用matlab求解常微分方程
matlab-常微分方程
Events
含义 为‘on’时，控制解向量 有效值： 范数的相对误差，使每 on、off 步计算中，满足： 缺省值： norm(e)<=max(RelTol*n off orm(y),AbsTol) 有效值： 为‘on’时，返回相应的 on、off 事件记录
取值
参数设置
属性名 含义 若无输出参量，则solver 将执行下面操作之一： 有效值： 画出解向量中各元素随 odeplot、 时间的变化； odephas2、画出解向量中前两个分 odephas3、量构成的相平面图； odeprint 画出解向量中前三个分 缺省值： 量构成的三维相空间图 odeplot ； 随计算过程，显示解向 量 取值
使用于精度较低 的情形
OD 求解器 E类 Solver 型 非 ode113 刚 性 适 度 ode23t 刚 性 刚 ode15s 性
特点
说明
多步法；Adams算 计算时间比ode45 法；高低精度均可 短 -3～10-6 到10 采用梯形算法 适度刚性情形
多步法；Gear’s反 若ode45失效时， 向数值微分；精度 可尝试使用 中等
• (6)若没有给定输出参量，则在命令窗口显 示解列表。若该命令找不到解析解，则返 回一警告信息，同时返回一空的sym对象。 这时，用户可以用命令ode23或ode45求解 方程组的数值解。
y ′′ = −a y ′ y ( 0) = 1 y ′(π / a ) = 0
2
例1
例2
• >> [u,v] = dsolve('Du=v,Dv=u') u= C1*exp(-t)+C2*exp(t) V= -C1*exp(-t)+C2*exp(t)
matlab ode45 求解带积分的常微分方程
概述在工程和科学领域中，常微分方程是一种常见的数学建模工具。
其中，带积分的常微分方程更是一种需要特殊解法的方程形式。
MATLAB是一种功能强大的数学工具软件，而ode45是MATLAB中用于求解常微分方程的函数之一。
本文将详细介绍如何使用MATLAB中的ode45函数来求解带积分的常微分方程。
一、带积分的常微分方程简介带积分的常微分方程是指在微分方程中出现积分形式的项，通常表现为对某个函数进行积分。
这种形式的微分方程在工程和科学领域中有着广泛的应用，例如在电路分析、控制系统、生物学模型等领域中都能见到。
典型的带积分的常微分方程形式如下所示：y' = f(t,y) + ∫g(t,y)dt其中，y'表示y对自变量t的导数，f(t,y)为已知的函数，g(t,y)为未知的函数需要求解。
这种形式的微分方程要比普通的常微分方程更复杂，需要使用特定的求解方法来得到解析解或数值解。
二、MATLAB中的ode45函数介绍MATLAB是一种被广泛应用于科学计算和工程领域的数学软件工具，其中有丰富的数值计算函数库。
其中，用于求解常微分方程的ode45函数是应用较为广泛的函数之一。
ode45函数可以通过数值计算的方法来求解常微分方程的数值解，其基本调用格式如下：[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)其中，odefun是定义了微分方程的函数句柄，tspan是求解的时间范围，y0是初始条件。
ode45函数会返回微分方程在tspan范围内的数值解t和对应的y值。
三、使用MATLAB求解带积分的常微分方程对于带积分的常微分方程，我们需要将其转化为标准形式，然后利用MATLAB的ode45函数进行求解。
假设我们有如下形式的带积分的常微分方程：y' = f(t,y) + ∫g(t,y)dt我们将其转化为等价的无積分項的方程形式，例如∂F/∂t = f(t,y) + ∫g(t,y)dt我们可以利用MATLAB中的ode45函数来求解上述形式的微分方程。
matlab ode45求解常系数微分方程组
题目：Matlab ode45求解常系数微分方程组一、介绍在科学计算中，微分方程组是一个非常重要的数学模型，它描述了自然界中诸多物理现象的规律性。
求解微分方程组是科学研究和工程技术中的常见问题之一。
Matlab是一种非常流行的科学计算工具，它提供了很多函数和工具箱，方便用户对微分方程进行数值求解。
其中，ode45函数是Matlab中用于求解常系数微分方程组的常用工具之一。
二、ODE45函数简介ode45是Matlab中用于求解常系数微分方程组的函数。
它采用一种叫做“Runge-Kutta法”的数值积分方法，能够比较准确地求解各种微分方程组。
用户只需要提供微分方程的形式以及初值条件，ode45就可以自动求解微分方程组并给出数值解。
在Matlab中，ode45的调用格式为：[t, y] = ode45((t, y)fun(t, y), tspan, y0)其中，fun是用户定义的微分方程组函数，tspan是时间范围，y0是初值条件。
ode45会返回时间向量t和对应的解向量y。
三、常系数微分方程组的形式常系数微分方程组是指微分方程中各个系数都是常数的情况。
一般来说，常系数微分方程组的形式可以表示为：dx1/dt = a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn + b1(t)dx2/dt = a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn + b2(t)...dxn/dt = an1*x1 + an2*x2 + ... + ann*xn + bn(t)其中，x1, x2, ..., xn是未知函数，a11, a12, ..., ann是常系数，b1(t), b2(t), ..., bn(t)是已知函数。
四、使用ode45求解常系数微分方程组在Matlab中，我们可以很方便地利用ode45函数求解常系数微分方程组。
我们需要定义微分方程组的函数形式，例如：function dydt = fun(t, y)dydt = zeros(2, 1);dydt(1) = -0.1*y(1) + 0.2*y(2);dydt(2) = 0.1*y(1) - 0.2*y(2);end我们可以通过调用ode45函数进行求解，例如：tspan = [0, 10];y0 = [1; 1];[t, y] = ode45((t, y)fun(t, y), tspan, y0);我们可以通过绘图等方式来分析微分方程组的数值解。
matlab_常微分方程数值解法
dt 2
简朴问题可以求得解析解，多数实际问题靠数值求解 。
第4页
一阶常微分方程(ODE )初值问题 ： ODE ：Ordinary Differential Equation
dy
f
(x,
y)
dx
x0 x xn
y(x0 ) y0
数值解法就是求y(x)在某些分立旳节点 xn 上旳近似值 yn，用以近似y(xn)
x0
y0
x1 f y(x), x dx
x0
x2 f y(x), x dx
x1
y(x1) f y(x1), x1 h
第17页
同样，在[x0,xn+1] ，积分采用矩形近似，得：
y(xn1) y0
f xn1
x0
y(x), x dx
y(xn ) f y(xn ), xn h
yn y(xn )
第5页
2、欧拉近似办法
2.1 简朴欧拉(L.Euler, 1707-1783)办法。
dy
dx
f
(y, x)
y(x0 ) y0
欧拉数值算法就是由初值通过递推求解，递推求解
就是从初值开始，后一种函数值由前一种函数值得到。核 心是构造递推公式。
y0 y1 y2 yn
第6页
i 1,2,...
第36页
没有一种算法可以有效地解决所有旳 ODE 问题，因此 MATLAB 提供了多种ODE函数。
函数 ODE类
特点
阐明
型
ode45
非刚性 单步法；4，5 阶 R-K 措施；合计 大部分场合旳首选措施
截断误差为 (△x)3
ode23
非刚性 单步法；2，3 阶 R-K 措施；合计 使用于精度较低旳情形
matlab梯形法求常微分方程
近年来，随着科技的迅猛发展，人们对数学问题的求解需求也越来越迫切。
在数值分析中，常微分方程的求解一直是一个备受关注的领域。
而在这个领域中，matlab梯形法求解常微分方程成为了一种被广泛应用的方法。
那么，什么是matlab梯形法？它又是如何应用于求解常微分方程的呢？让我们来深入了解matlab梯形法。
在matlab中，梯形法是一种常用的数值求解方法，它可以用于求解常微分方程。
该方法的基本思想是将微分方程中的导数用差分代替，从而将微分方程转化为代数方程组，再利用matlab进行求解。
通过该方法，我们可以得到微分方程的数值解，从而更好地理解和分析问题。
现在，让我们来探讨matlab梯形法在求解常微分方程中的应用。
假设我们需要求解如下的一阶常微分方程：\[ \frac{dy}{dt} = f(t,y) \]其中，\( f(t,y) \) 是关于\( t \)和\( y \)的函数。
我们需要将微分方程离散化，即用差分代替导数。
通过将时间区间\( [a, b] \)进行均匀划分，我们可以得到：\[ t_0 = a, t_1, t_2, ..., t_n = b \]\[ y_0 = \alpha, y_1, y_2, ..., y_n \]\[ h = \frac{b-a}{n} \]其中，\( t_i \) 是时间节点，\( y_i \) 是对应的近似解，\( h \) 是时间步长。
接下来，我们可以利用梯形法进行求解。
梯形法的迭代公式为：\[ y_{i+1} = y_i + \frac{h}{2}[f(t_i, y_i) + f(t_{i+1}, y_{i+1})] \]通过不断迭代，我们可以得到微分方程的数值解。
在实际应用中，matlab梯形法可以很好地处理各种类型的常微分方程。
无论是线性方程还是非线性方程，matlab梯形法都能提供较为准确的数值解。
该方法还可以用于求解初值问题和边值问题，具有较好的通用性和适用性。
matlab数值求解常微分方程快速方法
MATLAB是一种用于科学计算和工程应用的高级编程语言和交互式环境。
它在数学建模、模拟和分析等方面有着广泛的应用。
在MATLAB 中，常微分方程的数值求解是一个常见的应用场景。
在实际工程问题中，通常需要对常微分方程进行数值求解来模拟系统的动态行为。
本文将介绍MATLAB中对常微分方程进行数值求解的快速方法。
1. 基本概念在MATLAB中，可以使用ode45函数来对常微分方程进行数值求解。
ode45是一种常用的Runge-Kutta法，它可以自适应地选取步长，并且具有较高的数值精度。
使用ode45函数可以方便地对各种类型的常微分方程进行求解，包括一阶、高阶、常系数和变系数的微分方程。
2. 函数调用要使用ode45函数进行常微分方程的数值求解，需要按照以下格式进行函数调用：[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)其中，odefun表示用于描述微分方程的函数，tspan表示求解的时间跨度，y0表示初值条件，t和y分别表示求解得到的时间序列和对应的解向量。
3. 示例演示为了更好地理解如何使用ode45函数进行常微分方程的数值求解，下面我们以一个具体的例子来进行演示。
考虑如下的一阶常微分方程：dy/dt = -2*y其中，y(0) = 1。
我们可以编写一个描述微分方程的函数odefun：function dydt = odefun(t, y)dydt = -2*y;按照上述的函数调用格式，使用ode45函数进行求解：tspan = [0 10];y0 = 1;[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0);绘制出解曲线：plot(t, y);4. 高级用法除了基本的函数调用方式外，MATLAB中还提供了更多高级的方法来对常微分方程进行数值求解。
可以通过设定选项参数来控制数值求解的精度和稳定性，并且还可以对刚性微分方程进行求解。
5. 性能优化在实际工程应用中，常常需要对大规模的常微分方程进行数值求解。
matlab 求解微分方程
matlab 求解微分方程
在 MATLAB中可以使用 ode45 或者 ode15s 函数来求解常微分方程。
如果想要求解初值问题，可以使用 ode45 函数，语法如下：
```
tspan = [t0, tf]; % t0为初始时刻，tf为结束时刻
y0 = [y1, y2, ..., yn]; % y1, y2, ..., yn为初始条件
[t, y] = ode45(@(t, y) diffeq(t, y), tspan, y0);
```
其中，`diffeq` 是一个用户定义的函数，用来表示微分方程的右端，它的输入参数为时间 t 和状态变量 y，输出为微分方程的右端的值。
`t` 是时间向量，`y` 是状态变量的解。
如果想要求解延迟微分方程或者刚性微分方程，可以使用ode15s 函数，语法和 ode45 函数类似：
```
[t, y] = ode15s(@(t, y) diffeq(t, y), tspan, y0);
```
需要注意的是，求解微分方程之前，需要先定义好微分方程的右端函数 `diffeq` 。
matlab解常微分方程
matlab解常微分⽅程1. ODE常微分⽅程ordinary differential equation的缩写，此种表述⽅式常见于编程，如MATLAB中Simulink求解器solver已能提供了7种微分⽅程求解⽅法：ode45(Dormand-Prince)，ode23(Bogacki-Shampine)，ode113(Adams)，ode15s(stiff/NDF)，ode23s(stiff/Mod. Rosenbrock)，ode23t(mod.stiff/Trapezoidal)，ode23tb(stiff/TR-BDF2)。
微分⽅程、微分⽅程组⾃标量 因变量 ⼀元 多元 函数 映射⼀元：只有⼀个因变量多元：有多个因变量导数 偏导：谁对谁的导数，因变量对⾃变量的导数，默认或缺省⾃变量为t 、x ？⼀元⽅程 多元⽅程 多元⽅程组 n个⽅程解n个未知量微分⽅程 ⼀阶 ⾼阶微分⽅程 ⼀阶微分⽅程组⼀阶常微分⽅程：Dx/dt + x = e^t⾼阶常微分⽅程：d^2x/dt^2+dx/dt+x=e^2t⼀阶微分⽅程组（多元）：dy/dt+x=e^2tdx/dt+2y-x=e^t初始条件：dy/dt0=... dx/dt0=... y0=... x0=...可以解出：y=f(t)=.... x=f(t)=.... 两个⽅程解两个未知数（因变量）⼀个N阶（多元）微分⽅程可以写成（分解成）N个⼀阶微分⽅程（即微分⽅程组）如：x.. + 2x. -x = u令x.=x2; x=x1 则...微分⽅程的精确解： r=dsolve('eqn1','eqn2',...,'cond1','cond2',...,'var').数值解： [t,y]=solver('odefun',tspan,y0,options)1. 求精确解1.微分⽅程r=dsolve('eqn1','eqn2',...,'cond1','cond2',...,'var').该命令中可以⽤D表⽰微分符号，其中D2表⽰⼆阶微分，D3表⽰三阶微分，以此类推。
matlab求解常微分方程
用matlab 求解常微分方程在MATLAB 中，由函数dsolve ()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下：r = dsolve('eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', 'v')'eq1,eq2,...'为微分方程或微分方程组，'cond1,cond2,...',是初始条件或边界条件，'v'是独立变量，默认的独立变量是't'。
函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。
例1：求解常微分方程1dy dx x y =+的MATLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。
其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。
例2：求解常微分方程的MATLAB 程序为：2'''0yy y −=Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0','x')Y2=dsolve('D2y*y-Dy^2=0','x')我们看到有两个解，其中一个是常数0。
例3：求常微分方程组253ttdxx y edtdyx y edt⎧++=⎪⎪⎨⎪−−=⎪⎩通解的MATLAB程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')例4：求常微分方程组2210cos,24,tttdx dyx t xdt dtdx dyy e ydt dt=−=⎧+−==⎪⎪⎨⎪++==⎪⎩2通解的MATLAB程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2,y(0)=0','t')以上这些都是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解。
euler方法求解常微分方程matlab
euler方法求解常微分方程matlab以Euler方法求解常微分方程(Matlab)在数学和工程领域中，常微分方程是一类描述物体运动、电路行为、传热传质等现象的数学模型。
求解常微分方程有许多方法，其中一种简单而常用的方法是Euler方法。
本文将介绍如何使用Matlab编程语言来实现Euler方法求解常微分方程，并给出一个具体的例子进行说明。
Euler方法基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过一系列的逼近来得到方程的近似解。
对于一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，假设在区间[a,b]上等距离取n个点，则每个点的步长为h=(b-a)/n。
对于每个点(xi,yi)，根据微分方程可以得到差分方程yi+1 = yi + h * f(xi,yi)，其中f(xi,yi)代表在点(xi,yi)处的斜率。
下面我们以一个简单的例子来说明Euler方法的应用。
考虑一阶线性微分方程dy/dx = -2xy，初始条件为y(0)=1，求解在区间[0,1]上的近似解。
我们需要将微分方程转化为差分方程。
根据Euler方法的思想，我们有yi+1 = yi + h * (-2xi * yi)。
然后，我们需要选择合适的步长h和区间[0,1]上的点数n。
在Matlab中，我们可以定义一个函数来表示微分方程。
代码如下：function dydx = myODE(x,y)dydx = -2*x*y;end然后，我们可以编写一个求解Euler方法的函数。
代码如下：function [x,y] = myEuler(a,b,n,y0)h = (b-a)/n;x = a:h:b;y = zeros(1,n+1);y(1) = y0;for i = 1:ny(i+1) = y(i) + h * myODE(x(i),y(i));endend我们可以调用myEuler函数来求解微分方程。
代码如下：a = 0;b = 1;n = 100;y0 = 1;[x,y] = myEuler(a,b,n,y0);这样，我们就得到了在区间[0,1]上的近似解。
matlab解常微分方程
matlab解常微分方程
Matlab是一种非常强大的数学软件，可以用来解决各种数学问题。
在工程、物理、生物学和其他科学领域中，常微分方程是一种非常重要的数学工具，用于模拟和解决许多问题。
使用Matlab可以方便地求解常微分方程。
Matlab提供了几种解常微分方程的函数，包括ode45、ode23、ode15s等。
这些函数可以解决一般常微分方程、刚性常微分方程、偏微分方程等。
使用这些函数可以简单地解决一些复杂的数学问题，并且可以快速地得到结果。
除了内置函数，Matlab还提供了一些工具箱，如Symbolic Math Toolbox和Partial Differential Equation Toolbox等。
这些工具箱提供了更高级的功能，可以用来求解更复杂的问题。
在使用Matlab解常微分方程时，需要了解一些数学知识，如常微分方程的基本概念、初值问题、边值问题、刚性问题等。
此外，还需要了解一些Matlab编程知识，如函数定义、变量赋值、循环、条件语句等。
总之，Matlab是一个非常强大的工具，可以用来解决各种数学问题，特别是常微分方程。
使用Matlab可以简单地解决一些复杂的数学问题，并且可以快速地得到结果。
- 1 -。
matlab求一阶常微分方程例题
1. 概述在数学和工程学科中，常微分方程是一类重要的数学问题，它们用于描述自然界和工程现象中的各种动态行为。
在解常微分方程时，Matlab是一个功能强大、易于使用的工具，可以快速、准确地求解各种类型的常微分方程。
本文将以求解一阶常微分方程为例，介绍Matlab的基本使用方法，并带领读者一步一步地解题。
2. 一阶常微分方程的定义一阶常微分方程是指仅含有一阶导数的微分方程，通常表示为dy/dx=f(x,y)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
解一阶常微分方程意味着找到满足该方程的函数y(x)。
3. Matlab求解一阶常微分方程的基本步骤3.1. 定义方程我们需要在Matlab中定义一阶常微分方程。
可以使用符号变量来表示未知函数y和自变量x，然后将方程转化为Matlab函数的形式。
3.2. 求解方程在定义好方程之后，可以使用Matlab内置的求解函数，如ode45、ode23等，来求解一阶常微分方程。
这些函数采用数值方法，能够高效地求解各种类型的常微分方程。
4. 一阶线性常微分方程的求解过程下面我们以一阶线性常微分方程dy/dx+2y=0为例，介绍Matlab的求解过程。
4.1. 定义方程在Matlab中，可以使用符号变量定义一阶线性常微分方程：syms x yfunc = (x,y) -2*y;这里func是一个函数句柄，表示了方程dy/dx+2y=0中的-f(x,y)。
4.2. 求解方程接下来，我们可以使用Matlab的ode45函数来求解该一阶常微分方程：[x, y] = ode45(func, [0, 10], 1);这段代码表示使用ode45函数对func函数句柄表示的一阶常微分方程，在区间[0,10]上以初始条件y(0)=1进行求解。
求解结果将保存在x和y数组中。
5. 结论通过以上步骤，我们成功地使用Matlab求解了一阶线性常微分方程dy/dx+2y=0。
在实际应用中，Matlab可以很方便地求解各种类型的常微分方程，为科学研究和工程实践提供了强大的支持。
matlab用欧拉法求常微分方程初值
Matlab中欧拉法求解常微分方程初值问题一、概念介绍在数学和工程领域，常微分方程初值问题是一个广泛应用的数学概念。
它描述了一个未知函数在给定初始条件下的行为。
而欧拉法则是一种常用的数值方法，用来解决常微分方程初值问题。
在Matlab中，我们可以利用欧拉法来求解常微分方程问题，从而得到函数在给定初始条件下的近似解。
二、欧拉法的基本原理欧拉法的基本思想是通过离散化微分方程，将其转化为递推的差分方程。
考虑一个一阶常微分方程初值问题：\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 \]在欧拉法中，我们采用递推的方式，根据已知的初始条件和微分方程的性质，通过迭代来得到逼近解的数值结果。
具体地，我们首先将自变量$x$的范围进行等间距分割，得到$x_0, x_1, x_2, ..., x_n$，并将步长记为$h$。
根据微分方程的性质，我们可以根据已知的初始条件$y(x_0) = y_0$，通过迭代计算得到近似解$y(x_1), y(x_2), ..., y(x_n)$。
三、Matlab中的欧拉法求解在Matlab中，我们可以利用欧拉法来求解常微分方程初值问题。
以求解一阶常微分方程为例，假设我们需要求解以下的常微分方程初值问题：\[ \frac{dy}{dx} = -2xy, \quad y(0) = 1 \]我们可以利用欧拉法的思想，将自变量$x$的范围进行离散化，然后根据欧拉法的递推公式，利用迭代的方式得到近似解的数值结果。
具体地，在Matlab中，我们可以编写如下代码来实现欧拉法的求解过程：```matlabfunction y = euler_method(f, x0, y0, h, n)% 初始化存储结果的数组x = zeros(1, n+1);y = zeros(1, n+1);% 将初始条件存入数组x(1) = x0;y(1) = y0;% 利用欧拉法进行迭代for i = 1:nx(i+1) = x(i) + h;y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i));end% 返回近似解的数值结果plot(x, y); % 绘制解的图像end```在上述代码中，我们定义了一个名为`euler_method`的函数，其中包含了欧拉法的计算过程。
matlab求解常微分方程的准确解
matlab求解常微分方程的准确解使用Matlab求解常微分方程的准确解一、引言常微分方程是研究自然界现象和工程实际问题中常见的数学工具之一。
求解常微分方程的准确解对于理解问题的本质和性质具有重要意义。
本文将介绍如何使用Matlab来求解常微分方程的准确解，并通过具体的例子进行演示。
二、常微分方程的基本概念常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x,y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
常微分方程的解是指能够满足方程的函数y(x)。
三、Matlab的符号计算工具箱Matlab提供了符号计算工具箱，可以对方程进行符号计算。
通过符号计算工具箱，我们可以求解常微分方程的准确解。
四、使用Matlab求解常微分方程的步骤1. 定义未知函数和自变量。
在Matlab中，可以使用符号变量来定义未知函数和自变量。
2. 定义常微分方程。
使用符号变量来定义常微分方程。
3. 求解常微分方程。
使用dsolve函数来求解常微分方程的准确解。
4. 绘制准确解的图像。
使用ezplot函数来绘制准确解的图像。
五、具体例子假设我们要求解一阶线性常微分方程：dy/dx + y = x其中，y是未知函数，x是自变量。
1. 定义未知函数和自变量。
在Matlab中，可以使用符号变量来定义未知函数和自变量。
syms y(x)2. 定义常微分方程。
使用符号变量来定义常微分方程。
eqn = diff(y,x) + y == x3. 求解常微分方程。
使用dsolve函数来求解常微分方程的准确解。
sol = dsolve(eqn)4. 绘制准确解的图像。
使用ezplot函数来绘制准确解的图像。
ezplot(sol)六、总结本文介绍了如何使用Matlab求解常微分方程的准确解。
通过符号计算工具箱，我们可以方便地求解常微分方程，并得到准确解的图像。
使用Matlab求解常微分方程的准确解可以帮助我们更好地理解问题的本质和性质，并为进一步的分析和应用提供基础。
实验七用matlab求解常微分方程(最新整理)
实验七 用matlab 求解常微分方程一、实验目的：1、熟悉常微分方程的求解方法，了解状态方程的概念；2、能熟练使用dsolve 函数求常微分方程（组）的解析解；3、能熟练应用ode45\ode15s 函数分别求常微分方程的非刚性、刚性的数值解；4、掌握绘制相图的方法二、预备知识：1．微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。
如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。
常微分方程的一般形式为),,",',,()(=n y y y y t F 如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。
联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。
若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为)()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++-- 若上式中的系数ni t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数。
2．常微分方程的解析解有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1+=y dt dy可化为dt y dy=+1,两边积分可得通解为1-=tce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。
高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。
一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程),,",',()1()(-=n n y y y t f y 设)1(21,,',-===n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-),,,,(''''2113221n n nn y y y t f y yy y y y y反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。
matlab常微分方程组定步长
常微分方程组是描述自然界中许多现象的数学工具。
在科学研究和工程应用中，常微分方程组的求解是一个非常重要的问题。
MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具来解决常微分方程组的数值求解问题。
在本文中，我们将重点介绍MATLAB中如何使用定步长方法来求解常微分方程组。
1. 定步长方法的原理定步长方法是一种常见的数值求解常微分方程组的方法。
其基本原理是将自变量的区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一种数值方法来逼近微分方程的解。
常见的定步长方法包括欧拉方法、梯形公式、四阶Runge-Kutta方法等。
这些方法在MATLAB中都有相应的函数实现，用户可以根据具体的求解需求选择合适的方法。
2. MATLAB中的定步长方法在MATLAB中，用户可以使用ode45、ode23等函数来求解常微分方程组。
这些函数实际上是使用变步长方法来求解微分方程组的，但用户也可以通过设定选项来指定使用定步长方法。
其中，ode45是MATLAB中最常用的数值求解函数，其默认使用的是变步长的4-5阶Runge-Kutta-Fehlberg方法。
如果用户需要使用定步长方法来求解微分方程组，可以将MATLAB中的options结构中的属性设置为odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-9,'MaxStep',0.1)。
这里，RelTol和AbsTol表示相对误差和绝对误差的容许度，MaxStep表示最大步长，用户可以根据具体的求解需求来设置这些参数。
3. 定步长方法的优缺点定步长方法的优点是求解简单、直观，对于某些特定的常微分方程组，定步长方法的效果可能好于变步长方法。
而定步长方法的缺点是需要事先确定步长大小，如果步长选择不合适，可能导致数值解的不准确甚至发散。
对于复杂的、非线性的常微分方程组，使用定步长方法可能需要一定的经验和技巧。
4. 定步长方法的应用实例下面通过一个简单的例子来说明MATLAB中如何使用定步长方法来求解常微分方程组。
Matlab在常微分方程求解中的应用
求解常微分方程初值问题的数值解的整体思路：
dy f (x, y) dx y(x0 ) y0
（1）
寻求准确解 y(x ) 在一系列离散节点：
x0 x1 x2 xn 上的近似值 y0 , y1, y2 ,, yn ,
yn 称为问题的数值解，数值解所满足的离散方程统称为差
分格式， hi xi xi1 称为步长，实用中常取定步长。
ode23t ode23tb
Trapezoidal rule with a “free” interpolant
Implicit Runge-Kutta formula with a backward differentiation formula of order two
Stiff ODE Stiff ODE Stiff ODE
2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须 等价地变换成一阶微分方程组.
Van der Pol微分方程
1928年荷兰的范德波耳(Van der Pol)为描述LC 回路的电子管振荡器建立了著名的vanderPol方 程.它在自激振荡理论中有着重要的意义,一直作 为数学物理方程中的一个基本方程.这是一个具有 可变非线性阻尼的微分方程,代表了一类极为典型 的非线性问题.和其他非线性微分方程在数学上无 法精确求解一样,人们一直在努力寻找求解这类方 程近似解析解的方法,并乐于用Van der Pol方程 来检验求解方法的有效性.
>> type vdp1.m function dy = vdp1(t, y) mu = 1; dy = [y(2); mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
建立了vdp1.m后，即可选用前述ODE指令来求解
在 =1时，van der Pol方程并非 Stiff系统，所 以使用ode45来显示结果 odeBasic01.m
常微分方程数值求解 MATLAB 求解
dsolve 举例
例：[x,y]=dsolve('Dx+5*x=0', 'Dy-3*y=0', ...
'x(0)=1', 'y(0)=1', 't') sol = dsolve('Dx+5*x=0', 'Dy-3*y=0', ...
'x(0)=1', 'y(0)=1', 't') 这里返回的 sol 是一个 结构类型 的数据 sol.x % 查看解函数 x(t) sol.y % 查看解函数 y(t)
常微分方程数值求解
—— MATLAB 求解
Matlab 解初值问题函数
用 Maltab自带函数 解初值问题
求解析解：dsolve
求数值解：
ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb
2
符号求解
符号求解
dsolve
3
dsolve 求解析解
如果省略自变量，则默认自变量为 t
dsolve('Dy=2*x','x'); % dy/dx = 2x
dsolve('Dy=2*x');
% dy/dt = 2x
若找不到解析解，则提出警告，并返回空解。
5
dsolve 的使用
使用符号方程
导数：diff，如 diff(y)，diff(y,2) 等号：== 必须声明应变量与自变量!
求解析解：dsolve
y=dsolve('eq1','eq2', ... ,'cond1','cond2', ... ,'v')
matlab 常微分方程的代码
matlab 常微分方程的代码MATLAB（Matrix Laboratory）是一种高级计算机语言和交互式环境，被广泛应用于工程、科学和数学等领域，在微分方程求解方面也有着出色的表现。
下面将介绍Matlab中求解常微分方程的基本方法和代码实现，内容包括以下几个方面：一、什么是常微分方程？常微分方程是一种数学方程，描述的是某一物理量随时间的变化情况，形式为：y' = f(t,y)其中y是未知函数，t是自变量，f(t,y)是已知的函数。
若求解出y(t)的解析式，则称为解析解；若求解出y(t)的近似解，则称为数值解。
二、Matlab中求解常微分方程的基本方法1.ode45函数ode45是Matlab中求解常微分方程最常用的函数之一，它是一种根据Runge-Kutta方法的数值解寻求算法。
2.ode23函数与ode45类似，但计算速度更快，适用于求解不需要太高精度的问题。
3.ode113函数计算速度最快，但适用于精度相对较低的问题。
三、Matlab中求解常微分方程的代码实现以ode45函数为例，下面给出一个求解常微分方程的示例代码：% 定义常微分方程y'=f(t,y)function dydt = myODEFunction(t,y)dydt = t + y;% 解微分方程[t,y] = ode45(@myODEFunction,[0 5],0);%绘制图像plot(t,y)xlabel('t')ylabel('y')title('Solutions of y'' = t + y')代码中做了以下几件事情：1.定义了待求解的微分方程y'=f(t,y)，在此例中f(t,y)=t+y。
2.使用ode45函数解微分方程，并绘制图形。
其中，ode45函数的第一个参数是待求解的微分方程的函数句柄（这里是@myODEFunction），第二个参数是一个包含解的时间区间的向量，第三个参数是初值y(0)。
常微分方程的数值解的matlab命令实现方法
常微分方程的数值解的matlab命令实现方法常微分方程的数值解在 MATLAB 中可以通过 ode 函数或 dsolve 函数进行求解。
其中，ode 函数可以求解一阶常微分方程，而 dsolve 函数可以求解二阶及以上的常微分方程。
下面是具体的实现方法:1. 一阶常微分方程的求解对于一阶常微分方程，可以使用 ode 函数求解。
假设我们要求解的常微分方程为:dx/dt = f(x, t)可以使用以下命令进行求解:y0 = [a, 0]; % 初值条件tspan = [0, 20]; % 时间区间[t, y] = ode45(@(t, y) odefun(t, y, a), tspan, y0); % 求解其中，odefun 函数用于定义常微分方程的解，它是一个自定义函数，其形式可以为:dy/dt = f(t, y)其中，dy 是 y 的求导，f(t, y) 是常微分方程的系数矩阵。
在 MATLAB 中，可以使用 dy[] 函数来计算 y 的求导，例如:dy = dy[](t, y);最后，使用 ode45 函数求解常微分方程的解，其中 tspan 是时间区间，y0 是初值条件。
2. 二阶常微分方程的求解对于二阶常微分方程，可以使用 dsolve 函数求解。
假设我们要求解的二阶常微分方程为:d2y/dt2 + p(t)dyy/dt + q(t)dy/dt + r(t)y = 0可以使用以下命令进行求解:syms t pqr;y0 = [a1, a2, a3]; % 初值条件[t, y] = dsolve(@(t, y) dy0(t, y), t, y0); % 求解其中，dy0 函数用于定义二阶常微分方程的解，其形式可以为:d2y/dt2 + p(t)dyy/dt + q(t)dy/dt + r(t)y = 0其中，d2y/dt2 是 y 的二阶求导，其它项是 y 的求导。
在 MATLAB 中，可以使用 dy0[] 函数来计算 y 的二阶求导。
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实验六 用matlab 求解常微分方程1．微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。
如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。
常微分方程的一般形式为0),,",',,()(=n y y y y t F如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。
联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。
若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为)()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++--若上式中的系数ni t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数。
2．常微分方程的解析解有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1+=y dt dy可化为dt y dy=+1,两边积分可得通解为1-=tce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。
高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。
一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程),,",',()1()(-=n n y y y t f y设)1(21,,',-===n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-),,,,(''''2113221n n nn y y y t f y yy y y y y反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。
所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。
3．微分方程的数值解法除常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无限世界，应用中主要依靠数值解法。
考虑一阶常微分方程初值问题⎩⎨⎧=<<=000)()),(,()('y t y t t t t y t f t y f其中)'.,,,(,)',,,(,)',,,(020*******m m m y y y y f f f f y y y y ===所谓数值解法，就是寻求)(t y 在一系列离散节点f n t t t t ≤<<< 10上的近似值nk y k ,,1,0, =称kk k t t h -=+1为步长，通常取为常量h 。
最简单的数值解法是Euler 法。
Euler 法的思路极其简单：在节点出用差商近似代替导数h t y t y t y k k k )()()('1-≈+这样导出计算公式（称为Euler 格式）,2,1,0),,(1=+=+k y t hf y y k k k k他能求解各种形式的微分方程。
Euler 法也称折线法。
Euler 方法只有一阶精度，改进方法有二阶Runge-Kutta 法、四阶Runge-Kutta 法、五阶Runge-Kutta-Felhberg 法和先行多步法等，这些方法可用于解高阶常微分方程（组）初值问题。
边值问题采用不同方法，如差分法、有限元法等。
数值算法的主要缺点是它缺乏物理理解。
4．解微分方程的MATLAB 命令MATLAB 中主要用dsolve 求符号解析解，ode45,ode23,ode15s 求数值解。
ode45是最常用的求解微分方程数值解的命令，对于刚性方程组不宜采用。
ode23与ode45类似，只是精度低一些。
ode12s 用来求解刚性方程组，是用格式同ode45。
可以用help dsolve, help ode45查阅有关这些命令的详细信息. 例1 求下列微分方程的解析解（1）b ay y +='（2）1)0(',0)0(,)2sin(''==-=yyyxy（3）1)0(',1)0(',','==-=+=gffgggff方程（1）求解的MATLAB代码为：>>clear;>>s=dsolve('Dy=a*y+b')结果为s =-b/a+exp(a*t)*C1方程（2）求解的MATLAB代码为：>>clear;>>s=dsolve('D2y=sin(2*x)-y','y(0)=0','Dy(0)=1','x')>>simplify(s) %以最简形式显示s结果为s =(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+(-1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x) ans =-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x)方程（3）求解的MATLAB代码为：>>clear;>>s=dsolve('Df=f+g','Dg=g-f','f(0)=1','g(0)=1')>>simplify(s.f) %s是一个结构>>simplify(s.g)结果为ans =exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t)ans =-exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t)例２求解微分方程,1)0(,1'=++-=ytyy先求解析解，再求数值解，并进行比较。
由>>clear;>>s=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t')>>simplify(s)可得解析解为tety-+=。
下面再求其数值解，先编写M文件fun8.m%M函数fun8.mfunction f=fun8(t,y)f=-y+t+1;再用命令>>clear; close; t=0:0.1:1;>>y=t+exp(-t); plot(t,y); %化解析解的图形>>hold on; %保留已经画好的图形，如果下面再画图，两个图形和并在一起>>[t,y]=ode45('fun8',[0,1],1);>>plot(t,y,'ro'); %画数值解图形，用红色小圈画>>xlabel('t'),ylabel('y')结果见图7.1图16.6.1 解析解与数值解由图16.6.1可见，解析解和数值解吻合得很好。
例3 求方程)0(',)0(,sin "0===θθθθθmg ml的数值解.不妨取15)0(,8.9,1===θg l .则上面方程可化为0)0(',15)0(,sin 8.9"===θθθθ先看看有没有解析解.运行MATLAB 代码>>clear;>>s=dsolve('D2y=9.8*sin(y)','y(0)=15','Dy(0)=0','t') >>simplify(s)知原方程没有解析解.下面求数值解.令',21θθ==y y 可将原方程化为如下方程组⎪⎩⎪⎨⎧====0)0(,15)0()sin(8.9''211221y y y y y y建立M 文件fun9.m 如下%M 文件fun9.mfunction f=fun9(t,y)f=[y(2), 9.8*sin(y(1))]'; %f 向量必须为一列向量运行MATLAB 代码>>clear; close;>>[t,y]=ode45('fun9',[0,10],[15,0]);>>plot(t,y(:,1)); %画θ随时间变化图,y(:2)则表示'θ的值 >>xlabel('t'),ylabel('y1')结果见图7.2123456789101515.51616.5ty 1图7.2 数值解由图7.2可见，θ随时间t 周期变化。
习题16-61．求下列微分方程的解析解2．求方程3)0(',1)0(,'2")1(2===+y y xy y x的解析解和数值解,并进行比较3．分别用ode45和ode15s 求解Van-del-Pol 方程()⎪⎩⎪⎨⎧===---1)0',0)0(0)1(1000222x x x dt dxx dtx d的数值解,并进行比较.。