7第七章 图 (Graph)

V2
V3
V2
V3
连通分图（有向图中为强连通分量）
无向图G 的极大连通子图称为G的连通分量
极大连通子图意思是：该子图是 G 连通子图
，将G 的任何不在该子图中的顶点加入，子 图不再连通；
连通分图
非 连 通 图 V0 V3 V1 V2 V4 V5
有向图D 的极大强连通子图称为D 的强连通分量
3 2 3 2 2
4
4
邻接结点 指向下一邻 数据 接点的指针
2.有向图的邻接表和逆邻接表 1）有向图的邻接表（出边表） 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为起点的弧：用线性链表存储
下标 编号 0 1 2 3 link
V0 V1 V2 V3
1
2
V0
V1
3 0
V2
V3
m-1
2）有向图的逆邻接表（入边表） 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为终点的弧：用线性链表存储
接的有向图。
V0 V2 V3
在一个含有n个顶点的有向完全图中，有n(n-1)条弧。
V1
V0
V1
V4
V2
V3

邻接点：边的两个顶点 关联边：若边e= (v, u), 则称顶点v、u 关联边 顶点的度 在无向图中,顶点V的度 = 与V相关联的 边的数目，记作TD(V) 在有向图中,顶点V的度= V的出度+V的入 度 顶点V的出度=以V为起点有向边数 顶点V的入度=以V为终点有向边数
V0 V1 V2 V3 V4
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
V0
V1
V0 V1 V2 V3
V2
V3
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
4.邻接矩阵的C语言描述
#define N 5/*顶点数*/ #define M 6 /*边数*/ typedef char vextype; /*顶点类型*/ typedef sturct{ vextype vexs[N]; /*存顶点的数组*/ adjtype edge[N][M];/*存边信息的矩阵 */ V0 V1 V2 V3 V4 0 1 0 1 0 }
V0 V1 V2 V3 V4
V0 V2 V3
V1
V4
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
V0
V1
V0 V1 V2 V3
V2
V3
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
邻接矩阵存储下图的有关操作
1）求顶点v的度：等于二维数组对应行（或列）中1的个数； 2）判断两顶点是否邻接：只需判二维数组对应分量是否为1； 3）在图中增加、删除边：只需对二维数组对应分量赋值1或清0； 4）检测图中的总边数：扫描整个数组A，统计出数组中非0元素的 个数。无向图的总边数为非0元素个数的一半，而有向图的总弧 数为非0元素个数； V0 V2 V3 V4 V1
0 1 2 3 4 m-1 V0 V1 V2 V3 V4 1 0 1
0
3 2 3 2 2
邻接表的空间代价 与图的边及顶点数均有关
V0
V1
4
V2
V3 V4
4
1
4. 邻接表在C语言中的类型定义 typedef struct node //定义 边结点的类型 { char adjver; //边的邻接点的数据 struct node *next; //指向本边下一邻接点的指针 }edgenode; typedef struct { //定义 顶点的类型 char vertex; //顶点的数据 edgenode *link; //指向本边邻接表 }vernode;
极大强连通子图意思是：该子图是D强连通子图
，将D的任何不在该子图中的顶点加入，子图不 再是强连通的；
强连通分量 V0 V1 V0 V1
V2
V3
V2
V3
生成树 包含无向图G 所有顶点的的极小连通子图称为G 的生成树 极小连通子图意思是：该子图是G 的连通子图，在该子图中删除任何一 条边，子图不再连通， 若T是G 的生成树当且仅当T 满足如下条件 T是G 的连通子图 T包含G 的所有顶点 T中无回路
0 1 2 3
V0 V1 V2 V3
3 0 0 2
V0
V1
V2
V3
m-1
3.邻接表存储下图的有关操作
1）求顶点v的度： 2）判断两顶点是否邻接： 3）在图中增加、删除边： 4）检测图中的总边数：
V0 V2 V3 V4 V1 0 1 2 3 4 m-1 V0 V1 V2 V3 V4 1 3
0 1
0
1
V0 V1 V2 V3 V4
V1
V0 V2 V3
V1
V4
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
V2
0 0 0 1 1 0 0 0
V3
1 0 0 0 0 1 0 0
V0 V1 V2 V3
2.无向图邻接矩阵表示的特点： 1）无向图邻接矩阵是对称矩阵，可考虑矩阵的压缩 存储 2）G占用存储空间只与它的顶点数有关，与边数无 关；适用于边稠密的图；
V0
V2 V3
V1
V0
V1
V4
V2
V3
图的存储结构要保存两类信息： 1)顶点的数据 V0 V1 V2 V3 2)顶点间的关系
V4
邻接矩阵表示法
邻接表表示法
7.2.1. 邻接矩阵（数组）表示
1.图的邻接矩阵 图G的邻接矩阵是满足如下条件：
A[i][j]= 1 0 若(vi,vi+1)E 或 <vi,vi+1>E V0 否则
0 1 2 3 4 m-1
V0 V1 V2 V3 V4
1 0 1
3 2 3 2 2 4 4
0 1
函数：
int create(link_graph *ga ) { NODE *p;
int n, e, i；char v1, v2;
scanf(“%d%d\n”, &n,&e); //读入顶点数、边数 ga->n=n， ga->e=e; for(i=0; i<n; i++) //建立顶点数组 { scanf(“%c”, &ga->adjlist[i].vertex); //读入顶点数据
，
时间复杂度O（n+e）
typedef struct node //定义 边结点 { char adjver struct node *next; }edgenode; typedef struct { //定义 顶点 char vertex; edgenode *link; }vernode; typedef struct {//定义 图 vernode adjlist[MAX]; int n,e; //n-顶点数，e-边数 }link_graph; link_graph *ga;
V0 V1 V2 V3 V4
V0 V2
V1
V3
V4
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
邻接矩阵表示法的空间代价 只与图的顶点数有关
3.邻接矩阵下图的有关操作
1）求顶点v的度： 2）判断两顶点是否邻接： 3）在图中增加、删除边： 4）检测图中的总边数：
(b)
连通图、强连通图
在无（有）向图G=< V, E >中，若对任何两个顶
点 v、u 都存在从v 到 u 的路径，则称G是连通 图 对有向图而言，称强连通图
连 通 图 V0 V1
V0
V1 V4
V2 V5 V1
V2
V3
V0
V4
V1
V3 V0
非 连 通 图 非 强 连 通 图
强 连 通 图
V1
V2
V3 V4 V2 V3
子图
设有两个图G=（V，E）、G1=（V1，E1）
，若V1 V，E1 E，E1关联的顶点都在 V1中，则称 G1是G的子图；
(b)、(c) 是 (a) 的子图
V0 V1 V0 V2 V4 V3 V4 V3 (c) V1 V0 V1
例
V2
V3
V2
V4
(a)
V0 V1
V2
V3 V4
G1=<V1,E1> V1={v0 ,v1,v2,v3,v4} E1={(v0,v1),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3)(v2,v4)}
图的应用举例：
例1 交通图（公路、铁路） 顶点：地点 边：连接地点的公路 交通图中的有单行道双行道，分别用有向边、无向边表示； 例2 电路图 顶点：元件 边：连接元件之间的线路 例3 通讯线路图 顶点：地点 边：地点间的连线 例4 各种流程图 如产品的生产流程图 顶点：工序 边：各道工序之间的顺序关系
2 3 2 2
4 4
1）求顶点v的度：等于v对应线性链表的长度； 2）判断两顶点是否邻接：要看v对应线性链表中 有无对应的结点 3）在图中增加、删除边：在相应的顶点的链表 中插入、删除结点 4）检测图中的总边数：
无向图的邻接表的特点
1）在G邻接表中，同一条边对应两个结点； 2）设存储顶点的一维数组大小为m(m图的顶点数n), 图 的边数为e，G占用存储空间为：m+2*e。G占用存储空间 与 G 的顶点数、边数均有关；适用于边稀疏的图