新课标立体几何常考平行证明题汇总
专题01 平行问题的证明(原卷版)
第三篇 立体几何专题01 平行问题的证明常见考点考点一 线面平行的判定典例1．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1//AB 平面1BC D变式1-1．如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC 和一个直角梯形ACDE ，其中AE //CD ，AE ＝12CD ＝12AC ，∠EAC ＝90°，现将直角梯形ACDE 沿边AC 折起，使得AE ∠AB ，连接BE 、BD ，设线段BC 的中点为F ．求证：AF //平面BDE ；变式1-2．如图，四棱锥P ABCD -中，点M 、N 分别为直线,PB PD 上的点，且满足PM PN PB PD=，求证：//MN 平面ABCD .变式1-3．如图所示，已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将ADE 沿DE 折起.证明//BF 平面ADE .考点二 面面平行的判定典例2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，E ，F ，G 分别是PC ，PD ，BC 的中点，DC //AB ，求证：平面P AB //平面EFG .变式2-1．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是A 1C 1，A 1D 和B 1A 上任意一点．求证：平面1//A EF 平面1B MC .变式2-2．如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点D ， D 1分别在AC ， A 1C 1上，那么当点D 在什么位置时，平面BC 1D ∠平面AB 1D 1变式2-3．如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，求证：平面//EBC 平面PDA .考点三 线面平行的性质典例3．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，24AB PA ==，点E 在棱PA 上，//PC 平面BDE ．求证：E为PA的中点；变式3-1．四面体ABCD如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面，分别交四面体的棱，，于点F G H，，．证明：四边形EFGH是平行四边形．BD DC CA变式3-2．如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，判断直线a，b的位置关系，并证明．被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH．变式3-3．如图，三棱锥A BCD考点四 面面平行的性质典例4．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别是PA ，PB ，PC 的中点．M 是AB 上一点，连接MC ，N 是PM 与DE 的交点，连接FN ，求证：FN∠CM ．变式4-1．如图，在棱锥中，:1:3AE AB =，截面EFG ∥底面BDC ．已知BDC 的周长是18，求EFG的周长．变式4-2．如图，已知平面//α平面β，点P 是平面α，β外一点，且直线PB ，PD 分别与α，β相交于点A ，B 和点C ，D ．如果4cm PA =，5cm AB =，3cm PC =，求PD 的长．变式4-3．如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，MN平面αN分别是AB，CD的中点，求证：//巩固练习练习一线面平行的判定1．如图，四棱锥A DBCE-中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF．2．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.3．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，22PA AD CD AB ====，AB AD ⊥，CD AD ⊥，PA ⊥底面ABCD ， M 为PC 的中点。
高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)
立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ， 又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点， 所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。
高中数学几何证明题
新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形 ABCD 是空间四边形，E,F,G,H 分别是边AB, BC,CD, DA 的中点 (1) 求证：EFGH 是平行四边形(2) 若BD=2√3，AC=2 EG=2求异面直线 AG BD 所成的角和EG BD 所成的角。
1证明：在 ABD 中，∙∙∙ E, H 分别是AB, AD 的中点二EH //BD ,EH BD21同理，FG // BD , FG BD ∕∙ EH // FG ,EH = FG .∙.四边形 EFGH 是平行四边形。
2⑵ 90 ° 30 °考点：证平行(利用三角形中位线)，异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形 ABCD 中，BC =AC, AD =BD ,E 是AB 的中点。
同理，AD一BD=DE _ AB AE =BE,又∙.∙ CE DE=E.∙. AB _ 平面 CDE(2)由(1)有AB _平面CDE 又∙.∙ A B-平面ABC ,.∙.平面CDE _平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定求证：(1) AB _ 平面 CDE;(2) 平面CDE _平面ABC 。
证明：BC=AC [— (1) ⅛ CE 丄 ABAE=BEAC3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA l的中点,求证：AC//平面BDE 。
证明：连接AC交BD于O ,连接EO ,∙∙∙ E为AA1的中点，O为AC的中点∙∙∙ EO为三角形A1AC的中位线∙∙∙ EO//AC又EO在平面BDE内，AC在平面BDE夕卜∙A I C // 平面BDE。
考点：线面平行的判定4、已知ABC 中.ACB =90〔SA_ 面ABC, AD _ SC,求证：AD _ 面SBC.证明：T ACB =90 ° BC _ AC又SA_面ABC . SA_ BC.BC _ 面SAC.BC _ AD又SC — AD, SC「BC =C AD_ 面SBC考点：线面垂直的判定5、已知正方体ABCD -A I BIGD I , O是底ABCD对角线的交点•求证：（1 ）C I O // 面AB1D1 ; （2）AC-面AB1D1 .证明：（1）连结A1C1,设AICλ BID^O I,连结AO1∙∙∙ ABCD -^B1C1D1是正方体.A l ACC I是平行四边形∙ A1C1 // AC 且A I C^AC又O1,O 分别是A1C1,AC 的中点，∙∙∙ O1C1∕/ AO 且O1C1 =AO AOC1O1是平行四边形Ca AOI, AOI面AB1D1, C1O 二面AB1D1∙ C1O// 面AB1D1（2）'* CC1丄面A1B1C1D1 =CC 丄BD又T AG 丄BIDI, ΛB1 D1丄面 A1C1C 即 AC丄BD同理可证AIC—AD I ,又D I B I AD1 = D IAC -面AB1D1考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定B CCBC1C6、正方体 ABCD —A'B'C'D'中，求证：（1）AC 丄平面 B'D'DB ；（ 2）BD'丄平面 ACB'7、正方体 ABCD — A I B I C I D I 中.⑴求证：平面 A i BD //平面B i D i C;⑵若E 、F 分别是AA i ，CC i 的中点，求证：平面 EB i D i /平面FBD . 证明：⑴由B i B/ DDi ,得四边形BB i D i D 是平行四边形，二B i D i / BD , 又 BD 二平面 B i D i C, B i D i 平面 B i D i C,∙∙∙ BD //平面 B i D i C . 同理 A i D //平面 B i D i C .而 A i D ∩ BD = D ,∙平面 A i BD //平面 B i CD .⑵由 BD/ B i D i ,得 BD //平面 EB i D i •取 BB i 中点 G,∙ AE // B i G .从而得 B i E // AG ,同理 GF // AD . ∙ AG // DF . ∙ B i E/ DF . ∙ DF //平面 EB i D i考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 8、如图P 是 ABC 所在平面外一点，PA = PB,CB _平面PAB , M 是PC 的中点，N 是AB 上的点,AN =3NB(i)求证：MN _ AB ; (2)当.APB =90 , AB =2BC =4 时，求 MN 的长。
高中数学专题练习20 立体几何中的平行与垂直问题(新高考地区专用)解析版
立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.例2、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F 分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．(1) 求证：EF∥平面ABC；(2) 求证：BB1⊥AC.例3、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：(1)DE∥平面ACC1A1；(2)AE⊥平面BCC1B1.例4、如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BD⊥平面ACE.例5、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C 与BC1交于点E.求证：(1) DE∥平面ABB1A1；(2) BC1⊥平面A1B1C.例6、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：(1) 直线A1E∥平面ADC1；(2) 直线EF⊥平面ADC1.题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。
新高考 核心考点与题型 立体几何 第3讲 空间直线与平面的平行 - 解析
第3讲空间直线与平面的平行1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理2.(1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[微点提醒] 平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊄α，a ⊄β，则α⊄β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α⊄β，β⊄γ，则α⊄γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊄α，b ⊄α，则a ⊄b .考点一 直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1 直线与平面平行的判定【例2－1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，P A ＝AB ＝1.证明：EF ∥平面PDC ； 证明 取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点，∴MF ∥CB ，MF ＝12CB ，∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形，∴DE ∥CB ，DE ＝12CB ，∴MF ∥DE ，MF ＝DE ，∴四边形DEFM 为平行四边形，∴EF ∥DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，∴EF ∥平面PDC .规律方法 利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【变式】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .证明：如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ， 且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC .又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .角度2直线与平面平行性质定理的应用【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.解(1)如图所示，V B1－A1BE ＝V E－A1B1B＝13S△A1B1B· DA＝13×12×2×2×2＝43.(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BG∥B1F，BG就是所求直线.规律方法在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【变式1】如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.证明：在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.【变式2】如图所示，在四棱锥P ABCD-中，//BC平面PAD，12BC AD=，E是PD的中点．（⊄）求证：//BC AD；（⊄）求证：//CE平面PAB；（⊄）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使//MN平面PAB？说明理由．【分析】（⊄）根据线面平行的性质定理即可证明；（⊄）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；（⊄）取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．【解答】（⊄）在四棱锥P ABCD-中，//BC平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD⋂平面PAD AD=，//BC AD∴，（⊄）取PA的中点F，连接EF，BF，E是PD的中点，//EF AD∴，12EF AD=，又由（⊄）可得//BC AD，12BC AD=，//BC EF∴，BC EF=，∴四边形BCEF是平行四边形，//CE BF∴，CE⊂/平面PAB，BF⊂平面PAB，//CE∴平面PAB．（⊄）取AD中点N，连接CN，EN，E，N分别为PD，AD的中点，//EN PA∴，EN⊂/平面PAB，PA⊂平面PAB，//EN∴平面PAB，又由（⊄）可得//CE平面PAB，CE EN E=，∴平面//CEN平面PAB，M是CE上的动点，AN⊂平面CEN，//MN∴平面PAB，∴线段AD存在点N，使得//MN平面PAB．考点二面面平行的判定与性质典例迁移【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EF A1∥平面BCHG.证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.【变式1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，⊄四边形A1ACC1是平行四边形，⊄M是A1C的中点，连接MD，⊄D为BC的中点，⊄A1B⊄DM.⊄A1B⊄平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，⊄DM⊄平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，⊄四边形BDC1D1为平行四边形，⊄DC1⊄BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊄平面A1BD1，⊄DC1⊄平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊄平面AC1D，因此平面A1BD1⊄平面AC1D.【变式2】如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，求证：平面//EBC 平面PDA ．【分析】推导出//AD BC ，//PD EC ，由此能证明平面//EBC 平面PDA ． 【解答】底面ABCD 为正方形，//AD BC ∴，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，//PD EC ∴， ADPD D =，BCEC C =，∴平面//EBC 平面PDA ．【例4】如图，已知//αβ，P 是平面α，β外的一点，直线PAB ，PCD 分别与α、β相交于A 、B 和C 、D ．（1）求证：//AC BD ；（2）已知4PA =，5AB =，3PC =，求PD 的长．【分析】（1）由面面平行的性质即可得证；（2）由平行线的性质即可求解． 【解答】解：（1）证明：//αβ，平面PBD AC α=，平面PBD BD β=，//AC BD ∴；（2）由（1）可知，PA PC PB PD =，即4345PD =+，∴274PD =． 规律方法 利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．【变式】如图，平面//αβ，线段AB 分别交α，β于M ，N ，线段AD 分别交α，β于C ，D ，线段BF 分别交α，β于F ，E ，若9AM =，11MN =，15NB =，78FMC S ∆=．求END ∆的面积．【分析】利用面面平行的性质得到两个三角形对应边的比，结合面积公式即可得解．【解答】解：平面//αβ，又平面AND ⋂平面MC α=，平面AND ⋂平面ND β=，//MC ND ∴， 同理//EN FM ，又9AM =，11MN =，15NB =，∴926,2015MC AM FM BM ND AN EN BN ====， 又FMC END ∠=∠，所以1sin 92678212015100sin 2FMC ENDFM MC FMCS SEN ND END ∠==⨯=∠，78FMC S ∆=，100END S ∆∴=．故END ∆的面积为：100．方法总结（1）线面平行思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行； III.转化为面面平行支持定理 ①； ②； ③配图助记（2）线线平行：思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点；II.转化为二直线同与第三条直线平行； III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直； V.转化为面面平行.支持定理①；②；③；④配图助记（3）面面平行：思考途径 I.转化为判定二平面无公共点；II.转化为线面平行； III.转化为线面垂直.////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭//a a a αββαα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⊄⎭////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭//////a b c b a c ⎫⇒⎬⎭αb βa a b αb γβ α aαβaaαbβαa支持定理 ①；②；③配图助记空间平行的判定与性质 基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A.α内的所有直线与l 异面 B.α内不存在与l 平行的直线 C.α与直线l 至少有两个公共点 D.α内的直线与l 都相交解析 因为l ⊄α，直线l 不平行于平面α，所以直线l 只能与平面α相交，于是直线l 与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l 平行的直线. 答案 B2.已知直线l ，m ，平面α，β，γ，则下列条件能推出l ∥m 的是( ) A.l ⊂α，m ⊂β，α∥β B.α∥β，α∩γ＝l ，β∩γ＝m C.l ∥α，m ⊂αD.l ⊂α，α∩β＝m解析 选项A 中，直线l ，m 也可能异面；选项B 中，根据面面平行的性质定理，可推出l ∥m ，B 正确；选项C 中，直线l ，m 也可能异面；选项D 中，直线l ，m 也可能相交.故选B. 答案 B3.如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，,////,//a b a b o a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//////αβαγγβ⎫⇒⎬⎭a β αbOβ aαβ αγ∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案B4.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.答案D5.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.1条或2条解析如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(面EFGH)平行的棱有2条.答案C二、填空题6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.解析 根据题意，因为EF ∥平面AB 1C ，所以EF ∥AC .又E 是AD 的中点，所以F 是CD 的中点.因为在Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝1，故EF ＝ 2. 答案27.如图，平面α∥平面β，△ABC ，△A ′B ′C ′分别在α，β内，线段AA ′，BB ′，CC ′共点于O ，O 在α，β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________.解析 相交直线AA ′，BB ′所在平面和两平行平面α，β相交于AB ，A ′B ′，所以AB ∥A ′B ′.同理BC ∥B ′C ′，CA ∥C ′A ′.所以△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角相等，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′，A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.S △ABC ＝12×2×1×32＝32， 所以S △A ′B ′C ′＝32×⎝⎛⎭⎫232＝32×49＝239.答案2398.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，m ∥α，则m ∥β； ④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；③m ∥β或m ⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误. 答案 ② 三、解答题9.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面P AB ⊥平面ABCD ，E 是棱P A 的中点.(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)平面BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.(1)证明 在平行四边形ABCD 中，连接AC ，设AC ，BD 的交点为O ，则O 是AC 的中点.又E 是P A 的中点，连接EO ，则EO 是△P AC 的中位线，所以PC ∥EO ， 又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC ∥平面EBD .(2)解 设三棱锥E －ABD 的体积为V 1，高为h ，四棱锥P －ABCD 的体积为V ， 则三棱锥E －ABD 的体积V 1＝13×S △ABD ×h ，因为E 是P A 的中点，所以四棱锥P －ABCD 的高为2h ，所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×S 四边形ABCD ×2h ＝4×13S △ABD ×h ＝4V 1，所以(V －V 1)∶V 1＝3∶1，所以平面BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.10.如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点.求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明 (1)连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ， 连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ， 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ， 又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A.4条B.6条C.8条D.12条解析如图，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线.答案B12.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.答案D13.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面P AO.解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥P A.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面P AO，QB⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，P A⊂平面P AO，所以D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面P AO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面P AO.答案Q为CC1的中点14.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E－ABC的体积.解(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ， 易知DH ＝3，∴NG ＝32， 又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×2×32－12＝22， ∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝63.。
第8章立体几何专题3 平行的证明常考题型专题练习——【含答案】
1平行的证明【方法总结】1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．3. 应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线．4. 有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，常与公理4等结合起来使用．【分题型练习】考向一 证明线面平行例1、如图，四棱锥P ABCD -中，90BAD ABC ︒∠=∠=，证明：BC ∥平面PAD1【答案】证明过程见详解；【解析】因为四棱锥P ABCD -中，90︒∠=∠=BAD ABC ，所以BC AD ∥，因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ； 例2、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，F 是AB 的中 点，E 是PD 的中点，//PB 平面AEC【答案】证明见解析【解析】连接BD ，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 又因为E 为PD 的中点,所以//EO PB ，因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .1例3、如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, //AB DC 且12DCAB =,M 是PB 的中点，证明: //MC 平面PAD【答案】证明见解析【解析】证明：取PA 中点为N ，因为,N M 分别是,PA PB 中点，所以1//2MN AB ，又因为1//2DC AB ，所以MN //DC , 所以四边形MNDC 为平行四边形，所以//MC ND ，ND ⊂平面PAD ，MC ⊄平面PAD ，所以//MC 平面PAD . 例4、如图，在四面体A BCD -中，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =求证：//PQ 平面BCD .1【答案】证明见解析【解析】如下图所示，取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连接OP 、OF 、FQ .3AQ QC =，3AQ DF QC FC ∴==，//QF AD ∴，且14QF AD =. O 、P 分别为BD 、BM 的中点，//OP AD ∴，且12OP DM =. M 为AD 的中点，14OP AD ∴=. //OP QF ∴且OP QF =，四边形OPQF 是平行四边形，//PQ OF ∴. PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，//PQ ∴平面BCD .【巩固练习】11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M 为PC 中点，证明：//PA 平面BDM ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接OM ， 因为底面ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 中点. 在PAC ∆中,又M 为PC 中点，所以//OM PA .又PA ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以//PA 平面BDM .2．如图，在三棱锥A -BCD 中，点M ，N 分别在棱AC ，CD 的中点，求证：AD 平面BMN【答案】详见解析1【解析】证明：在ACD 中，因为M，N 分别为棱AC ，CD 的中点， 所以//MN AD ，又AD ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以AD平面BMN ．3．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，求证：//CD 平面PAB【答案】详见解析【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//CD AB , 又因为AB平面PAB ，CD ⊄平面PAB ,所以//CD 平面PAB 。
专题3：立体几何中平行关系的证明基础练习题
（1）连接 ，则 也为 的中点，由 可证 平面 ；
（2）存在， 为 的中点时，平面 平面 ，利用平面与平面平行的判定定理可证结论.
【详解】
（1）连接 ，则 也为 的中点，
因为 为 的中点，所以 为△ 的中位线，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平
∴ 是 的中点，
又 是 的中点，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
4．(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.
【分析】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，即可证明BF∥HD1；（2）取B1D1的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB1D1D．（3）由正方体得BD∥B1D1，由四边形HBFD1是平行四边形，可得HD1∥BF，可证平面BDF∥平面B1D1H．
7．证明详见解析．
【解析】
【分析】
利用中位线，分别证明 ，由此证得平面内两条相交直线和另一个平面平行，从而证得两个平面平行.
【详解】
因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA．
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，所以EF∥平面PAC．
同理得EG∥平面PAC．
又EF 平面EFG，EG 平面EFG，EF∩EG＝E，
5．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ，通过证明 平面 与 平面 ，可得平面 平面 ；
（2）找到 为异面直线 和 所成角，求 即可.
【详解】
证明：（1）由题意可得，点 分别是 和 的中点，连接 ，
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
同理： ，则 平面 ，
又 平面 平面 ，
立体几何平行问题练习题.
专题：平行问题主要考点：线面平行面面平行线面平行的判定定理：如果一个平面内的一条直线和另平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
定理模式：, , ////a b a b a ααα⊄⊂⇒面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭1、如右图所示，已知P 、Q 是正方体的面11A B BA 和面ABCD 的中心．证明：PQ ∥平面11C B BC2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC．3、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
证明：直线EE 1//平面FCC 1；4、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE 。
E E 1 A B 11D _ P5、已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP6、在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//AF 平面PCE3、如图所示，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//BD CE ，且2CE CA BD ==，F 、M 是CE 、EA 的中点。
求证：（1）//DM 平面ABC ；（2）面//FDM 面ABC .10．P 是△ABC 所在平面外一点，A ′、B ′、C ′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。
（1）求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC ；（2）S △A′B′C′∶S △ABC 的值。
高中立体几何证明题
高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。
解析1. 连接AC。
- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。
2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。
- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。
- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。
- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。
题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。
解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。
- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。
2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。
- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。
- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。
二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。
解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。
- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。
- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。
- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。
- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。
- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明(解析版)
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明考点一、线线平行例1、如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为DC ，AC 的中点，过EF 的平面与BD ，AB 分别交于点G ，H .求证：//EF GH证明：因为E ，F 分别为DC ，AC 的中点，所以//AD EF ，因为AD ⊄平面EFHG ，EF ⊂平面EFHG所以//AD 平面EFHG又平面EFHG ⋂平面ABD HG =，AD ⊂平面ABD所以//AD GH ，所以//EF GH .例2、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD //平面GAC .求证：G 为SB 的中点证明：证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接GE ，∵//SD 平面GAC ，平面SDB 平面=GAC GE ，SD ⊂平面SBD ，∵//SD GE ，而E 为BD 的中点，∵G 为SB 的中点.例3、在正四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,AB AD 的中点，过直线EF 的平面α分别与侧棱,PB PD 交于点,M N ，求证：//MN BD证明：证明：在ABD △中，因为E ，F 分别是,AB AD 的中点，所以EF BD ∕∕且12EF BD =， 又因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以//EF 平面PBD因为EF ⊂平面,αα⋂平面PBD MN =，所以//EF MN ，所以//MN BD ．跟踪练习 1、如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，//AB CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ，求证：//CD EF证明：证明：因为//AB CD ，AB平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ， 因为平面ABE 平面CDE EF =，CD ⊂平面CDE ，所以//CD EF .2、在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，求证：//AB MN答案：证明见解析证明：∵底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∵EF //CD ，∵EF //AB .EF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD ，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，∵MN //EF ，∵AB //MN .3、如图，三棱锥P ABC -中，∵ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，求证：//DE BC证明：∵1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，∵11//B C BC ，∵11B C ⊄平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∵11//B C 平面BCDE ，∵11B C ⊂平面11B C DE ，平面BCDE ⋂平面11B C DE DE =，∵11//B C DE ，则//DE BC ；4、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，点G.E.F .H 分别是棱PB ．AB ．DC ．PC 上共面的四点，//BC 平面GEFH.证明：//GH EF证明：∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面PBC 且平面PBC平面GEFH GH =，∵//BC GH .又∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面ABCD 且平面ABCD平面GEFH EF =，∵//BC EF ，∵//EF GH .5、如图，AE ⊥平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，求证：//AD BC证明：依题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∵//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∵平面//BCF 平面ADE ，∵平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE平面ABCD BC =，∵//AD BC ；考点二、 线面平行例1、如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中D 是AC 的中点，求证：B 1C ∵平面A 1BD证明：设AB 1与A 1B 相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点，∵D 为AC 中点，∵PD ∵B 1C ，又∵PD ∵平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∵B 1C ∵平面A 1BD例2、如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接,BM CE 交于点,F G 为ABE △的重心，证明：//GF 平面ABC证明：延长EG 交AB 于N ，连接CN ，因为G 为ABE △的重心，则N 为AB 的中点，且2EG GN =， 因为//CM BE ，所以2EF BE FC CM ==，所以2EF EG FC GN==，因此//GF NC ， 又因为GF ⊄平面ABC ，NC ⊂平面ABC ，所以//GF 平面ABC ；例3、如图，四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，若G ，F 分别是线段EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 平面ABC .证明：由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F ，又G 是线段EC 的中点，故//GF AC ，GF ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，//GF ∴面ABC ；跟踪练习1、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，证明：1//AB 平面1BC D证明：直三棱柱111ABC A B C -中，设1B C 与1BC 交于点E ，连接DE ，四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点，因D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，又1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D . 2、《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵111ABC A B C -中，，11AA AB AC ===，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在线段11A B 上，若P 为11A B 的中点，求证：//PN 平面11AAC C证明：证明：取11A C 的中点H ，连接PH ，HC .在堑堵111ABC A B C -中，四边形11BCC B 为平行四边形，所以11//B C BC 且11B C BC =.在111A B C △中，P ，H 分别为11A B ，11A C 的中点，所以11//PH B C 且1112PH B C =.因为N 为BC 的中点，所以12NC BC =， 从而NC PH =且//NC PH ， 所以四边形PHCN 为平行四边形，于是//PN CH .因为CH ⊂平面11AC CA ，PN ⊄平面11AC CA ，所以//PN 平面11AACC .3、如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点，证明：//MN 平面ABCD证明：连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D B C ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；4、如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，M 是AB 的中点，N 是PD 的中点，PA AB =，求证：//MN 平面PBC证明：如图∵，取PC 的中点Q ，连接BQ ，NQ ，因为N 是PD 的中点，所以//NQ CD 且12NQ CD =.因为四边形ABCD 是菱形，M 是AB 的中点，所以//BM CD 且12BM CD =， 从而//BM NQ 且BM NQ =，所以四边形BMNQ 是平行四边形，从而//MN BQ .又MN ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC . 5、如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，222BC CD CE AD BG =====，）求证：//AG 平面BDE答案：证明见解析证明：证明：过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连接DM ，如图所示：因为BC CE ⊥，且2CE BG =，所以N 为CE 中点，所以MG MN =，MNBC DA ，12MN AD BC ==， 所以MG AD ，MG AD =，所以四边形ADMG 为平行四边形，所以AG DM ，又DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ，所以AG 平面BDE .6、在四棱锥P —ABCD 中，AB //CD ，过CD 的平面分别交线段P A ，PB 于M ，N ，E 在线段DP 上(M ，N ，E 不同于端点)求证：CD //平面MNE证明：证明：∵//AB CD ，AB ⊂平面ABP ，CD ⊄平面ABP ∵//CD 平面ABP又∵CD ⊂平面CDMN ，平面CDMN 平面ABP MN =∵//CD MN又∵MN ⊂平面MNE ，CD ⊄平面MNE ∵//CD 平面MNE7、如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，1AB =，点M 为AE 的中点，求证：//BM 平面EFC证明：连接AC 交BD 于点N .连接MN .因为四边形ABCD 是正方形，所以N 为AC 的中点，由于M 为AE 的中点，所以//MN CE ， 又因为MN ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//MN 平面CEF ，易知//BN EF ，BN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//BN 平面CEF ，因为MN BN N ⋂=，BN ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以平面//BMN 平面CEF .又因为BM ⊂平面BMN ，所以//BM平面EFC ；8、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，22AB CD ==，若Q 为AB 的中点，求证：//DQ 平面PBC证明：∵在梯形ABCD 中，//AB CD ，22AB CD ==，Q 为AB 的中点，所以//BQ CD 且BQ CD =，∵四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DQ BC ，∵BC ⊂平面PBC ，DQ ⊄平面PBC ，所以//DQ 平面PBC ．9、如图所示，四面体P ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，过EF 作四面体的截面EFGH 交PC 于点G ，交PB 于点H ，证明：GH /平面ABC证明：∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点,∵EF ∵BC ,又∵EF ∵平面PBC ,BC ∵平面PBC ,∵EF ∵平面PBC ,∵EF ∵平面EFGH ,平面EFGH ∩平面PBC =GH ,∵EF ∵GH ,又∵GH ∵平面ABC ,EF ∵平面ABC ,∵GH ∵平面ABC ;10、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1//AB 平面1BC D证明：证明：如图，连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，∵四边形11BCC B 是平行四边形．∵点O 为1B C 的中点．∵D 为AC 的中点，∵OD 为1AB C 的中位线，∵1//OD AB ．∵OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，∵1//AB 平面1BC D ．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点，求证：//PB 平面ACM答案：证明见解析证明：证明：连接BD ，与AC 交于O ，在PBD △中，,O M 分别为,BD PD 的中点，//BP OM ∴,BP ⊄平面,ADE OM ⊂平面CAM ，//BP ∴平面CAM ；12、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =，证明：1//CB 平面1A EF答案：证明见解析证明：连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ，因为四边形11ABB A 为菱形，则11//AA BB 且11AA BB =， E 为1BB 的中点，则11//B E AA 且1112B E AA =，故11112B G B E AG AA ==， 所以，1B G CF AG AF=，1//CB FG ∴， 1CB ⊄平面1A EF ，FG ⊂平面1A EF ，因此，1//CB 平面1A EF ；考点三、 面面平行例1、如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，12,,AC AA AD DC AC BD ====交于点E ，且,E F 分别为1,AC CC的中点，2BE =，求证：平面11//B CD 平面1A BD证明：如图，连接1AD ，设11AD A D H ⋂=，则H 为1AD 的中点，而E 为AC 的中点，连接EH ，则EH为1ACD △的中位线，所以1//EH CD ，又EH ⊄平面11B CD ，1CD ⊂平面11B CD ，所以//EH 平面11B CD ，又因为侧棱与底面垂直，所以1111//,=BB DD BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，又BD EH E ⋂=，,BD EH ⊂平面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD .例2、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D ，E ，H 分别是PA ，BC ，PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：连结BG ，因为PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D 为PA 的中点，所以BG 与GD 共线，且2BG GD =，因为E 为BC 的中点，3BF FC =，所以F 是CE 的中点， 所以2BG BE CD EF==，所以//GE DF ， 又GE平面PGE ，DF ⊄平面PGE ，所以//DF 平面PGE ， 因为H 是PC 的中点，所以FH //PE ，因为FH ⊄平面PGE ，PE ⊂平面PGE ，所以//FH 平面PGE ，因为FH DF F ⋂=，,FH DF ⊂平面DFH ，所以平面//DFH 平面PGE ；例3、如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，2//AB DE BF BF DE ==，，，M 为棱AE 的中点，求证：平面//BMD 平面EFC证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，∵N 为AC 的中点，连接MN ，由M 为棱AE 的中点，则//MN EC ．∵MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ，∵//MN 平面EFC ．∵//BF DE BF DE =，，∵四边形BDEF 为平行四边形，∵//BD EF ．又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∵//BD 平面EFC ，又MNBD N =， ∵平面//BMD 平面EFC ．跟踪练习1、如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，2AB BE EC ===，G ，F ，M 分别是线段BE ，DC ，AB 的中点，求证：平面//GMF 平面ADE证明：如图，因为AB中点为M，连接MG，∥，又G是BE的中点，可知GM AE又AE⊆平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF AD．又AD⊆平面ADE，MF⊄平面ADE，所以MF平面ADE．⋂=，GM⊆平面GMF，MF⊆平面GMF，又因为GM MF M所以平面GMF平面ADE2、如图，四边形ABCD是边长为BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∵平面CB1D1证明：证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则O 为AC 的中点，∵E 是1AD 的中点，1//OE CD ∴OE ⊂平面BDEF ,1CD ⊄平面BDEF ,所以1//CD 平面BDEF又F 是1AB 的中点11//EF B D ∴EF ⊂平面BDEF ,11B D ⊄平面BDEF ,所以11//B D 平面BDEF又111,CD B D ⊂平面11CB D ,1111B D CD D ⋂=, 所以平面//BDEF 平面11CB D ．3、如图，已知矩形ABCD 所在的平面垂直于直角梯形ABPE 所在的平面，且EP =2BP =，1AD AE ==，AE EP ⊥，//AE BP ，F ，G 分别是BC ，BP 的中点，求证：平面//AFG 平面PEC证明：∵F ，G 分别是BC ，BP 的中点，∵FG CP ，且FG ⊄平面CPE ，则FG ∥平面CPE ，1BG PG AE ===，且//AE BP ，AE EP ⊥∵四边形AEPG 是矩形，则EP AG ∥，且AG ⊄平面CPE ，则AG平面CPE又GA GF G ⋂=，故平面//AFG 平面PEC4、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，P ，Q 是AB ，CD 的中，点M ，N 分别是SB ，CB 的中点，求证∵平面AMN //平面SCD答案：证明见解析证明：因为M 、N 分别是SB ，CB 的中点，所以//MN SC ，MN ⊄面SCD ，SC ⊂面SCD ，所以//MN 面SCD ，又//AD CN 且AD CN =，所以ADCN 为平行四边形，所以//AN DC ，AN ⊄面SCD ，DC ⊂面SCD ，所以//AN 面SCD ，又AN MN N =，,AN MN ⊂面AMN ，所以面//AMN 面SCD ；5、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，,,D E H 分别是,,PA BC PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：证明：连结BG ，由题意可得BG 与GD 共线，且2BG GD =，∵E 是BC 的中点，3BF FC =，∵F 是CE 的中点，∵2BG BE GD EF==，∵//GE DF ，GE 平面PGE ；DF ⊄平面PGE ；∵//DF 平面PGE ， ∵H 是PC 的中点，∵//FH PE ，PE ⊂平面PGE ，FH ⊄平面PGE ；∵//FH 平面PGE ， ∵DF FH F =，DF ⊂平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∵平面//DFH 平面PGE ； 考点四 平行中的动点例1、直三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，在AB 边上是否存在一点E ，使1//AC 平面1CEB ，若存在给出证明，若不存在，说明理由证明：存在，E 是AB 的中点，直三棱柱111ABC A B C -中，连接1BC 交1B C 于点O ，如图：则O 为1BC 中点，连接OE ，而E 为AB 的中点，则1//OE AC ，又1AC ⊄平面1CEB ，OE ⊂平面1CEB ，所以1//AC 平面1CEB ；例2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，CA CB ==，1AA =D 是棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，且1AD EC ⊥，在棱BC 上是否存在点F ，满足//EF 平面1ADC ，若存在，求出BF 的值答案：存在，BF =证明：因为1AA ⊥面ABC ，故三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.故1AA ⊥面111A B C ，而1C D ⊂面111A B C ，故11AA C D ⊥，因为CA CB ==，故1111C A C B ==112B A =，因为D 是棱11A B 的中点，故111C D A B ⊥，因为1111AA A B A =， ∵直线1C D ⊥平面ADE ，而AD ⊂平面ADE ， ∵1C D AD ⊥，又1AD EC ⊥，111C D C E C ⋂=，∵AD ⊥平面1DEC ，而DE ⊂平面1DEC ，∵AD DE ⊥，在矩形11ABB A 中，11ADA DEB ∠=∠，11AA D DB E ∠=∠，故11ADA DEB ∠，故1111AA A D DB EB =11EB =即1=3EB ，故12BE EB =. 过E 作EG DE ⊥，交AB 于G ，取AB 的中点为L ，连接,DL CL ，则1DEB EGB ∠=∠，而190DB E EBG ∠=∠=︒，故1EBG DB E ， 所以11BG EB B E B D =31=，所以23BG =.在矩形11ABB A 中，因为11ADA DEB ∠=∠，故1ADA EGB ∠=∠，而1ADA DAL ∠=∠，所以EGB DAL ∠=∠，所以//AD EG ，而AD ⊂平面1ADC ，EG ⊄平面1ADC ，所以//EG 平面1ADC .在BC 上取点F ，使233BF BC ==，连GF ， 因为1BL =，故23BG BL =，故//GF CL . 在矩形11ABB A 中，因为,D L 为所在棱的中点，故11//,,DL AA DL AA =而1111//,,CC AA CC AA =故11//,CC DL CC DL =，故四边形1C DLC 为平行四边形，故1//DC CL ，故1//GF DC ，而1C D ⊂平面1ADC ，FG ⊄平面1ADC ，所以//FG 平面1ADC .因为GF EG G ⋂=，故平面以//EGF 平面1ADC ，因为EF ⊂平面EGF ，故//EF 平面1ADC .例3、如图，已知AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，12AB AC AD BC ===，设P 是直线BE 上的点，当点P 在何位置时，直线//DP 平面ABC ？请说明理由证明：当点P 是BE 的中点时，//DP 平面ABC .理由如下：如下图，取BC 的中点O ，连接AO 、OP 、PD ，则//OP EC 且12OP EC =，因为AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，所以//AD EC . 又12AD EC =，所以//OP AD 且OP AD =， 所以四边形AOPD 是平行四边形，所以//DP AO .因为AO ⊂平面ABC ，DP ⊄平面ABC ，所以//DP 平面ABC ；跟踪练习1、在三棱锥S ABC -中，AB ⊥平面SAC ，AS SC ⊥，1AB =，AC =，E 为AB 的中点，M 为CE 的中点，在线段SB 上是否存在一点N ，使//MN 平面SAC ？若存在，指出点N 的位置并给出证明，若不存在，说明理由证明：存在点N 为SB 上的靠近S 的四等分点即14SN SB =，//MN 平面SAC ， 证明如下：取AE 的中点F ，连接FN ，FM ，则//MF AC ，因为AC ⊂平面SAC ，MF ⊄平面SAC ，所以//MF 平面SAC ， 因为1124AF AE AB ==，14SN SB =， 所以FN //SA ，又SA ⊂平面SAC ，FN ⊄平面SAC ，所以//FN 平面SAC ，又MF FN F =，,MF FN ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面SAC ，又MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面SAC ．2、在如图所示的五面体ABCDEF 中，∵ADF 是正三角形，四边形ABCD 为菱形，23ABC π∠=，EF //平面ABCD ，AB =2EF =2，点M 为BC 中点，在直线CD 上是否存在一点G ，使得平面EMG //平面BDF ，请说明理由证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，OF ，取CD 的中点G ，连接GM ，GE因为EF //平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，所以EF //AB因为OM //AB //EF ，12OM AB EF ==，所以四边形OMEF 是平行四边形，所以OF //EM 因为EM ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF因为点G 与点M 分别为CD 与BC 的中点，所以GM //BD因为GM ⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，所以GM //平面BDF而GM ∩EM =M ，平面EMG //平面BDF3、在长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB AD =，E 为AD 的中点，）在线段11B C 上是否存在点F ，使得平面1//A AF 平面1ECC ？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由证明：存在，当点F 为线段11B C 的中点时，平面1//A AF 平面1ECC .证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11//AD B C .又因为1CC ⊂平面1ECC ，1AA ⊄平面1ECC ，所以1//AA 平面1ECC .又E 为AD 的中点，F 为11B C 的中点，所以1//AE FC ，且1AE FC =.故四边形1AEC F 为平行四边形，所以1//AF EC ，又因为1EC ⊂平面1ECC ，AF ⊄平面1ECC ，所以//AF 平面1ECC .又因为1AF AA A =，1AA ⊂平面1A AF ，AF ⊂平面1A AF ，所以平面1//A AF 平面1ECC .4、如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1∵平面ABC ，AA 1∵AC ，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点且AD =AA 1，在棱AA 1上找一点M ，使得1//D M 平面1DBC ，并说明理由答案：M 与A 重合时，1//D M 面1DBC ，理由见解析证明：当M 与A 重合时，D 1M ∵面DBC 1，理由如下：∵D 1C 1∵AD ，且D 1C 1=AD ，∵四边形D 1C 1DA 为平行四边形，∵D 1A ∵C 1D ，因为C 1D ∵面BDC 1，∵D 1M ∵面DBC 1.5、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC 是正三角形，E 是棱AB 的中点，如1AE =，在平面PAC 内寻找一点F 使得//BF 平面PEC ，并说明理由答案：答案见解析.证明：延长AC 至点G ，使得AC CG =，延长AP 至点H ，使得AP PH =，连接GH ，在直线GH 上任取一点F ，则点F 满足BF ∥平面PEC .理由如下： E 是线段AB 的中点，C 是线段AG 的中点，CE ∴是ABG 的中位线，∴BG CE ∥，BG ∴∥平面PEC .同理HG平面PEC ， 又BG HG G =，∴平面BHG平面PEC ， BF ⊂平面BHG ，BF ∴∥平面PEC .(注：若此题点F 直接取H 或G ，理由充分，给6分)6、已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E ，试问在线段11A B 上是否存在一点F ，使得//AF 平面1BEC ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；证明：当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC .下面给出证明：取AB 的中点G ，连接EG ，1B G ，则1//FB AG ，且1FB AG =，所以四边形1AGB F 为平行四边形，所以1//AF B G .因为BC BD =，BE CD ⊥，所以E 为CD 的中点，又G 为AB 的中点，//AB CD ，AB CD =，所以//BG CE ，且BG CE =， 所以四边形BCEG 为平行四边形，所以//EG BC ，且EG BC =，又11//BC B C ，11BC B C =， 所以11//EG B C ，且11EG B C =，所以四边形11EGB C 为平行四边形， 所以11//B G C E ，所以1//AF C E ，又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ，所以//AF 平面1BEC ，7、在正三棱柱111ABC A B C -中，已知12,3AB AA ==，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，P 为线段1CC 上一点．平面1ABC 与平面ANP 的交线为l ，是否存在点P 使得1//C M 平面ANP ？若存在，请指出点P 的位置并证明；若不存在，请说明理由证明：当2CP =时，1//C P 平面ANP证明如下：连接CM 交AN 于点G ，连接GP ，因为12CG CP GM PC ==，所以1//C M GP 又∵GP ⊂平面ANP ，1C M ⊄平面ANP ∵1C M 平面ANP。
新课标立体几何常考平行证明题汇总
第二章 立体几何（一）直线与平面平行、平面与平面平行知识点：://////:////////,////://a b b a b a a a b a b a b ααααααβαββ⎧⊂⎧⎪⎪⊄⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⊂⎧⎪⇒⎨⎪⎩⎩⊂⋂平行线//线三角形中位线、平行四边形、平行线定理、对应线段成比例、 面面平行、垂直于同一平面的线平行平面线//面上的线（转化为线线）平面平面线//面平面线所在的面面（转化为面面）平面平面平面平面平面面面面上两条相交直线分别平行另一个面平面//A αβ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩平面平面口诀：已知线面平行：已知面面平行：例题讲解例1 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面BDE 。
AED 1CB 1DCBA例2 已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：C 1O ∥面11AB D ．例3如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .例4 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；D 1ODB AC 1B 1A 1CDB A 1AF例5 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： C 1D ∥平面B 1FM.例6 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .例7 如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
ABC DEF G MH G F ED BA CA例8 如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；例9 如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠= ， PB BC CA ==，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.求证：//CM 平面BEF ；例10 如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DBCE 为平行四边形， 设F 是CD 的中点，证明：//OF 平面ADE。
立体几何证明平行专题
立体几何证明平行专题训练命题：***1. 如图，四棱锥P—ABCD勺底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB PD的中点. 求证：AF//平面PCE(第1题图)2、如图，已知直角梯形ABCD中, AB// CD AB丄BC AB= 1 , BC= 2, CD= 1 + J3 , 过A作AE!CD垂足为E, G F分别为AD CE的中点，现将△ ADE沿AE折叠，使得DEL EC.(I)求证：FG//面BCD (H)求证：BC L面CDEABC- A1B1C1 中，D, E, F 分别为AA, CC1, AB 的中点,M为BE的中点,AC L BE.求证:(I) C1D// 平面BFM.4、如图所示,四棱锥P ABCD底面是直角梯形，BA AD,CD AD, CD=2AB, E为PC的中点，3、已知直三棱柱(H) GDI BC求证：EB //平面PAD ;已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //平面EFG 。
ABCD 是正方形，0是正方形的中心， E 是PC 的中点。
PA //平面 BDE 5、如图,6、如图,求证：7.如图,求 三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点. 证12、如图，三棱锥中，底面，，PB =BC =CA 为的中点，为的中点，点在上，且(1) 求证：平面；(2) 求证：平面；AB ABEF ABCD ABEF ABCD BAD FAB 900,B(A 〃 BC//平面DHG C,D, F,E i C 1 E 为PD 中点 求证：AE//平面P B Q 」—AF/G,H FA,FD 211、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M N 分别是 SA BD 上的点，且 ^A M =-BN ， SM ND 求证：MIN/平面SDCDB C P提示：1. 分析：取PC的中点G,连EG., FG,则易证AEGF是平行四边形2. 分析：取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形3. 分析：连EA易证GEAD是平行四边形，于是MF分析：：取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形5. 分析：连MD交GF于H,易证EH是厶AMD的中位线6. 分析：连接EO即为三角形中位线7. 分析：连BC交BG于点E，易证ED是厶B i AC的中位线8. 分析：证四边形BCHG 是平行四边形9. 分析：连Di B i交A i C i于O点，易证四边形OBBO是平行四边形10. 分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE是平行四边形11. 分析：过M作ME分析：取AF的中点N,连CN MN|易证平面CMN//EFB。
立体几何平行专题.doc
1 .在四棱锥P — ABCD中，底而为正方形，E是C的中点，求证：PA//平而EDB.2.在四棱锥P — ABCD中，底面是正方形，侧棱P D1底面A B C D, P D = D C, E是PC的中点，作E F±P B交P B于点F （1）证明:P A / /平面S D B.3.在多而体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四边形B D E F是矩形，G和H分别是CE和CF的中点（1 ）求证：A F 〃平面B DGH4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点（1）求证：BC1〃平面CA1D5.直三棱柱"CfG中，。
是的中点，（II）求证：«//平面6.直三棱柱ABC-A1B1C1中，D, E分别是AB, BB1的中点.（1）证明：BC1 〃平面A1CD；7.直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B, B1C1的中点（1）求证：MN 〃平而CC1A1A8 . ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1,底面边长为2, E 是棱BC的中点。
⑵证明：BD1 〃平面C1DE ；9 .而CDEF 正方形，面ABCD 等腰梯形,AB //CD ,（山）线段AC 上是否存在点M ，使EA 〃一平面FDM1.如图所示，平面ABCD 上平面BCEF ,且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形,BF//CE ,BC 」CE , DC = CE = 4 , BC = BF=2 .求证：AF 〃平面CDE ；3.在四棱锥 P —ABCD 中，AB 〃CD, AB1AD, CD = 2AB,平而 PAD_L 底而 ABCD, PA_LAD, E 和 F 分别是CD 和PC 的中点.求证：(1)PA±底面ABCD ； (2)BE 〃平面PAD ；A B 2.在四棱锥P-ABCD 中，AD 〃BC, BC= 2AD,Q 是线段PB 的中点.（II ）求证：AQ 〃平面PCAD = -CE3 .多面体EDABC中,AD//CE , 2 ,M为BE中点.（I ）求证:DM//平面ABC;4 . ABCD是正方形“ AF//DE,DE =2AF=2.（H）求证:AC// 平面BEF；5 .如图，在边长为3的等边三角形ABC中，E, F分别为AB, AC边上的点，且满足AE=FC=CP =1,将AAEF沿EF折起到AAIEF的位置，连结"’扁"，若Q为A1B中点，求证：PQ〃平面A1EF6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，P是B1C的中点.(1)求证：PB〃平而B1ED；7 .四棱锥P-ABCD中，BC〃 AD,BC=1,AD=3, (II)线段PA上，是否存在点E,使BE〃平面PCD?若存在,PE求PA值;若不存在，8 .四棱锥P—ABCD 中，AB1AC, AB1PA, AB〃CD, AB=2CD, E, F, G, M, N 分别为PB, AB, BC, PD, PC 的中点.（1）求证：CE〃平面PAD；E是侧棱°G的中点.（］［）求证：AC〃平面片DE中1 0 .如图，在四棱锥P—ABCD 中，AB / / DC, DC=2AB, A=AD, BD±AC, E 为D 的中点.求证：证AE/ /平面BC；1 1 .四棱锥P—ABCD, PD±平面ABCD, AB=BC, BD±AC, E 为PC 中点.证PA / / 平面BDE.1.如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PAl lftl ABCD, BD交AC于点E, F是PC上的点,PF=；FC, G为AC上一动点.（2）确定点G在线段AC ±的位置，使FG〃平面PBD,并说明理1土1 .2 .在四棱锥P-ABCD^^AABC是正三角形,AC与8。
专题08 立体几何垂直平行的证明(原卷版)
专题8 立体几何平行垂直的证明一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．2．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．3．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11222AC AA AB AC BC ====，160BAA ∠=︒．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，22CD AB ==，AD 90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱PC 上一点．(1)若2MC MP =，求证：//AP 平面MBD ．(2)若MC MP =，求点P 到平面BDM 的距离．6．（2021·上海市建平中学模拟预测）如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.(1)求证：//AC 平面PDB ；(2)求二面角P AB C 的余弦值.7．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面MND ⊥平面PBC(2)当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面P AB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．8．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN △翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P --存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．9．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1,,2AB AP AD E F ==分别是AP BC ，的中点．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4(1)求证：//EF 平面PCD ；(2)求二面角C EF D --的余弦值．10．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））如图在梯形中，//BC AD ，22AB AD BC ===，23ABC π∠=，E 为AD 中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达点P 的位置，连接,PD PC ，(1)证明：平面PED ⊥平面BCDE ；(2)当2PC =时，求点D 到平面PEB 的距离.11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，4AB AC ==，1112A A A B ==，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点．(1)证明：平面1BB C ⊥平面1AB C ；(2)求二面角C BD A --的正弦值．12．（2022·青海·模拟预测（理））如图，在四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接BM ，CE 交于点F ，G 为△ABE 的重心．(1)证明：//GF 平面ABC(2)已知平面ABC △BCDE ，平面ACD △平面BCDE ，BC =3，CD =6，当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60°时，求G 到平面ADE 的距离．13．（2022·北京市第九中学模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△P AB 为正三角形，且侧面P AB △底面ABCD ，M 为PD 的中点．(1)求证：PB //平面ACM ；(2)求直线BM 与平面P AD 所成角的正弦值；(3)求二面角C PA D --的余弦值．14．（2022·浙江·三模）如图，四面体ABCD 的棱AB 平面,CD α=，23,cos cos 3AB AC AD BAC BAD ===∠=∠=．(1)证明：平面ABC ⊥平面ABD ；(2)若平面ABC 与平面α所成锐二面角的正切值为12，线段CD 与平面α相交，求平面ACD 与平面α所成锐二面角的正切值．15．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，SAB SBA ∠=∠，.SD AB ⊥(1)求证：ABD △是等边三角形；(2)2SD AD ===，求SC 与平面SAD 所成角的正弦值.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 16．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF △平面A BC '？若存在，求DF FA '的值；若不存在，说明理由． 17．（2022·广东茂名·二模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD △BC ，BC =2AD ，60ABC ∠=︒ ，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F 四点共面．(1)求证：F 为PC 的中点；(2)若△P AD 为等边三角形，二面角P AD B -- 的大小为120︒ ，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值． 18．（2022·安徽省舒城中学三模（理））在四棱锥P ABCD -中，PAB △为正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，M 为棱AP 的中点，且2224AB AD BC CD ====，DM =14AO AB =.(1)求证：平面ODM ⊥平面ABCD ；(2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.19．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，四边形ABCD 为平行四边形，点E 为棱BC 的中点．(1)求证：1//D E 平面11ABB A ；(2)若四边形ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ，12A A AB ==，求二面角1A DE C --的余弦值． 20．（2022·全国·模拟预测）如图所示，四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，侧面11ADD A 与底面垂直，11113BB CC B C BC ===．(1)求证：平面11ADD A ⊥平面11ABB A ；(2)已知四棱台1111ABCD A B C D -的体积为 △求异面直线BC 和1AA 的距离△求1A 到平面11CDD C 的距离．请从以上两个问题中选取一道进行求解．注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分．。
立体几何线面平行-题型全归纳(解析版)
立体几何线面平行-题型全归纳题型一利用三角形中位线例题1、如图所示，在三棱柱ABC-111C B A 中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点。
求证：1AB //平面DBC 1证明：连接C B 1，交1BC 于点Ｏ，再连接ＯＤ，平面11B BCC 是平行四边形，∴Ｏ是1BC 的中点，又Ｄ是ＡＣ的中点，∴ＯＤ是1ACB ∆的中位线，1//AB OD ∴，⊂OD 平面D BC 1，⊄1AB 平面D BC 1，//OD ∴平面D BC 1。
解题步骤（1）把直线通过平移到平面上，得到线线平行的初步形状；（2）连接平行四边形的对角线，再连接两个中点，恰好为平移所得到的线段；（3）通过延长两条线段的端点，构成一个三角形，即可得到三角形的中位线。
变式训练1、如图，在直四棱柱ABCD-1111D C B A 中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点。
求证：1BD //平面ACE ；证明：连接ＢＤ，交ＡＣ于点Ｏ，再连接ＯＥ，在直四棱柱ABCD-1111D C B A 中，Ｏ为ＢＤ的中点，且Ｅ为1DD 的中点，∴ＯＥ是1BDD ∆的中位线，1//BD OE ∴，又ＯＥ⊂平面ＡＣＥ，⊄1BD 平面ＡＣＥ，∴1BD //平面ACE 。
变式训练2、如图，在斜三棱柱ABC-111C B A 中，CA=CB ，D 、E 分别是AB ，C B 1的中点，求证：DE//平面11A ACC ；证明：连接1BC ，连接1AC ，在斜三棱柱ABC-111C B A 中，∴点Ｅ在线段1BC 上，∴点Ｅ是1BC 的中点，又点Ｄ是ＡＢ的中点，∴ＤＥ是1ABC ∆的中位线，∴ＤＥ//1AC ，⊄DE 平面11A ACC ，⊂1AC 平面11A ACC ∴DE//平面11A ACC 变式训练3、如图所示，正三棱柱ABC-111C B A 的高为2，点D 是B A 1的中点，点E 是11C B 的中点，求证：DE//平面11A ACC证明：连接1AB ，连接1AC ，在正三棱柱ABC-111C B A 中，∴点Ｄ在线段1AB 上，∴点Ｄ是1AB 的中点，又点Ｅ是11C B 的中点，∴ＤＥ是11C AB ∆的中位线，∴ＤＥ//1AC ，⊄DE 平面11A ACC ，⊂1AC 平面11A ACC ∴DE//平面11A ACC题型二利用平行四边形的对边平行例题2、如图，在多面体ABCDE 中，AEB 为等边三角形，AD//BC ，BC AD 21=，F 为EB 的中点。
立体几何证明题目
立体几何证明题目一、直线与平面平行的证明题目1：在正方体ABCD - A_1B_1C_1D_1中，E为DD_1的中点，求证：BD_1∥平面AEC。
解析：1. 连接BD交AC于O点。
- 在正方体中，底面ABCD是正方形，根据正方形对角线的性质，对角线互相平分，所以O为BD的中点。
2. 连接OE。
- 因为E为DD_1的中点，在三角形BD_1D中，O是BD中点，E是DD_1中点，根据三角形中位线定理，中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以OE∥ BD_1。
3. 又因为OE⊂平面AEC，BD_1not⊂平面AEC。
- 根据直线与平面平行的判定定理，如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，所以BD_1∥平面AEC。
二、平面与平面平行的证明题目2：已知四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在PA，BD上，且PM:MA = BN:ND。
求证：平面MNQ∥平面PBC（设AC∩ BD = Q，连接MQ、NQ）。
解析：1. 因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩ BD = Q，所以AQ = QC，BQ=QD。
- 由于PM:MA = BN:ND，在三角形PAQ中，(PM)/(MA)=(BN)/(ND)，可得MQ∥ PC。
- 理由是：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
2. 在三角形ABD中，(BN)/(ND)=(PM)/(MA)，可得NQ∥ AD。
- 又因为底面ABCD是平行四边形，AD∥ BC，所以NQ∥ BC。
3. 因为MQ∥ PC，MQnot⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，根据直线与平面平行的判定定理，可得MQ∥平面PBC。
- 同理，NQ∥ BC，NQnot⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，可得NQ∥平面PBC。
4. 又因为MQ∩ NQ = Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ。
- 根据平面与平面平行的判定定理，如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，所以平面MNQ∥平面PBC。
立体几何证明平行的方法及专题训练
立体几何证明平行的方法及专题训练罗虎胜立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。
（2）利用三角形中位线的性质。
（3）利用平行四边形的性质。
（4）利用对应线段成比例。
（5）利用面面平行的性质，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边Array形，点E、F 分别为棱AB、 PD的中点．求证：AF∥平面PCE；分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGFDBA 1AF是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA1点，M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：（Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM.E分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E FG M AD CD BD BC AM EFG AM EFG ///ABC A B C -90BAC ∠=2,AB AC ==/A B //B C MN //A ACC 1C 求证：AB 11C 明: BC 11C 证：AP ∥GH .分析：连结AC 交BD 于O 点，连结OM ，易证OM ∥PA从而PA ∥平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得AP ∥GH .（.3） 利用平行四边形的性质10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，求证： D 1O 21中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ；分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．（I ）证法一： 因为EF 90ACB ∠=︒90,EGF ABC ∠=︒∆.EFG ∆BC FG 21=ABCD BC AM 21=FA ⊂GM ⊄SM AM ND BN AM DNSM BN=ABC P -E PC M AB FPA 2AF FP = 求证：//CM 平面BEF ；分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，(1) 易证平面CMN 111ABC A B C -3AC =4BC =5AB =14AA =D AB 1AC BC ⊥11CDB //平面ACNMB 1C 1D 1A 1DCBAP NMB 1C 1D 1A 1DCBA11C CDB -1C 11CDB //平面AC 1111ABCD A B C D -11,2AB BC AA ===M BCN 1AA 求证: //MN 平面1A CD ;(2) 过,,N C D 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -截成两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.（1）证法1：设点P 为AD 的中点，连接,MP NP . ∵ 点M 是BC 的中点, ∴ //MP CD .∵ CD ⊂平面1A CD ,MP ⊄平面1A CD ,∴ //MP 平面1A CD . …2分 ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ 1//NP A D .∵ 1A D ⊂平面1A CD ,NP ⊄平面1A CD , ∴//NP 平面1A CD.PNMB 1C 1D 1A 1DCBA…4分∵ MP NP P =,MP ⊂平面MNP ,NP ⊂平面MNP , ∴ 平面//MNP 平面1A CD . ∵ MN ⊂平面MNP , ∴//MN 平面1A CD.…6分证法2: 连接AM 并延长AM 与DC 的延长线交于点P , 连接1A P , ∵ 点M 是BC 的中点, ∴ BM MC =.∵ BMA CMP ∠=∠, 90MBA MCP ︒∠=∠=,∴ Rt MBA ≅Rt MCP . …2分∴ AM MP =.∵ 点N 是1AA 的中点,QNMB 1C 1D 1A 1DCBA∴ 1MN //A P . …4分∵ 1A P ⊂平面1A CD ,MN ⊄平面1A CD ,∴ //MN 平面1A CD . …6分(2) 解: 取1BB 的中点Q , 连接NQ ,CQ , ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ //NQ AB . ∵ //AB CD , ∴ //NQ CD .∴ 过,,N C D 三点的平面NQCD 把长方体1111ABCD A B C D -截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBC -NAD , 另一部分几何体为直四棱柱1111B QCC A NDD -. …8分 ∴ 11111222QBC S QB BC ∆==⨯⨯=, ∴直三棱柱QBC -NAD的体积112QBC V S AB ∆==, (10)分∵ 长方体1111ABCD A B C D -的体积112V =⨯⨯2=, ∴直四棱柱1111B QCC A NDD -体积2132V V V =-=. …12分 ∴ 12V V =1232=13.∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为13. …14分。
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新课标立体几何常考平行证明题汇总立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
3、如图，在体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE ，1A C 在平面BDE 外∴1//A C 平面BDE 。
考点：线面平行的判定5、已知体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设11111A CB D O ⋂=，连结1AO∵ 1111ABCD A B C D -是体 11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A CB D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂=∴1A C ⊥面11AB D考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定AED 1CB 1DCBAD 1ODB AC 1B 1A 1C7、体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）10、如图，在体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D GEB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG1EF D E E⋂=，∴平面1D EF ∥平面BDG考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 证明：（1）设AC BD O ⋂=，∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO又1AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥A AB 1C 1 CD 1DG EFD A 1A F 又BD AC ⊥，1AC AA A⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是形，O 是形的中心，E 是PC 的中点。
求证： PA ∥平面BDE7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是△B 1AC 的中位线ABCDEF G MPEDCBA （.3） 利用平行四边形的性质9．体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1 是平行四边形10、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（I ）证法一：因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ，因此，BC=2FC ， 连接AF ，由于FG//BC ，BC FG 21=在ABCD Y 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC ，且BC AM 21=因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA 。
又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面AB 。
(4)利用对应线段成比例12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =NDBN， 求证：MN ∥平面SDC分析：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形13、如图形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证：MN ∥平面BEC分析：过M 作MG//AB ，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形(5)利用面面平行14、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=o，PB=BC=CA ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，易证平面CMN//EFBA FEBCDMNDCABB 1A 1C 110.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1..证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，ΘD 为AC 中点，∴PD//C B 1.又ΘPD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .11.证明：（1）Θ M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD 又ΘBB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1 （2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点Θ四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHΘ AH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又ΘBB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.ΘBD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDG4、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD1．运用中点作平行线例1．已知四棱锥P ABCD -的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD ．2．运用比例作平行线例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等形，且ＡＭ=ＦＮ，其中M AC ∈，N BF ∈，求证：ＭＮ∥平面BCE3. 运用传递性作平行线例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行(16)第题图A CN P D MB G图1 M F NC ED BH ml γσn k４.运用特殊位置作平行线例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？2. （2012•）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．3. ．（2012•）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．4. （2011•上城区）如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（1）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；A BCEFNMB1A１C1图5。