2018年北京市高中数学竞赛高一年级复赛试题
2018年全国高中数学竞赛试题
2018年全国高中数学竞赛试题2018年全国高中数学竞赛试题是高中学生们用来展示自己数学才能的重要考试。
本文将分析该考试试题的难度和内容，并探讨其对学生数学能力的要求。
首先，我们来看一下2018年全国高中数学竞赛试题的整体难度。
根据学生们的反馈和考试后的统计数据，该试题的难度较大。
其中一些问题涉及到高等数学的知识和概念，对学生的推理和解题能力提出了很高的要求。
其次，我们来分析2018年全国高中数学竞赛试题的内容。
整个试卷由选择题和解答题两个部分组成。
选择题主要涵盖了数论、代数、几何等数学相关的知识点。
这些选择题通过简洁清晰的语言描述问题，并要求学生选出正确的答案。
解答题则要求学生从实际问题出发，进行推理、计算和解决问题的过程。
这些解答题不仅考察了学生的数学知识，还考察了学生的分析能力和解决问题的思路。
此外，2018年全国高中数学竞赛试题还在难度上进行了适当的增加。
这样做的目的是为了激励学生们更加努力地学习和提高自己的数学水平。
这些增加的难题旨在考察学生的数学思维方式和解决问题的能力，使学生能够更好地应对未来学习和工作中的复杂数学问题。
综上所述，2018年全国高中数学竞赛试题是一套难度适中、内容丰富的试题。
通过这样的考试，学生们可以展示他们在数学方面的才能和潜力。
同时，这些试题还能够提高学生的数学思维能力和解决问题的能力，对他们今后的学习和发展有着积极的促进作用。
当然，与考试试题的难度和内容相比，学生们在备考过程中的努力和准备也是至关重要的。
只有通过不断的学习和练习，才能更好地理解和掌握数学知识，应对各种各样的数学竞赛试题。
因此，学生们需要制定科学合理的学习计划，并积极参加各种数学竞赛活动，不断提高自己的数学水平和竞赛能力。
最后，希望广大学生们能够充分利用2018年全国高中数学竞赛试题，不仅仅是作为一次考试，更是一次锻炼和成长的机会。
相信通过不断的努力和坚持，每一个学生都能在数学竞赛中取得优异的成绩，展现自己的才能和潜力。
2009年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)
2009年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)
李延林
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】2010(0)5
【摘要】@@ 一、填空题(每小题8分,共40分)\r\n1.已知a和b都是单位向量,并且向量c=a+2b与d=5a-4b互相垂直.则a和b的夹角<a,b>=_.
【总页数】3页(P28-30)
【作者】李延林
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G424.79
【相关文献】
1.2018年北京市中学生数学竞赛复赛(高一) [J],
2.2016年北京市中学生数学竞赛复赛(高一) [J],
3.2017年北京市中学生数学竞赛复赛(高一) [J],
4.2015年北京市中学生数学竞赛复赛(高一) [J],
5.2019年北京市中学生数学竞赛复赛(高一) [J],
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2018年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考答案
二、填空题 1．已知实数 a, b, c, d 满足 5a=4，4b=3，3c=2，2d=5，则(abcd)2018=______． 答：1． 解：化 5a=4，4b=3，3c=2，2d=5 为对数，有 ln 4 ln 3 ln 2 ln 5 ， a log5 4 , b , c , d ln 5 ln 4 ln 3 ln 2 所以
2018 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第 2页 共6页
6 ． 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 若 存 在 两 不 等 实 数 x1, x2 R ， 使 得 x +x f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称函数 f (x)具有性质 P．那么以下函数： f( 1 2) 2 2
2018 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第 4页 共6页
6. 在 3×3 的“九宫格”中填数， 使每行、 每列及两条对角线上 的三数之和都相等，有 3 个方格已经填的数分别为 4, 7, 2018，如右 图，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和为______． 答：−11042.5． 解： 将其余 6 个格子标上字母， 如右下图， 由 a+2018+b=4+7+b
1 ( x 0) ① f ( x) x ； 0 ( x 0)
② f ( x) x 2 ；
③ f ( x) x 2 1 ；
④ f ( x) x3
中，不具有性质 P 的函数为 （A）①． 答：B． 解：具有性质 P 的函数的特点是：存在一条直线与函数图象有三个交点，且其中 一个是另外两个交点的中点. 画图可知①、③、④都是具有性质 P 的函数，②不具备有 三个交点，②是不具有性质 P 的函数 （B）②． （C）③． （D）④．
2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷
an1 an 2, n 1, 2, 3, an
，2 求满足 an 42018 的
设 a,b,c 是三个互不相同的实数，满足 f (a) f (b) f (c) ，求 abc 的取值范围．
3
r
而 abc = r.
点（句， f(Co ）） 作平行于·x 抽的直线l，则l与 f(x） 的图像另有两个交点仰 ， ！（α ））， (b, /(b)) c其中αε （0，匀， bε （3, 9) ），满足 ！（α ） = f(b)= f(c） ，并且 ab=9 ，从
四本题满分50分给定整数2018年全国高中数学联合竞赛一试b卷参考答案及评分标准说明评阅试卷时请依据评分标填空题只设分和分两档其他各题评请严格按照本准次结不得增加他中间次如果考生解答方法本解答同只要思路合理步骤正确评卷时参考本评分标准适当划分档次评分解答题中第9小题分个档次小题分aub的所0124863解
’叫
一1.
显然｛a.｝单调递增．由于 a11 = 23012 1 < 24036 = 420 ,s, a = 26144 12 故满足题目条件的n的最小值是12.
..................... 8分 1 > 2喃36 = 420 1&' …………......... 16分
10. （本题满分20分）己知定义在R ＋ 上的函数 f(x） 为 [ pog 3 x-11，。＜λ三9, ) = ( /x { 卢 x>9. 14-..Jx,
f (9)=l ，故结合图像可知
cε （9, +oo),
..................... 5分
2018年北京市中学生数学竞赛高一数学试卷
2018年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）1.已知集合{0.1,1,10}A =，{|lg ,}B y y x x A ==∈，则AB =（A ）1 （B ）{1}（C ）∅ （D ）02.如图，O 的直径8AB =，C 为O 上一点，60COA ∠=.延长AB 到P ，使12BP BO =，连CP 交半圆于点D ，过点P 作AP 的垂线交AD 的延长线于H ，则PH 的长度为（A ）3 （B ）2（C （D 3.若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(7)9f =，则(2020)(2018)f f -=（A ）6 （B ）7（C ）8 （D ）94.如图，平面直角坐标系xOy 中，,A B 是函数1y x=在第一象限的图象上两点，满足60AOB ∠=，且OA OB =，则OAB 的面积等于（A ）（B（C （D 5.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，若[0.1][0.2]x x +++[0.3][0.4]x x ++++[0.5][0.6][0.7][0.8][0.9]104x x x x x ++++++++++=，则x 的最小值是（A ）11.5 （B ）10.5（C ）9.5 （D ）8.56.设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两不等实数12,x x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P .那么一下函数： ①1,(0)()0,(0)x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x =；③2()|1|f x x =-；④3()f x x =中，不具有性质P 的函数为（A ）① （B ）②（C ）③ （D ）④二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方）1.已知实数a ，b ，c ，d 满足54a =，43b =，32c =，25d =，则2018()abcd =_________.2.满足222018a ab b ++=的正整数解(,)a b 构成的集合是_________.3.一个三角形的一边长为8，面积为12，则这个三角形的周长的最小值等于_________.4.若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数.设超级平方数的集合为A ，A 中元素的个数为||A ，A 中所有元素之和为()S A ，则与()||S A A 最接近的整数是_________. 5.已知正整数x ，y ，z 满足(22)(22)(22)xyz x y z =---，且44x y z ++<，222x y z ++的最大值和最小值分别记作M 和N ，则M N +=_________.6.在33⨯的“九宫格”中填数，使每行、每列及对角线上的三数之和都相等，有3个方格已经填的数分别为4,7,2018，如右图，则“九宫格”中其余6个方格所填数之和为_________.7.已知函数()f x 满足2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，那么()f x 的值域为_________.8.如图，凸五边形ABCDE 中，ABC 、BCD 、CDE 、DEA 、EAB 的面积都等于1，则五边形ABCDE 的面积等于_________.。
高一数学竞赛试题北京
高一数学竞赛试题北京【试题一：代数问题】题目：已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中\( a \)，\( b \)，\( c \)为常数，且\( a \neq 0 \)。
若函数\( f(x) \)在\( x = 1 \)处取得极小值，求\( a \)，\( b \)，\( c \)之间的关系。
解答：首先，我们知道一个二次函数的极值点可以通过求导数来找到。
对于函数\( f(x) \)，其导数为\( f'(x) = 2ax + b \)。
由于\( x = 1 \)是极小值点，我们有\( f'(1) = 2a + b = 0 \)。
又因为极小值点处的导数为0，我们可以得出\( a \)和\( b \)之间的关系。
同时，我们可以利用极小值的定义，即\( f(1) \)是\( x \)在\( 1 \)附近的最小值，进一步确定\( a \)的符号。
由于\( a \)是二次项系数，它决定了函数的开口方向，而极小值意味着开口向上，所以\( a > 0 \)。
结合以上信息，我们可以得出\( b = -2a \)。
【试题二：几何问题】题目：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB是斜边，且AC = 6，BC = 8。
求直角三角形ABC的周长。
解答：根据勾股定理，我们知道在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
即\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。
将已知的AC和BC的值代入，我们得到\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)，所以\( AB = 10 \)。
直角三角形的周长是三边之和，所以周长为\( AC+ BC + AB = 6 + 8 + 10 = 24 \)。
【试题三：数列问题】题目：给定数列\( \{a_n\} \)，其中\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} =a_n + 2n \)。
【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案
【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >∈则下列不等式成立的是( ) A ．ba 11< B ．22b a > C ．1122+>+c bc a D ．c b c a >3.下列函数为偶函数，且在)0,(-∞上单调递减的函数是( ) A ．32)(x x f = B ．3)(-=x x fC ．xx f )21()(=D ．x x f ln )(=4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4a a a 依次成 等差数列，且11=a , 则10S =( )A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值为( )A.833B. 8 C ．4 D. 4 3 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最大值为()A ．10B ．8-C ．6D ．4 8．已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．24-≤≥m m 或 B. 42-≤≥m m 或 C ． 24<<-m D. 42<<-m9. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′－BCD 的体积为1310. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，,)2(log )(2b x x x f +++= 则3)(>x f 的解集为（ ）A ．)2,(--∞ ∪ ),2(+∞B . )4,(--∞∪ ),4(+∞C ．)2,2(- D. )4,4(-11. 若直线45π=x 和49π=x 是函数 )0)(sin(>+=w wx y ϕ 图象的两条相邻对称轴，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．43π B. 4π C ．3π D. 2π 12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=,,1,31,1,0),1(log )(21x x x x x f则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ） A ．12-a B ．12--a C ．a --21 D ．a 21-二、填空题（每题5分,共20分）13. 已知),1,2(),4,1(),3,(===c b k a 且,)32(c b a⊥-则实数=k _________。
最新北京市高中数学竞赛高一年级复赛试题资料
高一年级试题（120分钟）一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）1．函数f(x)=23x x-+-的值域是______．2．方程x2−31x+220=2x(31−2x−2x)所有实根的平方和等于______．3．边长等于10厘米的正六边形ABCDEF中，H为DE的中点，G为BC边上一点，且满足∠AGB=∠CGH，如图所示，则五边形AFEHG的面积是______平方厘米．4．已知甲、乙两个施工队各有若干工人，如果甲队借调给乙队90名工人，则乙队的工人总数将是甲队的2倍；如果乙队借调给甲队若干工人，则甲队的工人总数将是乙队的6倍．甲施工队原来最少有______名工人．5．在平面上有200个点，任何三个点都不共线，且每个点都标注了数1, 2, 3中的一个数，将标有不同数的所有点对都用线段连接，每条线段上都标注一个数1, 2或3，这个数与该线段端点标注的数不同，结果呈现出写在平面上的三个数1, 2或3中的每一个均恰有n次，则n的值是______．二、（满分15分）能够选出10个连续的偶数，且分它们为5个对子：(a1, b1), (a2, b2), (a3,b3), (a4, b4), (a5, b5)，使得方程x2+a1x+b1=0, x2+a2x+b2=0, x2+a3x+b3=0, x2+a4x+b4=0,x2+a5x+b5=0都具有整数根吗？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．三、（满分15分）D为锐角三角形ABC内一点，使得∠ADB=∠ACB+90°且AC·BD=AD·BC．延长AD，BD，CD分别交三角形ABC的外接圆于点G，E，F，如图所示．求证：（1）EF=FG；（2）1=EFGABCπ三角形的面积三角形外接圆的面积．四、（满分15分）（1）证明：2018可以表示为两个正整数的平方和．（2）证明：存在这样的三角形，可以把它分割为2018个全等的三角形．五、（满分15分）已知n元正整数集A={a1, a2,…, a n}，对任意一个i {1, 2, …, n}，由集合A去掉元素a i后得到的集合A i可以分成两个不交的子集之并，且两子集元素之和相等，我们称这样的数集A为“好数集”．（1）求证：“好数集”的元素个数n是奇数；（2）求“好数集”的元素个数n的最小值．。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)_PDF压缩
等式得
f (u) + f (v) ≥ f (u) − f (v) ≥ 4 ，
故 f (u) ≥ 2 与 f (v) ≥ 2 中至少有一个成立．
注意到 f (4 ) f ( 4) f () 1, f (2 6) f (2) 0 ，
所以
0 f (x) 1 f (2 6) f (x) f (4 ) ，
而 0 2 6 4 1 ，故原不等式组成立当且仅当 x [2 6, 4 ] ．
4 7
，即
tan
2
4 7
，从而
tan(
)
cot
2
7 4
．
6. 设抛物线 C : y2 2x 的准线与 x 轴交于点 A ，过点 B (1, 0) 作一直线 l 与
抛物线 C 相切于点 K ，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M , N ，则 KMN
…………………5 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
即 log3 a log3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ． 又
…………………10 分
0 f (c) 4 c 1，
…………………15 分
故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ
2018-2019年高中数学北京高一竞赛测试检测试卷【1】含答案考点及解析
2018-2019年高中数学北京高一竞赛测试检测试卷【1】含答案考点及解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.由下表可计算出变量的线性回归方程为（）543212A． B．C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，∴样本中心点为（3，1.2）代入选择支，检验可知A满足.故答案选A．考点：线性回归方程.2.下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据面动成体的原理即可解，一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥．一个直角梯形绕着直角边旋转一周得到圆台．解：该几体的上部分是圆锥，下部分是圆台，圆锥的轴截面是直角三角形，圆台的轴截面是直角梯形，∴这个几何图形是由直角三角形和直角梯形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．故选A考点：旋转体点评：本题主要考查空间感知能力，难度不大，学生应注意培养空间想象能力．3.cos300°＝ ()A．－B．－C．D．【答案】C【解析】试题分析：利用诱导公式把要求的式子化为 cos（360°-60°）=cos60°，由此求得结果．解：cos300°=cos（360°-60°）=cos60°=，故选C考点：诱导公式和特殊角的三角函数值点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点．4.下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据基本初等函数的单调性知，在上单调递减；在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.考点：本小题主要考查基本初等函数的单调性.点评：考查函数的单调性，要记住基本初等函数的单调性，结合图象解决问题.5.若角和角的终边关于轴对称，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】试题分析：因为α，β角的终边关于y轴对称，所以，即α+β=π+2kπ，（k∈z），考点：终边相同的角。
2018年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)
不共 线 ，且 每个 点均 标注 了数 １、２、３中的一
个 ，将标有 不 同数 的所有点对均用线段 联结 ，
每条线段 上 均标 注 一 个数 １、２或 ３，此 数 与
该线段 端点标 注 的数不 同 ，结果 呈现 出写在 平 面上 的三个数 １、２或 ３中的每一个 均恰有
ｎ次．则 ｎ的值为— — ．
中至少有一个为偶数．
又 ＋ ＝一ａ 为偶数 ，则 ¨、Ｘｋ２均 ，
为偶数．
从 而 ，４Ｉ ｂ ．
注意到 ，十个 连续 的偶数 中只有 五个 被
４整除 ，另五个被 ４除余 ２．
因为 ｂ ，ｂ ，… ，ｂ 中 的每一 个均 被 ４整
除 ，所 以 ，ａ ，ａ：，… ，ａ 中的每一个 均被 ４除
二 、（１５分 ）能否选 出 １０个连续 的偶数 ，
且将其分为五个对子 （０ ，ｂ ）（ｋ＝ｌ，２，…，５），
使得方程
＋ａｋｘ＋ｂ ＝０（ｋ＝１，２，… ，５）
均具有 整数根？若能 ，试举一例 ；若不 能 ，请 说
明理 由．
三 、（１５分 ）如 图 ２，Ｄ为 锐 角△ ＡＢＣ内
一 点 ，使得 ＡＤＢ＝ ＡＣＢ＋９Ｏ。，且 ＡＣ·ＢＤ ＝ ＡＤ·ＢＣ，延 长 ＡＤ、ＢＤ、ＣＤ，分 别 与 △ ＡＢＣ 的外接 圆 厂交 于点 Ｇ、Ｅ、Ｆ．
于是 ，ａ＋ｂ＋Ｃ＝２００，且标 注数 １、２、３的
线段的数量分别为 ｂｃ、ｃａ、ａｂ．
贝０ ｎ＝ａ＋ｂｃ＝ｂ＋ｃａ＝ｃ＋ｒ上６．
故 （ｎ＋６ｃ）一（ｂ＋ｃａ）＝（ａ一６）（１一Ｃ）＝０．
类ｆＩ 地 ，（ｂ—ｃ）（１一ａ）＝（ｃ—ａ）（１—６）＝０．
若 ａ、ｂ、Ｃ中 至 少 有 两 个 数 不 为 １，则 ａ＝ｂ＝Ｃ，这与 ３十２００矛盾 ，也不可能 ａ＝ｂ＝
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
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高一年级试题（120分钟）
一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）
1．函数f(x)=23
x x
-+-的值域是______．
2．方程x2−31x+220=2x(31−2x−2x)所有实根的平方和等于______．
3．边长等于10厘米的正六边形ABCDEF中，H为DE的中点，G为BC边上一点，且满足∠AGB=∠CGH，如图所示，则五边形AFEHG的面积是______平方厘米．4．已知甲、乙两个施工队各有若干工人，如果甲队借调给乙队90名工人，则乙队的工人总数将是甲队的2倍；如果乙队借调给甲队若干工人，则甲队的工人总数将是乙队的6倍．甲施工队原来最少有______名工人．
5．在平面上有200个点，任何三个点都不共线，且每个点都标注了数1, 2, 3中的一个数，将标有不同数的所有点对都用线段连接，每条线段上都标注一个数1, 2或3，这个数与该线段端点标注的数不同，结果呈现出写在平面上的三个数1, 2或3中的每一个均恰有n次，则n的值是______．
二、（满分15分）能够选出10个连续的偶数，且分它们为5个对子：(a1, b1), (a2, b2), (a3,
b3), (a4, b4), (a5, b5)，使得方程x2+a1x+b1=0, x2+a2x+b2=0, x2+a3x+b3=0, x2+a4x+b4=0,
x2+a5x+b5=0
都具有整数根吗？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．
三、（满分15分）D为锐角三角形ABC内一点，使得∠ADB=∠ACB+90°且AC·BD=AD·BC．延长AD，BD，CD分别交三角形ABC的外接圆于点G，E，F，如图所示．求证：（1）EF=FG；
（2）
1
=
EFG
ABCπ三角形的面积
三角形外接圆的面积
．
四、（满分15分）
（1）证明：2018可以表示为两个正整数的平方和．
（2）证明：存在这样的三角形，可以把它分割为2018个全等的三角形．
五、（满分15分）已知n元正整数集A={a1, a2,…, a n}，对任意一个i {1, 2, …, n}，由集合A
去掉元素a i后得到的集合A i可以分成两个不交的子集之并，且两子集元素之和相等，我们称这样的数集A为“好数集”．
（1）求证：“好数集”的元素个数n是奇数；
（2）求“好数集”的元素个数n的最小值．。