小波信号分解与重构的Matlab程序

Matlab小波分析工具箱丰富的函数和强大的仿真功能为我们学习小波、用好小波提供了方便、快捷的途径，但是，如果我们要深入掌握小波分析的原理，真正学好、用好小波，就应该尽量用自己编写的程序去实现小波变换和信号分析，尽量在自己的程序中少调用Matlab提供的函数，多用自己的理解去编写相关的小波函数，这样的过程是一个探索、求知的过程，更能让我们体会到小波的强大和学习的乐趣。

下面，我把自己编写的小波一维、二维信号分解和重构Matlab 程序共享出来，也希望有朋友共享自编的程序，共同学习，提高程序的效率和简洁性。

首先要说明的一点是，虽然是自己编写Matlab程序，但并不是说一点也不用Matlab的自带函数。

我们要编写的是实现小波变换的主要功能函数，而绘图等基本功能还是要用到Matlab函数的。

而且，根据小波变换的滤波器组原理，原始信号要通过低通、高通滤波器处理，这里就涉及到卷积这一运算步骤。

卷积——FFT算法的实现，相信很多朋友都能用Matlab、C语言等来实现，不过与Matlab自带的用机器语言编写的FFT程序相比，运算速度一般会慢几倍、几十倍。

所以，我的程序里边涉及卷积的就直接调用Matlab的conv()函数了。

我们知道，小波变换的一级分解过程是，原始信号分别进行低通、高通滤波，再分别进行二元下抽样，就得到低频、高频（也称为平均、细节）两部分系数；而多级分解则是对上一级分解得到的低频系数再进行小波分解，是一个递归过程。

以下是一维小波分解的程序：
function [cA,cD] = mydwt(x,lpd,hpd,dim);
% 函数[cA,cD]=MYDWT(X,LPD,HPD,DIM) 对输入序列x进行一维离散小波分解，输出分解序列[cA,cD]
% 输入参数：x——输入序列；
% lpd——低通滤波器；
% hpd——高通滤波器；
% dim——小波分解级数。

% 输出参数：cA——平均部分的小波分解系数；
% cD——细节部分的小波分解系数。

cA=x; % 初始化cA，cD
cD=[];
for i=1:dim
cvl=conv(cA,lpd); % 低通滤波，为了提高运行速度，调用MATLAB提供的卷积函数conv()
dnl=downspl(cvl); % 通过下抽样求出平均部分的分解系数
cvh=conv(cA,hpd); % 高通滤波
dnh=downspl(cvh); % 通过下抽样求出本层分解后的细节部分系数
cA=dnl; % 下抽样后的平均部分系数进入下一层分解
cD=[cD,dnh]; % 将本层分解所得的细节部分系数存入序列cD
end
function y=downspl(x);
% 函数Y=DOWMSPL(X) 对输入序列进行下抽样，输出序列Y。

% 下抽样是对输入序列取其偶数位，舍弃奇数位。

例如x=[x1,x2,x3,x4,x5]，则y=[x2,x4].
N=length(x); % 读取输入序列长度
M=floor(N/2); % 输出序列的长度是输入序列长度的一半（带小数时取整数
部分）
i=1:M;
y(i)=x(2*i);
而重构则是分解的逆过程，对低频系数、高频系数分别进行上抽样和低通、高通滤波处理。

要注意重构时同一级的低频、高频系数的个数必须相等。

function y = myidwt(cA,cD,lpr,hpr);
% 函数MYIDWT() 对输入的小波分解系数进行逆离散小波变换，重构出信号序列y
% 输入参数：cA ——平均部分的小波分解系数；
% cD ——细节部分的小波分解系数；
% lpr、hpr ——重构所用的低通、高通滤波器。

lca=length(cA); % 求出平均、细节部分分解系数的长度
lcd=length(cD);
while (lcd)>=(lca) % 每一层重构中，cA 和cD 的长度要相等，故每层重构后，
% 若lcd小于lca，则重构停止，这时的cA 即为重构信号序列y 。

upl=upspl(cA); % 对平均部分系数进行上抽样
cvl=conv(upl,lpr); % 低通卷积
cD_up=cD(lcd-lca+1:lcd); % 取出本层重构所需的细节部分系数，长度与本层平均部分系数的长度相等
uph=upspl(cD_up); % 对细节部分系数进行上抽样
cvh=conv(uph,hpr); % 高通卷积
cA=cvl+cvh; % 用本层重构的序列更新cA，以进行下一层重构
cD=cD(1:lcd-lca); % 舍弃本层重构用到的细节部分系数，更新cD
lca=length(cA); % 求出下一层重构所用的平均、细节部分系数的长度lcd=length(cD);
end % lcd < lca，重构完成，结束循环
y=cA; % 输出的重构序列y 等于重构完成后的平均部分系数序列cA
function y=upspl(x);
% 函数Y = UPSPL(X) 对输入的一维序列x进行上抽样，即对序列x每个元素之间
% 插零，例如x=[x1,x2,x3,x4],上抽样后为y=[x1,0,x2,0,x3,0,x4];
N=length(x); % 读取输入序列长度
M=2*N-1; % 输出序列的长度是输入序列长度的2倍再减一
for i=1:M % 输出序列的偶数位为0，奇数位按次序等于相应位置的输入序列元素
if mod(i,2)
y(i)=x((i+1)/2);
else
y(i)=0;
end
end
我们知道，二维小波分解重构可以用一系列的一维小波分解重构来实现。

以下程序是基于Haar小波的二维小波分解和重构过程：
function [LL,HL,LH,HH]=mydwt2(x);
% 函数MYDWT2() 对输入的r*c维矩阵x 进行二维小波分解，输出四个分解系数子矩阵[LL,HL,LH,HH]
% 输入参数：x ——输入矩阵，为r*c维矩阵。

% 输出参数：LL,HL,LH,HH ——是分解系数矩阵的四个相等大小的子矩阵,大小均为r/2 * c/2 维
% LL：低频部分分解系数；HL：垂直方向分解系数；
% LH：水平方向分解系数；HH：对角线方向分解系数。

lpd=[1/2 1/2];hpd=[-1/2 1/2]; % 默认的低通、高通滤波器
[row,col]=size(x); % 读取输入矩阵的大小
for j=1:row % 首先对输入矩阵的每一行序列进行一维离散小波
分解
tmp1=x(j,:);
[ca1,cd1]=mydwt(tmp1,lpd,hpd,1);
x(j,:)=[ca1,cd1]; % 将分解系数序列再存入矩阵x中，得到[L|H] end
for k=1:col % 再对输入矩阵的每一列序列进行一维离散小波分解
tmp2=x(:,k);
[ca2,cd2]=mydwt(tmp2,lpd,hpd,1);
x(:,k)=[ca2,cd2]; % 将分解所得系数存入矩阵x中，得到
[LL,Hl;LH,HH]
end
LL=x(1:row/2,1:col/2); % LL是矩阵x的左上角部分
LH=x(row/2+1:row,1:col/2); % LH是矩阵x的左下角部分
HL=x(1:row/2,col/2+1:col); % HL是矩阵x的右上角部分
HH=x(row/2+1:row,col/2+1:col); % HH是矩阵x的右下角部分
function y=myidwt2(LL,HL,LH,HH);
% 函数MYIDWT2() 对输入的子矩阵序列进行逆小波变换，重构出矩阵y
% 输入参数：LL,HL,LH,HH ——是四个大小均为r*c 维的矩阵
% 输出参数：y ——是一个大小为2r*2c 维的矩阵
lpr=[1 1];hpr=[1 -1]; % 默认的低通、高通滤波器
tmp_mat=[LL,HL;LH,HH]; % 将输入的四个矩阵组合为一个矩阵[row,col]=size(tmp_mat); % 求出组合矩阵的行列数
for k=1:col % 首先对组合矩阵tmp_mat的每一列，分开成上下两半ca1=tmp_mat(1:row/2,k); % 分开的两部分分别作为平均系数序列ca1、细节系数序列cd1
cd1=tmp_mat(row/2+1:row,k);
tmp1=myidwt(ca1,cd1,lpr,hpr); % 重构序列
yt(:,k)=tmp1; % 将重构序列存入待输出矩阵yt 的相应列，此时
y=[L|H]
end
for j=1:row % 将输出矩阵y 的每一行，分开成左右两半ca2=yt(j,1:col/2); % 分开的两部分分别作为平均系数序列ca2、细节系数序列cd2
cd2=yt(j,col/2+1:col);
tmp2=myidwt(ca2,cd2,lpr,hpr); % 重构序列
yt(j,:)=tmp2; % 将重构序列存入待输出矩阵yt 的相应行，得到最终的输出矩阵y=yt
end
y=yt;
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