西南大学答案(数学)

高二年级2017-2018学年度第一学期期末数学试题答案1．计算机执行下面的程序后，输出的结果是()a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－bPRINT a，bENDA．1,3 B．4,1C．0,0 D．6,0解析本题考查了算法的基本语句．∵a＝1，b＝3，∴a＝a＋b＝1＋3＝4.∴b＝a－b＝4－3＝1.答案 B2．下面是2×2列联表：则表中a，bA．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52解析∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.答案 C3对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析 由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3，故选D.答案 D4某地区高中分三类，A 类学校共有学生2 000人，B 类学校共有学生3 000人，C 类学校共有学生4 000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中的学生甲被抽到的概率为( )A.110B.920C.12 000D.12解析 利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的，故所求的概率为9002 000＋3 000＋4 000＝110.5（理科）在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上随机取一个数x ，使得0＜tan x ＜1成立的概率是( )A.18 B.13 C.12D.2π解析 由0＜tan x ＜1，得0＜x ＜π4，故所求概率为π4π2＝12.答案 C（文科）“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由(2x －1)x ＝0⇒x ＝0或x ＝12，所以应选B. 答案 B解析 由逆否命题的含义知，D 正确． 答案 D6对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立 B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立 C ．∀x ∈R ，总有f (x )>0成立 D ．∀x ∈R ，总有f (x )≤0成立解析 “对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”的意思就是∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立，故选A.答案 A7（理科）已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析 由椭圆的定义知：|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a (F 是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.答案 C（文科）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1解析 由双曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3. 由e ＝c a ＝32，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. 答案 B8如果命题“p q ⌝∨（）”是假命题，那么正确的是()A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 中至少有一个为真命题C ．p ，q 均为假命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题 解析 由题意知，p ∨q 为真命题， 所以p ，q 中至少有一个为真命题． 答案 B9已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p 的值为( )A ．1B ．2 C.12D ．4解析 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，解得p ＝2.答案 B10命题“若a <0，则一元二次方程x 2＋x ＋a ＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．不确定解析 当a <0时，Δ＝1－4a >0，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，则a <0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14，显然a <0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．答案 B11（理科）方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条直线C ．两个点D ．4条直线解析由(x －y )2＋(xy －1)2＝0得⎩⎨⎧x －y ＝0，xy －1＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)． 答案 C（文科）若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN .∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．答案 A12．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC→＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎨⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2.又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 答案 A13．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 解析 本题考查双曲线的渐近线方程．由a 2＝16，b 2＝9，得渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x . 答案 y ＝±34x14．执行如图所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________.解析 x ＝9时，y ＝93＋2＝5，|y －x |＝|5－9|＝4<1不成立；x ＝5，y ＝53＋2＝113，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪113－5＝43<1不成立；x ＝113，y ＝119＋2＝299，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪299－113＝49<1成立，输出y ＝299.答案 29915.已知两定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P 满足|P A ||PB |＝12，则P 点的轨迹方程是__________．解析 设P (x ，y )，则根据两点间距离公式，得 |P A |＝(x ＋1)2＋y 2，|PB |＝(x －2)2＋y 2，又∵|P A ||PB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y2＝12. 整理，得(x ＋2)2＋y 2＝4即为所求． 答案 (x ＋2)2＋y 2＝416.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析 第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 答案 3617.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．条件p ：x ∈A ，条件q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解 化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2. ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2.化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 18.某校为了比较“传统式教学法”与该校所创立的“三步式教学法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”．(1)若全校共有学生2 000名，其中男生1 100名，现抽取100名学生对两种教学法的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？(2)表1,2分别为实行“传统式教学法”与“三步式教学法”后的数学成绩：表1的前提下认为这两种教学法有差异．参考公式：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)设抽取女生x 人，则 2 0002 000－1 100＝100x ，解得x ＝45，所以女生抽取45人． (2)列联表如下：K 2的观测值k ＝100×(35×5－15×45)280×20×50×50＝6.25，由此可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为这两种教学法有差异，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这两种教学法有差异．19．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意得|F 1F 2|＝2，又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a .∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴所求椭圆的方程为x24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°， ∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan120°， 即y ＝－3(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，并注意到x <0，y >0，可得⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝335.∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝335.20.某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：(1)一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x ，y 的值．解 (1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5 样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴3050＝m5，解得m ＝3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为710. (2)由题意，得10N ＝539，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20， ∴4880＋x ＝2050＝1020＋y ，解得x ＝40，y ＝5. 即x ，y 的值分别为40,5.21．已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35，(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．解 (1)由⎩⎨⎧y 2＝4xy ＝2x ＋m⇒4x 2＋4(m －1)x＋m 2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22(1－m )2－4·m 24＝5(1－2m ).由|AB |＝35，即5(1－2m )＝35⇒m ＝－4.(2)设P (a,0)，P 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝|2a －0－4|22＋(－1)2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ， 则d ＝2·S △ABP |AB |，2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5或a ＝－1， 故点P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．22．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋t 与曲线E 交于M ，N 两点，求四边形MANB 的面积的最大值．解 (1)以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系，∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22>|AB |，∴动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，从而b ＝1. ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将y ＝x ＋t 代入x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16t 2－4×3×(2t 2－2)>0， ①x 1＋x 2＝－4t 3， ②x 1x 2＝2t 2－23， ③由①得t 2<3，∴S 四边形MANB ＝12|AB ||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝|x 1－x 2| ＝236－2t 2≤263.所以四边形MANB 的面积最大值是263.。