高中数学空间几何量的计算.板块五.证明与计算(距离).学生版

【例1】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中

点，DE AP ⊥于E ．

⑴求证：AP ⊥平面BDE ；

⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；

⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．

F

E

B

D

C

A

P

【例2】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC 的中点，121AB AA ==，

⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．

D C

B

A A 1

B 1

C 1

【例3】 （2010年二模·崇文·文·题16）

正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中点． ⑴求证：直线1B D ∥平面AEC ；

典例分析

板块五.证明与计算（距离）

【例4】 如图，ACD ∆和ABC ∆都是直角三角形，AB BC =，30CAD ∠=，把三角形ABC

沿AC 边折起，使ABC ∆所在的平面与ACD ∆所在的平面垂直，若AB ⑴求证：面ABD ⊥面BCD ；⑵求C 点到平面ABD 的距离．

H A

B

D

C

D

C

B

A

【例5】 （2010年二模·东城·文·题17）

如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4PD DC ==，2AD =，E 为PC 的中点． ⑴求证：AD PC ⊥；

⑵求三棱锥A PDE -的体积；

⑶AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．

【例6】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．

⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．

⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．

H

O

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．

90，AB

【例8】 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CB =

，1CA AA ==M 是侧棱1CC 的中点．⑴求证：1AM BA ⊥；⑵求点C 到平面ABM 的距离．

M

C 1

B 1

A 1

C

B

A

【例10】 如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为侧棱长为4．E F ，分

别为棱AB BC ，的中点，EF

BD G =．

⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ； ⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．

D 1

C 1

B 1

A 1

G

F

E

D

C

B A

【例11】 （2008新课标山东）

如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等

边三角形，已知28BD AD ==

，2AB DC ==

⑴设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； ⑵求四棱锥P ABCD -的体积．

M D

C

B A

P

【例12】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，

45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．

F

E D

C

B

A

P

【例13】 (2010年一模·文科·题17）

如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ， 点M 、N 分别为BC 、PA 的中点，且2PA AB ==．

N

M A

C

B

P

⑴证明：BC ⊥平面AMN ； ⑵求三棱锥N AMC -的体积；

⑶在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由．

【例14】 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CB =，136CA AA ==M 是侧棱1CC 的中点．⑴求证：1AM BA ⊥；⑵求点C 到平面ABM 的距离．

M

C 1

B 1

A 1

C

B

A