2020届重庆市高考数学三模试卷(理科)(有答案)(加精)

重庆市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）
A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}
2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）
A．1+i B．1﹣i C．i D．1
3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）
A．1024 B．243 C．32 D．24
4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）
A．43 B．44 C．45 D．46
5．给出下列四个结论：
①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；
②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；
③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；
④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．
其中正确的结论是（）
A．①②B．①③C．②③D．③④
6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为
1的半圆，则其侧视图的面积是（）
A．B．C．1 D．
7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）
A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）
8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）
A．72 B．108 C．180 D．216
9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）
A． B． C．或D．或
10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．
11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）
A．a，a B．a，C．D．
12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.
13．已知向量⊥，||=3，则•=．
14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=．
15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为千元．
（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）
16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，
（1）求cosC的值；
（2）若b=3，求△ABC的面积．
18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300
空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染
天数 4 13 18 30 9 11 15
（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：
，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据
有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
合计100
下面临界值表功参考．
P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0
（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？
21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．
（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．
①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；
②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；
（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF
的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM•MB=DF•DA．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．
（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
重庆市高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）
A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}
【考点】V enn图表达集合的关系及运算．
【分析】首先化简集合A和B，然后根据V enn图求出结果．
【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}
N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}
图中的阴影部分表示集合N去掉集合M
∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}
故选：B．
2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）
A．1+i B．1﹣i C．i D．1
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】化简复数，然后利用复数单位的幂运算求解即可．
【解答】解：复数z=1+=1+=i．
1+z+z2+…+z2016=1+i+i2+…+i2016=1．
故选：D．
3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）
A．1024 B．243 C．32 D．24
【考点】二项式系数的性质．
【分析】由于|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1，即可求得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值．
【解答】解：由题意（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得，
|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，
故在（1+3x）5的展开式中，令x=1可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=45=1024，
故选：A．
4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）
A．43 B．44 C．45 D．46
【考点】程序框图．
【分析】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n﹣1，然后判断p＞2016是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n﹣1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于2016时，输出n的值．
【解答】解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，
执行n=1+1=2，p=1+（2×2﹣1）=1+3=4；
判断4＞2016不成立，
执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3﹣1）=1+3+5=9；
判断9＞2016不成立，
执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4﹣1）=1+3+5+7=16；
…
由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，
由p=＞2016，且n∈N*，得n=45．
故选：C．
5．给出下列四个结论：
①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；
②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；
③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；
④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．
其中正确的结论是（）
A．①②B．①③C．②③D．③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故为假命题，故错误；
②若x，y∈R，当“x≥2或y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，当“x2+y2≥4”时，“x≥2或y≥2”不一定成立，故“x ≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故正确；
③当x=0时，y=log a（x+1）+1=1恒成立，故函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1），故正确；
④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1，故错误；
故选：C
6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为
1的半圆，则其侧视图的面积是（）
A．B．C．1 D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，进而可得其侧视图的面积．
【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，
∴半圆锥的底面半径为1，高为，
即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，
故侧视图的面积是，
故选：B．
7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）
A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．
【解答】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得，
∴A（2，﹣1），
联立，解得，
∴．
令u=2x﹣2y﹣1，
则，
由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，
u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；
当经过点时，直线在y轴上的截距最大，
u最小，最小值为u=．
∴，
∴z=|u|∈[0，5）．
故选：C．
8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）
A．72 B．108 C．180 D．216
【考点】计数原理的应用．
【分析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，分2步讨论，首先分析甲，因为甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外1人参加同一个社团，2种情况讨论，由加法原理，可得第二步的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，
首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，
再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A44=24种情况，
若甲是1个人参加一个社团，则有C42•A33=36种情况，
则除甲外的4人有24+36=60种情况；
故不同的参加方法的种数为3×60=180种；
故选C．
9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）
A． B． C．或D．或
【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．
【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos （β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．
【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，
∴2α∈[，2π]，
又sin2α=＞0，
∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；
又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，
∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，
∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．
又α∈[，]，β∈[π，]，
∴（α+β）∈[，2π]，
∴α+β=，
故选：A．
10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．
【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得
=
当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，
当时，y′＞0，函数在上为单调增函数
所以当时，所设函数的最小值为
所求t的值为
故选D
11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）
A．a，a B．a，C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．
【解答】解：根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），
设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，
则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，
|F2B1|=|F2A|，
又点P在双曲线右支上，
∴|PF1|﹣|PF2|=2a，
∴|F1A|﹣|F2A|=2a，
而|F1A|+|F2A|=2c，
设A点坐标为（x，0），
则由|F1A|﹣|F2A|=2a，
得（x+c）﹣（c﹣x）=2a，
解得x=a，
∵|OA|=a，∴在△F1CF2中，
OB=CF1=（PF1﹣PC）
=（PF1﹣PF2）==a，
∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．
故选：A．
12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个
“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函
数的取值范围即可求出a的范围．
【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，
使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，
当x=1时，使F（1）=≠0；
当x≠1时，解得a=，
∴a′==0，
得x=2或x=，（＜1，舍去），
x （1，2） 2 （2，4）
a′+0 ﹣
a ↗最大值↘
∴当x=2时，a最大==，
所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.
13．已知向量⊥，||=3，则•=9．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，
∵||=3，
∴．
故答案为：9．
14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=9．
【考点】等差数列的性质；定积分的简单应用．
【分析】先利用定积分求得，再根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．
【解答】解：∵=（x2+x）|02=5，
∵{a n}为等差数列，
S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，
∴
故答案为9．
15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为8千元．
（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）
【考点】线性回归方程．
【分析】利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程y=bx+a，通过x=2，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．
【解答】解：（1）由题意知，n=10，==8，=y i=2，
b===0.3，
a=﹣b=2﹣0.3×8=﹣0.4，
∴线性回归方程为y=0.3x﹣0.4，
当y=2时，x=8，
故答案为：8．
16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，
若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为2．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．
【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．
把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，
可得公共弦的方程为（2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，
即（﹣2a）x+（﹣2•ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣a），
当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，
即：2ax+2by=a2+8．
O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，
再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9 ①．
令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．
再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．
点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，
故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．
当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．
故答案为：2．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，
（1）求cosC的值；
（2）若b=3，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）把A+3C=B代入A+B+C=π得B=+C，可得sinB=cosC＞0，由条件和正弦定理化简后，利
用平方关系求出cosC的值；
（2）由条件求出边c的值，由（1）和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA 的值，代入三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得A+3C=B，则A=B﹣3C，
代入A+B+C=π得，B=+C，所以sinB=cosC＞0，
∵，∴由正弦定理得，，则，①
又sin2C+cos2C=1，②
由①②得，cos2C=，则cosC=；
（2）∵，b=3，∴c=，
由（1）知sinB=cosC=，且B=+C，
∴cosB=﹣=﹣，同理可得sinC=，
则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=×+（﹣）×=
∴△ABC的面积S===．
18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300
空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染
天数 4 13 18 30 9 11 15
（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：
，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据
有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？
非重度污染重度污染合计
供暖季22830
非供暖季63770
合计8515100
下面临界值表功参考．
P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：．
【考点】独立性检验．
【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；
（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈=…．
（Ⅱ）根据以上数据得到如表：
非重度污染重度污染合计
供暖季22 8 30
非供暖季63 7 70
合计85 15 100
…．
K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…
所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…
19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；
（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM是二面角Q﹣BD ﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PDC，图1所示．
∴AD⊥PD，AD⊥DC，
在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，
在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，
又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，
∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．
∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．
AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD．
∴BC⊥平面PBD，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；
（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．
由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，
∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．
∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，
∵，∴，
∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，
由（1）知，∴，
又∵PD=1，MN∥PD，∴，
∴MN===1﹣λ，
∵tan∠MNQ=，∴，
∴．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0
（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），从而得到满足题意的定点只能是（，0），设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此得到BP恒过定点（，0）．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，
∴由题设，得，
解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆C的标准方程为=1．
（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），
当A（1，），B（1，﹣）时，P（4，），直线BP：y=x﹣，
当A（1，﹣），B（1，）时，P（4，﹣），直线BP：y=﹣x+，
∴满足题意的定点只能是（，0），设为D点，下面证明P、B、D三点共线．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y1）在直线BD上，
由，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，
∵△=144（1+m2）＞0，∴，，①
∵k DB﹣k DP=﹣=﹣==，
①式代入上式，得k DB﹣k DP=0，∴k DB=k DP，
∴点P（4，y1）恒在直线BD上，从而P、B、D三点共线，即BP恒过定点（，0）．
21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．
（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．
①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；
②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；
（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．
（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．
【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．
则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，
则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，
∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．
②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．
若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，
即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，
若x=0，则方程无解，满足条件，
若x≠0，则方程等价为m=，
设g（x）=，
则函数的导数g′（x）=，
若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，
若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，
若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．
（2）∵n=4m（m＞0），
∴函数r（x）=+=+=+，
则函数的导数r′（x）=﹣+=，
设h（x）=16e x﹣（x+4）2，
则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，
[h′（x）]′=16e x﹣2，
当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，
即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，
即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，
故r（x）≥r（0）=，
故当x≥0时，r（x）≥1成立．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF 的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM•MB=DF•DA．
【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明．
【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．
【解答】证明：（1）连接OC，∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AD．…
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…
（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．
又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．
∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC
∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM•MB=DF•DA…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．把代入上述方程即可化为
直角坐标方程．
（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2=4x．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），
把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==4．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．
（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）f（x）=|x﹣4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，
（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函数f（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）+（x+5）|=|2x+1|，
当且仅当（x﹣4）（x+5）≥0，即x≤﹣5或x≥4时取等号．
所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）﹣（x+5）|=9，
所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，
即a的取值范围是（9，+∞）．。