学而思奥数2016秋季班提高班第7讲讲义
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拓展 9 用数字 1 至 4 各一个组成两个两位数， 两数的乘积最大值是多少？最小值是 多少？ 【答案】1312、312
【分析】乘积要大的话，十位应该为 3、 4，个位为 1、2，那么不管每个数位上 的数属于哪个两位数，他们的和是不 变的，此时就可以利用“和一定差小积 大”，两个两位数的差应尽量小，两数 乘积最大为41 32 1312； 同样的，要乘积小，十位应该为 1、2， 个位为 3、4，那么不管每个数位上的 数属于哪个两位数，他们的和是不变 的，此时就可以利用“和一定差小积 大”，两个两位数的差应尽量大，两数 乘积最小为13 24 312．
作业 3
如图，ABCD 是长方形，三角形 BCF
的面积是 10，求三角形 DEF 的面积．
A
D
F
B
C
E
【答案】10
【分析】S△ADF S△BFC 长方形 ABCD 的一半，S△ADF S△DFE S△ADE 长方形
ABCD 的一半, S△DEF S△BCF 10.
四年级秋季尖子班第 7 讲练习册答案 最值问题初步
（3）长与宽的和为60 2 30米， 30 15 15，长、宽均为 15 米时面积 最大，为15 15 225平方米； 周长为 34 米，长与宽的和为34 2 17 米，17 8.5 8.5，所以面积最大为 8.5 8.5 72.25平方米．
【随堂练】 （1）两个自然数的和为 30，这两个数 的乘积最大是多少？最小是多少？ （2）两个两位自然数的和为 35，这两 个数的乘积最大是多少？最小是多 少？ （3）一个长方形周长为 40，这个长方
10个7
10个9
【答案】77 7622 23
9个 7
9个2
【分析】
原式 77 7 99 9
10个7
10个9
77 700 0 77 7
10个7 10个0
10个7
77 7622 23
9个7
9个2
作业 2 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E
为 AB 的中点，AF CF ，三角形 AFE （图中阴影部分）的面积为 8 平方厘 米．平行四边形 ABCD 的面积是多少 平方厘米？
【随堂练】 一辆公交车连续停靠 5 站，每站都有 乘客上车且人数不同，那么，至少有 多少人上了公交车呢？ 【答案】1 2 3 4 5 15
练一练 一个多位数的各位数字互不相同，而 且各位数字之和为 23．这样的多位数 最小可能是多少？最大可能是多少？ 【答案】最小 689；最大 8543210 【分析】要让这个多位数尽量小，那 么首先位数必须少．易知，最小是三 位数，先让其中两个数最大，那么剩
若有 13 人，则至少需要苹果 1 2 3 ... 13 91 99个； 例如 13 人各分得 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10,11,12, 21个苹果(注 意：分法不唯一).
作业 2 将 88 个桃分给 8 个小朋友，每人分得 的数量各不相同，那么分得最多的小 朋友最少可以分几个？ 【答案】15 【分析】 7 8 9 10 11 12 13 14 84 88，
【答案】 （1）400，0； （2）506，350； （3）225； 72.25 【分析】和一定差小积大（差大积小）． （1）40 20 20，两数均为 20 时乘积 最大，为20 20 400； 40 0 40，两数分别为 0、40 时乘积 最小，为0 40 0； （2）45 22 23，两数分别为 22，23 时乘积最大，为22 23 506； 45 10 35，两数分别为 10、35 时乘 积最小，为10 35 350；
实战练习 10．（1）和一定差小积大，最大为
6 6 7 7 7 7 86436； （2）多拆 3，少拆 2，不拆 1： 20 3 6 2,3 3 3 3 3 3 2 1458 ．
四年级秋季尖子班第 7 讲 最值问题初步
例1 电视台要播放一部 30 集电视连续剧. 如果要求每天安排播出的集数互不相 等，不能不播，该电视连续剧最多可 以播几天？ 【答案】7 【分析】由于 1 2 3 4 5 6 7 28 30 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 36 30，所以 至多播 7 天．
个？最少可以分几个？ （2）分得最少的小朋友最少可以分几 个？最多可以分几个？ 若苹果数互不相同， （3）分得最多的小朋友最多可以分几 个？最少可以分几个？ （4）分得最少的小朋友最少可以分几 个？最多可以分几个？ 【答案】 （1）45，9； （2）1，8； （3）35，11； （4）1，5
【分析】苹果数可以相同： （1）最多50 1 5 45个；分的最多的 苹果数一定大于平均数， 50 6 8 2，所以最少分 9 个； （2）最少 1 个；最多不能大于平均数， 所以最多分 8 个； 苹果数互不相同： （3）最多：其他 5 人越少越好，最少 为1 2 3 4 5 15，所以最多可以分 50 15 35个； 最少：6 个人的苹果数在平均数附近， 5 6 7 8 9 10 45 50，
例4 （1）3 个非零自然数之和是 17，它们 的乘积最大是多少？最小是多少？ （2）3 个互不相同的非零自然数之和 是 17，它们的乘积最大是多少？最小 是多少？ （3）5 个自然数之和是 42，它们的乘 积最大是多少？ 【答案】 （1）180；15； （2）168；28； （3）41472
【分析】“和一定差小积大”不仅适用于 两个数，也适用于多个数． （1） 17 5 6 6，乘积最大为 5 6 6 180；17 1 1 15，乘积最小 为1 1 15 15； （2） 17 4 6 7，乘积最大为 4 6 7 168；17 1 2 14，乘积最小 为1 2 14 28； （3） 42 8 8 8 9 9，乘积最大为 8 8 8 9 9 41472．
次，分别组成两个三位数，这两个三 位数的乘积最小是多少？ 【答案】54243 【分析】使乘积最小，首位 1、3，十 位 4、6，个位 7、9，和一定差大积小， 所以乘积最小为147 369 54243．
作业 5 （1）把 31 拆成三个互不相同的自然 数的和，使这些自然数的乘积最大， 最大乘积是多少? （2）把 31 拆成若干个可重复自然数 的和，使这些自然数的乘积最大，最
6．11；18 这 7 个数越平均，最小的数越大，最 大的数越小，1 2 3 4 5 6 7 28， 100 28 72，72 7 10……2，所以 这 7 个数分别是 11、12、13、14、15、 17、18．
深化练习 7．(1)100、19 (2)56、14
“和一定，差小积大，差大积小”，注意 非零自然数最小为 1.
14 不可以，至少 15 个， 88 7 8 9 10 12 13 14 15 ．
作业 3 有一根长度为 42 米的绳子，用它围成 的长方形中，面积最大的是多少平方 米？ 【答案】110.25 【分析】42 4 10.5（米）， 10.5 10.5 110.25（平方米）．
作业 4 用 1、3、4、6、7、9 这 6 个数字各一
8．36，30 24 根火柴棒围成正方形时面积最大， 24 4 6厘米，6 6 36平方厘米；22 根火柴棒围的矩形长和宽越接近时， 面积越大，22 2 11厘米，11 6 5， 6 5 30平方厘米．
9．1312、312 乘积要大的话，十位应该为 3、4，个 位为 1、2，那么不管每个数位上的数
属于哪个两位数，他们的和是不变的， 此时就可以利用“和一定差小积大”，两 个两位数的差应尽量小，两数乘积最 大为41 32 1312； 同样的，要乘积小，十位应该为 1、2， 个位为 3、4，那么不管每个数位上的 数属于哪个两位数，他们的和是不变 的，此时就可以利用“和一定差小积 大”，两个两位数的差应尽量大，两数 乘积最小为13 24 312．
例5 （1） 若干个互不相同的自然数之和
是 16，它们的乘积最大是多少？ （2） 若干个可以相同的自然数之和 是 16，它们的乘积最大是多少？ 【答案】180；324 【分析】 （1）使乘积最大，不拆 1， 2 3 4 5 6 20 16，所以最多能拆 成 4 个不同的自然数，根据和一定差 小积大，16 2 3 5 6，乘积最大为 2 3 5 6 180； （2）大于 4 的数拆数后都能得到比原 数大的乘积，而4 2 2，所以最后一 定是拆成若干个 2 和 3；
下一个数必然最小．23 9 8 6，这 个数是 689． 要让这个多位数尽量大，那么位数必 须尽量多．1 2 3 4 5 6 21，那么 最多可以是 7 位数（加上 0）．先让其 中 6 位最小，那么剩下一位最 大．23 0 1 2 3 4 5 8，这个数 是 8543210．
例2 50 个苹果分给 6 个小朋友，每人至少 分一个．若苹果数可以相同， （1）分得最多的小朋友最多可以分几
四年级秋季尖子班第 7 讲作业 最值问题初步
作业 1 将 99 个苹果分给一些小朋友，每人至 少分一个，且每个小朋友所分得的苹 果数都不一样． 那么小朋友最多有 多少人？ 【答案】13 【分析】由于苹果数固定，则当每个 人得到的苹果尽量少时，人数最多. 若有 14 人，则至少需要苹果 1 2 3 14 105 99个，从而不可 能达到 14 人；
【分析】其余 4 人共得 334 分， 334 4 83 2 ．所以得分依次为 85， 84，83，82．
例3 （1）两个自然数的和为 40，这两个数 的乘积最大是多少？最小是多少？ （2）两个两位自然数的和为 45，这两 个数的乘积最大是多少？最小是多 少？ （3） 一个长方形周长为 60 米，这个 长方形面积最大是多少平方米？如果 周长是 34 米呢？
6 7 8 9 10 11 51 50，所以分的 最多的至少要分 11 个； （4）最少 1 个；最多：由上一问可知， 若为 6 个则总数超过 50，所以最多只 能分 5 个．
拓展 5 五人参加一场智力比赛，一共得 434 分，获第一名的是 100 分，其余各人 所得分数都是整数，并且每人所得分 数都不相同，那么获第五名的最多得 多少分？ 【答案】82
【答案】64 【分析】连接 FB．三角形 AFB 面积等 于三角形 CFB 面积，而三角形 AFB 面 积是三角பைடு நூலகம் AEF 面积的 2 倍，所以三 角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 4 倍；又因为平行四边形的面积是三角 形 ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形
的面积是三角形 AFE 面积的4 2 8 倍．因此，平行四边形的面积为 8 8 64平方厘米．
形面积最大是多少平方米？ 【答案】 （1）30 15 15，两数乘积最大， 15 15 225 30 0 30，两数乘积最小，0 30 0 （2）35 17 18，两数乘积最大， 17 18 306 35 10 25，两数乘积最小， 10 25 250 （3）10 10 100（平方米）
练一练
用 52 根长 1 厘米的小棍围成一个长方
同步练习 1．枚举比较，最大为1 2 3或 6 7 8，其个位为 6.
2．极端分析：一棵树上最多有黄鹂 15 4 4 7只 ，一棵树上白鹭不超 过 7 只，因此最多有鸟 14 只．
3．23556884971 十位数前六位都是依次增大或不变， 第七位变小，所以应在第六位 8 的后
面插入 8，此时得到的十一位数最大， 即 23556884971．
大乘积是多少? 【答案】 （1）1080； （2）78732 【分析】 （1）31 9 10 12，乘积最大为 9 10 12 1080； （2）拆数原则为：多拆 3，少拆 2， 不拆 1：31 3 9 2 2， 3 3 3 2 2 78732．
9个3相乘
复习巩固
作业 1
计算：77 7 99 9
4．5123 4876 247 首先千位要接近，而千位大的数后边 的三位数尽量小，千位小的数后边的 三位数尽量大，才能减出最小的差， 所以后三位最好分别为 876 和 123， 5123 4876 247.
5．82
其余 4 人共得 334 分， 334 4 83 2 ．所以得分依次为 85， 84，83，82．
形（小棍不能折断），这个长方形的面
积最大是多少？如果用 98 根呢？
【答案】169；600
【分析】 （1）长与宽的和一定，和为52 2 26 厘米，26 13 13，所以面积最大为 13 13 169平方厘米； （2）长与宽的和一定，和为98 2 49 厘米，49 24 25，所以面积最大为 24 25 600平方厘米．
【分析】乘积要大的话，十位应该为 3、 4，个位为 1、2，那么不管每个数位上 的数属于哪个两位数，他们的和是不 变的，此时就可以利用“和一定差小积 大”，两个两位数的差应尽量小，两数 乘积最大为41 32 1312； 同样的，要乘积小，十位应该为 1、2， 个位为 3、4，那么不管每个数位上的 数属于哪个两位数，他们的和是不变 的，此时就可以利用“和一定差小积 大”，两个两位数的差应尽量大，两数 乘积最小为13 24 312．
作业 3
如图，ABCD 是长方形，三角形 BCF
的面积是 10，求三角形 DEF 的面积．
A
D
F
B
C
E
【答案】10
【分析】S△ADF S△BFC 长方形 ABCD 的一半，S△ADF S△DFE S△ADE 长方形
ABCD 的一半, S△DEF S△BCF 10.
四年级秋季尖子班第 7 讲练习册答案 最值问题初步
（3）长与宽的和为60 2 30米， 30 15 15，长、宽均为 15 米时面积 最大，为15 15 225平方米； 周长为 34 米，长与宽的和为34 2 17 米，17 8.5 8.5，所以面积最大为 8.5 8.5 72.25平方米．
【随堂练】 （1）两个自然数的和为 30，这两个数 的乘积最大是多少？最小是多少？ （2）两个两位自然数的和为 35，这两 个数的乘积最大是多少？最小是多 少？ （3）一个长方形周长为 40，这个长方
10个7
10个9
【答案】77 7622 23
9个 7
9个2
【分析】
原式 77 7 99 9
10个7
10个9
77 700 0 77 7
10个7 10个0
10个7
77 7622 23
9个7
9个2
作业 2 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E
为 AB 的中点，AF CF ，三角形 AFE （图中阴影部分）的面积为 8 平方厘 米．平行四边形 ABCD 的面积是多少 平方厘米？
【随堂练】 一辆公交车连续停靠 5 站，每站都有 乘客上车且人数不同，那么，至少有 多少人上了公交车呢？ 【答案】1 2 3 4 5 15
练一练 一个多位数的各位数字互不相同，而 且各位数字之和为 23．这样的多位数 最小可能是多少？最大可能是多少？ 【答案】最小 689；最大 8543210 【分析】要让这个多位数尽量小，那 么首先位数必须少．易知，最小是三 位数，先让其中两个数最大，那么剩
若有 13 人，则至少需要苹果 1 2 3 ... 13 91 99个； 例如 13 人各分得 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10,11,12, 21个苹果(注 意：分法不唯一).
作业 2 将 88 个桃分给 8 个小朋友，每人分得 的数量各不相同，那么分得最多的小 朋友最少可以分几个？ 【答案】15 【分析】 7 8 9 10 11 12 13 14 84 88，
【答案】 （1）400，0； （2）506，350； （3）225； 72.25 【分析】和一定差小积大（差大积小）． （1）40 20 20，两数均为 20 时乘积 最大，为20 20 400； 40 0 40，两数分别为 0、40 时乘积 最小，为0 40 0； （2）45 22 23，两数分别为 22，23 时乘积最大，为22 23 506； 45 10 35，两数分别为 10、35 时乘 积最小，为10 35 350；
实战练习 10．（1）和一定差小积大，最大为
6 6 7 7 7 7 86436； （2）多拆 3，少拆 2，不拆 1： 20 3 6 2,3 3 3 3 3 3 2 1458 ．
四年级秋季尖子班第 7 讲 最值问题初步
例1 电视台要播放一部 30 集电视连续剧. 如果要求每天安排播出的集数互不相 等，不能不播，该电视连续剧最多可 以播几天？ 【答案】7 【分析】由于 1 2 3 4 5 6 7 28 30 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 36 30，所以 至多播 7 天．
个？最少可以分几个？ （2）分得最少的小朋友最少可以分几 个？最多可以分几个？ 若苹果数互不相同， （3）分得最多的小朋友最多可以分几 个？最少可以分几个？ （4）分得最少的小朋友最少可以分几 个？最多可以分几个？ 【答案】 （1）45，9； （2）1，8； （3）35，11； （4）1，5
【分析】苹果数可以相同： （1）最多50 1 5 45个；分的最多的 苹果数一定大于平均数， 50 6 8 2，所以最少分 9 个； （2）最少 1 个；最多不能大于平均数， 所以最多分 8 个； 苹果数互不相同： （3）最多：其他 5 人越少越好，最少 为1 2 3 4 5 15，所以最多可以分 50 15 35个； 最少：6 个人的苹果数在平均数附近， 5 6 7 8 9 10 45 50，
例4 （1）3 个非零自然数之和是 17，它们 的乘积最大是多少？最小是多少？ （2）3 个互不相同的非零自然数之和 是 17，它们的乘积最大是多少？最小 是多少？ （3）5 个自然数之和是 42，它们的乘 积最大是多少？ 【答案】 （1）180；15； （2）168；28； （3）41472
【分析】“和一定差小积大”不仅适用于 两个数，也适用于多个数． （1） 17 5 6 6，乘积最大为 5 6 6 180；17 1 1 15，乘积最小 为1 1 15 15； （2） 17 4 6 7，乘积最大为 4 6 7 168；17 1 2 14，乘积最小 为1 2 14 28； （3） 42 8 8 8 9 9，乘积最大为 8 8 8 9 9 41472．
次，分别组成两个三位数，这两个三 位数的乘积最小是多少？ 【答案】54243 【分析】使乘积最小，首位 1、3，十 位 4、6，个位 7、9，和一定差大积小， 所以乘积最小为147 369 54243．
作业 5 （1）把 31 拆成三个互不相同的自然 数的和，使这些自然数的乘积最大， 最大乘积是多少? （2）把 31 拆成若干个可重复自然数 的和，使这些自然数的乘积最大，最
6．11；18 这 7 个数越平均，最小的数越大，最 大的数越小，1 2 3 4 5 6 7 28， 100 28 72，72 7 10……2，所以 这 7 个数分别是 11、12、13、14、15、 17、18．
深化练习 7．(1)100、19 (2)56、14
“和一定，差小积大，差大积小”，注意 非零自然数最小为 1.
14 不可以，至少 15 个， 88 7 8 9 10 12 13 14 15 ．
作业 3 有一根长度为 42 米的绳子，用它围成 的长方形中，面积最大的是多少平方 米？ 【答案】110.25 【分析】42 4 10.5（米）， 10.5 10.5 110.25（平方米）．
作业 4 用 1、3、4、6、7、9 这 6 个数字各一
8．36，30 24 根火柴棒围成正方形时面积最大， 24 4 6厘米，6 6 36平方厘米；22 根火柴棒围的矩形长和宽越接近时， 面积越大，22 2 11厘米，11 6 5， 6 5 30平方厘米．
9．1312、312 乘积要大的话，十位应该为 3、4，个 位为 1、2，那么不管每个数位上的数
属于哪个两位数，他们的和是不变的， 此时就可以利用“和一定差小积大”，两 个两位数的差应尽量小，两数乘积最 大为41 32 1312； 同样的，要乘积小，十位应该为 1、2， 个位为 3、4，那么不管每个数位上的 数属于哪个两位数，他们的和是不变 的，此时就可以利用“和一定差小积 大”，两个两位数的差应尽量大，两数 乘积最小为13 24 312．
例5 （1） 若干个互不相同的自然数之和
是 16，它们的乘积最大是多少？ （2） 若干个可以相同的自然数之和 是 16，它们的乘积最大是多少？ 【答案】180；324 【分析】 （1）使乘积最大，不拆 1， 2 3 4 5 6 20 16，所以最多能拆 成 4 个不同的自然数，根据和一定差 小积大，16 2 3 5 6，乘积最大为 2 3 5 6 180； （2）大于 4 的数拆数后都能得到比原 数大的乘积，而4 2 2，所以最后一 定是拆成若干个 2 和 3；
下一个数必然最小．23 9 8 6，这 个数是 689． 要让这个多位数尽量大，那么位数必 须尽量多．1 2 3 4 5 6 21，那么 最多可以是 7 位数（加上 0）．先让其 中 6 位最小，那么剩下一位最 大．23 0 1 2 3 4 5 8，这个数 是 8543210．
例2 50 个苹果分给 6 个小朋友，每人至少 分一个．若苹果数可以相同， （1）分得最多的小朋友最多可以分几
四年级秋季尖子班第 7 讲作业 最值问题初步
作业 1 将 99 个苹果分给一些小朋友，每人至 少分一个，且每个小朋友所分得的苹 果数都不一样． 那么小朋友最多有 多少人？ 【答案】13 【分析】由于苹果数固定，则当每个 人得到的苹果尽量少时，人数最多. 若有 14 人，则至少需要苹果 1 2 3 14 105 99个，从而不可 能达到 14 人；
【分析】其余 4 人共得 334 分， 334 4 83 2 ．所以得分依次为 85， 84，83，82．
例3 （1）两个自然数的和为 40，这两个数 的乘积最大是多少？最小是多少？ （2）两个两位自然数的和为 45，这两 个数的乘积最大是多少？最小是多 少？ （3） 一个长方形周长为 60 米，这个 长方形面积最大是多少平方米？如果 周长是 34 米呢？
6 7 8 9 10 11 51 50，所以分的 最多的至少要分 11 个； （4）最少 1 个；最多：由上一问可知， 若为 6 个则总数超过 50，所以最多只 能分 5 个．
拓展 5 五人参加一场智力比赛，一共得 434 分，获第一名的是 100 分，其余各人 所得分数都是整数，并且每人所得分 数都不相同，那么获第五名的最多得 多少分？ 【答案】82
【答案】64 【分析】连接 FB．三角形 AFB 面积等 于三角形 CFB 面积，而三角形 AFB 面 积是三角பைடு நூலகம் AEF 面积的 2 倍，所以三 角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 4 倍；又因为平行四边形的面积是三角 形 ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形
的面积是三角形 AFE 面积的4 2 8 倍．因此，平行四边形的面积为 8 8 64平方厘米．
形面积最大是多少平方米？ 【答案】 （1）30 15 15，两数乘积最大， 15 15 225 30 0 30，两数乘积最小，0 30 0 （2）35 17 18，两数乘积最大， 17 18 306 35 10 25，两数乘积最小， 10 25 250 （3）10 10 100（平方米）
练一练
用 52 根长 1 厘米的小棍围成一个长方
同步练习 1．枚举比较，最大为1 2 3或 6 7 8，其个位为 6.
2．极端分析：一棵树上最多有黄鹂 15 4 4 7只 ，一棵树上白鹭不超 过 7 只，因此最多有鸟 14 只．
3．23556884971 十位数前六位都是依次增大或不变， 第七位变小，所以应在第六位 8 的后
面插入 8，此时得到的十一位数最大， 即 23556884971．
大乘积是多少? 【答案】 （1）1080； （2）78732 【分析】 （1）31 9 10 12，乘积最大为 9 10 12 1080； （2）拆数原则为：多拆 3，少拆 2， 不拆 1：31 3 9 2 2， 3 3 3 2 2 78732．
9个3相乘
复习巩固
作业 1
计算：77 7 99 9
4．5123 4876 247 首先千位要接近，而千位大的数后边 的三位数尽量小，千位小的数后边的 三位数尽量大，才能减出最小的差， 所以后三位最好分别为 876 和 123， 5123 4876 247.
5．82
其余 4 人共得 334 分， 334 4 83 2 ．所以得分依次为 85， 84，83，82．
形（小棍不能折断），这个长方形的面
积最大是多少？如果用 98 根呢？
【答案】169；600
【分析】 （1）长与宽的和一定，和为52 2 26 厘米，26 13 13，所以面积最大为 13 13 169平方厘米； （2）长与宽的和一定，和为98 2 49 厘米，49 24 25，所以面积最大为 24 25 600平方厘米．