7第七章 图 (Graph)

2 3 2 2
4 4
1）求顶点v的度：等于v对应线性链表的长度； 2）判断两顶点是否邻接：要看v对应线性链表中 有无对应的结点 3）在图中增加、删除边：在相应的顶点的链表 中插入、删除结点 4）检测图中的总边数：
无向图的邻接表的特点
1）在G邻接表中，同一条边对应两个结点； 2）设存储顶点的一维数组大小为m(m图的顶点数n), 图 的边数为e，G占用存储空间为：m+2*e。G占用存储空间 与 G 的顶点数、边数均有关；适用于边稀疏的图
0 1 2 3
V0 V1 V2 V3
3 0 0 2
V0
V1
V2
V3
m-1
3.邻接表存储下图的有关操作
1）求顶点v的度： 2）判断两顶点是否邻接： 3）在图中增加、删除边： 4）检测图中的总边数：
V0 V2 V3 V4 V1 0 1 2 3 4 m-1 V0 V1 V2 V3 V4 1 3
0 1
0
1
(b)
连通图、强连通图
在无（有）向图G=< V, E >中，若对任何两个顶
点 v、u 都存在从v 到 u 的路径，则称G是连通 图 对有向图而言，称强连通图
连 通 图 V0 V1
V0
V1 V4
V2 V5 V1
V2
V3
V0
V4
V1
V3 V0
非 连 通 图 非 强 连 通 图
强 连 通 图
接的有向图。
V0 V2 V3
在一个含有n个顶点的有向完全图中，有n(n-1)条弧。
V1
V0
V1
V4
V2
V3

邻接点：边的两个顶点 关联边：若边e= (v, u), 则称顶点v、u 关联边 顶点的度 在无向图中,顶点V的度 = 与V相关联的 边的数目，记作TD(V) 在有向图中,顶点V的度= V的出度+V的入 度 顶点V的出度=以V为起点有向边数 顶点V的入度=以V为终点有向边数
V0 V2
V1
V0
V1
V3
V4
V2
V3
顶点 度 V0 2 V1 V2 V3 3 3 2
顶点 入度 出度 度 V0 1 2 3
V1 V2 V3
1 1 1
0 1 1
1 2 2
V4
2



路径 G中的顶点序列v1,v2,… ,vk,若各边(vi,vi+1)E, 则 称该序列是从顶点v1到顶点vk的路径； 回路: 若路径的顶点和终点相同，则称回路。 简单路径 在一条路径中,若除起点和终点外,所有顶点各不相同, 则该路径为简单路径； 简单回路： 由简单路径组成的回路称为简单回路； V0 V1 V0
V0 V1 V2 V3 V4
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
V0
V1
V0 V1 V2 V3
V2
V3
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
4.邻接矩阵的C语言描述
#define N 5/*顶点数*/ #define M 6 /*边数*/ typedef char vextype; /*顶点类型*/ typedef sturct{ vextype vexs[N]; /*存顶点的数组*/ adjtype edge[N][M];/*存边信息的矩阵 */ V0 V1 V2 V3 V4 0 1 0 1 0 }
V0 V1 V2 V3 V4
V0 V2
V1
V3
V4
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
邻接矩阵表示法的空间代价 只与图的顶点数有关
3.邻接矩阵下图的有关操作
1）求顶点v的度： 2）判断两顶点是否邻接： 3）在图中增加、删除边： 4）检测图中的总边数：
，
时间复杂度O（n+e）
typedef struct node //定义 边结点 { char adjver struct node *next; }edgenode; typedef struct { //定义 顶点 char vertex; edgenode *link; }vernode; typedef struct {//定义 图 vernode adjlist[MAX]; int n,e; //n-顶点数，e-边数 }link_graph; link_graph *ga;
0 1 2 3 4 m-1
V0 V1 V2 V3 V4
1 0 1
3 2 3 2 2 4 4
0 1
函数：
int create(link_graph *ga ) { NODE *p;
int n, e, i；char v1, v2;
scanf(“%d%d\n”, &n,&e); //读入顶点数、边数 ga->n=n， ga->e=e; for(i=0; i<n; i++) //建立顶点数组 { scanf(“%c”, &ga->adjlist[i].vertex); //读入顶点数据
V2
V3
V2
V3
连通分图（有向图中为强连通分量）
无向图G 的极大连通子图称为G的连通分量
极大连通子图意思是：该子图是 G 连通子图
，将G 的任何不在该子图中的顶点加入，子 图不再连通；
连通分图
非 连 通 图 V0 V3 V1 V2 V4 V5
有向图D 的极大强连通子图称为D 的强连通分量
V0 V2 V3
V1
V0 V2
V1
V0
V3
V4 V2
V1
V4
V4
V3
连通图 G1
G1的生成树
边的权：在图的边或弧上表示数字，表示与该边
相关的数据信息，这个数据信息就称该边的权（ weight）。 网（network）：边（或弧）上带权的图称为网。
V0
8
6 V2
V1 3 V4
2 4
V3
5
7.2图的存储表示
V0
V2 V3
V1
V0
V1
V4
V2
V3
图的存储结构要保存两类信息： 1)顶点的数据 V0 V1 V2 V3 2)顶点间的关系
V4
邻接矩阵表示法
邻接表表示法
7.2.1. 邻接矩阵（数组）表示
1.图的邻接矩阵 图G的邻接矩阵是满足如下条件：
A[i][j]= 1 0 若(vi,vi+1)E 或 <vi,vi+1>E V0 否则
typedef struct {//定义 图
vernode adjlist[MAX]; int n,e; //n-顶点数，e-边数 }link_graph;
思想：如何给存储结构赋值
5.建立无向邻接表
1. 建立顶点数组。读入各顶点数据vextex，将link域赋Null。 2. 建立各顶点的邻接表。 读入顶点对<i,j>, 生成两个节点 ， i j 分别插入顶点j,i的邻接表的头部。直至处理完所有的边。
V0 V2 V1
V3
V4
1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
5.建立无向图的邻接矩阵
算法思想：
1）给存顶点的一维数组赋值； 2）初始化存边的二维数组； 3）依次读入顶点对，给二维数组相关的元素赋值。
代码见书P162，函数Creat_graph( ) 时间复杂度O（n+n2+e）
V0 V1 V2 V3 V4
V1
V0 V2 V3
V1
V4
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
V2
0 0 0 1 1 0 0 0
V3
1 0 0 0 0 1 0 0
V0 V1 V2 V3
2.无向图邻接矩阵表示的特点： 1）无向图邻接矩阵是对称矩阵，可考虑矩阵的压缩 存储 2）G占用存储空间只与它的顶点数有关，与边数无 关；适用于边稠密的图；
V1
V2
V3 V4 V2 V3
子图
设有两个图G=（V，E）、G1=（V1，E1）
，若V1 V，E1 E，E1关联的顶点都在 V1中，则称 G1是G的子图；
(b)、(c) 是 (a) 的子图
V0 V1 V0 V2 V4 V3 V4 V3 (c) V1 V0 V1
例
V2
V3
V2
V4
(a)
V0 V1 V2 V3 V4
V0 V2 V3
V1
V4
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
V0
V1
V0 V1 V2 V3
V2
V3
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
邻接矩阵存储下图的有关操作
1）求顶点v的度：等于二维数组对应行（或列）中1的个数； 2）判断两顶点是否邻接：只需判二维数组对应分量是否为1； 3）在图中增加、删除边：只需对二维数组对应分量赋值1或清0； 4）检测图中的总边数：扫描整个数组A，统计出数组中非0元素的 个数。无向图的总边数为非0元素个数的一半，而有向图的总弧 数为非0元素个数； V0 V2 V3 V4 V1
第七章
图 (Graph)
主要内容
7.1 图的基本概念
7.2 7.3 7.4 图的存储结构 图的遍历 生成树和最小生成树
7.1 图的基本概念
1. 图的定义
• 图G由两个集合构成，记作G=<V,E> 其中: • V（vertex）是顶点的非空有限集合 • E（edge）是边的有限集合， 而边是顶点对的集合。
7.2.2.邻接表表示
邻接表是图的链式存储结构
1. 无向图的邻接表 顶点：通常按编号顺序将顶点数据存储在一维数组中 ； 下标 编号 link 关联同一顶点的边：用线性链表存储
V0 V1
V2 0 1 2 3 4 m-1
V3
表头 数据
V4
指向邻接表 的指针
V0 V1 V2 V3 V4
1 0 1
0
1
0 1 2 3 4 m-1 V0 V1 V2 V3 V4 1 0 1
0
3 2 3 2 2
邻接表的空间代价 与图的边及顶点数均有关
V0
V1
4
V2
V3 V4
4
1
4. 邻接表在C语言中的类型定义 typedef struct node //定义 边结点的类型 { char adjver; //边的邻接点的数据 struct node *next; //指向本边下一邻接点的指针 }edgenode; typedef struct { //定义 顶点的类型 char vertex; //顶点的数据 edgenode *link; //指向本边邻接表 }vernode;
无向图中顶点的度
有向图中顶点的度＝入度+出度 生成树、生成林
V0
V2 V3 V0
V1
V4 V1
V2
V3
有向边（弧）、弧尾、弧头；无向边（边） 无向图:在图G中，若所有边是无向边
有向图:在图G中，若所有ห้องสมุดไป่ตู้是有向边
混和图：在图G中，即有无向边也有有向边
完全图：
无向完全图：任意两顶点间都有边的图。 在一个含有n个顶点的无向完全图中，有n(n-1)/2条边。 有向完全图:任意两顶点之间都有方向互为相反的两条弧相连
3 2 3 2 2
4
4
邻接结点 指向下一邻 数据 接点的指针
2.有向图的邻接表和逆邻接表 1）有向图的邻接表（出边表） 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为起点的弧：用线性链表存储
下标 编号 0 1 2 3 link
V0 V1 V2 V3
1
2
V0
V1
3 0
V2
V3
m-1
2）有向图的逆邻接表（入边表） 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为终点的弧：用线性链表存储
2. 图的基本术语
有向图、无向图
V0
V2 V3 V0
V1
有向边（弧）、弧尾、弧头
无向边（边） 完全图：总边数
有向完全图、无向完全图：
V4 V1
子图 路径、路径长度 简单路径、简单回路 连通图、连通分量、强连通图 网络：带权的图
V2
V3
邻接点、相邻接、边与顶点关联
极大强连通子图意思是：该子图是D强连通子图
，将D的任何不在该子图中的顶点加入，子图不 再是强连通的；
强连通分量 V0 V1 V0 V1
V2
V3
V2
V3
生成树 包含无向图G 所有顶点的的极小连通子图称为G 的生成树 极小连通子图意思是：该子图是G 的连通子图，在该子图中删除任何一 条边，子图不再连通， 若T是G 的生成树当且仅当T 满足如下条件 T是G 的连通子图 T包含G 的所有顶点 T中无回路
V0 V1
V2
V3 V4
G1=<V1,E1> V1={v0 ,v1,v2,v3,v4} E1={(v0,v1),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3)(v2,v4)}
图的应用举例：
例1 交通图（公路、铁路） 顶点：地点 边：连接地点的公路 交通图中的有单行道双行道，分别用有向边、无向边表示； 例2 电路图 顶点：元件 边：连接元件之间的线路 例3 通讯线路图 顶点：地点 边：地点间的连线 例4 各种流程图 如产品的生产流程图 顶点：工序 边：各道工序之间的顺序关系