点为，，在中，由余弦定理知 可得 022200000=0=r ()-2cos()0r r -+-=ρρρθρρρθθρ当时，圆心位于极点，圆的极坐标方程是，亦满足上面的方程.故圆心为，，半径为的圆的极坐标方程是显然点P 的坐标也是它的解．运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程．M(,0)2M(r,)==22r ρθπρθ1.当圆心位于时，由上式可得圆的极坐标方程是 ；.当圆心位于时，由上式可得圆的极坐标2rcos rsi 程是 n 方 .四、数学应用：O MPρρr θ0θx(1)A(3,0) (2)B(8)2 (3)O C(-4,0) (4))6ππ例1 按下列条件写出圆的极坐标方程：以为圆心，且过极点的圆；以，为圆心，且过极点的圆；以极点与点连接的线段为直径的圆；圆心在极轴上，且过极点与点，的圆.（详细解答过程见教材P23）例2 求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程．变式练习：1．求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程．2．求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程．例3 已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径．五、课堂练习：1．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆；（2）圆心在)23,(πa ，半径为a 的圆．2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=ρ；（2）θρcos 5=．3．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=．4．求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径．六、回顾小结：如何求圆的极坐标方程。
简单曲线的极坐标方程精品教案
5 来表示。
提问：曲线上的点的坐标都满足这个方 程吗？ 小结：“极坐标方程的曲线与曲线的极 坐标方程的定义”，非一一对应关系的 理解，因为极坐标系中点的表示法不唯 一，所以不需要曲线上的任意一点的坐 标都适合方程，只要求曲线上任意一点 都至少有一个极坐标适合方程即可，从 而曲线的极坐标方程也不唯一，还可以 思考，为了达到一一对应需要添加的条 件。 三、思考归纳，生成概念 定义：一般地，在极坐标系中，如果平
教学过程
教学步骤 一、情景引入 多媒体播放百岁山矿泉水广告（素材启 发自笛卡尔的爱情故事），引出极坐标 方程表示的笛卡尔心形线 二、探究问题，引出概念 问题 1、直角坐标系建立可以描述点的 位置在极坐标系是否也有同样作用？ 问题 2、直角坐标系的建立可以求曲线 的方程，极坐标系的建立是否可以求曲 线方程？ 思考：以极点 O 为圆心 5 为半径的圆上
3.情感、态度与价值观目标： 通过不同坐标系的选择与变换理解事物的多样性及其中必然的内在的联系性，可以多 角度、多层次地分析问题.；通过练习体验小组探究合作学习，体会团结协作精神；通过阿 基米德螺线，四叶玫瑰线，双曲螺线，心脏线，双纽线，星形线，三叶玫瑰线的绘制感受 数学与生活的联系 ，欣赏和感受数学中的美，渗透数学文化，激发学习兴趣 教学重点：圆的极坐标方程的求法
预习作业较容 易，学生通过 阅读课本能较 好完成
结合问题尝试 归纳，生成概 念
类比平面直角 坐标系中曲线 与方程的概 念，应能较好 给出极坐标系 中相应概念， 学生可能对定 义中“任意一 点的极坐标中 至少有一个满
设计意图 激发兴趣，引出极 坐标方程
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教案章节：第一章至第五章第一章：引言1.1 极坐标系的介绍极坐标系的定义和基本概念极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系的优点和应用领域1.2 极坐标方程的基本形式极坐标方程的定义和表达方式极坐标方程与直角坐标方程的转换方法常见曲线的极坐标方程的例子第二章：圆的极坐标方程2.1 圆的极坐标方程的定义和性质圆的极坐标方程的表达方式圆的半径和角度的关系圆的极坐标方程的图像和特点2.2 圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在圆的极坐标方程中的应用第三章：螺旋线的极坐标方程3.1 螺旋线的极坐标方程的定义和性质螺旋线的极坐标方程的表达方式螺旋线的半径和角度的关系螺旋线的极坐标方程的图像和特点3.2 螺旋线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式螺旋线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在螺旋线的极坐标方程中的应用第四章：双曲线的极坐标方程4.1 双曲线的极坐标方程的定义和性质双曲线的极坐标方程的表达方式双曲线的半径和角度的关系双曲线的极坐标方程的图像和特点4.2 双曲线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的极坐标方程中的应用第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的极坐标方程的定义和性质椭圆的极坐标方程的表达方式椭圆的半径和角度的关系椭圆的极坐标方程的图像和特点5.2 椭圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式椭圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在椭圆的极坐标方程中的应用第六章：直线的极坐标方程6.1 直线的极坐标方程的定义和性质直线的极坐标方程的表达方式直线的极坐标方程与直角坐标方程的关系直线的极坐标方程的图像和特点6.2 直线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式直线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在直线的极坐标方程中的应用第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的极坐标方程的定义和性质抛物线的极坐标方程的表达方式抛物线的半径和角度的关系抛物线的极坐标方程的图像和特点7.2 抛物线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式抛物线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在抛物线的极坐标方程中的应用第八章：渐开线的极坐标方程8.1 渐开线的极坐标方程的定义和性质渐开线的极坐标方程的表达方式渐开线的半径和角度的关系渐开线的极坐标方程的图像和特点8.2 渐开线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式渐开线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在渐开线的极坐标方程中的应用第九章：双曲线的渐近线的极坐标方程9.1 双曲线的渐近线的极坐标方程的定义和性质双曲线的渐近线的极坐标方程的表达方式双曲线的渐近线的半径和角度的关系双曲线的渐近线的极坐标方程的图像和特点9.2 双曲线的渐近线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的渐近线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的渐近线的极坐标方程中的应用第十章：总结与拓展10.1 简单曲线极坐标方程的应用极坐标方程在工程和物理领域的应用极坐标方程在艺术和设计领域的应用极坐标方程在其他领域的应用10.2 极坐标方程的进一步研究复杂曲线的极坐标方程研究极坐标方程与其他数学分支的联系极坐标方程在现代科学技术中的应用重点和难点解析：1. 第一章：引言极坐标系的定义和基本概念：需要重点关注极坐标系与直角坐标系的关系，以及极坐标系的优点和应用领域。
简单曲线的极坐标方程优秀教学设计
简单曲线的极坐标方程【教学目标】知识目标：掌握极坐标系中直线和圆的方程，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【教学重点】会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【教学难点】寻找关于ρ，θ的等式【教学方法】启发、诱导发现教学。
【教学过程】一、复习引入：问题情境：情境1：3cos =θρ ， 5=ρ， 2=θρsis ， πθ43=分别表示什么曲线？情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？我们知道，同一条曲线在不同的坐标系中，会有不同的方程。
为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。
根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成。
二、题目探析，体会感受过程，归纳总结1．基础巩固导练（1）已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 。
（2）在极坐标系中，曲线4sin() 3πρθ=-一条对称轴的极坐标方程 。
（3）在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点。
则|AB|= 。
（4）已知三点A （5，2π），B （-8，π611），C （3，π67），则ΔABC 形状为 。
（5）已知某圆的极坐标方程为：ρ2 –42ρcon(θ-π/4)+6=0则：A ．圆的普通方程 ；B ．圆上所有点（x ，y ）中xy 的最大值和最小值分别为 、 。
（1）ρcos θ= -1；（2）56πθ=；（3）（4）等边三角形；（5）（x-2）2+（y-2）2=2； 9．1；2．例题精讲例1．将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程。
（1）、ρcos θsin 2-ρθ-=0； （2）、c o s 0ρ-θ=； （3）、2c o s 216θ=ρ学生练习，教师准对问题讲评。
《简单曲线的极坐标方程》教学设计
1.3简单曲线的极坐标方程（谷杨华）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解极坐标方程的意义、能在极坐标系中给出简单曲线的方程，体会极坐标下方程与直角坐标系下曲线方程的互化，培养学生归纳类比推理、逻辑推理能力.（二）学习目标1 •通过实例，了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2•掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程.3 •能进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义. （三）学习重点1 •掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程.2 •进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化.（四）学习难点1 •求曲线的极坐标方程.2.对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解.二、教学设计（一）课前设计1. 预习任务（1）读一读：阅读教材第12页至第15页，填空：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（D=o，并且坐标适合方程f（D=o的点都在曲线C上，那么方程f（「）=o叫做曲线C的极坐标方程.2. 预习自测（1）下列点不在曲线'二COST上的是（）B.GD.(i，【知识点】极坐标方程【解题过程】将选项中点一一代入验证可得选项D不满足方程【思路点拨】由极坐标方程定义可得【答案】D.(2)极坐标系中，圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程为()A. — 2B. — 4C.「cos ：- 2D. ：?sin v -1【知识点】极坐标方程【解题过程】任取圆上一点的极坐标为(几"，依题意'=2- R,所以选A【思路点拨】根据题意寻找的等量关系式【答案】A.(3)将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：①射线y 二-3x(x 乞0);②圆x2y22^ = 0 .【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化【解题过程】①因为x =『cosv , y =：?sin^代入可得sinv - \3cosv,tanv - . 34 n又因为x^0，所以射线在第三象限，故取A^(pA0 )②将x=P cos& , y =P sin& 代入x2+y2+2x=0 整理得P = -2cos6【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化可得4 n【答案】①0= "3(p> 0 ) ②］--2 cos".(4)___________________________________________________________________ 极坐标系下，直线，cos( )"2与圆p= .2的公共点个数是___________________________________________ .4【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系【解题过程】直线方程p os( —) = ■. 2，即-：(— cos -sin“ = ■. 2，4 2 2所以直角坐标方程为x+ y-2 = 0.圆的方程p=,2,即p = 2,所以直角坐标方程为x2+ y2= 2. 因为圆心到直线的距离为d= I。
简单曲线的极坐标方程教学设计公开课1
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§1.3简单曲线的极坐标方程
一、教学任务分析
知识与技能了解极坐标系中曲线和方程的关系，能求直线和圆的极坐标方程；
过程与方法掌握求曲线极坐标方程的步骤；能求直线和圆的极坐标方程；
情感、态度、价值观认识极坐标中方程和曲线的关系，并能求简单曲线的极坐标方程。
二、教学重、难点
教学重点: 能建立圆和直线的极坐标方程。
教学难点: 建立直线的极坐标方程；理解直线极坐标方程形式的不唯一性。
三、教学基本流程
由直角坐标系下曲线与方程关系类比引进曲线的极坐标方程通过“探究”求圆的极坐标方程
给出极坐标方程的定义
例1的教学
通过“探究”求过极点的直线的极坐标方
、的教
小结本节课要布置作业
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简单曲线的极坐标方程 说课稿 教案 教学设计
常见曲线的极坐标方程教学目标：理解曲线的极坐标方程概念，掌握直线的极坐标方程．教学重点：曲线的极坐标方程的概念，根据条件求直线的极坐标方程．教学难点：直线的一般极坐标方程及其应用．教学过程：一、问题情境：1．思考：在平面直角坐标系中⑴过点(3,0)且与x 轴垂直的直线方程为 x =3 ;过点(3,3)且与x 轴垂直的直线方程为x =3 ． ⑵过点（a ,b ）且垂直于x 轴的直线方程为__x =a__归纳特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值．2．怎样求曲线的极坐标方程？与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程ϕ(ρ,θ)=0 ，再化简并讨论．二、新知探究： 探究：求过极点，倾角为4π的射线的极坐标方程． 分析： 如图，所求的射线上任一点的极角都是4π，其极径可以取任意的非负数．故所求直线的 极坐标方程为(0)4πθρ=≥思考： 1．求过极点，倾角为54π的射线的极坐标方程．易得5(0)4θπρ=≥ 2．求过极点，倾角为4π的直线的极坐标方程．544或πθθπ== 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成．原因在哪？0ρ≥为了弥补这个不足，可以考虑允许通径可以取全体实数．则上面的直线的极坐标方程可以表示为： ()4R πθρ=∈ 或5()4R θπρ=∈ 三、建构数学设点P 的极坐标为(ρ0,θ0,) ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为a ,求直线l 的极坐标方程． 解：如图，设点M(ρ,θ) 为直线上除点P 外的任意一点，连接OM ，在△OP sin sin OM OMP OPM =∠∠00sin()sin()∴=--ρραθαθ 00sin()sin()-=-ραθραθ显然点P 的坐标也是它的解．00sin()sin()-=-ραθραθ表示过00ρθ（，），倾斜角为α的直线的极坐标方程．四、数学应用：例1 按下列条件写出直线的极坐标方程：(1)A(6)(2)B(5)(3)C(8)62(4)3ππππ经过极点和点，的直线；5经过点，，且垂直于极轴的直线；经过点，，且平行于极轴的直线；经过点，且倾斜角为的直线.（详细解答过程见教材P22）总结：求直线的极坐标方程步骤⑴据题意画出草图；⑵设点M(ρ,θ) 是直线上任意一点；⑶连接MO ；⑷根据几何条件建立关于 ρ,θ 的方程， 并化简；⑸检验并确认所得的方程即为所求．五、课堂练习：1．已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程．2．直角方程与极坐标方程互化（1）θρcos -= （2）θρtan 2= (3))(43R ∈=ρπρ3．直线经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4π，求此直线的极坐标方程．把前面所讲特殊直线用此通式来验证．4．在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是3π的直线； （2）过点)3,2(π，并且和极轴垂直的直线．六、回顾小结：直线的几种极坐标方程1．过极点2．过某个定点，且垂直于极轴3．过某个定点，且与极轴成一定的角度。
简单曲线的极坐标方程 学案
三简单曲线的极坐标方程[学习目标]1.了解极坐标方程的意义.2.掌握直线和圆的极坐标方程.3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.[知识链接]1.曲线的极坐标方程是否唯一？提示由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一.2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化，若已知一曲线的极坐标方程是ρ＝2cos θ，那么该曲线对应怎样的几何图形？提示由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即标准方程为(x－1)2＋y2＝1，曲线为以(1，0)为圆心，半径为1的圆.[预习导引]1.曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示，曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.2.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程.3.常见曲线的极坐标方程圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2r cos__θ⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r，π2，半径为r的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α或θ＝α＋π过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a⎝⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2过点⎝⎛⎭⎪⎫a，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a(0<θ<π)要点一圆的极坐标方程例1求圆心在C⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin5π6是否在这个圆上.解如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA.在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2r cos⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O(0，0)，A⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin5π6＝－2，∴点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin5π6在此圆上.规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可).2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.跟踪演练1 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.解析 直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 答案 ρ＝2cos θ要点二 射线或直线的极坐标方程例2 如图，在极坐标系中，直线l 过M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2且该直线与极轴的正方向成π4，求此直线l 的极坐标方程.解 法一 设直线上任意一点为P (ρ，θ)，在△OMP 中∠OMP＝π2＋π4＝34π，∠MPO ＝θ－π4.根据正弦定理得ρsin 3π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.法二 设直线上任意一点为P (ρ，θ)，点M 的直角坐标为(0，3)，直线MP 的倾斜角为π4，∴直线l 为y ＝x ＋3，化直角坐标方程为极坐标方程为ρsin θ＝ρcosθ＋3，∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程.跟踪演练2 求以A (1，0)为端点，倾斜角为π4且在极轴上方的射线的极坐标方程.解 由题意，设M (ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A (1，0)的坐标适合上述方程.因此，以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1⎝⎛⎭⎪⎫其中ρ≥0，0≤θ<π4.要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |.解 (1)因为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcos θ，∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2，1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12，∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用.跟踪演练3 (1)将x 2－y 2＝a 2化为极坐标方程； (2)将ρ＝2a sin θ化为直角坐标方程.(3)将θ＝π3化为直角坐标方程.解 (1)直接代入互化公式，ρ2cos 2 θ－ρ2sin 2 θ＝a 2，∴ρ2cos 2θ＝a 2，这就是所求的极坐标方程.(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a ·ρsin θ.∴x 2＋y 2＝2ay ，这就是要求的直角坐标方程. (3)tan θ＝yx ，∴tan π3＝y x ＝3，化简得y ＝3x (x ≥0). 要点四 极坐标方程的应用例4 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值.解 (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程.(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆.直经l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.跟踪演练4 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.因为C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.2.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M (ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.3 B. 2 C.1D.22解析 极坐标方程化直角坐标方程为x 2＋y 2＝x 和x 2＋y 2＝y ，它们的圆心分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，圆心距是22.答案 D2.4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析 4ρsin 2θ2＝5⇒4ρ1－cos θ2＝5⇒2ρ＝2ρcos θ＋5.∵ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，代入上式得2x 2＋y 2＝2x ＋5，两边平方整理得y 2＝5x ＋254，∴它表示的曲线为抛物线.答案 D3.已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________.解析 由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得y －x ＝1.∴x －y ＋1＝0.而点A 对应直角坐标为A (2，－2)，则点A (2，－2)到直线x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522. 答案 5224.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 经过P 点且与极轴所成的角为3π4，求直线l 的极坐标方程.解 如图，设M (ρ，θ)为直线l 上除P 点外的任意一点，连接OM 、OP ，直线l 交Ox 于点A ，则有|OM |＝ρ，|OP |＝2，∠xAM ＝3π4，∠AOP ＝π4，故∠OPM ＝π2，∠MOP ＝θ－π4，所以有|OM |cos ∠MOP ＝|OP |，即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，显然P 点也在这条直线上.∴直线l的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.两条直线 B.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆D.圆解析 由ρ·sin θ＝2sin 2θ，得ρsin θ＝4sin θcos θ，即sin θ(ρ－4cos θ)＝0，∴sin θ＝0或ρ－4cos θ＝0.∴极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为直线sin θ＝0和圆ρ＝4cos θ. 答案 C4.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4B.ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C.ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4D.ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4解析 根据题意可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB 为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为2，则方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.答案 A5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析 直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为 2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎨⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2). 答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12 B.ρcos θ＝2 C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________.(规定：ρ≥0，0≤θ<2π)解析 易知曲线ρcos 2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＝4y ，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π211.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.解 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1， 得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由(1)知，M 点的坐标(2，0)，点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为MN 的中点， ∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ).三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0. (2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。
第一讲 三、简单曲线的极坐标方程(优秀经典公开课比赛教案)
课题：简单曲线的极坐标方程学科： 数学 年级： 高二 班级【学习目标】1、 了解极坐标系中曲线和方程的关系，能求直线和圆的极坐标方程；2、 掌握求曲线极坐标方程的步骤；能求直线和圆的极坐标方程；3、 认识极坐标中方程和曲线的关系，并能求简单曲线的极坐标方程。
【学习重难点】重点：能建立圆和直线的极坐标方程。
难点：建立直线的极坐标方程；理解直线极坐标方程形式的不唯一性。
【预习指导】1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程.2、直线与圆的极坐标方程① 过极点，与极轴成α角的直线极坐标议程为θραθtan tan )(=∈=或R ②以极点为圆心半径等于r 的圆的极坐标方程为 r =ρ【合作探究】例1求（1）过点)4,2(πA 平行于极轴的直线. （2）过点)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线. 解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4,2(πA ，所以|MH|=224sin =⋅π 在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4,2(πA 平行于极轴的直线为2sin =θρ.（2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点.)3,3(πA ， OA =3，3π=∠AOB 由已知43π=∠MBx ，所以125343πππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=-=∠OAM 又θπθ-=-∠=∠43MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 127sin )43sin(3πρθπ=- 又426)34sin(127sin +=+=πππ 将)43sin(θπ-展开化简可得23233)cos (sin +=+θθρ 所以过)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件.将它用坐标表示.再通过代数变换进行化简.例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程；2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程.解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点.圆C 交极轴于另一点A.由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程.（2）由4==OC r .连接CM.因为M 为弦ON 的中点.所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上.所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=.〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法.在极坐标中.求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.例2中（1）为直译法，（2）为定义法.此外（2）还可以用动点转移法.请同学们尝试用转移法重解之.例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.（1）x y 42= （2）3πθ= （3）12cos 2=θρ （4）42cos 2=θρ解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得 θθρsin 4sin 2=（2）因为x y =θtan 所以 33tan ==xy π 化简得：)0(3≥=x x y （3）因为12cos 2=θρ 所以 12cos 1=+θρ. 即2cos =+θρρ 所以 222=++x y x .化简得 )1(42--=x y .（4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提.（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤>（3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性.如本例（2）中.由于一般约定.0>ρ故3πθ=表示射线.若将题目改为)(3R ∈=ρπθ 则方程化为：x y 3=【当堂检测】1 判断点)35,21(π-是否在曲线2cos θρ=上. 2．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.（1）01222=--+x x y ；（2）θρcos 21-=.3．下列方程各表示什么曲线？（1）a y =： .（2）a =ρ： .（3）αθ=： .〔潜能强化训练〕１ 极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是（ ） Ａ ２ Ｂ 2 Ｃ １ Ｄ 22 ２ 在极坐标系中，点)2,3(π关于6πθ=)(R ∈ρ的对称的点的坐标为 （ ） A )0,3( B )2,3(π C )32,3(π- D )611,3(π 3在极坐标系中，过点)3,3(π且垂直于极轴的直线方程为（ ） A 23cos =θρ B 23sin =θρ C θρcos 23= D θρsin 23= 4 极坐标方程 )0(22cos ≥=ρθ 表示的曲线是 （ ） A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 22)4sin(=+πθρ，则极点到该直线的距离是： .6 圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是： .7 从原点O 引直线交直线0142=-+y x 于点M ，P 为OM 上一点，已知1=OM OD .求P 点的轨迹并将其化为极坐标方程.【课堂小结】1 直线，射线的极坐标方程.2 圆的极坐标方程【教学反思】。
简单曲线的极坐标方程教学设计
简单曲线的极坐标方程教学设计(公
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§简单曲线的极坐标方程
一、教学任务分析
知识与技能了解极坐标系中曲线和方程的关系，能求直线和圆的极坐标方程；
过程与方法掌握求曲线极坐标方程的步骤；能求直线和圆的极坐标方程；
情感、态度、价值观认识极坐标中方程和曲线的关系，并能求简单曲线的极坐标方程。
二、教学重、难点
教学重点: 能建立圆和直线的极坐标方程。
教学难点: 建立直线的极坐标方程；理解直线极坐标方程形式的不唯一性。
三、教学基本流程
22
33
44。
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教学目标：1. 了解极坐标系的定义和基本概念；2. 掌握极坐标与直角坐标之间的转换关系；3. 学习简单曲线的极坐标方程的求解方法；4. 能够应用极坐标方程解决实际问题。
教学内容：第一章：极坐标系的定义和基本概念1.1 极坐标系的定义1.2 极坐标与直角坐标的关系1.3 极坐标系的应用领域第二章：极坐标与直角坐标之间的转换关系2.1 极坐标与直角坐标之间的转换公式2.2 转换关系的推导过程2.3 转换关系的应用实例第三章：圆的极坐标方程3.1 圆的直角坐标方程3.2 圆的极坐标方程的推导3.3 圆的极坐标方程的应用实例第四章：直线的极坐标方程4.1 直线的直角坐标方程4.2 直线的极坐标方程的推导4.3 直线的极坐标方程的应用实例第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的直角坐标方程5.2 椭圆的极坐标方程的推导5.3 椭圆的极坐标方程的应用实例教学方法：1. 采用讲授法，讲解极坐标系的定义和基本概念，以及极坐标与直角坐标之间的转换关系；2. 通过示例和练习，让学生掌握圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解方法；3. 利用多媒体辅助教学，展示极坐标系的图像和实例，增强学生的直观感受；4. 布置课后作业，巩固学生对极坐标方程的理解和应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生对极坐标系的定义和基本概念的掌握程度；3. 学生对极坐标与直角坐标之间转换关系的理解程度；4. 学生对圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解能力的掌握程度；5. 学生对极坐标方程在实际问题中的应用能力的展示。
第六章：双曲线的极坐标方程6.1 双曲线的直角坐标方程6.2 双曲线的极坐标方程的推导6.3 双曲线的极坐标方程的应用实例第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的直角坐标方程7.2 抛物线的极坐标方程的推导7.3 抛物线的极坐标方程的应用实例第八章：参数方程与极坐标方程的转换8.1 参数方程的定义和基本概念8.2 参数方程与极坐标方程之间的转换关系8.3 参数方程与极坐标方程的转换实例第九章：简单曲线的极坐标方程的综合应用9.1 综合应用实例一：测定物体的位置9.2 综合应用实例二：计算曲线的长度9.3 综合应用实例三：求解曲线上的点的坐标第十章：总结与拓展10.1 本章小结10.2 思考题10.3 拓展阅读材料教学方法：1. 通过示例和练习，让学生掌握双曲线和抛物线的极坐标方程的求解方法；2. 利用多媒体辅助教学，展示双曲线和抛物线的图像和实例，增强学生的直观感受；3. 通过综合应用实例，让学生了解简单曲线的极坐标方程在实际问题中的应用；4. 采用小组讨论和报告的形式，激发学生的思考和交流能力。
人教版数学高二《简单曲线的极坐标方程》 同步教案
课题：简单曲线的极坐标方程教学目标:一、知识与技能：知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；掌握简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程 二、方法与过程借助生活中的实例引入极坐标的概念；研究简单图形的极坐标方程的特点；比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。
三、情感、态度与价值观体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义；通过阿基米德螺线，感受数学的文化价值。
教学重点:几类简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程教学难点：几类简单图形的极坐标方程的推导 教学过程一、新课引入：1、在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。
建立极坐标系的要素是：极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向2、对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。
当在建立了极坐标系的平面内给定一个点时，这个点的极坐标却不上唯一确定的，它可以有无数多种表示。
3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。
二、讲解新课：在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。
所谓曲线L 的极坐标方程是指L 上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程)(θρf =或0),(=θρF1、过极点直线的极坐标方程在平面直角坐标系中，过原点O 的直线方程形如：kx y =，其中k 是实数，叫作斜率，θtan =k ，θ是此直线与O x 轴的夹角，这个角是多大，一般从k 上不易看出来，需要计算θarctan 。
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三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】
1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程
0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
1． 直线与圆的极坐标方程
① 过极点，与极轴成α角的直线
极坐标议程为
αθραθtan tan )(=∈=或R
②以极点为圆心半径等于r 的圆的
极坐标方程为 r =ρ
【知识迷航指南】 例1求（1）过点)4
,2(π
A 平行于极轴的直线。
（2）过点)3
,
3(πA 且和极轴成
4
3π
角的直线。
解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4
,2(π
A ，所以|MH|=224
sin
=⋅π
在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4
,2(π
A 平行于极轴的直线
为2sin =
θρ。
（2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点。
)3
,
3(π
A ， OA =3，3
π
=
∠AOB
x
O
由已知4
3π=∠MBx ，所以125343π
ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=
-=∠OAM 又θπ
θ-=
-∠=∠4
3MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 12
7sin
)43sin(3πρ
θπ=
- 又426)34sin(127sin
+=+=πππ 将)4
3sin(θπ
-展开化简可得23233)cos (sin +=
+θθρ 所以过)3
,3(π
A 且和极轴成
4
3π
角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ
〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。
将它用坐标表示。
再通过代数变换进行化简。
例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。
（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。
解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。
圆C 交极轴于另一点A 。
由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程。
（2）由4==OC r 。
连接CM 。
因为M 为弦ON 的中点。
所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上。
所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=。
〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。
在极坐标中。
求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。
例2中（1）为直译法，（2）为定义法。
此外（2）还可以用动点转移法。
请同学们尝试用转移法重解之。
例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
（1）x y 42= （2）3
π
θ=
（3）12
cos 2
=θ
ρ （4）42cos 2=θρ
解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得
θθρsin 4sin 2=
（2）∵x y =
θtan ∴ 33tan ==x y
π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12
cos 1=+θ
ρ。
即2cos =+θρρ 所以
222=++x y x 。
化简得 )1(42--=x y 。
（4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。
（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤>
（3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。
如本例（2）中。
由于 一般约定.0>ρ故3
π
θ=表示射线。
若将题目改为)(3
R ∈=
ρπ
θ 则方程化为：x y 3=
〔解题能力测试〕 1 判断点)35,21(π-
是否在曲线2
cos θ
ρ=上。
2．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
（1）01222=--+x x y ；
（2）θ
ρcos 21
-=。
3．下列方程各表示什么曲线？
（1）a y =： 。
（2）a =ρ： 。
（3）αθ=： 。
〔潜能强化训练〕
１ 极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是（ ）
Ａ ２ Ｂ 2 Ｃ １ Ｄ
2
2 ２ 在极坐标系中，点)2
,
3(π
关于6
π
θ=
)(R ∈ρ的对称的点的坐标为 （ ） A )0,3( B )2,3(π C )32,3(π- D )6
11,3(π
3在极坐标系中，过点)3
,3(π
且垂直于极轴的直线方程为（ ）
A 2
3cos =
θρ B 23sin =θρ C θρcos 23= D θρsin 23
=
4 极坐标方程 )0(2
2
cos ≥=
ρθ 表示的曲线是 （ ） A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 2
2)4
sin(=
+π
θρ，则极点到该直线的距离是： 。
6 圆)sin (cos 2θθρ+=
的圆心坐标是： 。
7 从原点O 引直线交直线0142=-+y x 于点M ，P 为OM 上一点，已知1=OM OD 。
求P 点的轨迹并将其化为极坐标方程。
〔知识要点归纳〕
1 直线，射线的极坐标方程。
2 圆的极坐标方程
三、简单曲线的极坐标方程 〔解题能力测试〕
1、在
2、（1）2
222cos 10
(2)34210x y x ρρθ--=+--=
3、（1）在直角坐标下，平行于X 轴的直线。
（2）在极坐标下，表示圆心在极点半径为a 的圆。
（3）在极坐标下，表示过极点倾斜角为α的射线。
〔潜能强化训练〕 1、D 2、D 3、A
4、D
5、
2 6.(1,)2
4
π
7、以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为2cos 4sin 10ρθρθ+-=，
设000000(,).(,)2cos 4sin 10M P ρθρθρθρθ+-=则又000011θθ
θθρρρρ⎧=⎧=⎪⎪
⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
知
代入得：1
1
2
cos 4
sin 10,2cos 4sin θθρθθ
ρ
ρ
+-=∴=+。