高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1

//,2

EH BD EH BD =

同理，1//,2

FG BD FG

BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE;

（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭

同理，

AD BD DE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

又∵CE DE E ⋂=∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ⊆平面ABC ，∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证：1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外

∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

A

H G

F E D

C B

A

E

D

B

C

4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵°BC AC ∴⊥

又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥

BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥

又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC

考点：线面垂直的判定

5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１)C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设

11111

A C

B D O ⋂=，连结1AO

∵1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC =

又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形

111,C O AO AO ∴⊂

∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D

（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111

A C

B D ⊥∵， 1111B D A

C C ∴⊥面1

11AC B D ⊥即 同理可证

11A C AD ⊥， 又

1111

D B AD D ⋂=

∴1A C ⊥面11AB D

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，

又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ，

∴BD ∥平面B 1D 1C ．

同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．

而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．

(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．

从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

S

D

C

B

A

D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

A 1 A

B 1

C 1

D 1

D G E

F

8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2

2

EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD

证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12

//AC = 12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，

3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点， ∴//MQ BC ，∵CB ⊥平面PAB ，∴MQ ⊥平面PAB

∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =

∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥ （2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴1

22

PD AB =

=，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，且1

12

MQ BC =

=，∴2MN = 考点：三垂线定理

10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .

证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G

EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB

又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG

1EF D E E

⋂=，∴平面1D EF ∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 证明：（1）设AC BD O ⋂=，

∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO

又1

AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE N

M

P

C

B

A