第二讲三相感应交流电机的数学模型

第二讲三相交流感应发电机的数学模型三相交流异步发电机是一种通过定、转子绕组间的电磁耦合来实现机械能-电能的能量转换装置。

研究三相交流异步发电机的电磁关系是了解三相交流发电机运行问题的理论基础，为风电机组联网运行分析奠定理论基础，对解决风电机组联网运行问题具有重要的意义。

2.1 abc坐标下的有名值方程2.1.1理想电机为了便于定量分析三相交流电机的能量转换过程，本节基于理想电机假设，建立了三相交流异步电机的数学模型，即假设：1)电机铁心的导磁系数为常数，即忽略铁心磁饱和、磁滞的影响，也不计涡流及集肤作用等的影响；2)对纵轴及横轴而言，电机转子在结构上是完全对称的，即电机磁路在空间上完全对称；3)定（转）子三个绕组的位置在空间上互相相差120°电角度，三个绕组在结构上完全相同；4)定子绕组和转子绕组均在气隙空间中产生正弦分布的磁动势；5)只考虑气隙基波磁场的作用；6)电机定、转子表面光滑。

在此基础上，对定、转子绕组回路电压电流正方向、定、转子电流与磁链正方向等做如下规定：1）定子绕组电压、电流正方向遵循发电机惯例；2）转子绕组电压、电流正方向遵循电动机惯例；3）定子负值电流产生正值磁链；转子正值电流产生正值磁链。

子按逆时针方向旋转，空间分布纵向剖面sQsCsB ＇sAsBsA ＇sC ＇sDra ＇rb ＇rc ＇rarbrcβr αr θr······r ω1ω图2-1 三相交流电机定、转子绕组空间分布纵向剖面示意图图中：sA 和sA ’、sB 和sB ’、sC 和sC’分别表示A 、B 、C 三相定子绕组；ra 和ra ’、rb 和rb ’、rc 和rc ’分别表示a 、b 、c 三相转子绕组；定子A 相绕组轴线正方向为空间位置参考方向即sD 轴，转子绕组a 相轴线即r α轴超前sD 轴θr 电角度。

2.1.2电压方程根据上述正方向规定，可以得到如图2-2所示的三相交流感应发电机绕组电路模型，据此可以得到如式（2-1）-（2-2）所示的定、转子电压方程。

εsaI sR saU εra I rR raU（a ）定子绕组等值电路 （b ）转子绕组等值电路图2-2三相交流发电机定转子绕组电路模型（单相）定子电压方程：()()()()()()()()()sA sA s sA sB sB s sBsC sCs sC d t u t R i t dt d t u t R i t dt d t u t R i t dt ψψψ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩(2-1)转子电压方程：()()()()()()()()()ra rar ra rb rb r rb rc rc r rc d t u t R i t dtd t u t R i t dt d t u t R i t dt ψψψ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩(2-2)式中，s R 、r R 分别为定、转子绕组电阻；u sx 、u rx ，i sx 、i rx ，ψsx 、ψrx (x ＝a,b,c)分别为定、转子绕组电压、电流和磁链。

2.1.3磁链方程定、转子绕组磁链与电流的关系为：ss sr s s rs rr r r L L t i t L L t i t ψψ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（）（）（）（）(2-3)L ss 、L rr 、L sr =L rs T 均为3行×3列的电感子矩阵，分别表示定子绕组电感矩阵、转子绕组电感矩阵和定、转子绕组之间的互感矩阵，各电感子矩阵表达式为：sss ss s sss ss L M M L M L M M M L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，=r r r rr r r r r r r L M M L M L M M M L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2-4)()()()()()()cos cos 120cos 120cos 120cos cos 120cos 120cos 120cos o o r r r To ors sr sr r r r o o r r r L L M θθθθθθθθθ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦(2-5)式中：θr =ωr t+θr0为转子绕组a 轴与定子绕组A 轴之间的空间相位角，θr0为初始相位角，ωr 为转子转速（电角速度）。

并且：sm m s s slsm sl m s s L R N M L L L R N L 212122-=-=+=+=(2-6)rm m r r rlrm rl mr r L R N M L L L R N L 212122-=-=+=+=(2-7)mr m s rm sm mr s sr rs R N R N L L R NN M M 22====(2-8)各物理量含义：根据公共磁通假设，与电机绕组交链的磁通主要有主磁通和漏磁通。

rm sm L L 、分别为主磁通与定、转子绕组交链的最大互感；rl sl L L 、分别为定、转子漏感；s M 为定子间互感，各相间差o120电角度，因此sm sL M 21-=；同理，r M 为转子间互感，rm r L M 21-=；()sr rs M M 为定、转子之间互感的最大值。

2.1.4转子运动方程电机转子运动方程为e m rjT T dt d T -=Ω(2-9)式中：Ωr 为转子旋转角速度（rad/s ）， T J 为发电机组的转动惯量（kg ⋅m 2），T m 为机械力矩（N ⋅m ），T e 为电磁力矩（N ⋅m ），且式(2-1)-(2-9)构成了三相交流感应发电机组的数学模型，共有Ψsabc 、Ψrabc 、i sabc 、i rabc 、Ωr 等13个未知数，却仅有7个方程，无法求解。

因此，我们通过找出磁链和电流的关系，来减少未知数。

便有如下方程：()()()()3p e a b c b c a c a b N T i i i i i i ψψψ=-+-+-(2-10)式中：Np 为极对数, rr pn ωΩ=。

此时，可得到6个电压方程、6个磁链方程和一个转子运动方程，即可求得13个未知数。

2.2 Park 变换由上可知，abc 坐标系下三相交流感应电机定转子绕组互感随时间变化，从而使得感应电机方程为时变系数的微分方程组，增加了电机动态过程分析难度。

根据交流电机双反应理论，定子abc 三相绕组电流产生的合成磁场可用同步旋转的d 、q 两相绕组电流产生的合成磁场来等效，这就叫做Park 变换。

我们通过分析定子空间磁动势矢量来确定从两种坐标下的变换。

d 、q 方向磁动势方程：()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡c b a od odo d o d d d q d F F F F F 120sin 120cos 120sin 120cos sin cos θθθθθθ abc 方向的磁动势方程：()()cos cos 120cos 120m a a o b s b s m o c c m I t F i F N i N I t F i I t ωωω⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+⎣⎦因此：()()()()cos 120cos 120cos sin sin 120sin 120o osA d d d d s sB o o q d d d sC i F N i F i θθθθθθ-⎡⎤⎡⎤-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥---+⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎣⎦()()cos 2sin 3d s m d t N I t ωθωθ⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦为保证合成后d 、q 轴磁场幅值与abc 轴磁场幅值相等，Park 变换后的系数为：()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+----=o d od o d o d d d P 120sin 120cos 120sin 120cos sin cos 32θθθθθθ2.3 0dq 坐标下的有名值方程2.3.1电压方程11////sd s sd sd sq sq s sq sq sd rd r rd rd s rq rq r rq rq s rdu R i d dt u R i d dt u R i d dt u R i d dt ψωψψωψψωψψωψ=-+-⎧⎪=-++⎪⎨=+-⎪⎪=++⎩ (2-9)式中：u sd 、u sq ，i sd 、i sq ，ψsd 、ψsq 分别为d 、q 定子绕组电压、电流和磁链； u rd 、u rq ，i rd 、i rq ，ψrd 、ψrq 分别为d 、q 转子绕组电压、电流和磁链； ωs 为转差角速度，ωs =ω1-ωr 。

10()()()sd sA sq sB sC s u u t u C u t u t u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，10()()()sd sA sq sB sC s i i t i C i t i t i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，10()()()sd sA sq sB sC s t C t t ψψψψψψ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 20()()()rd ra rq rb rc r u u t u C u t u t u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，20()()()rd ra rq rb rc r i i t i C i t i t i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，20()()()rd ra rq rb rc r t C t t ψψψψψψ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C 1、C 2为Park 变换矩阵，本文选择：1111111cos cos(120)cos(120)2sin sin(120)sin(120)31/21/21/2C θθθθθθ⎡⎤-+⎢⎥=----+⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2-9)2cos cos(120)cos(120)2sin sin(120)sin(120)31/21/21/2s s s ss s C θθθθθθ⎡⎤-+⎢⎥=----+⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2-9)式中：θ1=ω1t +θ10为同步旋转坐标系的d 轴与三相静止坐标轴系的A 相绕组轴线之间的夹角，ω1为同步旋转坐标系的旋转角速度，10θ为t=0时θ1的初值；0s s s t θωθ+=为同步旋转坐标系的d 轴与三相转子坐标轴系的a 相绕组轴线之间的夹角，ωs =ω1-ωr 为转差角速度，θs0为t=0时θs 的初值。

2.3.2磁链方程同步旋转坐标系下的磁链方程为：()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=+-=rq r sq m rqrd r sd m rd rq m sq s sq rd m sd s sdi L i L i L i L i L i L i L i L ψψψψ(2-9)式中：00m m m L L L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，00s s s L L L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，00rr r L L L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2-9)L m 为dq 坐标系同轴定子与转子等效绕组间的互感，L m =1.5 L sm ； L s 为dq 坐标系定子等效两相绕组的自感，L s =1.5L sm +L sl =L m +L sl ； L r 为dq 坐标系转子等效两相绕组的自感，L r =1.5 L rm +L rl =L m +L rl 。