晶体学中的对称群 课堂笔记 复习资料(完整版)

子 群 网
bH = {bh1 , bh2 , , bhr } 称为子群 H 的一个左陪集，同理右陪集 Hb = {h1b, h2b, , hr b}
同一陪集内的元素是互不相同的，不同陪集内的元素互不相同。
陪 集
陪集展开： （P58）设 b2 ∈ G 且 b2 ∉ H ，作左陪集 b2 H = {b2 h1 , b2 h2 , , b2 hr } ，若群 G 中还 任选其一记为 b3 ， 再作陪集 b3 H = {b3 h1 , b3 h2 , , b3 hr } ， 如此继续直 有不属于 b2 H 的元素， 至群 G 中再无剩余元素为止。于是群 G 中的全部元素被展开成子群 H 及其陪集如下 ： G = b1 H b2 H b3 H bs H = b1 H + b2 H + b3 H + + bs H （ b1 = 1 ） 陪集展开定理 （拉格朗日定理） ： （P59） 群 G 的阶 q 必为其子群 H 的阶 r 的整数倍， 或者说， 子群 H 的阶 r 是群 G 的阶 q 的因子。商 q / r = s 就叫子群 H 在 G 中的指数。
第一章 对称操作
对称操作的分类：P19 表 1-4 点对称操作：操作过程中至少有一个点不动。符号与示意图：P3 图 1-3 （1）全同操作：不施以任何操作，按 HM 符号记为 1，Schoenflies 符号中用 E 表示。 （2）纯旋转：绕着某轴旋转 2π / n 角，按 HM 符号记为 n ，Schoenflies 符号中用 Cn 表示， 这里的 n 称为旋转轴次，只存在 n = 1, 2,3, 4, 6 。 （3）倒反：通过某一中心的倒反操作把右手变为左手，改变了图象的左右手向指关系。其 符号为 1 （ i ） 。 （4）镜面反映：从空间某给定点向镜面作垂线，沿此线在镜面另一侧得到等距离的点。按 HM 符号记为 m ，Schoenflies 符号中用 σ 表示。 （5）旋转倒反：HM 符号为 n ，是 n 次旋转操作与倒反操作两者组成的复合操作。
1 2
1 1 1 1 1 ，即绕直线 0, , z 逆时针旋转 90°，并对 0, , 点倒反。 2 4 2 2 4
由对称操作的矩阵求其几何符号：P23 由对称操作的几何符号求对称操作矩阵：P28 PS：金刚石滑移仅可能在面心正交、体心四方、面心立方和体心立方四种 Bravais 点阵的空 间群中出现，这些点阵或包含有面心平移，或包含有体心平移。
第二章 二维晶体学
平面点群：10 个—— 1, 2,3, 4, 6, m, 2mm,3m, 4mm, 6mm ，P33 图 2-2，P34 表 2-1 平面点阵：5 个——斜交点阵（mp） ，正交点阵（tp） ，六角点阵（hp） ，简单矩形点阵（op） ， c 心矩形点阵（oc） ，P35 图 2-3 平面晶系：4 个——斜交，矩形，正方，六角，P36 表 2-2 初基单胞：只含一个阵点； 非初基晶胞：含不止一个阵点； 惯用晶胞：能充分反映点阵的对称性的单胞。 平面群：17 个二维空间群：P39 表 2-3 把每一个平面点群和它相协调的每一个平面点阵组合起来， 即让该点阵的阵点所代表的 图像单元具有该点阵的对称性，或具有把该点群中的镜线 m 换成滑移线 g 之后的对称性， 得到 17 个平面群。 平面群的 HM 完全符号第一个字母（p 或 c）表示点阵是否有心，字母后的第一位数字 表示沿 c 方向的对称元素，第二、三位的符号分别表示沿平面上两类不同方向的对称元素。
m t ，其中 t 是沿螺 n
旋轴方向点阵周期。 n 次旋转是 nm 螺旋旋转当 m = 0 时的特例。旋转轴和螺旋旋转转轴的 符号：P10 图 1-6 （2）滑移反映： g , wg ，同时进行镜面反映与沿平行于镜面的某方向的平移，平移量是该 方向平移周期之半，这里的 g 可以是 a, b, c, n, d 之一。对称面的符号：P11 表 1-3 Seitz 符号：先施以点操作 W 再施以平移操作 w ，记为 (W , w ) ，其中 w = wl + wg ， wl ：位 置分量（垂直于转轴/镜面方向） ， wg ：内禀分量（平行于转轴/镜面方向） 。P12
（3）螺旋旋转：在括号内给出平移的螺旋分量。 eg： 3− 0, 0,

1 1 1 1 1 1 , , z ，即绕直线 , , z 反向旋转 120°与平移 c 的复合操作。 3 3 3 3 3 3
eg：m x, , z ， 即位于 x, , z 处的镜面。
（4） 反映面： 用 m 表示， 后面是镜面的位置。
（2）外直积群 G 的阶 q 为 H 与 P 的阶的乘积： q = rs 。 （3）群 H 与 P 都是群 G 的不变子群。 （4）群 G 中的共轭类，由群 H 与 P 中的共轭类的乘积给出。
外 直 积
半直积：设 2 个对称操作群 H 与 P ： H = {1, h2 , h3 , , hr } ， P = {1, p2 , p3 , , ps } ，
第三章 群论初步
群的基本性质：封闭性、结合律、单位元、逆元，P47 重排定理： （P49） 设有一个 q 阶群 G = g1 , g 2 , , g q ， 而 gi 是其中的一个群元， 则 gi G = G 。 循环群： （P50）若群 G 中的每个元都可以写为 G 中某元 a 的乘幂，就称 G 为循环群，而 a 称为 G 的生成元。 生成元： （P50）如果群 G （不一定是循环群）中的每个群元皆可表示为 g1 , g 2 , , g m 的乘幂 的乘积，则称群 G 的这些元 g1 , g 2 , , g m 为它的一组生成元。 交换群： （P51）若某群中任意二群元 a 与 b 的结合都满足交换率： ab = ba ，则称这个群为 交换群。 可交换条件：其中某元素可把另一元素变换成那一元素自己。 共轭： （P52）若任意元 a 把元 x 按 y = axa −1 变成另一元 y ，则称 y 与 x 共轭。称 y 是 x 按
陪 集 展 开
H 共轭子群： （P60） 设群 G 有一个 r 阶子群=
把整个子群变换成另一个集合 aHa
−1
h ( 1) , h , , h } ，用群 G 中的某一元素 a {=
1 2 r
−1 −1 −1
= {ah1a , ah2 a , , ahr a
} ，称 aHa
−1
为与 H 共轭
的子群，或称之为 H 的共轭子群。 不变子群： （P61） 群 G 中的任一元素 a 都把 G 的某一子群 H 变换成 H 自己， 即 aHa −1 = H ， 则称子群 H 为自轭子群或不变子或正规子群。 H 为 G 的不变子群的充要条件是其对 G 中任何元素 a 的左陪集与右陪集相等。 当群 G 的子群 H 完全由 G 的完整的共轭类构成时， H 就称为不变子群。 把群 G 展开成其子群 H 的陪集，这些陪集的集合构成一个群的充要条件是 H 为 G 的不变 子群。 商群： （P61）群 G 的陪集构成的群称为 G 对其不变子群 H 的商群，或称为 H 在 G 中的因 子群，用符号 G / H 表示。 同构： （P63）若群 G 与 G ′ 同阶，G 中的任一元 gi 皆与 G ′ 中的某唯一的元 gi′ 对应，G 中的 乘积 gi g j 与 G ′ 中的乘积 gi′ g j′ 对应， 则称 G 与 G ′ 同构。 或： 两个同阶的群有同一种乘法表。 同态： （P63）Homomorphism 太魔性，我拒绝打这一段 T_T 外直积：设 2 个对称操作群 H 与 P ： H = {1, h2 , h3 , , hr } ， P = {1, p2 , p3 , , ps } ，
1 1 , , 0 ，即 C 心平移。 2 2
源自文库
PS：与平移有关的都写在括号内，包括螺旋旋转与滑移反映中的平移分量。 （2）纯旋转：用数字 n = 2,3, 4, 6 表示，用数字右上角的 + 或 - 号表示旋转向指，最后是 转轴的位置。 eg： 4+ 0, y, 0 ，即绕着直线 0, y, 0 正向旋转 90°。
(
)
非 点 式 操 作
= 乘法： (W2 , w 2 )(W1 , w1 )
逆操作： (W , = w)
−1
(W2W1 ,W2 w1 + w2 )
, −W −1w )
Seitz 符号
(W
−1
wx W wy 增广矩阵W ：W = wz 0 0 0 1
对称操作的几何符号：P22 （1）平移：用 t 表示， t 后括号内的数字是平移矢量的分量。 eg： t
共 轭 子 群 不 变 子 群 商 群
同 构 同 态
H P = {1} ，且它们的元相互相乘时遵从交换律： hi p j = p j hi ，则
（1）群 H 中任一元 hi 与群 P 中任一元 p j 的乘积的集合 G =
h p } { p h } 构成群 G ，称 {=
i j j i
G 为 H 与 P 的外直积，记为： G = H ⊗ P = P ⊗ H 或 G = H × P = P × H
点 对 称 操 作
= S ，与旋转倒反是等价的，一一对应关系为： 旋转反映： n n
2= 1 = m, 3+ = 6 − , 4+ = 4 − , 6+ = 3 − 1= 2,
非点式操作：含平移的对称操作，分为螺旋旋转和滑移反映。符号与示意图：P8 图 1-5 （1）螺旋旋转： nm 操作表示逆时针旋转 2π / n 角并沿螺旋轴正向平移
共 轭 和 共 轭 类
y 共轭的元素，这些元素的集合叫做群 G 中以 y 为代表的共轭类。
共轭类的阶： （P56）共轭类中包含的元素的个数，必为它所属群的阶的一个因数。 子群： （P56）某个群 G 的子集合也可能构成一个群，称为群 G 的子群。为检验群 G 中的某 子集合是否为群，只需检验封闭性与逆元这两条性质是否成立。 子群网： （P57）把有限群 G 与它的所有最大子群分别用线连起来，再把这些子群又与它们 各自的最大子群连起来， 如此继续下去到仅含单位元的 1 阶群 1， 这样得到的图叫群 G 的子 群网。 陪 集 ：（ P58 ） 群 G 的 某 一 子 群 H = {h1 , h2 , , hr } ， b ∈ G 且 b ∉ H ， 则
eg2： a x, y,
1 0, , 0 点。 4
1 4
eg： 1 0, 0, 0
（6）倒反： 1 ，随后是对称中心的位置。
（7）旋转倒反：右上角标以+ 或 – 的 3, 4, 6 ，随后是旋转倒反轴的位置，最后在分号之后 给出倒反点的位置。 eg： 4 0, , z; 0, ,
{
}
基 本 定 义
a 所得的变换，或 y 是 x 的共轭操作。
（1）共轭是相互的 （2）共轭是可以传递的。 PS：此 x 为对称操作，eg：镜面操作，旋转操作。 写为 [Y ] = a [ X ] 时，此 [ X ] 为对称元素，eg：转轴，镜面 一般来说， 如果某客体 （晶体） 具有若干个同种类的对称元素 （如点群 3m 中的三张互成 120° 的镜面） ，而且该客体的对称操作群 G 中存在着使这些对称元素相互重合的对称操作（如点 ，我们就称这些对称元素相互共轭。 “对称元素”是转轴、镜 群 3m 中的 3+ [001] 和 3− [001] ） 面等几何元素。而不是对称群的元素，对称群的群元是对称操作。 共轭类： （P55）在群 G 中任取一元素 y ，用群 G 中所有的元素对 y 进行变换，找出一切与
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（5） 滑移反映： 一般可用字母 g 表示， 平移的滑移分量写在括号内， 随后是滑移面的位置。 滑移反映用 a, b, c, n, d 表示时，不必写出滑移分量 eg： g
几 何 符 号
1 1 1 1 1 1 1 , , x − , x, z ，即滑移分量 , , ，滑移面垂直于 [110] 方向，过 4 4 4 2 4 4 2