微积分基本公式与计算

ϕ (t ) ϕ′(t )
说明: 说明:
， 1) 当β < α , 即区间换为[β ,α ] 时 定理 1 仍成立 .
2) 必须注意换元必换限 。但计算定积分值时 必须注意换元必换限 原函数中的新变量不必代回 .
例2. 计算
t 2 −1 , dx = t d t , 且 解: 令 t = 2x + 1, 则 x = 2 当 x = 0时, t = 1; x = 4时, t = 3 .
xdx . 计算 ∫0 1 + cos 2 x
2
π 4
∫
b
a
uv′dx = uv a − ∫ vu ′dx
b a
b
Q 1 + cos 2 x = 2 cos x ,
π 1 π4 xdx xdx 4 2 ∴∫ =∫ = x sec xdx 0 1 + cos 2 x 0 2 cos 2 x 2 0 u = x, v ¢= sec 2 x
第六章
微积分的基本公式 与定积分的计算
一、牛顿 – 莱布尼茨公式 二、定积分的计算
一
微积分的基本公式
积分学中要解决两个问题： 引 积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数 的求法问题，我们在第5章中已经对它做了讨论； 的求法问题，我们在第5章中已经对它做了讨论；第 二个问题就是定积分的计算问题. 二个问题就是定积分的计算问题. 如果我们要按定 积分的定义来计算定积分, 将会十分困难. 积分的定义来计算定积分, 将会十分困难. 我们知 道, 不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分 和的极限的概念是完全不相干的两个概念. 但是, 和的极限的概念是完全不相干的两个概念. 但是, 牛顿和莱布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之 间存在着的内在联系, 间存在着的内在联系, 提出了 “微积分学基本定 从而使积分学与微分学一起构成微积分学. 理”. 从而使积分学与微分学一起构成微积分学.
1) ϕ (t ) ∈ C1[α , β ], ϕ (α ) = a , ϕ (β ) = b ;
ϕ (t ) ϕ′(t )
1 dx 令 t = x +1
∫
3
0
x = t 2 −1 dx = 2tdt x +1 则
连续地增加到3时 相应地从1连续 当x 从0连续地增加到 时，t 相应地从 连续 连续地增加到 地增加到2 地增加到 3 2 2t 1 2 于是 ∫0 x + 1 dx = ∫1 t dt = 2t 1 = 2
1 2
∫
0
−∫
1 2
b
a
uv′dx = uv a − ∫ vu ′dx
b a
b
x 1− x
2
dx
0
−1 1 1 2 2 2 = + ∫ (1 − x ) d (1 − x 2 ) 12 2 0
π π
u = arcsin x v′ = 1; u′ = v=x 1 1 − x2
=
12
1 1 + (1 − x2 ) 2 2
2
- 2
例4
计算
∫−1
1
1
2 x 2 + x cos x dx. 2 1+ 1− x
1 x cos x 2x dx dx + ∫−1 2 2 1+ 1− x 1+ 1− x
解
原式 = ∫−1
2
偶函数
奇函数
1 2 2
= 4 ∫0
1
1
1+
x (1 − 1 − x ) x dx = 4 ∫0 dx 2 2 1 − (1 − x ) 1− x
∫
u ¢= 1, v = tan x
π 1 1 π 4 4 = [x tan x ] 0 − ∫ tan xdx 2 2 0 π π 1 π ln 2 = + ln cos x 0 = − 4 . 8 4 8 2
例4 求
∫
1
0
e x dx.
解 令 x = t , 则 x = t 2, dx = 2tdt 原式 = 2 te t dt
例1. 计算
3 dx = arctan x 解: ∫ = arctan 3 − arctan(−1) 2 −1 1 + x −1 π π 7 = −(− ) = π 3 4 12
3
例2.
求
∫0 (2cos x + sin x − 1)dx.
π
2
π 2
解
π 原式 = [2 sin x − cos x − x ]0 = 3 − . 2
0
3 = + −1 12 2
π
3、定积分的计算技巧 、 1）偶倍奇零 ）
规律 (1) 若 (2) 若
则∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx
−a 0
a
a
则∫ f ( x) dx = 0
−a
a
特别的，当出现积分区间关于原点对称时， 特别的，当出现积分区间关于原点对称时，可以先考 察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。 察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。
π
y
y = sin x
π x
= − cos x
= −(−1−1) = 2 O 0
二、定积分的计算
不定积分 换元积分法 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法
1、定积分的换元法 、 2、定积分的分部积分法 、 3、定积分的计算技巧 、
1、定积分的换元法 、 先来看一个例子 例1
∫
3
0
1 dx x +1
2 −1
1
奇函数 1 1 16 1 3 2 = 2 ∫ ( x − 3)dx = 2 x − 3 x = − . 0 3 3 0
计算下列定积分 π x + cos x 1. I = ∫ 2π dx 2 − 1 + sin x
2
例8
解
cos x x dx I =∫2 d x +∫ 2 π π 2 2 − 1 + sin x − 1+ sin x 2
π π
2 0
原式 = [ x sin x ]02 − ∫02 sin xdx
=
π
2
+ cos x
=
π
2
− 1.
例2. 计算 原式= 解: 原式
e2 1
∫
b
a
uv′dx = uv a − ∫ vu ′dx
b a
b
u = ln x v′ = x; 1 u′ = x 1 2 v= x 2
例3 解
π 4
∫
1
¢= et u = t, v ¢= 1, v = et u
= 2[te ] − 2 ∫ e t dt
t 0 0 1 1
0
∫
b
a
uv′dx = uv a − ∫ vu ′dx
b a
b
= 2e − 2e | = 2.
t 1 0
此题同时使用了换元法和分部积分法. 注 此题同时使用了换元法和分部积分法
例5. 计算 解: 原式 = x arcsin x
当 x = 0 时, t = 0; x = a 时, t = π . 2
a2 π a 2 ∫0 cos t d t = ∫ 2 (1 + cos 2 t ) d t ∴ 原式 = 2 0 π 2 a 1 = ( t + sin 2t ) 2 2 2 0
π 2
2
∫
∫ 0
a源自文库
a
0
a − x dx
2 2
y = a2 − x2
x =a
解 由定积分的几何意义
a 2 − x 2 dx
o
πa 2
4
等于圆周的第一象限部分的面积 =
2
例3 计算 解
ò
4 - x dx
2
2
- 2
由定积分的几何意义
y = 4- x
2
该积分等于半圆面积， 该积分等于半圆面积，即
-2
2
o
2
ò
4 - x dx = 2 p
作业
P178 5 (1) (2) (4) (5) (6) (8) (11) ; P183 1(1)(2)(10)(11); 2(1)(2); 3(1)(6)
2）利用定积分的几何意义 ）利用定积分的几何意义——曲边梯形面积 曲边梯形面积
若被积函数的图像是规则图形（特别是圆） 若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时， 定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。 定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。 例2. 计算 解: 令 x = a sint , 则 dx = a cos t d t , 且
2 2 x 0 ≤ x ≤ 1 例3. 设, f ( x) = 求 ∫0 f ( x)dx 1< x ≤ 2 5
解
∫0
2
f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
1
2
= ∫ 2 xdx + ∫ 5dx = 6
0 1
1
2
例4.计算正弦曲线 . 的面积 . 解: A = ∫0 sin x dx π
∴ 原式 =
∫
t 2 −1 3 2 +2 t dt 1 t
1 3 2 = ∫ (t + 3) d t 21 3 1 1 3 = ( t + 3t ) 2 3 1
例3：计算 Ι = ∫ ：
x
ln 2
0
e x −1dx
2t x = ln(t +1) dx = 2 dt t +1
2
解：令 e −1 = t
2
π
π
奇函数
= 2∫ 2
0
π
偶函数
2 =π = 2[arctan(sin x)] 0 2
π cos x d sin x 2 d x = 2∫ 2 0 1 + sin 2 x 1 + sin x π
2. I = ∫
解 I =∫
2 −1
x xdx
奇函数
1 −1
1 5 2 = (4 2 −1) 5
3 2 = 0+ x2 d x 1 5 2 2 2 =[ x ]
2
= 4∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4∫0
2
1
1 − x dx
2
= 4 − π.
四分之一单位圆的面积
内容小结
牛顿 - 莱布尼茨公式
∫a f ( x) dx = F (b) − F (a)
换元必换限 配元不换限 边积边代限
b
换元积分法 基本积分法 分部积分法 偶倍奇零 积分技巧
利用定积分的几何意义
5
= − ∫ cos xd cos x
π
cos6 x 2 1 =− = . 6 6 0
2、定积分的分部积分法 边积边代限 、
设u( x) , v( x) ∈ C1[a , b] , 则 定理2. 定理2. b a
例1 求 ∫02 x cos xdx. 解： u = x ,
π π
v ′ = cos x , 则 u′ = 1, v = sin x
1
x = 0 t = 0, x = ln 2 t = 1
1 1 t2 Ι = 2∫ 2 dt = 2∫ (1 − 2 )dt 换元必换限 0 0 t +1 t +1 不换元则不换限 1 π = 2(t − arctan t ) = 2(1 − ) 0 4 e2 1 e2 d (ln x + 1) dx = ∫ 例4：计算 Ι = ∫ ： 1 x 1 + ln x 1 1 + ln x
= 2 1 + ln x
e2
1
= 2 3−2
注：用凑微分法完成的积分，如果没有引入新 用凑微分法完成的积分， 的变量，则上下限不必变动。 的变量，则上下限不必变动。 即 配元不换限 例5 解 计算
∫
π
∫
π
2 0
π
2 0
5
cos x sin xdx.
换元必换限 不换元则不换限
5
2 0
cos x sin xdx
x x d x + ∫1 x x d x
2
∫
2）利用定积分的几何意义 ）利用定积分的几何意义——曲边梯形面积 曲边梯形面积
若被积函数的图像是规则图形（特别是圆） 若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时， 定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。 定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。 计算
换元求不定积分 dx = 2tdt
令 t = x +1 则 x = t −1
2
∫
故
1 2t dx = ∫ dt = 2t + C = 2 x +1+C t x +1
∫
3
0
3 1 dx = 2 x + 1 = 2 0 x +1
定理1. 定理 设函数 2) 在[α , β ] 上 则
单值函数
满足: 满足
Newton-Leibniz 公式（微积分基本公式） 公式（微积分基本公式） 定理. 定理 函数 , 则
∫a f ( x) dx = F (b) − F (a)
( 牛顿 - 莱布尼茨公式 莱布尼茨公式)
b
微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[ , ] 微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a,b]上 的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ , ] 的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增 求定积分的问题转化为求原函数的问题。 量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。
例1 求
∫
1
−1
(1 + x 2 tan x )dx.
解 原式 =
= 2+0 = 2
1 3 2 −1
dx + ∫ x 2 tan xdx ∫−1 −1 奇函数
1
1
例2 求 ∫ ( x + x + 2 x − 3)dx. 解 原式 =
∫
1
−1
( x − 3)dx + ∫ ( x 3 + 2 x )dx