微积分公式与运算法则

微积分公式与运算法则

1、基本公式

(1)导数公式 (2) 微分公式

(xμ)ˊ＝μxμ-1d(xμ)= μxμ－1 dｘ

(ａx)ˊ= aｘlna d(a x)= a x lnａｄｘ

(ｌogaｘ)ˊ＝1/(ｘlnａ) d(ｌｏga x)= 1／(xlna) dx

(ｓin ｘ)ˊ= cos x d(sin x)= cos ｘｄx

(con x)ˊ＝-ｓｉｎ x d(ｃon x)= －sin ｘｄｘ

(tan x)ˊ＝ｓec2 x d(tan x)= sec2 x dx (coｔｘ)ˊ= -csｃ2x d(ｃot x)= -csc2x dx

(sｅc ｘ)ˊ= sｅc x·tａn x d(seｃｘ)= sec x·tan x dｘ

(ｃsc x)ˊ= -csc x·cot x ｄ(ｃsc x)= -ｃsc x·cot x dx

(ａrｃsin x)ˊ= 1／(1－x2)1/2ｄ(arcsin ｘ)＝1

／(1－x２)１／2 dx

(arccｏs x)ˊ＝ -1/(1-x2)1/２ d(arccoｓ x)= -１／(1－x2)1／２ dx

(arctan ｘ)ˊ＝ 1/(1+x2) d(arcｔan ｘ)= 1／(1+x2) dｘ

(ａrccot x)ˊ= -1/(1+x２) ｄ(aｒccot ｘ)＝-1/(1+x２) ｄx

(ｓinh x)ˊ＝ cｏｓｈ x d(siｎh x)= ｃｏsh x dx

(ｃosh x)ˊ= ｓinh x d(cosh x)= sinh x ｄｘ

2、运算法则(μ=μ(x),υ=υ(x),α、β∈R)

（1）函数的线性组合积、商的求导法则

(αμ+βυ)ˊ=αμˊ+βυˊ (μυ)ˊ=μˊυ＋μυˊ

(μ/υ)ˊ＝(μˊυ－μυˊ)/υ2

（2）函数与差积商的微分法则

ｄ(αμ＋βυ)= αdμ+βdυ

ｄ(μυ)=υdμ+μdυ

d(μ/υ)= (υdμ-μｄυ)/υ2

3、复合函数的微分法则

设y=f(μ),μ=ψ(x),则复合函数y=f［ψ(x)]的导数为

ｄy／dｘ = fˊ［ψ(x)] ·ψˊ(x)

所以复合函数的微分为

ｄy = fˊ[ψ(ｘ)] ·ψˊ(ｘ) dx

由于fˊ[ψ(x)]= fˊ(μ),ψˊ(ｘ) ｄx ＝ dμ,因此上式也可写成

ｄy = ｆˊ(μ) dμ

由此可见,无论μ就是自变量,还就是另一变量的可微函数,微分形式dy ＝ｆˊ(μ) dμ保持不变,这一性质称为微分形式不变性。