高一数学常考立体几何证明题及答案

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高一数学立体几何大题(含答案)

VAi-B.cl?=Vc-AiBD=Va-AiBD=VD-AiBG=5ScsAiBCiG=f.G-2
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例 3：如图，PD ⏊ 平面 ABCD,AD ⏊ CD,AB ⎳ CD,PQ ⎳ CD,AD
= CD = DP = 2PQ = 2AB = 2, 点 M 为 BQ 的中点 .
为的 P Q C -
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所以又由题干知 : A 4 P B ,
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C
1
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13
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13) 易知 SEFG 二 ftp.c , 所以 /7AB=fSopAB-AC.=f-li2nE.iS'm45J-l
1 求二面角 Q - PM - C 的正弦值;
2 若 N 为线段 CQ 上的点，且直线 DN 与平面 PMQ 所成的角为
π 6
,
求线段
QN
的长
.
子 (2) 由山知二面⻆ QPMC 的大小为 ,
劝的平面 PMQ所成的⻆为至
所以叽与平面PMC 所成的⻆

高一数学立体几何解答题与答案详解

高一数学立体几何解答题与答案详解1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．（1）证明:连结BD .在长方体1AC 中，对角线11//BD B D .又E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴. 11//EF B D ∴.又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1. （2）在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1， ∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．2．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。

（1）求三棱锥D PAC -的体积；（2）求证：直线1BD ∥平面PAC ；（3）求证：直线1PB ⊥平面PAC . 解：（1）11113326D PAC P DAC DAC V V S PD DA DC PD --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）证明：设O 为AC 、BD 的交点，连接PO 在1D DB ∆，PO 是中位线，1//PO D B ∴ 又1D B ⊄平面PAC ，PO ⊂平面PAC 1//D B ∴平面PAC （3）证明：1AB AD == ∴四边形ABCD 是正方形∴AC BD ⊥又1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ∴1B B ⊥AC 而1ACBB B = ∴ AC ⊥平面11BB D D又1B P ⊂平面11BB D D ∴AC ⊥1B P 连接1B O ，由条件知22211113B P D P B D =+=，22232PO DP DO =+=2221192B O BB BO =+=，显然 22211B O B P PO =+ ∴1B P PO ⊥ 又1B PAC O =PD 1C 1B 1A 1DC BA图6CCA B A1C1B1D∴1B P ⊥平面PAC3．在正三棱柱C B A ABC 111-中,底面边长为2 (1)设侧棱长为1,求证C B B A 11⊥;(2)设B A 1与C B 1成600角，求侧棱长。

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ，又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

高考数学复习专题：立体几何中的有关证明与综合问题

立体几何中的有关证明与综合问题例1．已知斜三棱柱ABC-A ’B ’C ’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B ’在底面上的射影D 落在BC 上。

（1）求证：AC ⊥面BB ’C ’C 。

（2）当α为何值时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。

讲解：（1）∵ B ’D ⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ，∴ B ’D ⊥AC ，又AC ⊥BC ，BC ∩B ’D=D ， ∴ AC ⊥面BB ’C ’C 。

（2）由三垂线定理知道：要使AB ’⊥BC ’，需且只需AB ’在面BB ’C ’C 内的射影B ’C ⊥BC ’。

即四边形BB ’C ’C 为菱形。

此时，BC=BB ’。

因为B ’D ⊥面ABC ，所以，BD B '∠就是侧棱B ’B 与底面ABC 所成的角。

由D 恰好落在BC 上，且为BC 的中点，所以，此时BD B '∠=︒60。

即当α=︒60时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。

例2．如图：已知四棱锥ABCD P -中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点。

（1）求证：平面EDB ⊥平面PBC ；（2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。

讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC 为正三角形，所以，PC DE ⊥，那么我们自然想到：是否有PBC DE 面⊥？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。

∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，∴ DE 在平面ABCD 内的射影就是DC 。

在正方形ABCD 中，DC ⊥CB ， ∴ DE ⊥CB 。

又C BC PC =⋂，PBC BC PC 面⊂,， ∴ DE ⊥PBC 面。

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何复习专题及答案-高中数学

立体几何复习专题姓名：班级：考点一、空间中的平行关系1．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点． (1)求证：DE //平面PBC ； (2)求证：AB PE ⊥；(3)求三棱锥B PEC -的体积．2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；3．如图，七面体ABCDEF 的底面是凸四边形ABCD ，其中2AB AD ==，120BAD ∠=︒，AC ，BD 垂直相交于点O ，2OC OA =，棱AE ，CF 均垂直于底面ABCD .（1）证明：直线DE 与平面BCF 不．平行；4.（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1，AD =3，求三棱锥E ACD -的体积．考点二、空间中的垂直关系5．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN ⊥平面11C B N ；（2）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求CBPP 的值．7．（2016全国I ）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．（I ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值．考点三、折叠问题和探究性问题中的位置关系8．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ；（2）求证： BC ⊥平面BDE ； .9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF的位置关系，并给出证明；()2求二面角M EF D --的余弦值.10．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． (1)求证：DF //平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．11．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现-.将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P ABCFE（1）求证：AC//平面PEF；（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.12．（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（1）证明：AP⊥BC；（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，122CC AC ==.（Ⅰ）求三棱锥11C CB A -的体积；（Ⅱ）在线段1BB 上寻找一点F ，使得1CF AC ⊥，请说明作法和理由.考点四、知空间角求空间角问题14．（2014天津）如图四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2BA BD ==2AD =,5PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点．（Ⅰ）证明: EF ∥平面PAB ；（Ⅱ）若二面角P AD B --为60°，（ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值． PCDBF15．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点．(1)证明：//E PB A C 平面；(2)设13AP AD ==，，三棱锥P ABD -的体积34V =，求二面角D -AE -C 的大小16．如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒， //AD BC ， AB AC ⊥， 2AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角--A PB E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒？立体几何专题参考答案1． (1)证明：∵在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC . ∵DE ⊄平面PBC 且BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC . (2)证明：连接PD .∵PA ＝PB ，D 为AB 的中点，∴PD ⊥AB .∵DE ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB .又∵PD 、DE 是平面PDE 内的相交直线， ∴AB ⊥平面PDE .∵PE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PE .(3)解：∵PD ⊥AB ，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴PD ⊥平面ABC ，可得PD 是三棱锥P －BEC 的高．又∵33,2BECPD S==，1332B PEC P BEC BEC V V S PD --∆∴==⨯=. 2．（I ）见解析；（II ）见解析；（III ）33. （I ）证明：连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，故GHPD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH ∥平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥，又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD . 3．（1）见解析；（2）23535本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

高中《立体几何》大题(附答案解析)

《立体几何》大题及答案解析1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；()ΙΙ求二面角S AM B −−的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小ACBA 1B 1C 1DE3.（2009浙江卷）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．4.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD −的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线PC 与平面ABM 所成的角；（3）求点O 到平面ABM 的距离．6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF °==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面（III ）求二面角F BD A −−的大小。

高一数学立体几何试题答案及解析

高一数学立体几何试题答案及解析1.设三棱柱的体积为，分别是侧棱上的点，且，则四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】假设重合，重合,则【考点】棱柱棱锥的体积2.如图，四棱锥中，，四边形是边长为的正方形，若分别是线段的中点．（1）求证：∥底面；（2）若点为线段的中点，求三角形的面积。

【答案】（1）见解析；（2）【解析】要想证明线面平行，只需证明出该线段与面内的任意一条线段平行即可，在本题中，需要连接辅助线进行解答，在解此问题时主要运用了三角形内中位线平行于底边的性质；首先需要掌握知识，三角形的中位线的长度为底边的一半，先求出所需边的长度，再运用余弦定理，求出角的度数，在运用三角形面积公式即可得到结果。

试题解析：（1）解：连接，由题意知，为中点，为的中位线，平面平面平面（2）连接由（1）知：，同理可得：，，【考点】空间几何的运算3.如图，在四棱台中，底面，四边形为正方形，，，平面．（1）证明：为的中点；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）根据线面平行的性质定理，线面平行则，线线平行，所以可证,可证四边形是平行四边形，即证明是中点；（2）根据等体积转化,可证是直角三角形，写出体积公式，求解距离．试题解析：解（1）连接AD1，则D1C1∥DC∥AB，∴A、E、C1、D1四点共面，∵C1E∥平面ADD1A1，则C1E∥AD1，∴AEC1D1为平行四边形，∴AE＝D1C1＝1，∴E为AB的中点．（6分）（2），∵AD⊥DC，AD⊥DD1，∴AD⊥平面DCC1D1，AD⊥DC1．设点E到平面ADC1的距离为h，则，解得．【考点】1．线面平行的性质定理；2．等体积转化．4.设长方体的长、宽、高分别为2，1, 1，其顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_______．【答案】【解析】球直径为长方体的体对角线，故半径为【考点】球内接长方体的性质，球体积的计算5.（本小题12分）如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，．（1）证明：；（2）若，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，证得，，则根据线面垂直的判定定理可得，进而得出；（2）先证明，进而证出，再求出，最后利用柱体的体积公式求出体积；试题解析：（1）取AB 的中点O ，连接．因为，所以．由于，故△AA 1B 为等边三角形，所以．因为，所以．又，故．（2）由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故．因为所以，为三棱柱的高．又△ABC 的面积，故三棱柱的体积．【考点】1．线面垂直的判定定理；2．线线垂直的证明方法；3．柱体的体积公式；6. 如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是（）．A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°【答案】D【解析】因为易证∥，由线面平行的判定定理可证得∥面，所以A 选项结论正确；由正方体可得面，可证得，由为正方体得，因为，所以面，从而可证得．同理可证明，根据线面垂直的判定定理可证得面，所以B ，C 选项结论都正确；因为∥，所以为异面直线与所成的角，由正方体可得，所以D 选项的内容不正确．故选D 。

高中立体几何证明题

高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。

解析1. 连接AC。

- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。

2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。

- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。

- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。

- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。

题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。

解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。

- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。

2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。

- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。

- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。

二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。

解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。

- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。

- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。

- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。

- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。

- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。

高一数学常考立体几何证明题

1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：⊥AB 平面CDE;2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。

3、已知ABC ∆中90ACB ∠=o,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ．4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ； (2)1AC ⊥面11AB D ．AEDBCAED 1CB 1DCBASDCB AD 1ODBAC 1B 1A 1C5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.6、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．A 1B 11CD 1DGEF7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG .8、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥．9、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．10．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

(完整版)高中立体几何证明题精选

1、已知正方体1111ABCD A B C D-，O是底ABCD对角线的交点.求证：(１) C1O∥面11AB D；(2)1AC⊥面11AB D．2、正方体''''ABCD A B C D-中，求证：（1）''AC B D DB⊥平面；（2）''BD ACB⊥平面.3、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．D1ODBAC1B1A1CA1AB1C1D1DGEFN MPC BA4、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD5、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .8、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．求证：DE ⊥平面PAE ；9、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；。

高中数学立体几何10道大题

立体几何练习题1.四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面⊥SBC 面ABCD ，已知45=∠ABC ，2=AB ，22=BC ，3==SC SB .（1）设平面SCD 与平面SAB 的交线为l ，求证：AB l //；（2）求证：BC SA ⊥；（3）求直线SD 与面SAB 所成角的正弦值.2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，，AD=AC=1，O 为AC的中点，PO平面ABCD ，PO=2，M 为PD 的中点。

（1）证明：PB//平面ACM ；（2）证明：AD平面PAC（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值。

如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．（1）证明：CD ⊥平面PBD ；（2）求二面角C PB D --的平面角的余弦值．4.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥AD ．底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，PA=AB=BC=3，点E 在棱PB 上，且PE=2EB ．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求证：PD ∥平面EAC ；（Ⅲ）求平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．5.如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，平面ABCD 平面ABPE AB =，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，且//AE BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，在面ABCD 内是否存在点N ，使得MN ⊥平面ABCD ？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）求二面角D PE A --的余弦值.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．7.在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）求证AB⊥面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．8.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．（Ⅰ）求证：EF∥BC；（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．（Ⅰ）求证：PB ⊥DM ；（Ⅱ）求BD 与平面ADMN 所成的角．10.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.立体几何试卷答案（2）证明：连接AC ，45222ABC AB BC ∠===，，，由余弦定理得2AC =，AC AB ∴= 6分取BC 中点G ，连接,SG AG ，则AG BC ⊥.,,,SB SC SG BC SG AG G =∴⊥=BC ∴⊥面,.SAG BC SA ∴⊥ …………………8分（Ⅲ）如图，以射线OA 为x 轴，以射线OB 为y 轴，以射线OS 为z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -,B ySCAD2、试题解析：（1）证明：为AC的中点，即O为BD的中点，且 M为PD的中点，又平面ACM，平面ACM,所以PB//平面ACM。

高中数学立体几何大题(有答案)

高中数学立体几何大题(有答案)1．（2014•山东）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB=BC=AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：AP ∥平面BEF ；（Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC ．解答：证明：（Ⅰ）连接CE ，则 ∵AD ∥BC ，BC=AD ，E 为线段AD 的中点，∴四边形ABCE 是平行四边形，BCDE 是平行四边形，设AC ∩BE=O ，连接OF ，则O 是AC 的中点， ∵F 为线段PC 的中点， ∴PA ∥OF ，∵PA ⊄平面BEF ，OF ⊂平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF ；（Ⅱ）∵BCDE 是平行四边形， ∴BE ∥CD ，∵AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AP ⊥CD ， ∴BE ⊥AP ，∵AB=BC ，四边形ABCE 是平行四边形， ∴四边形ABCE 是菱形， ∴BE ⊥AC ， ∵AP ∩AC=A ，∴BE ⊥平面PAC ．3．（2014•湖北）在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q ﹣BD ﹣P 为45°．解答：解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，∵E 为PC 中点，∴EF ∥CD ，且，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=1，∴EF ∥AB ，EF=AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形， ∴BE ∥AF ，∵BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD ．（4分）（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD．（5分）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）．（6分），，∴，BC⊥DB，（8分）又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，∴BC⊥平面PBD．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量为，（10分）∵，，且λ∈（0，1）∴Q（0，2λ，1﹣λ），（11分）设平面QBD的法向量为=（a，b，c），，，由，，得，∴，（12分）∴，（13分）因λ∈（0，1），解得．（14分）4．（2014•江苏）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．解答：证明：（1）∵D 、E 为PC 、AC 的中点，∴DE ∥PA ，又∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴PA ∥平面DEF ；（2）∵D 、E 为PC 、AC 的中点，∴DE=PA=3；又∵E 、F 为AC 、AB 的中点，∴EF=BC=4； ∴DE 2+EF 2=DF 2， ∴∠DEF=90°， ∴DE ⊥EF ；∵DE ∥PA ，PA ⊥AC ，∴DE ⊥AC ；∵AC ∩EF=E ，∴DE ⊥平面ABC ；∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ． 13．（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；（2）直线A 1F ∥平面ADE ．解答：解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，∵AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥CC 1又∵AD ⊥DE ，DE 、CC 1是平面BCC 1B 1内的相交直线 ∴AD ⊥平面BCC 1B 1， ∵AD ⊂平面ADE∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；（2）∵△A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1，F 为B 1C 1的中点 ∴A 1F ⊥B 1C 1，∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1F ⊥CC 1又∵B 1C 1、CC 1是平面BCC 1B 1内的相交直线∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1 又∵AD ⊥平面BCC 1B 1， ∴A 1F ∥AD∵A 1F ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ， ∴直线A 1F ∥平面ADE ．16．（2010•深圳模拟）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点（1）求证：EF ∥平面SAD（2）设SD=2CD ，求二面角A ﹣EF ﹣D 的大小．解答：（1）如图，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ．设A （a ，0，0），S （0，0，b ），则B （a ，a ，0），C （0，a ，0），，．取SD 的中点，则．平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设A （1，0，0），则B （1，1，0），C （0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，又，，所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．。

立体几何经典大题(各个类型的典型题目)

1．如图，已知△A B C是正三角形，E A，C D都垂直于平面A B C，且E A＝A B＝2a，D C＝a，F是B E 的中点．（1）F D∥平面A B C；（2）A F⊥平面E D B．2．已知线段P A⊥矩形A B C D所在平面，M、N分别是A B、P C的中点。

（1）求证：MN//平面P A D；（2）当∠P D A＝45°时，求证：MN⊥平面P C D；3．如图，在四面体A B C D中，C B=C D,，点E，F分别是A B,B D的中点．求证：（1）直线E F//面A C D；（2）平面面B C D．4．在斜三棱柱A1B1C1—A B C中，底面是等腰三角形，A B=A C，侧面B B1C1C⊥底面A B C （1）若D是B C的中点，求证A D⊥C C1；（2）过侧面B B1C1C的对角线B C1的平面交侧棱于M，若A M=MA1，求证截面MB C1⊥侧面B B1C1C；（3）A M=MA1是截面MB C1⊥平面B B1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由]ABC DE F5.如图，在正方体A B C D —A 1B 1C 1D 1中，M、N 、G分别是A 1A ，D 1C ，A D的中点．求证：（1）MN //平面A B CD ；（2）MN ⊥平面B 1B G ．6.如图，在正方体A BCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱A D 、A B 的中点．（1）求证：E F ∥平面C B 1D 1；（2）求证：平面C A A 1C 1⊥平面C B 1D 1．_G _M _D _1_C _1_B _1_A _1_N _D _C _B _A ABCDA 1B 1C 1D 1E F7、如图，在直四棱柱A B C D -A 1B 1C 1D 1中，底面A B C D为等腰梯形，A B ∥C D ，A B =4，B C =C D =2，A A 1=2，E 、E 1分别是棱A D 、A A 1的中点(1)设F 是棱A B的中点，证明：直线E E 1∥面F C C 1；(2)证明：平面D 1A C ⊥面B B 1C 1C 。

(完整版)立体几何证明垂直专项含练习题及答案.doc

精品字里行间精品文档立体几何证明 ------ 垂直一. 复习引入1.空间两条直线的位置关系有： _________,_________,_________三种。

2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相 _________.3.直线与平面的位置关系有 _____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理 : 如果 _________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _________________________.6.两个平面的位置关系 :_________,_________.7.判定定理 1：如果一个平面内有 _____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 .10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 _____于另一个平面 . 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ⊥α图形判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 .条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这l ⊥m， l ⊥n，m∩n＝B，m ，一直线总有 l ⊥αn结论l ⊥l ⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ .与棱垂直Ⅱ .二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直直.图形结果α∩β =lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（ 1）通过“平移”。

立体几何经典试题（含答案）

1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC BC⊥⊥1CC ,BC ,BC⊥⊥AC AC，，1CC AC C Ç=,∴BC ^面11ACC A , , 又又∵1DC Ì面11ACC A ，∴1DC BC ^,由题设知01145A DC ADC Ð=Ð=,∴1CDC Ð=090,即1DC DC ^, 又∵DC BC C Ç=, , ∴∴1DC ⊥面BDC , , ∵∵1DC Ì面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+´´´=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ^平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ^平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；的体积；（3）证明：EF ^平面PAB . B 1C B A D C 1A 1【解析】（1）证明：因为AB ^平面PAD ，所以PH AB ^。

因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，边上的高，所以PH AD ^。

因为AB AD A = ，所以PH ^平面ABCD 。

（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。

(完整版)高中数学立体几何经典常考题型

高中数学立体几何经典常考题型题型一:空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝π4，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.(1)求证：平面PBD⊥平面COD；(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值.(1)证明∵OB＝OC，又∵∠ABC＝π4，∴∠OCB＝π4，∴∠BOC＝π2.∴CO⊥AB.又PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴PO⊥OC.又∵PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O，∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB.又CO?平面COD，∴平面PDB⊥平面COD.(2)解以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设OA＝1，则PO＝OB＝OC＝2，DA＝1.则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1). 设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，∴⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3). 设PD 与平面BDC 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PD →·n |PD →||n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×0＋1×（－1）＋3×（－1）02＋（－1）2＋（－1）2×12＋12＋32＝22211. 即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标.第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【变式训练】如图所示，在多面体A 1B 1D 1-DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F . (1)证明：EF ∥B 1C .(2)求二面角E -A 1D -B 1的余弦值.(1)证明由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D ，又A 1D?面A 1DE ，B 1C?面A 1DE ，于是B 1C ∥面A 1DE.又B 1C?面B 1CD 1，面A 1DE ∩面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C.(2)解因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD .以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.设平面A 1DE 的一个法向量n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得r 1，s 1，t 1应满足的方程组⎩⎨⎧12r 1＋12s 1＝0，s 1－t 1＝0，(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1).设平面A 1B 1CD 的一个法向量n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1).所以结合图形知二面角E -A 1D -B 1的余弦值为 |n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝23×2＝63.题型二:立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式： (1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.【例2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5. (1)求证：PD⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM∥平面PCD 若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，所以AB⊥平面PAD ，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB ∩PA ＝A ，所以PD⊥平面PAB. (2)解取AD 的中点O ，连接PO ，CO. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为PO?平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD.因为CO?平面ABCD ，所以PO ⊥CO. 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD.如图，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0，令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2，2).又PB →＝(1，1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.(3)解设M是棱PA上一点，则存在λ∈0，1]，使得AM→＝λAP→.因此点M(0，1－λ，λ)，BM→＝(－1，－λ，λ).因为BM?平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，则BM→·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝1 4 .所以在棱PA上存在点M，使得BM∥平面PCD，此时AMAP＝14.【类题通法】(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.【变式训练】如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点.(1)求证：DE∥平面BPC；(2)线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB若存在，试求出二面角F－PC－D的余弦值；若不存在，请说明理由.(1)证明取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CN⊥AB，垂足为点N.∵CN⊥AB，DA⊥AB，∴CN∥DA，又AB∥CD，∴四边形CDAN为平行四边形，∴CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，在Rt△BNC中，BN BC2－CN2＝102－82＝6，∴AB＝12，而E，M分别为PA，PB的中点，∴EM∥AB且EM＝6，又DC∥AB，∴EM ∥CD 且EM ＝CD ，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE ∥CM.∵CM?平面PBC ，DE?平面PBC ， ∴DE ∥平面BPC.(2)解由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (8，0，0)，B (8，12，0)，C (0，6，0)，P (0，0，8). 假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 坐标为(8，t ，0)，则CF →＝(8，t －6，0)，DB →＝(8，12，0)，由CF →·DB →＝0得t ＝23.又平面DPC 的一个法向量为m ＝(1，0，0)，设平面FPC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 又PC →＝(0，6，－8)，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，163，0.由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·FC →＝0，得⎩⎨⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝34y ，x ＝23y ，不妨令y ＝12，有n ＝(8，12，9).则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝81×82＋122＋92＝817.又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角F －PC －D 的余弦值为817. 题型三:立体几何中的折叠问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力. 【例3】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值.(1)证明由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)解如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H －xyz . 则H (0，0，0)，A (－3，－1，0)，B (0，－5，0)，C (3，－1，0)，D ′(0，0，3)，AB →＝(3，－4，0)，AC →＝(6，0，0)，AD ′→＝(3，1，3). 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即⎩⎨⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4，3，－5).设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎨⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3，1).于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B －D ′A －C 的正弦值是29525. 【类题通法】立体几何中的折叠问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化. 【变式训练】如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值. (1)证明在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)解由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，OB →，OC →，OA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0，0).设平面A 1BC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.。

（完整版）高一数学常考立体几何证明的题目及答案

1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BCAC ADBD ，E 是AB 的中点。

求证：（1）AB平面CDE; （2）平面CDE 平面ABC 。

2、如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，E 是1AA 的中点，求证：1//AC 平面BDE 。

3、已知ABC 中90ACB o,SA面ABC ,AD SC ,求证：AD面SBC ．4、已知正方体1111ABCDA B C D ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC 面11AB D ．5、正方体''''ABCD A B C D 中，求证：（1）''AC B D DB 平面；（2）''BD ACB 平面.6、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．AED BCAED 1CB 1DCBASDCBAD 1ODBAC 1B 1A 1CA 1B 1C 1C D 1DGEF7、四面体ABCD 中，,,ACBD E F 分别为,AD BC 的中点，且22EFAC ，90BDCo，求证：BD平面ACD8、如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .9、如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//A C 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC 平面BDE .10、已知ABCD 是矩形，PA 平面ABCD ，2AB，4PA AD ，E 为BC 的中点．（1）求证：DE 平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．11、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是60DAB且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG 平面PAD ；（2）求证：AD PB ．12、如图1,在正方体1111ABCDA B C D 中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO 平面MBD ．13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH.求证：截面EFGH是平行四边形．15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝23a，如图．(1)求证：MN∥面BB1C1C；(2)求MN的长．16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.（2）平面EFC ⊥平面BCD.1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ，E 是AB 的中点。

(完整版)高中数学立体几何经典常考题型

高中数学立体几何经典常考题型题型一:空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. 【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝π4，O 为AB 边上一点，且3OB ＝3OC ＝2AB ，已知PO ⊥平面ABC ，2DA ＝2AO ＝PO ，且DA ∥PO. (1)求证：平面PBD ⊥平面COD ；(2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值.(1)证明 ∵OB ＝OC ，又∵∠ABC ＝π4， ∴∠OCB ＝π4，∴∠BOC ＝π2. ∴CO ⊥AB. 又PO ⊥平面ABC ， OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC.又∵PO ，AB ⊂平面PAB ，PO ∩AB ＝O ， ∴CO ⊥平面PAB ，即CO ⊥平面PDB. 又CO ⊂平面COD ， ∴平面PDB ⊥平面COD.(2)解以OC ，OB ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设OA ＝1，则PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1.则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴PD→＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1).设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，∴⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3). 设PD 与平面BDC 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PD→·n |PD →||n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×0＋1×（－1）＋3×（－1）02＋（－1）2＋（－1）2×12＋12＋32＝22211. 即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标.第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【变式训练】如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F . (1)证明：EF ∥B 1C .(2)求二面角E -A 1D B 1的余弦值.(1)证明由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面A 1DE ，B 1C ⊄面A 1DE ，于是B 1C ∥面A 1DE.又B 1C ⊂面B 1CD 1，面A 1DE ∩面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C.(2)解因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD .以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.设平面A 1DE 的一个法向量n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得r 1，s 1，t 1应满足的方程组⎩⎪⎨⎪⎧12r 1＋12s 1＝0，s 1－t 1＝0，(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1).设平面A 1B 1CD 的一个法向量n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1).所以结合图形知二面角E -A 1D B 1的余弦值为 |n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝23×2＝63.题型二:立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式： (1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.【例2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5. (1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由.(1)证明因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD.又PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ，所以PD ⊥平面PAB. (2)解取AD 的中点O ，连接PO ，CO. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD.因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO. 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD.如图，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0，令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2，2).又PB →＝(1，1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.(3)解设M 是棱P A 上一点，则存在λ∈0，1]，使得AM →＝λAP →.因此点M (0，1－λ，λ)，BM→＝(－1，－λ，λ).因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD ，则BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝14. 所以在棱P A 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.【类题通法】(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. (2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.【变式训练】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，DC ＝6，AD ＝8，BC ＝10，∠P AD ＝45°，E 为P A 的中点. (1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，试求出二面角F －PC －D 的余弦值；若不存在，请说明理由.(1)证明取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N .∵CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，∴CN ∥DA ，又AB ∥CD ，∴四边形CDAN 为平行四边形， ∴CN ＝AD ＝8，DC ＝AN ＝6，在Rt △BNC 中，BN ＝BC 2－CN 2＝102－82＝6，∴AB ＝12，而E ，M 分别为P A ，PB 的中点， ∴EM ∥AB 且EM ＝6，又DC ∥AB ，∴EM ∥CD 且EM ＝CD ，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE ∥CM.∵CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， ∴DE ∥平面BPC.(2)解由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (8，0，0)，B (8，12，0)，C (0，6，0)，P (0，0，8). 假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 坐标为(8，t ，0)，则CF→＝(8，t －6，0)，DB →＝(8，12，0)，由CF→·DB →＝0得t ＝23. 又平面DPC 的一个法向量为m ＝(1，0，0)，设平面FPC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 又PC→＝(0，6，－8)，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，163，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·FC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝34y ，x ＝23y ，不妨令y ＝12，有n ＝(8，12，9). 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝81×82＋122＋92＝817. 又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角F －PC －D 的余弦值为817. 题型三:立体几何中的折叠问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力. 【例3】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10. (1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值.(1)证明由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3. 于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)解如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H －xyz .则H (0，0，0)，A (－3，－1，0)， B (0，－5，0)，C (3，－1，0)，D ′(0，0，3)，AB →＝(3，－4，0)，AC →＝(6，0，0)，AD ′→＝(3，1，3). 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即⎩⎨⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4，3，－5).设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎨⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3，1). 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B －D ′A －C 的正弦值是29525.【类题通法】立体几何中的折叠问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化. 【变式训练】如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)解由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，OB →，OC →，OA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0，0). 设平面A 1BC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.。

高一数学立体几何试题答案及解析

高一数学立体几何试题答案及解析1.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略2.在正方体ABCD–A1B1C1D1中，已知E是棱C1D1的中点，则异面直线B1D1与CE所成角的余弦值的大小是（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】略3.如图1，正方体中，、是的三等分点，、是的三等分点，、分别是、的中点，则四棱锥的侧视图为（）【答案】C【解析】侧视图从左向右投影，对应，对应，对应，对应，因此侧视图为C项【考点】三视图4.已知直线，平面，下列命题正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行，符号表示为：；【考点】空间中两个平面平行的判定定理；5.（本小题满分13分）如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）直三棱柱的侧棱和底面垂直，从而可得到AD⊥BB1，并且AD⊥BC，从而由线面垂直的判定定理可得到AD⊥平面BCC1B1；（2）连接C1D，从而可得到∠AC1D为直线AC1和平面BCC1B1所成角，在Rt△AC1D中，容易求出AD，AC1，从而sin∠AC1D=．试题解析：（1）直三棱柱中，，又，D是BC的中点，，平面；（2）连接，由（1）平面，则即为直线与面所成角，在直角中，，，，．即直线与面所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．6.正方体的表面积为24，则该正方体的内切球的体积为____________．【答案】【解析】正方形边长设为，内切球的直径为2，所以体积为【考点】正方体与球的基本知识7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】根据二面角的定义，是所求二面角的平面角，易得：．【考点】二面角8.已知是直线，是平面，下列命题中：①若垂直于内两条直线，则；②若平行于，则内可有无数条直线与平行；③若m⊥n，n⊥l则m∥l；④若，则；正确的命题个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】①改为垂直于平面内的两条相交直线；②正确；③改为或相交或异面；④改为或异面．故选A．【考点】线与线，面与面，线与面位置关系9.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________【答案】【解析】直观图中等腰直角三角形斜边长为2，所以两条直角边为，面积为1，因为直观图和平面图面积比为，所以平面图形的面积为【考点】平面直观图10.如图，是一个平面图形的水平放置的斜二测直观图，则这个平面图形的面积等于．【答案】【解析】水平放置的斜二测直观图还原成平面图形如上图，由斜二测画法的定义：平行于轴的线段仍平行于轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行于轴，但长度减半，所以，，，所以．【考点】斜二测画法.11.如图，是正方体的棱的中点，给出下列命题①过点有且只有一条直线与直线，都相交；②过点有且只有一条直线与直线，都垂直；③过点有且只有一个平面与直线，都相交；④过点有且只有一个平面与直线，都平行．其中真命题是：A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解析】直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取的中点，则，且，设与交于，则点共面，直线必与直线相交于某点．所以，过点有且只有一条直线与直线都相交；故①正确；过点有且只有一条直线与直线都垂直，此垂线就是棱，故②正确；过点有无数个平面与直线都相交，故③不正确；过点有且只有一个平面与直线都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选B．【考点】1．直线与平面平行的性质；2．平面与平面垂直的性质．【思路点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，①需要构造一个过点M且与直线AB、B1C1都相交的平面，就可判断；②利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断；③可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线AB、B1C1都相交的平面，即可判断．④利用线面平行的性质来判断即可．12.若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积________________．【答案】【解析】因为设圆锥的底面半径为，母线为，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，，得，圆锥的高，即圆锥的高为，即圆锥的体积．【考点】锥体的侧面积公式．【思路点睛】设圆锥的底面半径为，母线为，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，求出圆锥的高，然后再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥的体积．13.正六棱柱的底面边长为，侧棱长为1，则动点从沿表面移到点时的最短的路程是．【答案】【解析】如下图所示，作出正六棱柱的展开图，如果动点从经侧面通过移到点时，则路程为；如果动点从经经沿上底面移到点时，根据题目条件，，则路程为；而，所以最短的路程是.【考点】1、棱锥的展开图；2、最值问题．14.若底面为正三角形的几何体的三视图如图所示，则几何体的侧面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面为正三角形的直三棱柱，底面三角形的高为，棱柱高为4，设底面边长为x，则解得，故几何体的侧面积为故选：D．【考点】三视图，几何体的侧面积15.如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③不是棱锥D．④是棱柱【答案】D【解析】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥，选D．【考点】空间几何体的结构特征．16.在空间直角坐标系中，给定点，若点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（）A．2B．4C．D．【答案】A【解析】由题意知：，，则，故选A．【考点】空间两点间的距离公式．17.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体的形状是棱长为的正方体上有一个高为的正四棱锥，其体积为．【考点】1、三视图；2、空间几何体的体积．18.（2015秋•大连校级期末）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥面PBC．（1）证明：EF∥BC．（2）证明：AB⊥平面PFE．（3）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．【答案】（1）、（2）见解析；（3）BC=3或BC=．【解析】（1）由EF∥面PBC可得出EF∥BC；（2）由PC=PD=CD=4可知△PDC是等边三角形，故PE⊥AC，由平面PAC⊥平面ABC可得PE⊥平面ABC，故PE⊥AB，由EF∥BC，BC⊥AB可得AB⊥EF，从而AB⊥平面PEF；（3）设BC=x，用x表示出四边形DFBC的面积，根据体积列出方程解出x．解：（1）证明：∵EF∥面PBC．EF⊂面ABC，面PBC∩面ABC=BC，∴EF∥BC．（2）∵由CD=DE+EC=4，PD=PC=4，∴△PDC是等边三角形，∴PE⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩面ABC=AC，PE⊂平面PAC，∴PE⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴PE⊥AB，∵∠ABC=，EF∥BC．∴AB⊥EF，又∵PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，PE∩EF=E，∴AB⊥平面PEF．（3）设BC=x，则AB=，∴=，∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC，∴．∵AD=AE，，∴S=，四边形DFBC由（2）可知PE⊥平面ABC，且PE=，∴V=，解得x=3或者，∴BC=3或BC=．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．19.（2015秋•鞍山校级期末）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】（1）连结OC，推导出AO⊥BD，AO⊥OC，由此能证明AO⊥平面BCD．（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h，由V﹣ACD=V A﹣OCD，能求出点O到平面ACD的距离．O证明：（1）连结OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，，∴．在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=0，∴AO⊥平面BCD．解：（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h．∵V﹣ACD=V A﹣OCD，∴．O在△ACD中，AD=CD=2，．而，，∴．∴点O到平面ACD的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．20.平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为，为∴，即球的半径为，∴，故选B.【考点】1、球体的体积；2、球体的性质.【思路点晴】本题考察的是球体的性质，属于中档题目；用平面截球面，得到一个圆，球心到圆心的连线垂直于圆所在的平面，从而得到直角三角形，利用勾股定理即可求出球的半径，再将球的半径代入球的体积公式中，即可求出球的体积．21.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．【答案】24【解析】由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）截取得到的．在长方体中分析还原，如图（1）所示，故该几何体的直观图如图（2）所示．在图（1）中，，．故几何体的体积为．【考点】1、三视图；2、组合体的体积.【技巧点晴】本题考查的是空间几何体的体积的求法、三视图问题，属于中档题目；要先从三视图的俯视图入手，如果俯视图是圆，几何体为圆锥或三圆柱，如果俯视图是三角形，几何体为三棱柱或三棱锥；根据三视图得出该几何体为三棱柱截去三棱锥后的几何体，用两个体积相减即可.22.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD，则下列结论正确的是 .（1）；（2）；（3）与平面所成的角为；（4）四面体的体积为.【答案】（2）（4）【解析】由BD CD，使平面平面BCD，知平面，所以，又由，得，即，所以平面，即．因此是错误的，是正确的，由上面证明知是与平面所成的角，由知，．故选（2）（4）正确．【考点】命题的真假判断．【名师】折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体．如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面位置关系的判定方法及相互转化，角的作法，还要正确识别出平面图象折叠后的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值所在．23.如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，BE∥PA，BE=PA，F为PA的中点.（1）求证：PC∥平面BDF.（2）记四棱锥C-PABE的体积为V1，三棱锥P-ACD的体积为V2，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）要证线面平行，就是要证线线平行，这条平行线就是过的平面与平面的交线，从图中看，设与的交点为，就是要找的平行线，由中位线定理可证得平行；（2）题中四棱锥与三棱锥的体积没有直接的关系，我们可以通过体积公式进行转化，首先，而三棱锥与四棱锥的高相等（同），因此只要求得其底面积之比即可．试题解析：（1）证：连接EF，连接BD交AC与点O，连OF，依题得O为AC中点，又F为PA的中点，所以OF为中位线，所以OF//PC因为所以PC∥平面BDF。

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高一数学常考立体几何证明题1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。

2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。

3、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ．4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：''AC B D DB ⊥平面；6、正方体ABCD —A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ；(2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ．7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =，90BDC ∠=，AE D BCAE D 1CB 1DCBASDCB AD 1ODBAC 1B 1A 1C A A B 1BC 1CD 1DG EF求证：BD ⊥平面ACD8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF∥平面BDG .9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//A C 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥．12、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH. 求证：截面EFGH 是平行四边形．15．(12分)已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为a ，M 、N 分别为A1B 和AC 上的点，A1M ＝AN ＝23a ，如图． (1)求证：MN ∥面BB1C1C ；16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． (1)证明：PQ ∥平面ACD ；17．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD. （2）平面EFC ⊥平面BCD .20、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。

D 1ODBAC 1B 1A 1CN MPCBA25、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = 求证：MN AB ⊥；26、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .27、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//A C 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .32、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．1、证明：（1）BC AC CE ABAE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭ 同理，AD BD DE ABAE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE（2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 2、证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点∴EO 为三角形1A AC的中位线 ∴1//EO AC又EO 在平面BDE 内，1A C在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。

3、证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 4、证明：（1）连结11A C ，设11111A CB D O ⋂=，连结1AO∵1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形∴A1C1∥AC 且 11A C AC =又1,O O分别是11,A C AC的中点，∴O1C1∥AO 且11O C AO=11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C1O ∥面11AB D6、证明：(1)由B1B ∥DD1，得四边形BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD ，又BD 平面B1D1C ，B1D1⊂平面B1D1C ， ∴BD ∥平面B1D1C ．同理A1D ∥平面B1D1C ．而A1D ∩BD ＝D ，∴平面A1BD ∥平面B1CD ．(2)由BD ∥B1D1，得BD ∥平面EB1D1．取BB1中点G ，∴AE ∥B1G ．从而得B1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD ．7、证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC =12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂=∴BD ⊥平面ACD8、证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E∥平面BDG1EF D E E ⋂=，∴平面1D EF∥平面BDG9、证明：（1）设AC BD O ⋂=， ∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C∥EO又1A C ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C∥平面BDE（2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD⊥又BD AC ⊥，1AC AA A ⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC10、证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE = 在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=11、证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥12、证明：连结MO ，1A M，∵DB ⊥1A A，DB ⊥AC ，1A A AC A ⋂=，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1A O ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O．设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M中，22194A M a =．∵22211AO MO AM +=，∴1AO OM ⊥．∵OM ∩DB=O ，∴1A O⊥平面MBD ．13、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CFDF F =，∴AB ⊥平面CDF ．∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BE AB B ⋂=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ⋂=， ∴ AH ⊥平面BCD ．14．证明：∵SC ∥截面EFGH ，SC ⊄平面EFGH ，SC ⊂平面ASC ，且平面ASC ∩平面EFGH ＝GH ， ∴SC ∥GH.同理可证SC ∥EF ，∴GH ∥EF. 同理可证HE ∥GF. ∴四边形EFGH 是平行四边形．15．解：(1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP.NP ∥BC ，∴AP AB ＝AN AC ＝A1MA1B，∴MP ∥AA1∥BB1，∴面MPN ∥面BB1C1C. MN ⊂面MPN ，∴MN ∥面BB1C1C.16．解：(1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB.又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD.17．证明：(1)在△ABD 中，∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD.又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ，∴直线EF ∥面ACD. (2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD. 在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD. ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ，又∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD.18.证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2EH BD EH BD =同理，1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形20证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点∴EO 为三角形1A AC的中位线 ∴1//EO AC又EO 在平面BDE 内，1A C在平面BDE 外∴1//A C 平面BDE 。