晶体学中的对称群 课堂笔记 复习资料(完整版)
03第结晶矿物学四章 晶体的对称

Lin(奇)nL2nP L n(偶)(n/2)L2
i
(n/2)P
Li33L23P/ L33L23PC Li42L22P Li63L23P/ L33L24P
晶系
三斜 单斜 斜方 三方 四方 六方
等轴
2009版
六.晶体分类
1. 晶体分类体系 2. 各对称型的对称要素的空间分布 3. 对称型的符号
2009版
将物体(图形)平分为互为镜象的两个相同部分的假想平面
2009版
黄色平面是否为对 称面?
几个对称面 (P)?
2009版
对称操作:对于此平面的反映 标志:两部分上对应点的连线是否与
对称面垂直等距 可能出现的位置:
垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中心 包含晶棱
数目:0≤ P ≤ 9
2009版
Center 1
2/m m2m/mm 2/m 2/m 4/m, 4/m 2/m 2/m
3, 3 2/m 无P⊥ 6/m, 6/m 2/m 2/m 2/m 3, 4/m 3 2/m
2009版
思考题
1. 对称的概念?晶体的对称与其它物体的对称有何本质的 区别?
2. 什么是对称面、对称中心、对称轴及旋转反伸轴?
2. 2个晶面,平行双面,{100}
1
3
5
5P 3
3. 2个晶面,平行双面,{010} 4. 2个晶面,双面, {h0l}
7
47
5. 2个晶面,双面,{0kl} 6. 4个晶面,斜方柱,{hk0}
6
2
6
7. 4个晶面,斜方单锥,{hkl}
2009版
六八面体晶类
3L44L36L29PC
2009版
2
第3章-晶体的宏观对称

5
结晶学与矿物学
对称面(m)之反映操作
对称面(symmetry plane)是一
假想的平面,亦称镜面 (mirror),相应的对称操作为
P
对此平面的反映,它将图形平
分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示。在晶体中如
果有对称面存在,可以有一个 或若干个,最多可达9个
7
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之旋转操作
• 对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6
6
6
6
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
4-fold
6-fold
8
对称轴(Ln)之旋转操作
9
对称轴(Ln)之旋转操作
10
结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 晶体对称定律(law of crystal symmetry):晶 体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、 三次轴、四次轴、六次轴,不可能存在五次轴 及高于六次的对称轴。
30
晶族 晶系 对 称 特 点
对称型 对称要素总和
晶体实例 国际符号
三
无 L2 和
L1
斜 无P
**C
低
单
L2 和 P 高 均不多于
所有的对称要素
L2 P
级
斜
正 交 斜 方
一个 次 L2 和 P 轴 的总数不
少于三个
必定相互垂直或 平等
**L2PC 3L2 L22P **3L23PC
1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm
24
【结晶学】3第三讲:第四章 晶体的对称

三、对称操作和对称要素
• 欲使对称图形中相同部分重复,必须通过一定的操作,这种操作 就称之为对称操作。
• 在进行对称操作时所凭借的借助几何要素(点、线、面)称为对称 要素 。
1.对称面(P)
• 对称面是一个假想的平面;相应的对称操作为 对于此平面的反映。它将图形平分为互为镜像 的两个相等部分。
晶体的对称具有如下的特点。
• 1)所有的晶体都具有对称性。由于晶体内部都 具有格子构造,而格子构造本身就是质点在三 维空间周期重复的体现。
• 2)晶体的对称受格子构造规律的限制。也就是 说只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上 体现。因此,晶体的对称是有限的,它遵循 “晶体对称定律” 。
• 3)晶体的对称不仅体现在外形上,同时也体现 在物理性质(如光学、力学、热学、电学性质 等)上。晶体的对称既取决于其内在的本质--格子构造,因此,也就是说晶体的对称不仅包 含着几何意义,也包含着物理意义。
• 对称轴以L表示,轴次n写在它的右上角,写作Ln。
晶体外形上可能出现的对称轴有:
• 一次对称轴无实际意义,因为晶体围绕任一直线旋转360都可以 恢复原状。轴次高于2的对称轴,L3、L4、L6称高次轴。
晶体的对称定律:
• 晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴。这是 由于它们不符合空间格子的规律。在空间格子中, 垂直对称轴一定有面网存在,围绕该对称轴转动所 形成的多边形应法符合于该面网上结点所因成的网 孔。从图I-4-7可以看出,围绕L2、L3、L4、L6所形成 的多边形,都能毫无间隙地布满平面,都可能符合 空间格子的网孔。但垂直L5、L7、L8所形成的正五边 形、正七边形和正八边形却不能毫无间隙地布满平 面,不符合空间格子的网孔,所以在晶体中不可能 存在五次及高于六次的对称轴,这一规律,称为晶 体的对称定律。
晶体学第二章-6

平移轴(translation axis ):一条直线,沿此直线平移一定距离可使晶体的等同部分重合,即整个晶体复原。
¾平移轴:布拉菲点阵中的任意行列¾平移轴的移距:使晶体复原的最小平移距离,即行列上相邻两点间距对称操作:平移t晶格平移矢量——原胞基矢的线性组合平移群{}332211a l a l a l v v v ++螺旋轴n s2131、3241、42、436l 、62、63、64、65•0<s <n/2;采用右手系(右螺旋轴),螺距为τ=(s /n )t 。
•若n/2<s <n ;采用左手系(左螺旋轴),螺距为τ=(1-s /n )t 。
•若s =n/2;中性螺旋轴,左右手系等效。
螺旋轴21,31,3241意为按左旋方向旋转90度后移距1/4 t 。
43意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 t;6462螺旋轴61,62,63,64,65滑移面(glide plane):一假想平面,对此平面反映后平行于该平面平移一定距离可使晶体中每一个质点与其等同的质点重合,即整个晶体复原。
国际符号a,b,c,n,d¾滑移面(像移面):一种复合的对称要素¾辅助几何要素有两个:一个假想的平面和平行此平面的某一直线方向¾平移的距离(移距):该方向行列结点间距的一半对称操作:反映+ 平移(联合操作)¾沿晶轴方向移距为轴单位的1/2¾滑移矢量为a/2,b/2,c/2d ——金刚石型滑移面¾沿面对角线或体对角线滑移¾滑移矢量:(a+b)/4, (b+c)/4, (a+c)/4,(a+b+c)/4nn ——对角线滑移面¾沿面对角线或体对角线滑移¾滑移矢量:(a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2,(a+b+c)/2滑移面a,b,c,n,dA:各种滑移面在3个轴方向上滑移矢量分布B:滑移面平行于投影面的投影C:滑移面垂直于投影面的投影晶体中可能存在的对称元素类型及符号:二、二维空间群1. 二维晶体的宏观对称元素:6个对称轴(1,2,3,4,6)、对称面(m)2. 二维晶系、布拉菲点阵与点群:¾晶轴只能取a和b,只剩下一个角度。
群论-2 晶体的对称群

物理学中的群论——晶体的对称群主讲翦知渐群论-晶体的对称群第二章晶体的对称群晶体点群和空间群§2.1 晶体的结构和宏观对称操作§2.2晶体的第一类点群§2.3 晶体的第二类点群§2.4点群与晶系的关系§2.5 空间群的基本概念和性质§2.1晶体的结构和宏观对称操作晶体中可能的对称操作1 基元与晶格基元理想晶体是原子、分子或离子规则排列的固体理想晶体是原子分子或离子规则排列的固体晶体按其周期性重复的一部分原子称为基元晶格每个基元用一个点来代表——晶体的周期性用空间点阵描述,每个点子叫做阵点。
晶体的结构——晶格和基元基元是其重复的部分,主要和晶体的宏观对称性相关晶格是其周期性的表现,体现了晶体的微观对称性二者是不同的但是又是相关的二者是不同的,但是又是相关的,不能任意组合原点任取,从原点引出三个不共面的矢量a1、a2、a3,末晶格的特点端落在该方向最邻近的阵点上——取法不唯一点阵可以按a1、a2、a3三个矢量划分成平行六面体为单元的空间格子,称为晶格。
每一个格子平均占据一个阵点2 原胞和单胞原胞晶格中最小的平行六面体重复单元就称为原胞另种原胞另一种原胞:维格纳原胞——充分反映对称性平行六面体原胞的三个棱矢a1、a2、a3:原胞基矢布喇菲格子对于满足以下平移条件的空间格子,称之为布喇菲格子:τn= n1a1+ n2a2+ n3a3式中τn 为平移矢量,n1、n2、n3为任意整数。
单胞有些的晶体无论怎样选取原胞,都不能充分反映晶体的对称性在结晶学中经常扩大晶格单元的选取,取比原胞大几倍的平行六面体作为晶格的基本重复单元,称之为单胞也叫结晶学原胞例如:铜晶体,只有选取为原胞体积4倍大的面心立方单胞单胞的三个棱形成的基矢称为单胞基矢,记为a , b , c才能反映它的对称性单胞的个棱形成的基矢称为单胞基矢,记为,,33 晶体的宏观对称操作宏观对称操作:对有限大的晶体的一个对称变换对有限大的晶体,任何平移都不能保持晶体不变——晶体的宏观对称操作不包含平移操作体系变换后不变——保持一点不动——点群:O(3)群的子群1) 恒等操作恒等操作即晶体的恒等变换:不对晶体做任何操作在国际符号中用1来表示,在熊夫利符号中用e表示来表示在熊夫利符号中用如果用矩阵形式描述恒等操作,就是单位矩阵晶体绕某个对称轴转定角度的个变换2)转动操作:晶体绕某一个对称轴转一定角度的一个变换任何对称操作必然使得晶格在变换前后一一重合——因此晶体转动的角度不能是任意的设R 为绕某个轴n 的一个转动,a 1、a 2、a 3为过轴上一个结点引向临近结点的三个原胞基矢,则31,2,3j ij i R R j ≡=∑a a ,式中R i j 为R 的矩阵元。
晶体学基础8-晶体内部结构的微观对称和空间群讲解

学习 (xué xí)要 求
掌握晶体内部的微观对称元素的对称特点和规律 (guīlǜ),掌握平移轴、螺旋轴和滑移面的具体含义。 了解晶体二维空间群的对称元素、点群类型、点 阵类型。
精品资料
平移轴 为一直线,图形沿此直线移动一定距离,可使相等 部分(bù fen)重合,晶体结构中任一行列都是平移 轴。 NaCl晶体结构
精品资料
43在旋转(xuánzhuǎn)2个90度后移距2×3/4 T=1T+1/2T,旋转(xuánzhuǎn)3个90度后移距 3×3/4 T=2T+1/4T。T的整数倍移距相当于平移轴, 可以剔除,所以, 43相当于旋转(xuánzhuǎn)270度 移距1/4T,也即反向旋转(xuánzhuǎn)90度移距 1/4T 。 所以,41和43是旋向相反的关系。
能够使图形复原的最小平移距离(jù lí),称为平移轴的移距。
精品资料
螺旋轴 为一条假想直线,当结构围绕此直线旋转 一定(yīdìng)角度,并平行此直线移动一 定(yīdìng)距离后,结构中的每一质点都 与其相同的质点重合。
精品资料
螺旋轴的国际符号一般写成ns。n为轴次,s为小于 n的自然数。 若沿螺旋轴方向(fāngxiàng)的结点间距标记为T, 则质点平移的距离t应为(s/n)·T,其中t称为螺距。
精品资料
螺旋(luóxuán)轴 (3)
四次对称轴4(a)、右旋四次螺旋轴41 (b)、中性(zhōngxìng)四次螺旋轴42(c) 和左旋四次螺旋轴43(d)
精品资料
螺旋(luóxuán)轴 (4)
六次对称轴6(a)、右旋六次螺旋轴61(b)、62 (c)、中性(zhōngxìng)六次螺旋轴63(d)和左 旋六次螺旋轴64(e)、65(f)
晶体的内部对称

单斜晶系 a0 ≠b0 ≠c0 ; α=γ=90°,β>90° 三斜晶系:
a0 ≠b0 ≠c0 ; α≠β≠γ≠90°
2
(1)
晶体的微观对称要素
螺旋轴(screw rotation axis)
晶体外部对称中的对称轴,在晶体内部可以体现为对称轴,亦 可以体现为螺旋轴。 螺旋轴是指:旋转+平移。 对称轴有:2,3,4,6 螺旋轴有:21; 31、32; 41、42、43; 61、62、63、64、65 共11种螺旋轴。
21
22 23 六方晶系 Hexagonal
6
-6 6/m
168 P6 169 P61 170 P65 171 P62 172 P64 173 P63
174 P-6 175 P6/m 176 P63/m 177 P622 178 P6122 179 P6522 180 P6222 181 P6422 182 P6322 183 P6mm 184 P6cc 185 P63cm 186 P63mc 187 P-6m2 188 P-6c2 189 P-62m 190 P-62c 191 P6/mmm 192 P6/mcc 193 P63/mcm 194 P63/mmc
Amm2(38)
判断晶系、各主要方位的对称要素、对应的点群
225 F m -3 m 185 P 63 c m 226 F m -3 c 152 P 31 2 1 227 F d -3 m 228 F d -3 c 200 P m -3 201 P n -3 202 F m -3 203 F d -3 183 P 6 m m
四方晶系 Tetragonal
13
4mm
14
-42m
15
123 127 4/mmm 131 135 139
4第四讲 晶体对称规律

类
2 空间格子类型与晶体常数特点
• 2.1空间格子的划分
2.1.1平行六面体的选择 对于每一种晶体结构而言,其结点(相当点)的分布是客 观存在的,但平行六面体的选择是人为的。
• 对于一个空间点阵,可以划分出一个平行六面体作为一个 基本单位,整个空间点阵可以由这个单位平行六面体在三 维空间的平移而产生。划分平行六面体的方式有很多,但 应遵循以下原则: 1)所选平行六面体的对称性应符合整个空间点阵的对称 性; 2)在不违反对称的前提下,应选择棱与棱之间直角关系 为最多的平行六面体; 3)在遵循前二条件的前提下,所选平行六面体的体积应 为最小; 4)当对称性规定棱间的交角不为直角时,则在遵循前三 个条件的前提下,应选择结点间距小的行列作为平行 六面体的棱,且棱间交角近于直角的平行六面体。
定理一:LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半) 逆定理: L2与L2相交,在其交点且垂直两L2会产生Ln,其基 转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的 L2 。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
思考: 两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么 对称轴?
因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)。
• 具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个 序号位中规定了写什么方向上的对称要素(序号位与方 向对应,这是国际符号的最主要的特色),对称意义完 全相同的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个就 行了(简化,这是国际符号的另一特色). 不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同, 所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定 不要弄混淆. 每个晶系的国际符号写法见表3 (此表很重要,要熟记!).
• 例2:四方四面体:有一个Li4,有P包含Li4 • (或L2垂直于
晶体学中的对称群

Crystallographic Symmetry Group
学时/学分:30/1.5 属性:选修课 开课时间:春季 开课周期:2年 一、课程简介:
晶体学是固体科学的基础,对称性理论是晶体学的理论基础。运用群论 可以很方便地研究晶体的对称性。该课程的重点是运用群论讨论晶体的对称性, 可作为凝聚态物理、材料科学、固体化学等学科的专业课。学生通过该课程的学 习,可以运用群论的概念、方法和定理研究晶体的对称性,能够读懂国际晶体学 表中230种空间群的图表,充分利用空间群图表上的信息进行有关晶体材料的研 究。
★ 复合操作为两种操作的乘积。一般说来,当某复合操作 为对称操作时,该复合操作的两个组成部分本身却不 一定是对称操作。
● H-M方法:nn,n次旋转倒反操作。
4 (4)2 = 2 (4)3 (4)4 = 1
对称操作 4 暗示 2 存在 4 和 1 不是其对称操作,它们的复合操作 44 是一种新 操作。
x0?x0257可以充分描述方解石的晶体结构dc3r63dcr3cc2112ai第一章对称操作第二章二维晶体学第三章群论初步第四章晶体学点群第五章点阵晶系与晶体学中的坐标系第六章空间群的推导第七章空间群图表的认识与使用第八章空间群与晶体结构及相变第一章对称操作第二章二维晶体学第三章群论初步第四章晶体学点群第五章点阵晶系与晶体学中的坐标系第六章空间群的推导第七章空间群图表的认识与使用第八章空间群与晶体结构及相变主要内容第一章对称操作11引言12点对称操作及其矩阵表示13非点式操作
主轴为n次轴,则有n张σv, σd处于两邻σv 之分角处。
以镜面的法线[u, v, w]表示镜面的方向。如m[010]
(m[010])⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
03结晶矿物学第四章晶体的对称

桂林工学院 II.
国际符号
用对称要素的组合及其方位来表示,如m3m 1、2、3、4、6代表旋转轴 1、2、3、4、6代表旋转反伸轴 m为对称面
桂林工学院
国际符号的各序位的方向
晶系 三六方 序位 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 代表方向 Z轴方向 X、Y、U方向 X、Y和U轴之间的夹角中间方向 Z轴方向 X、Y方向 X、Y轴之间的夹角中间方向 X轴 Y轴 Z轴 Y轴方向 任意方向
n)
旋转反映轴(Lsn) 对称轴Ln旋转 对称面反映
桂林工学院
旋转反映轴(Ls
n)
Ls1=P=Li2 Ls2=C=Li1 Ls3=L3+P(P丄L3)=Li6 Ls4=Li4 Ls6=L3+C=Li3
桂林工学院
桂林工学院
四、对称要素组合定律
欧拉定理
任意两个对称要素组合,必然要产 生第三个对称要素
对称型:L22P(mm)
2 6 7 3 P 4 7 5 4 2 7 6 P 3 6
1. 2.
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1
5 7 6
3. 4. 5. 6. 7.
1个晶面,单面,{001}, 2个晶面,平行双面,{100} 2个晶面,平行双面,{010} 2个晶面,双面, {h0l} 2个晶面,双面,{0kl} 4个晶面,斜方柱,{hk0} 4个晶面,斜方单锥,{hkl}
桂林工学院
定理3
Ln×P⁄⁄→LnnP
桂林工学院
定理4
Lin ×L2⊥×P⁄⁄→ Lin nL2nP(n为奇数) Lin (n/2)L2(n/2)P(n为偶数)
桂林工学院
五、对称型及其推导
对称型:结晶多面体中,全部对称要素的组合。 点群=对称型 对称要素: 对称中心:C 对称面:P 对称轴:L2、L3、L4、L6 旋转反伸轴:Li4;Li6(L3+P) Li1=C;Li2=P;Li3=L3+C;
晶体化学(晶体对称性)

划分正当晶胞或单位的原则中,主要做了两方
面的规定:
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状;
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P,I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P,C(或侧心),I,F
面心F
单斜 P,C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴,通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中,必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma,并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点),-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种,但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素,也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中,宏观对称元素组合时,必受以下两条的限制:
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子,若按左图取素格子只能表现三方对称性;若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖):
4第四讲晶体的对称

第四章 晶体的对称
4)旋转反伸轴 (Li) 假象直线,旋转+反伸—— 复合操作 旋转反伸轴包括:Li1、Li2、Li3、Li4、Li6
Li1
Li3
5
1
3 6
4 2
Li4
旋转反伸轴的作用与简单对称要素有什么 关系?
Li
1=
C
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
第四章 晶体的对称
第四章 晶体的对称
A类推导分七种情况(共27个): 第一种情况:对称轴单独存在; L1、L2、L3、L4、L6 (5个)
第二种情况:对称轴之间的组合;
L1L2=L2, L2 2L2 =3L2 , L3 3L2 , L4 2L2 ,L6 2L2 (4个)
第四章 晶体的对称
第三种情况:对称轴与垂直它的对称面的组合 L1P=P、L2PC、L3P= Li6 、L4PC、L6PC (5个)
第四章 晶体的对称
三.对称操作和对称要素
1.对称操作: 凭借几何图型 (点,线,面)通 过一定的操作使 相同部分重复。 这些几何图形称为对称要素 这种操作称为对称操作
第四章 晶体的对称
2、对称要素:
1)对称面 (P)
P: 假象的平面,将图形分为互为镜像的两 个相等部分。 注意:相等部分一定互为镜像; 同一晶体中可有多个。
略
第四章 晶体的对称
3、对称要素投影
对 Horizontal ---- 基圆 称 面 Vertical -------- 直径 (P) Sloping-------- 大圆弧
注意:(1) 基圆:有水平对称面时为实线,无对称面是为虚线;
N
B
B
晶体学中的对称群 课堂笔记 复习资料(完整版)

{
}
基 本 定 义
a 所得的变换,或 y 是 x 的共轭操作。
(1)共轭是相互的 (2)共轭是可以传递的。 PS:此 x 为对称操作,eg:镜面操作,旋转操作。 写为 [Y ] = a [ X ] 时,此 [ X ] 为对称元素,eg:转轴,镜面 一般来说, 如果某客体 (晶体) 具有若干个同种类的对称元素 (如点群 3m 中的三张互成 120° 的镜面) ,而且该客体的对称操作群 G 中存在着使这些对称元素相互重合的对称操作(如点 ,我们就称这些对称元素相互共轭。 “对称元素”是转轴、镜 群 3m 中的 3+ [001] 和 3− [001] ) 面等几何元素。而不是对称群的元素,对称群的群元是对称操作。 共轭类: (P55)在群 G 中任取一元素 y ,用群 G 中所有的元素对 y 进行变换,找出一切与
1 4
1 4
(5) 滑移反映: 一般可用字母 g 表示, 平移的滑移分量写在括号内, 随后是滑移面的位置。 滑移反映用 a, b, c, n, d 表示时,不必写出滑移分量 eg: g
几 何 符 号
1 1 1 1 1 1 1 , , x − , x, z ,即滑移分量 , , ,滑移面垂直于 [110] 方向,过 4 4 4 2 4 4 2
第二章 二维晶体学
平面点群:10 个—— 1, 2,3, 4, 6, m, 2mm,3m, 4mm, 6mm ,P33 图 2-2,P34 表 2-1 平面点阵:5 个——斜交点阵(mp) ,正交点阵(tp) ,六角点阵(hp) ,简单矩形点阵(op) , c 心矩形点阵(oc) ,P35 图 2-3 平面晶系:4 个——斜交,矩形,正方,六角,P36 表 2-2 初基单胞:只含一个阵点; 非初基晶胞:含不止一个阵点; 惯用晶胞:能充分反映点阵的对称性的单胞。 平面群:17 个二维空间群:P39 表 2-3 把每一个平面点群和它相协调的每一个平面点阵组合起来, 即让该点阵的阵点所代表的 图像单元具有该点阵的对称性,或具有把该点群中的镜线 m 换成滑移线 g 之后的对称性, 得到 17 个平面群。 平面群的 HM 完全符号第一个字母(p 或 c)表示点阵是否有心,字母后的第一位数字 表示沿 c 方向的对称元素,第二、三位的符号分别表示沿平面上两类不同方向的对称元素。
(完整word版)结晶学矿物学总复习题(含答案)

《结晶学与矿物学》复习题一、名词解说并举例:1、晶体;晶体是内部质点 ( 原子、离子或分子 ) 在三维空间呈周期性平移重复排列而形成格子结构的固体。
2、面角守恒定律;同种物质的所有晶体,其对应晶面的夹角恒等3、晶面符号;晶体定向后,晶面在空间的相对地点就能够依据它与晶轴的关系来确立,表示晶面空间方向的符号就叫晶面符号。
4、单形、单体;单形 : 由对称因素联系起来的一组晶面的总合。
单体:矿物单晶体的形态。
5、聚形及聚形相聚的原则;只有对称型同样的单形才能相聚在一同。
6、平行连生;同种晶体,相互平行地连生在一同,连生着的每一个单晶体(单体)的相对应的晶面和晶棱都相互平行,这类连生称为平行连生。
7、双晶;是两个以上的同种晶体按必定的对称规律形成的规则连生。
8、空间格子;表示晶体内部结构中质点在三维空间作周期性平移重复摆列规律的几何图形。
8、点群与空间群;晶体形态中,所有对称因素的组合,称为该晶体形态的对称型或点群。
晶体内部结构的对称因素(操作)的组合称为空间群9、等效点系;等效点系是指:晶体结构中由一原始点经空间群中所有对称要素操作所推导出来的规则点系。
10、类质同象 : 晶体结构中某种质点 ( 原子、离子或分子 ) 被其他种近似的质点所取代,仅使晶格常数发生不大的变化,而结构型式其实不改变,这类现象称为类质同像。
11、同质多象;同种化学成分的物质,在不一样的物理化学条件( 温度、压力、介质) 下,形成不一样结构的晶体的现象,称为同质多像。
12、矿物;矿物 (mineral)是由地质作用或宇宙作用所形成的天然单质或化合物;13、解理;矿物晶体在应力(敲打、挤压等)作用下,沿必定结晶学方向破碎成一系列圆滑平面的固有特征称为解理,这些圆滑的平面称为解理面14、荧光与磷光;磷光:矿物在外加能量的激发下发光,当撤掉激起源后,发光的连续-8时间> 10-8秒;而连续发光时间<10秒的发光称荧光。
干预、衍射、散射等物理光学效应而惹起的矿物呈色。
晶体学基础第二章-宏观对称元素组合及点群

定理三
¾ 1个对称面垂直于偶次Ln对称轴必有对称中心C; Ln · P ⊥ →LnP ⊥ C (n为偶数)。
定理三的逆定理
Ln · P ⊥ →LnP ⊥ C (n为偶数)。
Ln · C → LnP ⊥ C (n为偶数) P · C → LnP ⊥ C (n为偶数)
¾ 这一定理说明了Ln、P、C三者中任两个 可以产生第三者。因为偶次轴包含L2 。
点群(对称型)
• 点:所有对称元素相交于晶体的中心,有一个公 共点,在对称操作中始终不动。
• 各种对称操作构成的集合符合数学中的群的概念, 所以宏观对称元素的组合也叫点群(point group), 也称对称型。
• 群:一组对称元素或对称操作的集合。
群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合,G ≡ {E, A ,B, C, D ……} ,
晶体对称元素可能组合:对称轴+对称轴
第一种情况: Ln · L2(⊥) → Ln nL2 可以推到出4个新组合。
第二种情况: z Lni · L2(⊥) → Ln i nL2 nP (n =奇数) z Lni · L2(⊥) → Ln i n/2L2 n/2P (n =偶数)
可以推到出3个新组合。
四次轴(L4)+对称面(P)
•Step 1: reflect •Step 2: rotate 1 •Step 3: rotate 2 •Step 4: rotate 3
四次轴(L4)+对称面(P)
增加2个对称面
L4 + P = L4 4P
三次轴(L3)+对称面(P)
L3 + P = L3 3P
定理四
• 1个L2垂直于Lni 对称轴或1个P包含于Lni 对称轴,n为奇数
§1.7 晶格的对称性

固体物理
固体物理学
带心
晶胞类型:晶系 晶系(七个) 晶系
特 征 对 称 元 素
空间点阵形式(十四种) 空间点阵形式
与 微 观 对 称 元 素 组 合
形
类型:点 点
(32个)
空间
(230个)
18
固体物理
固体物理学
晶体结构的分类
按晶胞分 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
C 3 ,C 3i ,C 3V , D3 , D3 d
晶胞参数
a = b = c,α = β = γ = 900
a = b ≠ c ,α = β = 90 0
γ = 120 0
a = b ≠ c,α = β = γ = 900
0 a =b=c,α =β =γ ≠90
0 a ≠b≠c,α = β =γ =90
6
固体物理
固体物理学
晶系 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
特征对称元素
三个 4 或四个 3 一个 6 或 6 一个 4 或 4 一个 3 或 3 三个 2 一个 2 无(仅有i )
所属点群
O ,Oh ,T ,Th ,Td
C 6 ,C 6 h ,C 3 h ,C 6 v D 6 , D 6 h , D 3h C 4 , S 4 , C 4 h , C 4V D4 , D4h , D2d
C 2 V , D2 , D2 h
C 2 ,C S ,C 2 h
a ≠ b ≠ c,α = γ = 900 ,β ≠ 900
a ≠ b ≠ c ,α ≠ β ≠ γ
C1 ,Ci
7
固体物理
固体物理学
晶体的对称性讲解

7个晶系和32种晶体学点群的划分
对称 晶 特征对
点
群
性的 高低 系
称元素
晶胞类型
序 熊夫里 号 斯记号 国际记号
对称元素
三
斜
无
单 2 或m
斜
abc
1 c1
1
90 2 ci
abc
3 c2
c 4
s
1
i
2
2
mm
c 90 5
2h
2/m
2, m,i
低 正 两个互相垂 直的m或三
交 个互相垂的
晶体点群的记号
晶系
立方 Cubic 六方 hexagonal 四方 tetragonal 三方 rhombohetron 正交 orthorhombic 单斜 monoclinic 三斜 anorthic
1
a c c a+b+c a b
2
a+b+c a a a-b b ――
3
a+b 2a+b a+b ―― c ――
晶体的32种对称类型32种点群符号符号的意义对称类型数目cnn度旋转对称轴c1c2c3c4c65ci对称心icis21cs对称面mcs1cnhn度轴与轴垂直的水平对称面c2hc3hc4hc6h4cnvn度轴通过该轴的铅垂对称面c2vc3vc4vc6v4dnn度轴n个与之垂直的2度轴d2d3d4d64符号符号的意义对称类型数目dnhdn与轴垂直的水平对称面d2hd3hd4hd6h4dnddn平分两个2度轴间夹角的对称面d2dd4d2sn经n度旋转后经垂直该轴的平面的镜像c3is6c4is42t4个3度轴3个2度轴t1thh与前面相同th1tdd与前面相同td1符号符号的意义对称类型数目o3个相互垂直的4度轴6个2度轴4个3度轴o1ohh与前面相同oh1总共32如果考虑平移还有两种情况即螺旋轴和滑移反映面
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1 2
1 1 1 1 1 ,即绕直线 0, , z 逆时针旋转 90°,并对 0, , 点倒反。 2 4 2 2 4
由对称操作的矩阵求其几何符号:P23 由对称操作的几何符号求对称操作矩阵:P28 PS:金刚石滑移仅可能在面心正交、体心四方、面心立方和体心立方四种 Bravais 点阵的空 间群中出现,这些点阵或包含有面心平移,或包含有体心平移。
(3)螺旋旋转:在括号内给出平移的螺旋分量。 eg: 3− 0, 0,
1 1 1 1 1 1 , , z ,即绕直线 , , z 反向旋转 120°与平移 c 的复合操作。 3 3 3 3 3 3
eg:m x, , z , 即位于 x, , z 处的镜面。
(4) 反映面: 用 m 表示, 后面是镜面的位置。
(2)外直积群 G 的阶 q 为 H 与 P 的阶的乘积: q = rs 。 (3)群 H 与 P 都是群 G 的不变子群。 (4)群 G 中的共轭类,由群 H 与 P 中的共轭类的乘积给出。
外 直 积
半直积:设 2 个对称操作群 H 与 P : H = {1, h2 , h3 , , hr } , P = {1, p2 , p3 , , ps } ,
点 对 称 操 作
= S ,与旋转倒反是等价的,一一对应关系为: 旋转反映: n n
2= 1 = m, 3+ = 6 − , 4+ = 4 − , 6+ = 3 − 1= 2,
非点式操作:含平移的对称操作,分为螺旋旋转和滑移反映。符号与示意图:P8 图 1-5 (1)螺旋旋转: nm 操作表示逆时针旋转 2π / n 角并沿螺旋轴正向平移
子 群 网
bH = {bh1 , bh2 , , bhr } 称为子群 H 的一个左陪集,同理右陪集 Hb = {h1b, h2b, , hr b}
同一陪集内的元素是互不相同的,不同陪集内的元素互不相同。
陪 集
陪集展开: (P58)设 b2 ∈ G 且 b2 ∉ H ,作左陪集 b2 H = {b2 h1 , b2 h2 , , b2 hr } ,若群 G 中还 任选其一记为 b3 , 再作陪集 b3 H = {b3 h1 , b3 h2 , , b3 hr } , 如此继续直 有不属于 b2 H 的元素, 至群 G 中再无剩余元素为止。于是群 G 中的全部元素被展开成子群 H 及其陪集如下 : G = b1 H b2 H b3 H bs H = b1 H + b2 H + b3 H + + bs H ( b1 = 1 ) 陪集展开定理 (拉格朗日定理) : (P59) 群 G 的阶 q 必为其子群 H 的阶 r 的整数倍, 或者说, 子群 H 的阶 r 是群 G 的阶 q 的因子。商 q / r = s 就叫子群 H 在 G 中的指数。
第三章 群论初步
群的基本性质:封闭性、结合律、单位元、逆元,P47 重排定理: (P49) 设有一个 q 阶群 G = g1 , g 2 , , g q , 而 gi 是其中的一个群元, 则 gi G = G 。 循环群: (P50)若群 G 中的每个元都可以写为 G 中某元 a 的乘幂,就称 G 为循环群,而 a 称为 G 的生成元。 生成元: (P50)如果群 G (不一定是循环群)中的每个群元皆可表示为 g1 , g 2 , , g m 的乘幂 的乘积,则称群 G 的这些元 g1 , g 2 , , g m 为它的一组生成元。 交换群: (P51)若某群中任意二群元 a 与 b 的结合都满足交换率: ab = ba ,则称这个群为 交换群。 可交换条件:其中某元素可把另一元素变换成那一元素自己。 共轭: (P52)若任意元 a 把元 x 按 y = axa −1 变成另一元 y ,则称 y 与 x 共轭。称 y 是 x 按
陪 集 展 开
H 共轭子群: (P60) 设群 G 有一个 r 阶子群=
把整个子群变换成另一个集合 aHa
−1
h ( 1) , h , , h } ,用群 G 中的某一元素 a {=
1 2 r
−1 −1 −1
= {ah1a , ah2 a , , ahr a
} ,称 aHa
−1
为与 H 共轭
的子群,或称之为 H 的共轭子群。 不变子群: (P61) 群 G 中的任一元素 a 都把 G 的某一子群 H 变换成 H 自己, 即 aHa −1 = H , 则称子群 H 为自轭子群或不变子或正规子群。 H 为 G 的不变子群的充要条件是其对 G 中任何元素 a 的左陪集与右陪集相等。 当群 G 的子群 H 完全由 G 的完整的共轭类构成时, H 就称为不变子群。 把群 G 展开成其子群 H 的陪集,这些陪集的集合构成一个群的充要条件是 H 为 G 的不变 子群。 商群: (P61)群 G 的陪集构成的群称为 G 对其不变子群 H 的商群,或称为 H 在 G 中的因 子群,用符号 G / H 表示。 同构: (P63)若群 G 与 G ′ 同阶,G 中的任一元 gi 皆与 G ′ 中的某唯一的元 gi′ 对应,G 中的 乘积 gi g j 与 G ′ 中的乘积 gi′ g j′ 对应, 则称 G 与 G ′ 同构。 或: 两个同阶的群有同一种乘法表。 同态: (P63)Homomorphism 太魔性,我拒绝打这一段 T_T 外直积:设 2 个对称操作群 H 与 P : H = {1, h2 , h3 , , hr } , P = {1, p2 , p3 , , ps } ,
1 4
1 4
(5) 滑移反映: 一般可用字母 g 表示, 平移的滑移分量写在括号内, 随后是滑移面的位置。 滑移反映用 a, b, c, n, d 表示时,不必写出滑移分量 eg: g
几 何 符 号
1 1 1 1 1 1 1 , , x − , x, z ,即滑移分量 , , ,滑移面垂直于 [110] 方向,过 4 4 4 2 4 4 2
第二章 二维晶体学
平面点群:10 个—— 1, 2,3, 4, 6, m, 2mm,3m, 4mm, 6mm ,P33 图 2-2,P34 表 2-1 平面点阵:5 个——斜交点阵(mp) ,正交点阵(tp) ,六角点阵(hp) ,简单矩形点阵(op) , c 心矩形点阵(oc) ,P35 图 2-3 平面晶系:4 个——斜交,矩形,正方,六角,P36 表 2-2 初基单胞:只含一个阵点; 非初基晶胞:含不止一个阵点; 惯用晶胞:能充分反映点阵的对称性的单胞。 平面群:17 个二维空间群:P39 表 2-3 把每一个平面点群和它相协调的每一个平面点阵组合起来, 即让该点阵的阵点所代表的 图像单元具有该点阵的对称性,或具有把该点群中的镜线 m 换成滑移线 g 之后的对称性, 得到 17 个平面群。 平面群的 HM 完全符号第一个字母(p 或 c)表示点阵是否有心,字母后的第一位数字 表示沿 c 方向的对称元素,第二、三位的符号分别表示沿平面上两类不同方向的对称元素。
第一章 对称操作
对称操作的分类:P19 表 1-4 点对称操作:操作过程中至少有一个点不动。符号与示意图:P3 图 1-3 (1)全同操作:不施以任何操作,按 HM 符号记为 1,Schoenflies 符号中用 E 表示。 (2)纯旋转:绕着某轴旋转 2π / n 角,按 HM 符号记为 n ,Schoenflies 符号中用 Cn 表示, 这里的 n 称为旋转轴次,只存在 n = 1, 2,3, 4, 6 。 (3)倒反:通过某一中心的倒反操作把右手变为左手,改变了图象的左右手向指关系。其 符号为 1 ( i ) 。 (4)镜面反映:从空间某给定点向镜面作垂线,沿此线在镜面另一侧得到等距离的点。按 HM 符号记为 m ,Schoenflies 符号中用 σ 表示。 (5)旋转倒反:HM 符号为 n ,是 n 次旋转操作与倒反操作两者组成的复合操作。
1 1 , , 0 ,即 C 心平移。 2 2
PS:与平移有关的都写在括号内,包括螺旋旋转与滑移反映中的平移分量。 (2)纯旋转:用数字 n = 2,3, 4, 6 表示,用数字右上角的 + 或 - 号表示旋转向指,最后是 转轴的位置。 eg: 4+ 0, y, 0 ,即绕着直线 0, y, 0 正向旋转 90°。
(
)
非 点 式 操 作
= 乘法: (W2 , w 2 )(W1 , w1 )
逆操作: (W , = w)
−1
(W2W1 ,W2 w1 + w2 )
, −W −1w )ห้องสมุดไป่ตู้
Seitz 符号
(W
−1
wx W wy 增广矩阵W :W = wz 0 0 0 1
对称操作的几何符号:P22 (1)平移:用 t 表示, t 后括号内的数字是平移矢量的分量。 eg: t
eg2: a x, y,
1 0, , 0 点。 4
1 4
eg: 1 0, 0, 0
(6)倒反: 1 ,随后是对称中心的位置。
(7)旋转倒反:右上角标以+ 或 – 的 3, 4, 6 ,随后是旋转倒反轴的位置,最后在分号之后 给出倒反点的位置。 eg: 4 0, , z; 0, ,
共 轭 子 群 不 变 子 群 商 群
同 构 同 态
H P = {1} ,且它们的元相互相乘时遵从交换律: hi p j = p j hi ,则
(1)群 H 中任一元 hi 与群 P 中任一元 p j 的乘积的集合 G =
h p } { p h } 构成群 G ,称 {=
i j j i
G 为 H 与 P 的外直积,记为: G = H ⊗ P = P ⊗ H 或 G = H × P = P × H
{
}
基 本 定 义
a 所得的变换,或 y 是 x 的共轭操作。
(1)共轭是相互的 (2)共轭是可以传递的。 PS:此 x 为对称操作,eg:镜面操作,旋转操作。 写为 [Y ] = a [ X ] 时,此 [ X ] 为对称元素,eg:转轴,镜面 一般来说, 如果某客体 (晶体) 具有若干个同种类的对称元素 (如点群 3m 中的三张互成 120° 的镜面) ,而且该客体的对称操作群 G 中存在着使这些对称元素相互重合的对称操作(如点 ,我们就称这些对称元素相互共轭。 “对称元素”是转轴、镜 群 3m 中的 3+ [001] 和 3− [001] ) 面等几何元素。而不是对称群的元素,对称群的群元是对称操作。 共轭类: (P55)在群 G 中任取一元素 y ,用群 G 中所有的元素对 y 进行变换,找出一切与