九年级数学上册 第二章图形与变换§2.1图形的平移(.
知识必备05 图形及其变换(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备05图形及其变换（公式、定理、结论图表）考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．典例1:（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 （5，2） ．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），故答案为：（5，2）．【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．典例2：（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 （﹣1，11） ．【分析】根据题目规律，依次求出A5、A6……A10的坐标即可．【解答】解：由图象可知，A5（5，1），将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A6（﹣1，7），将点A6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A7（﹣8，0），将点A7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A8（0，﹣8），将点A8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A9（9，1），将点A9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A10（﹣1，11），故答案为：（﹣1，11）．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质 ①关于直线对称的两个图形是全等图形. ②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. ③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. ④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 3．轴对称作图步骤 ①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点． ②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.典例3：（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（ ）A．B．C．D．【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴，∵A与A'关于BC对称，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OFA'中，，故选：D．【点评】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键．典例4：（2022•黔西南州）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B＝α，则∠EAC等于（ ）A．αB．90°﹣αC．αD．90°﹣2α【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出CD＝BD＝AD＝ED，∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，求出∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α，∠CAD＝90°﹣α，即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，∴CD＝BD＝AD，由折叠的性质得：BD＝ED，∠B＝∠CED，∴CD＝BD＝AD＝ED，∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，∴∠EDC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∵AE∥DC，∴∠AED＝∠EDC＝180°﹣2α，∵ED＝AD，∴∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α，∵∠B＝α，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝90°﹣α，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤 ①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. ②分析所作图形，找出构成图形的关键点. ③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. ④按原图形连结方式顺次连结各对应点.【要点诠释】１．图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.2．平移、旋转和轴对称之间的联系 一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.典例5：（2022•枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）A．（4，0）B．（2，﹣2）C．（4，﹣1）D．（2，﹣3）【分析】作出旋转后的图形即可得出结论．【解答】解：作出旋转后的图形如下：∴B'点的坐标为（4，﹣1），故选：C．【点评】本题主要考查图形的平移和旋转，熟练掌握图形的平移和旋转是解题的关键．典例6：（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．（1）求证：BC＝AB；（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，进而得出结论；（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．【解答】（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°，由（1）得，，同理可得，∠DBE＝30°，，∴∠ABC＝∠DBE，＝，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴；（3）解：如图2，当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，由（1）得，CE＝，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a•cos60°＝，BF＝3a．sin60°＝，在Rt△BDF中，DF＝AD+AF＝2a+a＝，BD＝＝＝a，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴，∴＝，∴AG＝，∵AN∥DE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴AN＝＝a＝a，∴＝，如图3，当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，由（1）得，CE＝＝4，作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝，∴BD＝＝2a，∴，∴AQ＝，∴AN＝＝a，∴＝＝，综上所述：或．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．。
初三上册数学知识点归纳：图形的平移与旋转
2019-2019 学年初三上册数学知识点概括：图形的平移与旋转成绩的提升是同学们提升整体学习成绩的重要门路，大家必然要在平常的练习中不停累积，小编为大家准备了2019-2019 学年初三上册数学知识点概括：图形的平移与旋转，希望同学们不停获得进步!一、平移变换：1.见解：在平面内，将一个图形沿着某个方向挪动必然的距离，这样的图形运动叫做平移。
2.性质： (1)平移前后图形全等;(2)对应点连线平行或在同向来线上且相等。
3.平移的作图步骤和方法：(1)分清题目要求，确立平移的方向和平移的距离;(2) 分析所作的图形，找出组成图形的关健点;(3) 沿必然的方向，按必然的距离平移各个关健点;(4) 连结所作的各个重点点，并标上相应的字母 ;(5) 写出结论。
二、旋转变换：1.见解：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
说明：(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的;(2)旋转过程中旋转中心向来保持不动.(3) 旋转过程中旋转的方向是同样的 .(4)旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是同样的 .⑤旋转不改变图形的大小和形状 . 2.性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等 ;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;教师范读的是阅读讲课中不能够缺乏的部分，我常采纳范读，让少儿学习、模拟。
如领读，我读一句，让少儿读一句，边读边记；第二通读，我高声读，我高声读，少儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗诵磁带，一边放录音，一边少儿频频聆听，在频频聆听中体验、品尝。
(3) 旋转前、后的图形全等 .3.旋转作图的步骤和方法：(1) 确立旋转中心及旋转方向、旋转角 ;(2) 找出图形的重点点 ;(3) 将图形的重点点和旋转中心连结起来，此后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，获得这些重点点的对应点 ;(4) 按原图形挨次连结这些对应点，所获得的图形就是旋转后的图形 .要练说，先练胆。
九年级数学上册 第二章图形与变换2
下面请欣赏如下图形的变换
观察与思考☞
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形 A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边 形各对应点的连线有什么特征？
概念与性质
图形的位似
掌握位似图形的概念和性质； 会判定位似图形； 会利用位似将一个图形放大和 缩小
重点理解位似图形的概念和 性质；攻克利用位似将一个 图形放大或缩小
回顾与反思
1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？
对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对 称图形)：对称轴,对称中心. 平移：平移的方向,平移的距离. 旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角. 相似：相似比.
C’
B’
A
. O
B
C
A'
如果位似中心跑到三角形内部呢？
课堂小结
回味无穷
位似图形的概念： 每对对应点所在直线交于一点的相似图形叫做
位似图形,这个点叫做位似中心。这时的相似 比又称为位似比.
位似图形的性质： 1.位似图形上的任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比。对应边平行或在同 一直线上。
1．位似图形的概念
每对对应点所在直线交于一点的相似图形 叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
相似
对应点的连线 相交一点
辨一辨
1. 判断下列各对图形是不是位似图形. （1）正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′； 是 （2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′. 是
思考：是否相似图形都是位似图形？
相等.
概念与性质
位似图形的性质
2.1图形的平移 课件 (青岛版九年级上册) (6)
回顾与反思
前面我们已经学习了图形的哪些变换？ 轴对称 平移 旋转（包括中心对称）
以上几种图形的变换： 只改变图形的位置，不改变图形的点的相似 图形，叫做位似图形
A A′ C
C′ B′
O
△ABC和△A′B′C′是一对位似图形，点O 叫做位似中心，对应边的比为2：1
思考：还有没其他作法？
C’
B’ . O B
A
C
A'
位似中心还可以在哪呢？
课堂小结
回味无穷
• 位似图形的概念： 相似图形 每对对应顶点所在直线交于一点 • 位似图形的性质： 1.对应边平行或在同一直线上。 2.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比。 • 应用：利用位似将一个图形放大或缩小 注意：位似中心可以在两个位似图形的内部， 外部也可以在边上或公共顶点处。 其中，每种情况又分为对应点在位似中心 的同侧和异测两种类型。
O
作业 互动 57页 1. 2
A′
B′
C′
C′
B′
A′
通过上例，我们知道： 利用位似，我们可 以将一个图形放大或 缩小。
利用位似可以将一个图形放大或缩小
. OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’= 1:2 A' A O. B B’ C C’
如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把 △ABC的边长扩大到原来的两倍.
九年级数学(上)第二章：图形与变换
认真阅读课本第64、65页，回答以下问题： 1、什么叫相似图形？ 2、什么叫位似图形？位似中心？位似比？
3、位似图形有什么性质？ 4、如何作位似图形？
本节教学目标
1.理解位似图形的概念，知道利用位似可以 将一个图形放大或缩小。 2.会判定两个图形是否是位似图形。 3.掌握位似图形的性质，回作出与已知简单 图形位似的图形。
初中数学中的图形变换
初中数学中的图形变换图形变换是指将原来的图形按照一定规律进行变换，得到新的图形。
在初中数学中，图形变换包括平移、旋转、对称。
一、平移平移是指在平面上将一个图形沿着一个方向移动一段距离，并保持方向与大小不变。
平移可以理解为图形在平面上的“平移”或“搬家”。
1. 平移的定义平移变换可以用矢量来表示。
设平移矢量为$\\vec{v}$，平移作用于点 $P$，则平移后的点 $P'$ 的坐标为 $P' = P + \\vec{v}$。
2. 平移的性质（1）平移前后图形形状不变；（2）所有点沿着相同方向移动相同距离；（3）平移不改变图形的大小、面积、周长和角度；（4）平移不改变图形的方向。
二、旋转旋转是指将一个图形按照既定的中心点绕一个旋转角度旋转。
旋转可以理解为图形在平面上的“转动”。
1. 旋转的定义设点 $O$ 为旋转中心，旋转角为 $\\theta$，点$P$ 绕 $O$ 逆时针旋转后的点为 $P'$，则点 $P$ 关于$O$ 旋转 $\\theta$ 度所得的点 $P'$ 的坐标为$$\\begin{cases}x' = (x - x_0)\\cos\\theta - (y -y_0)\\sin\\theta + x_0 \\\\y' = (x - x_0)\\sin\\theta + (y -y_0)\\cos\\theta + y_0\\end{cases}$$其中，$(x_0,y_0)$ 是旋转中心的坐标。
2. 旋转的性质（1）旋转前后图形形状不变；（2）旋转不改变图形的大小、面积、周长和角度；（3）旋转改变图形的方向；（4）旋转后图形对称轴仍然存在，但位置发生变化。
三、对称对称是指按照某个点、直线或者平面，将一个图形折叠后得到的两部分完全重合的变换。
对称可以理解为对图形进行“翻转”。
1. 点对称点对称是指以某个点为对称中心，把一个点及其对称点规定到另一点上的变换。
最新九年级数学中考复习课件(图形的变换：轴对称-平移与旋转)全国通用教学讲义ppt
二、旋转
•1.旋转：
•如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一 个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为 旋转中心,转动的角度称为旋转角.
•2.性质：
•①旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的 两个图形全等).
•②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼 此相等(都是旋转角).
③探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等 腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相关性质。
④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生 活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利 用轴对称进行图案设计。
⑤通过典型实例观察和认识现实生活 中物体的相似，利用图形的相似解决一 些实际问题(如利用相似测量旗杆的高 度)。
愿我们：心想事成！
小儿外感发热的 中医治疗
孙炽东
概述
指儿童感受外邪引发的一种常 见的外感疾病。临床以发热、恶风 寒、鼻塞、喷嚏、咳嗽、头痛、全 身酸痛为主要症状。
是小儿内科最常见的疾病之一。 西医的“急性上呼吸道感染”。
诊断要点
主要症状：发热，恶风寒，鼻塞，流涕， 喷嚏，咳嗽，头痛，全身酸痛等。舌 红，苔白或厚，指纹青紫。
3、暑湿外感：夏季发病，壮热，汗出热不解，头晕 头痛，鼻塞、喷嚏，身重困倦，面色红赤，咽红 肿痛，口渴欲饮或口干不欲饮，纳呆，恶心呕吐， 泄泻，小便短赤，舌红苔黄腻，脉数，指纹紫滞。
4、时疫外感起病急骤，全身症状重。高热寒战，头 晕头痛，鼻塞、喷嚏，咳嗽，面目红赤，哭闹不 安，咽红肿痛，无汗或汗出热不解，肌肉骨节酸 痛，腹胀腹痛，或有呕吐、泄泻，舌红或红绛， 苔黄燥或黄腻，脉洪数，指纹紫滞。
病位在肺经。肺主皮毛， 居于上焦，为五脏六腑之华盖。 外邪侵入人体，当先受之。
初中数学图形的平移变换
图形的平移变换姓名：【教学目标】通过具体实例认识图形的平移变换，通过现实生活中各种丰富的实例，让学生体会图形的平移现象，让学生通过各种图形的平移，体验感受图形平移的主要因素是移动的方向和移动的距离。
【知识要点】1、把图形上的各点都按一定方向移动一定的距离得到图形，则由到的变换叫做平移变换，简称平移。
平移三要素：几何图形—运动方向—运动距离。
平移两要素：图形—有向线段。
平移变换具有如下性质：（1）平移变换的两个图形中的对应线段平行且相等；（2）平移变换的两个图形中的对应角相等。
2、利用平移变换及其性质解题的方法叫做平移变换法。
平移变换的基本特征：形状、大小不变；位置改变。
3、若题设中有平行条件或问题中关于线段或角的已知条件位置分散，常可用平移变换将一部分条件转移到同一个三角形或平行四边形中。
4、如何作出平移后的图形：首先根据平移的方向和距离确定一些关键点平移后的位置，再按原图的连结方式连结各点．【典型例题】欣赏并判断是否生活中的平移现象：１、2、一列火车在一笔直的轨道上行使着3、一辆汽车在笔直的公路上行使着4、人在冰面上沿着直线滑冰5、飞机在空中直线飞行6、足球在草坪上滚动；7、山羊在山路上跑动；8、橡皮艇在山涧漂流；9、皮箱在自动扶梯上；MA10、开关抽屉；11、推开铝合金窗；12、推拉木门；13、自动门开关；14、乘坐手扶电梯。
【典型例题】例1.（1）图形平移时，图形上所有点移动的方向是一定的。
（）（2）△ABC沿射线BC方向平移到△CBA'''，那么△CBA'''也能沿射线BC方向平移到△ABC。
（）（3）如图16-54，用丁字尺画平行线，所画直线a、b互相平行的理由是。
（4）如图16-55，△ABC经过运动，能够和△DEF重合，其中∠B= ，AC= 。
（5）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3,3）、B（-1,1）、C（2,-3），将△ABC平移后得△CBA'''，其平移方向为x轴的正方向，平移的距离为2个单位长度，则对应点A'、B'、C'的坐标分别是、、。
图形的平移与旋转
解 如图，OA＝3，PA＝4，
∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，
∴OA 旋转到 x 轴负半轴 OA′ 的位置， ∠P′A′O ＝
∠PAO＝90°，OA′＝OA＝3，P′A′＝PA＝4，
A.把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B.把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C.把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D.把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
2.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边
形ABFD的周长为( C )
∵PB＝ 22＋32＝ 13， 90π· 13 13 ∴点 B 运动的最短路径长＝ 180 ＝ 2 π.
【变式4】 (2017· 盐城)如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC 13 π 绕某点旋转到△A′B′C′的位置，则点B运动的最短路径长为_______. 2
解
答案
解题要领
旋转变换是几何证明题中一种很重要的解题技巧，在同一平
剖析
正确解答
分析与反思
错误答案展示 解：在AM、MN、NB中，MN是一个定值，因此AM＋MN ＋NB的最小值就是求AM＋NB的最小值.如图，连接AB交河岸边为M， 过M作MN垂直于河岸的另一边，则MN为最佳的造桥位置.
剖析
正确解答
分析与反思
剖析 虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸，由于 MN是一个定值，要求出AM＋MN＋NB最短，关键在于使AM＋BN最 短，根据“两点之间线段最短”，为此，最有效的办法还是把它们移 到一起讨论，利用平行四边形的特征可以实现这一目的. 正确解答 解：如图，作BB′垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接 AB′，与河岸EF交于点M，作MN⊥GH， 则MN∥BB′，MN＝BB′， ∵MNBB′为平行四边形，∴NB＝MB′. 根据“两点之间线段最短”可知，AB′最短，
人教版九年级数学上册《图形的变换》复习PPT
G
A
D
O E
B
C
F
8.已知，如图边长为1的正方形EFOG绕与之边长相等的正方 形ABCD的中心O旋转任意角度，求图中阴影部分的面积.
G
A
D
O E
B
C
F
谢谢 大家
★~☆
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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得，则旋转的角度为( C )
A.30 B.45° C.90° D.135°
7.如图，在四边形ABCD中， ∠B+∠D=180,AB=AD,AC=1,∠ACD=60,求四 边形ABCD的面积。
8.已知，如图边长为1的正方形EFOG绕与之边长相 等的正方形ABCD的中心O旋转任意角度，求图中阴影 部分的面积.
∠AOC=60°，
（1）图① ，如果AC∥BD, 求证：AC+BD=AB.
（2）图②，如果AC与BD不平行,求证：AC+BD>AB.
E
②②
E
二.旋转的知识
4.下列现象中属于旋转的有( C)个
①地下水位逐年下降； ②传送带的移动；
③方向盘的转动； ④水龙头开关的转动；
⑤钟摆的运动； ⑥荡秋千运动.
点的坐标是( B ) A．(5，－2) B．(1，－2) C．(2，－1) D．(2，－2)
2．如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到 △DEF，若△ABC的周长为16 cm，则四边形 ABFD的周C长为( )
A．16 cm
B．18 cm
C．20 cm
D．22 cm
3. 如图，线段AB与CD的交点为点O，且AB=CD,
平移
图 形 的 变 换
旋转
知识回顾 题组训练
2.1(1)图形的平移
上海音乐厅是如何“动迁”的呢
上海音乐厅是一座具有72年历史的老建筑， 为了保存其原有的风格面貌，在市政规划中有关 部门决定将其从临近的延安东路整体往南方向平 移至延中绿地。这是一项特殊的浩大工程，整个 建筑物总重为5850 吨，顶升3.36 米，平移66.46 米。这在中国建筑史上是没有过的，在世界建筑 史上也属罕见。A P NhomakorabeaB
Q
P Q
a
b
B
略证：因为P Q PQ（定值），它们的长度、方向均不变 故AP PQQB求最小值实际上是求AP QB的最小值， 通过平移，我们可知：QBPB ，且P Q相当于B B沿B
A方向的平移，这样有：BQ B P ，故APBQ AP
P B AB ，因为“两点之间，线段最短”，故AB是
（1） （2） （3） （4） 解：利用平移来设计的有、(5).
（5）
攀登知识高峰
图中的4个小三角形都是等边三角形，边长为2 cm， 你能通过平移△ABC得到其他三角形吗？若能，请分别 说出平移的方向和平移的距离． 平移△ABC可以得到△FAE， 平移的方向是点A到点F的方向， F A B
平移的距离是2 cm ． 平移△ABC还可以得到△ECD ，
平移的方向是点C到点D的方向， 平移的距离是2 cm ．
E
C
D
△AFE≌△BFD≌△DEF≌△DEC △AFE和△DEC
攀登知识高峰
能由△AOB平移而得的图形是哪个？
A F O B
能由△AOB平移而得的图形是：
C △FOE、△OCD D
E
△ADE
2.5
左
右
A E
B
D
C
图形的平移和旋转知识点
图形的平移和旋转【图形的平移】(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（3）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．1， 【典型例题】例 1．如图，△ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D ，试确定顶点 B 对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即∠BCB′=ACD， 又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定 B′的位置，如图所示．解：（1）连结 CD（2） 以 CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3） 在射线 CE 上截取 CB′=CB则 B′即为所求的 B 的对应点．（4） 连结 DB′则△DB′C 就是△ABC 绕 C 点旋转后的图形．例 2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE= 1 ，4△ABF 是△ADE 的旋转图形．（1） 旋转中心是哪一点？（2） 旋转了多少度？（3） AF 的长度是多少？（4） 如果连结 EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到． △ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是 A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是 D 的对应点∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE= 1412 (1)2 4∴AE= = 4∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点∴AF= 174（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．【图形的旋转】（1） 旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。
初中数学图形变换知识点汇总
初中数学图形变换知识点汇总图形变换指的是在平面上对图形进行平移、旋转、翻转和放缩等操作，从而改变图形的位置、形状和大小。
这些操作对于初中数学学习来说非常重要，能够帮助学生更好地理解几何图形的特性和性质。
下面将对初中数学图形变换的知识点进行详细的汇总。
一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，而保持图形的大小和形状不变。
平移变换的关键是确定平移的方向和距离。
1. 平移的基本概念平移是平移向量的长度和方向决定的，平移向量可以表示为 (a, b) 或向量→v(a,b)。
其中，a 表示横向平移的距离，b 表示纵向平移的距离。
2. 平移的性质（1）平移不改变图形的大小和形状。
（2）平移保持图形的对称性。
（3）平移不改变图形的内角和。
3. 平移的判断方法判断两个图形是否为平移关系，可以通过判断两个图形的对应点是否平移得到。
如果两个图形的对应点都平移相等的距离，则它们之间存在平移关系。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕一个固定点旋转一定的角度，从而改变图形的方向和位置。
旋转变换也是基础的图形变换方式之一。
1. 旋转的基本概念旋转是以旋转中心、旋转角度和旋转方向来描述的。
旋转中心是图形旋转的中心点，旋转角度是指图形绕旋转中心旋转的角度，旋转方向决定了图形是否顺时针或逆时针旋转。
2. 旋转的性质（1）旋转不改变图形的大小和形状。
（2）旋转保持图形的对称性。
（3）旋转不改变图形的内角和。
3. 旋转的判断方法判断两个图形是否为旋转关系，可以通过判断两个图形的对应边是否按照一定的角度旋转得到。
如果两个图形的对应边旋转相同的角度，则它们之间存在旋转关系。
三、翻转变换翻转变换是指将一个图形关于一条直线翻转，使得图形在翻转后对称于该直线。
翻转变换常见的有关于 x 轴、y 轴和原点的翻转。
1. 翻转的基本概念关于 x 轴的翻转是指将图形的每个点的 x 坐标不变，y 坐标取其相反数。
关于y 轴的翻转是指将图形的每个点的 y 坐标不变，x 坐标取其相反数。
九年级图形的变换知识点
九年级图形的变换知识点图形的变换是数学课程中的一个重要内容，也是九年级学生需要掌握的知识点之一。
通过图形的变换，我们可以改变图形的位置、大小和方向，从而帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍九年级图形的变换知识点，包括平移、旋转、镜像和缩放。
1. 平移平移是指将图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变。
平移的基本步骤是：确定平移的方向和距离，然后保持图形的形状不变，将每个点按照相同的方向和距离移动。
平移有一些重要的性质：- 平移不改变图形的面积和形状。
- 平移前后，图形上的对应点之间的距离保持不变。
- 平移可以用于解决有关位置关系和对称性质的问题。
2. 旋转旋转是指将图形沿着一个中心点旋转一定的角度，而不改变其大小和形状。
旋转的基本步骤是：确定旋转的中心和角度，然后按顺时针或逆时针方向旋转每个点。
旋转有一些重要的性质：- 旋转不改变图形的面积和形状。
- 旋转前后，图形上的对应点之间的距离保持不变。
- 旋转可以用于解决有关对称性质和角度关系的问题。
3. 镜像镜像是指将图形通过一个镜面对称地映射到另一侧，使得图形的每一个点与其镜像点关于镜面对称。
镜像的基本步骤是：选择镜面的位置和方向，然后将原图形上的每个点与镜面上的对应点连接，得到镜像图形。
镜像有一些重要的性质：- 镜像不改变图形的面积和形状。
- 镜像前后，图形上的对应点之间的距离保持不变。
- 镜像可以用于解决有关对称性质和位置关系的问题。
4. 缩放缩放是指按照比例因子改变图形的大小，而形状保持不变。
缩放的基本步骤是：确定缩放的中心和比例因子，然后将图形上的每个点相对于中心按照比例因子进行放缩。
缩放有一些重要的性质：- 缩放改变图形的大小，但不改变其形状。
- 缩放前后，图形上的对应点之间的距离保持按比例变化。
- 缩放可以用于解决有关比例关系和相关性质的问题。
综上所述，九年级图形的变换知识点主要包括平移、旋转、镜像和缩放。
这些变换可以帮助我们更好地理解和解决与图形相关的问题，提高空间想象能力和数学推理能力。
中考数学知识点：平移定义知识点
中考数学知识点：平移定义知识点在中考数学中，平移是一个重要的知识点。
它不仅在几何图形的研究中有着广泛的应用，也是解决许多数学问题的关键工具。
平移，简单来说，就是在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。
这种移动不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
比如说，我们有一个三角形 ABC，我们将它沿着水平方向向右移动5 个单位长度，那么三角形的每个顶点 A、B、C 都向右移动了 5 个单位长度，移动后的三角形与原三角形的形状和大小完全相同，只是位置发生了变化。
平移具有以下几个重要的性质：首先，平移前后的图形全等。
这意味着平移不会改变图形的边的长度、角的大小等关键特征。
例如，一个正方形经过平移后，它依然是一个边长相等、四个角都是直角的正方形。
其次，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
对应点就是指在平移前后，两个图形中相对应的点。
比如，在刚才提到的三角形平移中，点 A 平移后的对应点为 A'，那么线段 AA'与平移的方向平行，并且长度等于平移的距离。
再次，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。
还是以三角形为例，AB 线段在平移后对应的线段 A'B'，它们的长度相等且相互平行。
平移在实际生活中也有很多应用。
比如在建筑设计中，设计师常常需要将一个设计图案在图纸上进行平移，以确定不同位置的布局效果；在地图制作中，地图上的各种标志和符号可能需要根据实际情况进行平移。
在中考中，关于平移的题目类型多种多样。
常见的有要求根据给定的平移条件画出平移后的图形，或者根据平移前后的图形关系求解平移的距离或方向。
我们来看一个具体的例子。
已知有一个平行四边形 ABCD，其中 A 点坐标为(1, 1)，B 点坐标为(3, 1)，C 点坐标为(4, 3)，D 点坐标为(2, 3)。
将这个平行四边形向右平移 2 个单位长度，向下平移 1 个单位长度，求平移后的平行四边形各个顶点的坐标。
九年级数学图形与变换
例 题 解 析
如图，学校有一块长为20米，宽为14米的草地， 要在草地上开一条宽为2 米的曲折小路，你能用学 过的知识求出这条小路的面积吗？面积是多少？
64平方米
20米
14米
； prz60nsr
旋转
对应点到旋转中心的距离 ______; 相等 对应点与旋转中心 相等 相等 所连线段的夹角________; 对应线段___________; 相等 对应角_______.
旋转中心 和__________ 旋转角 决定的,还与 主要是由_________ 旋转方向 有关. ___________
九年级数学(上)第二章：图形与变换
A
D
B C D
知 识 梳 理
概 念
B
E
C
F
E
A F
平移：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离。 旋转：把一个图形绕着某一点转动一个角度。 平 移 与 旋 转 的 异 同
相同： 不同：
Hale Waihona Puke 图形变换 ,变换前后的____________. 图形全等 都是一种 __________
变换方向 平移 旋转
直线 顺时针或逆时针
变换方式
移动一定的距离 转动一定的角度
知识梳理
轴对称
图 形 之 间 的 三 种 变 换
平移
连结对应点的线段 _________________________________; 平行（或在同一条直线上）且相等 对应线段___________________________________ ； 平行（或在同一条直线上）且相等 相等 对应角__________. 平移方向 和___________ 平移距离 决定的. 主要是由__________