理论力学期末复习题(动力学2)

理论力学作业及试卷中典型错解选评

主编：江晓仑

制作：林德荣

•错误解答

•错因分析

•正确解答

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前言

理论力学课程是工科各专业的主干课程，又是基础力学(理论力学、材料力学、结构力学)课程的第一门课程，广大学生在学习本课程时，总感到有些难学，尤其感到作题难。为了帮助广大学生克服学习理论力学课程时的困难，我们从多年积累的学生作业及考试试卷中所犯下的诸多常见错误中，选其典型的，选编了一部分，指出错因，给出正确解答，以使广大学生从过去人们常犯的错误中，吸取教训，加深对本课程的概念、公式、定理、原理、方法的理解，以便学好本门课程。

2007年3月

动力学（二）

题4-1 质量为m 的物块放在质量为m 2的光滑均质杆AB 的中点上，杆AB 系3根绳子保持在图4-1（a ）所示的位置。已知r B O OA ==1，r OO AB ==1，不计物块尺寸。试求当绳AD 突然剪断时，绳OA 的角加速度及绳中的张力。 错误解答：

当剪断AD 绳后，杆AB 作转动。绳OA 的角加速度为α，A 点加速度αr a A =。虚加的惯性力系向杆AB 质心C 简化，其受力图如图4-1（b ）所示。由达朗伯原

0=∑x

F

，030sin 330=-mg ma A

所以 g a A 2

1=

r

g r a A 2==

α ∑=0)(F M A

，02

30sin 32330cos 00=⋅+⋅--⋅r ma r mg J r F A C B α 所以 ⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅-+=

A C

B ma r J mg F 3212331α

⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅⋅+=

A ma r m r mg 23)2(12123312α

mg mr mr mg 363

292331331=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=αα

∑=0y

F

，030cos 30=-+mg F F B A

所以 B A F mg F -=030cos 3 mg mg mg 36

3

2536329233=-=

错因分析：

（1） 将绳AD 剪断瞬时，杆AB 与物块G 的速度均为零，但杆AB 光滑，

物块G 与杆AB 之间将有相对运动。物块G 在杆上只是瞬时静止，相对滑动的速度为零，但相对滑动的加速度却不为零。上解中误认为物

块G 在杆AB 上静止不动，没考虑相对滑动的加速度r a 。

（2）杆AB 作平动而非转动，其角加速度为零，显然惯性力向其质心简化

的主矩应为零。上解中虚加了惯性力系主矩αC J 是错误的。

正确解答：

当剪断AD 绳后，杆AB 作平动，该瞬时绳OA 的角速度为零，杆AB 及物块G 的速度为零。杆AB 平动的加速度为αr a A =，物块G 相对于杆AB 有加速度r a 。若以物块G 为动点，杆AB 为动系，则动系平动。根据牵连运动为平动时的加速度合成定理，有

r A r e a a a a a a +=+=

以物块G 为研究对象，其受力图如图4-1（c ）所示。由质点动力学基本方程

∑=x x F ma ，有

()030cos 0=-r A a a m 所以 A r a a 2

3=

以整体系统为研究对象，其主动力，约束反力和虚加的惯性力如图4-1（d ）所示。由平衡方程，有

0=∑x

F

，030sin 330cos 300=--mg ma ma r A

即 02

323233=-⋅⋅-g a a A A 得

g a A 3

2=

于是，绳OA 的角加速度为 g r

r a A 32==α

∑=0)(F M A

，02

3230sin 330cos 00=⋅-⋅+⋅r mg r ma r F A B ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

g m mg ma mg F A B 322333123331

mg mg 3

323

2=

=

∑=0y

F

，030cos 30=-+mg F F B A

所以 mg mg mg F A 6

3

5332233=-=

题4-2 质量为m 、长为l 的均质杆AB ，其A 端装有不计质量的小轮，小轮

可沿光滑斜面下滑。设初瞬时杆静止于铅垂位置，求开始下滑时A 点的加速度

因为初瞬时杆AB 铅垂，故开始下滑时，杆AB 作平动。设开始下滑时A 点的加速度为A a ，方向为沿斜面向下。由于杆作平动，故将惯性力系向质心简化，惯性力系的合力为A I ma F -=，作用在质心。其受力图如图4-2（a ）所示。由平衡方程，有

0=∑x

F

，0sin =-θmg ma A （1）

所以 θsin g a A =

0=∑y

F

，0cos =-θmg F N （2）

所以 θcos mg F N =

错因分析：

杆AB 从静止的铅垂位置开始运动后将作何种运动要加以论证。对于图4-2（a ）来说，若对杆应用相对于质心的动量矩定理，可知

()0sin 2

≠⋅==∑θαl

F F M J N C C ，即0≠α，因为C J 、l 、θ、N F 均不为零。

故杆AB 不作平动而作平面运动。不加论证就断言杆AB 作平动是错误的。

正确解答：

当杆AB 从静止的铅垂位置开始运动后，杆AB 将作何种运动？为了解答这一问题，对杆AB 应用相对质心的动量矩定理［图4-2（a ）］，有

θαsin 2l

F J N C ⋅= （1）

因为C J 、l 、θ均不为零。再由质心运动定理

θcos mg F ma N cy -= （2）

由于m 、g 、θcos 、cy a 均不为零，故0≠N F ，由式（1）可见，0≠α，即运动开始时杆AB 的角加速度0≠α，故杆作平面运动。因初瞬时系统静止，故杆AB 的初角速度00=ω，以A 为基点，质心C 的加速度为

τCA A C a a a +=

将惯性力系向质心C 简化，其主矢、主矩以及主动力、约束反力如图图4-2

（b ）所示。由平衡方程，有

()0=∑F M A ，02

cos 2=⋅+⋅--l ma l ma J A CA C θατ

（3）

式中2121ml J C =α，ατ

2

l a CA =，故有

l

a A 2cos 3θ

α=

（4） 0=∑x

F

，0sin cos =--θθτ

mg ma ma CA

A 即 0sin cos 2

=--θθαg l

a A

0sin cos 2cos 32=-⎪⎭⎫

⎝⎛-θθθg l a l a A A

解得 θ

θ

2

cos 34sin 4-=

g a A