轴对称等边三角形
人教版八年级上册数学《等边三角形》轴对称教学说课复习课件
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知识回顾
什么是等边三角形？它与一般三角形有什么区别？
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个人简历：课件/jianli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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一般三角形
等腰三角形
｛ 底≠腰
一般 有二条边相等 等腰
三角形
三角形 底＝腰
等边三角形
∴有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
当∠B＝60°时，∠C=∠B＝60°
归纳总结
由此得出，等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三
角形是等边三角形。
几何语言：
∵AB＝AC,∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边
三角形）
合作探究
∴∠B=∠C
当∠A=60°时，又∵∠A+∠B+∠C=180°
1
2
∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴∠B=∠C= （180°-60°）=60°
∴△ABC是等边三角形.
∴∠A=∠B=∠C=60°
当∠C=60°时，同理可得△ABC是等边三角形
∴△ABC是等边三角形
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：（1）∵△ABC为等边三角形
（2）∵ ∠DEC= 60°, ∠DEF= 90°,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∴∠CEF=30°=∠F，
八年级数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性
初二数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性江苏科技版【本讲教育信息】教学内容：等腰三角形和等边三角形的轴对称性［目标］探索等腰三角形及其特殊形式一一等边三角形的轴对称性及其相关性质。
•重、难点:1. 等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件;2. 等边三角形的概念及其性质。
三.知识要点：1. 等腰三角形(1)等腰三角形是轴对称图形。
顶角平分线所在直线是它的对称轴。
(2)等腰三角形的性质(等腰三角形的判别法)①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。
(简称“三线合一”)②等腰三角形的两底角相等。
(简称“等边对等角”)③如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
(简称“等角对等边”) ☆ ( 3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2. 等边三角形(a)三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
(b)等边三角形特殊的性质：①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
②等边三角形各角相等，并且每一个角都等于60 o(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)【典型例题】例1.已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为( )(A)2, 2, 6 ( B) 3, 3, 4(C) 4, 4, 2 ( D) 3, 3, 4 或4, 4, 2分析：可采用排除法。
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2, 2, 6不满足；而3，3，4或4, 4, 2都满足题意。
答：选D。
例2. O为锐角△ ABC的/ C平分线上一点，0关于AC、BC的对称点分别为P、Q,则△ POQ - -定是( )(A)等边三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形分析：设OP、0Q分别交AC、BC于E、F,由线段的对称轴是它的垂直平分线知：1 1OE_AC，且0E = 0P;同理OF_BC,且OF = 0Q;2 2由角平分线的性质知：0E = OF,贝U 0P= 0Q。
13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不 是
是
是
（1）
（2）
（3）
不
一 定
是
是
是
（4）
（5）
（6）
典例精析
例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
A
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
D
E
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. B
证明：(1)∵△ACM、△CBN都是等边三角形 ∴CA＝CM，CN＝CB，∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2 即∠ACN＝∠MCB 在△ACN和△MCB中,
CA＝CM
∠ACN＝∠MCB
CN＝CB
∴△ACN≌△MCB(SAS) ∴AN＝BM
拓展提升：
已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN 都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F. (2)求证：△CEF为等边三角形．
C
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵△ABC 是等边三角形 A
∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°
∵DE∥BC
∴∠ABC =∠ADE，∠ACB =∠AED
B
C
∴∠A =∠ADE =∠AED
课堂小结
特殊性
定义
底=腰
等边 三角形
特殊性 性质
特殊性 判定
边 角 轴对称性
三边法 三角法
三边相等
三个角都等于60 ° 轴对称图形， 每条边上都具 有“三线合一” 性质
等边三角形的解题方法
CADCAB等边三角形的解题方法1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ． (1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC 与等边三角形EBC ∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°∴ ∠ACE ＝∠DCB∴在△ACE 和△DCB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE DCB ACE DC AC ，∴△ACE ≌△DCB(2) ∵∠ACE ≌∠DCB , ∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DF A ＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD ＝∠ACD ＝60°(3) 在△ACM 和△DCN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠6012DCN ACM DC AC∴△ACM ≌△DCN ∴CM ＝CN又∵∠DCN ＝60°∴△CMN 是等边三角形． 【变式题组】01．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度 02．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQCQP BA EC BQC04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，求∠APC 的度数【解法指导】 由于∠P AB ＝∠P AC ,因而P A 平分∠BAC ,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB 边上截取；方法二：延长AC 边，又由于∠BP A ＝150°是特殊角，考虑∠BP A 的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接PD 、BD ,∵∠PBA ＝8°∠P AB ＝22°∴∠BP A ＝150°，在△ABP 和△ADP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AP AP DAP BAP AD AB ∴△ABP ≌△ADP ∴∠APB ＝∠APD ＝ 150°，BP ＝DP ,∠PBA ＝∠APD ＝8°∴∠BPD ＝60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC ＝30° ∴∠PBC ＝∠DBC在△PBC 和△DBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BC DBC PBC BD BP∴△PBC ≌△DBC , ∴PC ＝CD ∴∠CPD ＝∠CDP ＝8° ∴∠APC ＝∠APD 一∠CPD ＝150°一8°＝142° 【变式题组】01．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数． 02．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．CBACBACBB【例3】如图(1)，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．(1)探究：MN 、NC 之间的关系，并加以证明;(2)若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB 中，有∠DBM ＝∠DBC ＋∠CBA ＝30°＋60°＝90°为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D 点顺时针旋转120°得到△DGC ．如图(3)．从而有MB ＝GC ．而此时恰又有△MND ≌△GND ·得MN ＝NG ＝NC ＋CG ＝NC ＋BM ．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN ＝CN 一BM解(1)关系为MN ＝BM ＋NC证明：延长AC 到G ，使CG ＝BM ，连接DG ，如图(3)∠ABD ＝∠ABC ＋∠CBD ＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD ＝90° 在△DMB 和△DGC 中； DB ＝DC ．BM ＝CG∴△DMB ≌△DGC ∴DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC ．在△MND 和△GND 中，ND 公用，DM ＝DG ，∠MDN ＝60° ∠GDN ＝∠GDC ＋∠DCN ＝∠MDB ＋∠CDN ＝60°∴△MND ≌△GND ∴ MN ＝GN ＝GC 十NC ＝BM ＋NC (2)此时．图形如图(4)，有关系式MN ＝CN —BM 理由如下：在CN 上截取GG ＝BM ．连接DG ，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD ＝∠ACD ＝90°．且Rt △DMB ≌△DGC ，得DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC 仍与(1)中情况娄似，可推得△MND ≌△GND ．就有MN ＝GN ＝NC —CG ＝NC —BM ． 【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合．两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E ，F 时，(如图1)，通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(1)D CBA(2)DCBA(3)GDBA(4)NDC(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点F 时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．02．如图．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°求证：AC ＝BC ＋DC ． 练习01．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图 第2题图02．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD 平分∠ABC ② AD ＝ 21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( )DCBA BD C ABC AA ．4个B 3个C 2个D 1个03．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm04．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________．05．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．07．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F(1)求证：△ACD ≌△BAE ： (2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．08．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ．求证：△ADE ≌△DFC E B A EBCB PAE B C 第3题图 第4题图 第5题图09．如图：△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CA 、AB 的延长线上， AD ＝BE ．DB的延长线交EC 于F ．求证：(1)DB ＝EC ；(2) ∠BFC ＝60°10．(常德)如图1，若△ABC 与△ADE 为等边三角形，M 、N 分别是EB 、CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．(1)当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD ＝BE 是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；(2) 当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．F E DCA(2)DBCA(1)。
等边三角形轴对称复习
13．3．2 等边三角形（二）总课时数：课 型:新授课教学目标:知识与技能1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．过程与方法1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．情感、态度与价值观1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性。
教学重点:含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明。
教学难点:1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题。
教法:讲授法、ppt 演示法 探究归纳法学法:自学与小组合作学习相结合的方法 探究归纳法教学准备:电脑、两个全等的含30°角的三角尺主备教师:宋如芳教学过程:一．提出问题，创设情境问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？二．导入新课用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．(1)C A B(2)D C AB其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．追问：从不同的角度说明了图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．追问：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB．ADCAB证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．∴BC=12BD=12AB．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知BC=12AB，DE=12AD，所以BD=12×7.4=3.7（m）．又AD=12AB，DCA EBDA所以DE=12AD=12×3.7=1.85（m ）． 答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m ．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=12AC=a 三．随堂练习（一）课本P81练习（二）补充练习1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=14AB ． 证明：在Rt △ABC 中，∠A=30°，∴BC=12AB ． 在Rt △BCD 中，∠B=60°， ∴∠BCD=30°．∴BD=12BC ． ∴BD=14AB ． 2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．求证：CD=2AD ．证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，∴∠ABC=60°，∠C=30°．又∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠DBC=30°．∴AD=12BD ，BD=CD ． ∴CD=2AD ． 四．课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用五、作业设计:D C A B D C A B13．2.1 画轴对称图形总课时数：课型:新授课教学目标:（一）〔知识与技能〕1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．（二）〔过程与方法〕经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．（三）〔情感、态度与价值观〕1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．3．在数学活动中获得成功体验，锻炼克服困难的意志，建立信心。
人教版八年级数学上册课件 第十三章 轴对称 等腰三角形 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定
27 2
(cm)
17．(14分)(原创题)已知△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点， 以AD为一边在AD的右侧作等边三角形ADE.
(1)如图①，点D在线段BC上移动时，求证：CE＋CD＝AB； (2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，那么： ①线段CE，CD，AB之间有怎样的数量关系？请加以证明； ②∠DCE的度数为___6_0_°___； (3)如图③，点D在线段BC的反向延长线上移动时，∠DCE的大小是否 发生变化？线段CE，CD，AB之间又有怎样的数量关系？请直接写出结 论．
2．(3分)如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，
则∠ADB的度数为( ) D
A．25°
B．60°
C．85°
D．95°
3．(3分)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线 上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝___1_5_°___．
4 ． (3 分 ) 如 图 ， 在 等 边 三 角 形 ABC 中 ， CD⊥AB 于 点 D ， 过 点 D 作 DE∥BC交AC于点E，若△ABC的边长为2，则△ADE的周长是__3__．
∠E，∴DB＝DE
6．(3分)下列四个说法中，正确的有( D ) ①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形 是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个 角相等的等腰三角形是等边三角形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．(3分)等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是 ( C)
14．(台州中考)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC 上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪 下的△DEF的周长是___6_．
等边三角形的性质与判定(3种题型)-2023年新八年级数学(苏科版)(解析版)
等边三角形的性质与判定（3种题型）了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．一．等边三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC 于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC 交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2022秋•姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．3．（2022秋•常州期中）如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由已知条件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，结合∠APD＝70°可得∠ADP的度数，从而得到∠P AD 的度数；根据等边三角形的性质，可以得到∠BAC＝60°，结合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此题．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．4．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．5．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（）A．60°B．105°C．75°D．15°【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°（三线合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．7．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝°．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案为：50．9．（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．二．等边三角形的判定（共6小题）10．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．11．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD ＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．12．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，又∵a，b，c是三角形的三边长，∴这个三角形是等边三角形．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋•常州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案为：30°．（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．15．（2022秋•江都区校级月考）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．【解答】解：△APQ证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等边三角形的判定与性质（共9小题）16．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【解答】解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．17．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．（2022秋•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．19．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为．【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．【解答】解：①当D在线段BC上，如图：∵等边△ABC的边长为5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝4；②当D在线段CB的延长线上，如图：同法可得：△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；综上：DE的长为：4或6；故答案为：4或6．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．21．（2022秋•泰州月考）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．22．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．23．（2022秋•启东市校级月考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A 满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A 是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．24．（2022秋•铜山区校级月考）已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证：（1）AE＝DB；（2）△CMN为等边三角形．【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•梁溪区期中）下列命题不正确的是（）A．等腰三角形的底角不能是钝角B．等腰三角形不能是直角三角形C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．即答案选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，要求学生在学习过程中要对所学过的知识进行总结和复习，以便灵活的运用所学的知识．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC ≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．3．（2022秋•射阳县校级月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），按此方法，若点C的坐标为（2，m，m﹣2），则m＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），得到经过该点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左，上，下，即可解答．【解答】解：由题意得：点C的坐标为（2，4，2），∴m＝4，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：数字的变化类，找出题中的规律是解题的关键．4．（2022秋•扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．5．（2022秋•邗江区月考）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）6．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，则BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD ＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
《等边三角形》轴对称PPT课件
（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°， 在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD（SAS）． （2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD． ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰
三角形共有（ ）
A. 4个 C. 6个
B. 5个 D. 7个
D
A
DOE
B
C
课堂检测
3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）
A．10° B．15° B
C．20°
D．25°
4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知
∴AC＝MC，CN＝CB， ∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB. ∴△ACN≌△MCB(SAS)． ∴AN＝BM.
图①
课堂检测
(2)△CEF是等边三角形． 证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°. ∵△ACN≌△MCB， ∴∠CAE＝∠CMB. ∵AC＝MC， ∴△ACE≌△MCF(ASA)， ∴CE＝CF.
变式训练上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说
明理由.
证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ AD=AE, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形.
A
D
E
B
C
探究新知
《等边三角形》轴对称PPT课件下载(第2课时)
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE.
∴OF=EF=2．
课堂检测
基础巩固题
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下 部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( B ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上 种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( B ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元
课堂检测
拓广探索题
如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC,AC上的点，且 CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
证明：∵△ABC为等边三角形， ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°， ∵CD=AE， ∴△ADC≌△BEA.
课堂检测
∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°， ∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD， ∴∠BQP=90°， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ.
∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
∴BC = 1 BD．
2
∴BC
=
1 2
AB．
B
C
D
探究新知 方法点拨
倍长法
倍长法就是延长得到的线段是原线 段的正整数倍，即1倍、2倍……
探究新知
方法二：
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
素养目标
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行 有关的证明和计算.
轴对称、等腰三角形、等边三角形
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【课后练习】
一、选择题
1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（ ）个
等边对等角。
如图5，在△ABC中
∵AB=AC
∴∠B=∠C。
三线合一。
（3） 判定。
有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC中，
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形。
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC中
∵∠B=∠C
∴△ABC是等腰三角形。
7、等边三角形：
（1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
9、对称轴的画法：
在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。
注意：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。
成轴对称的两个图形只有一条对称轴。
10、常见的轴对称图形：
（1）英文字母。
A B D E H I K M O T U V W X Y
⑵轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________
【典例】
1．下列几何图形中， 线段 角 直角三角形 半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．图9-19中，轴对称图形的个数是（）
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．
等边三角形
探索星空： 探索星空：探究性质一
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么? 等边三角形的内角都相等吗?为什么? ∵ AB=AC=BC
B A
∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个 ∠A=∠B=∠C(在同一个 三角形中等边对等角 三角形中等边对等角) 等边对等角) ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∠A=∠B=∠C=60°
等腰三角形
2. 三个角都相等的三角 A 形是等边三角形. 形是等边三角形.
等边三角形 B C
有一个角是60 60° 3 . 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形. 三角形是等边三角形.
∵ ∠B=600 ， AB=BC ∴△ABC是等边三角 是等边三角 形
这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴 这是两个等边三角形 那么请移动三根火柴 那么请移动 ,将此图变成四个等边三角形 将此图变成四个等边三角形. 将此图变成四个等边三角形
C
等边三角形的三个内角都相等并且每一个内角 。 都等于60 都等于
A
符号语言： 符号语言：
∵ AB=AC=BC
B C
∴ ∠A= ∠ B=∠C= 60
。
探索星空： 探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什 等边三角形有“三线合一”的性质吗? 么? A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角 每条边上的中线, 的平分线都三线合一。 的平分线都三线合一。 都三线合一
如图；已知 平分 如图；已知CE平分
∠ACB, ∠DAC = ∠B, ∠BAD = 60 求证:△AEF是等边三角形
第13讲轴对称与等边三角形-提高班
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【题 11】如图，已知四边形 ABCD 中， AB AD ，BAD 60 ， BCD 120 ，证明： BC DC AC ．
（3）如图，ΔABC 和ΔBDE 都是等边三角形． ①求证：AD＝CE； ②当 AC⊥CE 时，判断并证明 AB 与 BE 的数量关系．
（4）已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点， ACM 、 CBN 是等边三角形． 求证：① AN BM ； ② CF 平分 AFB ．
【巩固】（1）如图，已知ΔABC 是等边三角形，D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CD＝CE，连 接 DE 并延长至点 F，使 EF＝AE，连接 AF、BE 和 CF． ①请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； ②求证：AF＝BD．
③ 如果再加上条件“ D 是 BC 的中点，且 AD BC ”，则 △ABC 是等边三角形；
④ 如果再加上条件“ AB 、 AC 边上的高相等”，那么 △ABC 是等边三角形．
其中正确的说法有
（把你认为正确的序号全部填上）．
【例 2】（1）已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点， ACM 、 CBN 是等边三角形． 求证：△DEC 是等边三角形．
（4）如图，点 D 是等边△ABC 边 AB 上的一点， AB 3AD ，DE BC 于点 E ，AE 、CD 相交 于点 F ． ①求证：△ACD ≌△BAE ②过点 C 作 CG AE ，垂足为点 G ，探究 CF 与 FG 之间的数量关系，并证明．
等边三角形
CAB等边三角形考点 方法 破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ． (1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC 与等边三角形EBC ∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°∴ ∠ACE ＝∠DCB∴在△ACE 和△DCB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE DCB ACE DC AC ，∴△ACE ≌△DCB(2) ∵∠ACE ≌∠DCB , ∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA ＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD ＝∠ACD ＝60°(3) 在△ACM 和△DCN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠6012DCN ACM DC AC∴△ACM ≌△DCN ∴CM ＝CN又∵∠DCN ＝60°∴△CMN 是等边三角形． 【变式题组】01．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度02．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQQC04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠PAB ＝∠PAC ＝22°，求∠APC 的度数【解法指导】 由于∠PAB ＝∠PAC ,因而PA 平分∠BAC ,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB 边上截取；方法二：延长AC 边，又由于∠BPA ＝150°是特殊角，考虑∠BPA 的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接PD 、BD ,∵∠PBA ＝8°∠PAB ＝22°∴∠BPA ＝150°，在△ABP 和△ADP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AP AP DAP BAP AD AB ∴△ABP ≌△ADP ∴∠APB ＝∠APD ＝ 150°，BP ＝DP ,∠PBA ＝∠APD ＝8°∴∠BPD ＝60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC ＝30° ∴∠PBC ＝∠DBC在△PBC 和△DBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BC DBC PBC BD BP∴△PBC ≌△DBC , ∴PC ＝CD ∴∠CPD ＝∠CDP ＝8° ∴∠APC ＝∠APD 一∠CPD ＝150°一8°＝142° 【变式题组】01．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数．02．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．CBADCBACBB【例3】如图(1)，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．(1)探究：MN 、NC 之间的关系，并加以证明;(2)若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB 中，有∠DBM ＝∠DBC ＋∠CBA ＝30°＋60°＝90° 为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D 点顺时针旋转120°得到△DGC ．如图(3)．从而有MB ＝GC ．而此时恰又有△MND ≌△GND ·得MN ＝NG ＝NC ＋CG ＝NC ＋BM ．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN ＝CN 一BM解(1)关系为MN ＝BM ＋NC证明：延长AC 到G ，使CG ＝BM ，连接DG ，如图(3)∠ABD ＝∠ABC ＋∠CBD ＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD ＝90° 在△DMB 和△DGC 中； DB ＝DC ．BM ＝CG∴△DMB ≌△DGC ∴DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC ．在△MND 和△GND 中，ND 公用，DM ＝DG ，∠MDN ＝60° ∠GDN ＝∠GDC ＋∠DCN ＝∠MDB ＋∠CDN ＝60°∴△MND ≌△GND ∴ MN ＝GN ＝GC 十NC ＝BM ＋NC(2)此时．图形如图(4)，有关系式MN ＝CN —BM 理由如下：在CN 上截取GG ＝BM ．连接DG ，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD ＝∠ACD ＝90°．且Rt △DMB ≌△DGC ，得DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC 仍与(1)中情况娄似，可推得△MND ≌△GND ．就有MN ＝GN ＝NC —CG ＝NC —BM ． 【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合．两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E ，F 时，(如图1)，通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(1)D CBA(2)DCBA(3)GDBA(4)NDC(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点F 时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．02．如图．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°求证：AC ＝BC ＋DC ．巩固练习 反馈提高01．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图 第2题图02．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD 平分∠ABC ② AD ＝21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( )A ．4个B 3个C 2个D 1个03．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线D C B A BE D C ABE DDE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm04．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________．05．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．07．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F(1)求证：△ACD ≌△BAE ： (2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．08．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ．求证：△ADE ≌△DFCE DB FCA FE DBCAODB PC AD E B F C A第3题图 第4题图 第5题图09．如图：△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CA 、AB 的延长线上， AD ＝BE ．DB 的延长线交EC 于F ．求证：(1)DB ＝EC ；(2) ∠BFC ＝60°10．(常德)如图1，若△ABC 与△ADE 为等边三角形，M 、N 分别是EB 、CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．(1)当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD ＝BE 是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；(2) 当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．FDC A(2)DBCA(1)。
《等边三角形》轴对称PPT
结论
等边三角形的性质1 等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于60° 怎么写过程呢？
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°．
猜想
等边三角形是轴对称图形吗？ 如果是，指出它的对称轴．
等边三角形是轴对称图形
等边三角形有三条对称轴
每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线所 在的所有直线都是它的对 称轴 等边三角形的每条边上的中线、高和 这条边所对的角的平分线都分别重合
提示：证明△BCF ≌△ACH．
等边内的点到三边的距离之和
如图，已知等边三角形ABC，P是三角形内一点，PD⊥BC， PE⊥AC，PF⊥AB，求证：PD+PE+PF是等于等边三角形的高 ． 提示：连接PA，PB，PC，利用面积相等．
含30°直角三角形的剖分
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、丙三家农户去种植, 如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使这三家农户所得土地的大小和 形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来．
构造含30°的直角三角形 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN交BC 于M，交AB 于N．求证：CM=2BM． 提示：连接AM．
构造含30°的直角三角形 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，EF 垂直平分AC 且交BC 于F．求证：BF＝2CF．
提示：证明△ADF ≌△BED ≌△CFE．
练习 １．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
练习
2．如图，等边三角形△ABC 中，AD是BC 边上的高，∠BDE ＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有哪些？
探究
将两个含有30°的三角尺摆放在一起 你能借助这个图形，找到Rt△ABC 的直角BC 与 斜边AB 之间的数量关系吗?
等边三角形知识专题
一般三角形
等腰三角形
等边三角形
｛ 一般 有二条边相等 等腰 底≠腰
三角形
三角形 底＝腰
等边三角形 (正三角形)
特殊的等腰三角形
1性质：
1 具有等腰三角形所有性质
2 三边相等，每个角是600
3 等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线
都三线合一
A
4 轴对称图形
结. 论1:等边三角形各边上中线,高和所对角的B
A 300
D 300 A
D
B
C
B
C
150 角可以转化为300 角进行计算、证明
普通角转化为特殊角
A
300
B
150
150
C
B C 150
DAC 300
(2)方法2
平分线 都三线合一,它们交于一点, 这点叫三角形的中心
O C
结论2:等边三角形是轴对称图形， 有三条对称轴.是各边的中垂线。
2判定：
1 三边相等 2 三角相等 3 一个角是60 0的等腰三角形
3基本图形1：
SABC =
3 a2 4
A
300
a
3a
2
B
C
aD
2
3基本图形2：
A
0 分割6个Rt面积相等
1 OA=OC=OB，
O
OD=OF=OE
300
2 OA=OC=OB=2OD=2OF=2OE B
300
D
C
3 O是等边三角形的中心
（4）只有等边三角形才有中心， 这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
a a
a 3a 2
a 2
a
1 AB+BC=2a
《等边三角形》轴对称
汇报人： 日期:
目录
• 引言 • 等边三角形的基本性质 • 等边三角形的轴对称分析 • 等边三角形与其他几何形状的轴对称比较 • 轴对称在日常生活和艺术中的应用 • 总结与拓展思考
01
引言
轴对称定义
定义
轴对称指的是一个平面图形关于 某一直线（称为对称轴）对称， 即该图形在对称轴两侧的部分完 全相符。
自然界中的重要性
自然界中存在大量的轴对称现象，如雪花、蝴蝶、花朵等。这些现象的存在和轴对称性质密切相关，通过研究这 些现象，可以更好地理解轴对称的性质和意义。同时，轴对称也是艺术和设计中常用的元素，如建筑设计、标志 设计等，都广泛运用轴对称的原理。
02
等边三角形的基本性质
等边三角形的定义
定义
等边三角形是三边长度相等的三角形 。
书法艺术中的轴对称
在汉字书法中，许多字体结构呈现轴对称，如楷 书、隶书等，体现书法的平衡与美感。
3
装饰艺术中的轴对称
轴对称在装饰艺术中广泛应用，如地毯、墙纸等 设计，通过轴对称构图营造视觉上的和谐与美感 。
06
总结与拓展思考
对等边三角形轴对称的总结
对称美学
等边三角形是轴对称图形，其三条中线交于一点，且这一 点到三角形三个顶点的距离相等，体现了对称美学在数学 中的表现。
图形性质
轴对称图形的性质包括： 对应线段相等，对应角相 等，对应点所连线段被对 称轴垂直平分等。
轴对称在数学和自然界中的重要性
数学中的重要性
在数学中，轴对称是基础的几何变换之一，对于理解图形的性质和进行几何证明有着重要的意义。例如，在解析 几何中，通过轴对称可以方便地求解一些问题；在代数学中，轴对称多项式是代数学研究的重要对象之一。
等边三角形有多少条对称轴
等边三角形有多少条对称轴
等边三角形有3条对称轴，三个角的平分线都是对称轴。
等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形性质
（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。
（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
（四心合一）
（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。
（等于其高）（6）等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）。
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△ABC ， Rt 分析：已知Rt ______ △ADE ， _______ 30° 7.4m ，∠A=________ AB=_______ ，求 BC，DE
Ｂ
D
Ａ
E
C
比一比：看 谁
算
的
快
1.如图：在Rt△ABC中∠A=300,AB+BC=12cm ８ 则AB=_____cm Ｂ Ｃ 2.如图:△ABC是等边三角形， AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm, ２ｃｍ BD=４ｃｍ ＿＿＿， BE=____
等边三角形是轴对称图 形，每条边的中线，角平分 线，高线所在的直线都是它 的对称轴.
将两个含有30°的三角尺如图摆放在 一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
A 你还能用其他 方法证明吗?
B
C
D
1.怎样把一个含有30°角的Rt△ABC分 成两个等腰三角形？ Ａ
12.3.2等边三角形
第二课时
复习：一.等边三角形的性质
A
60° B ）
60 （ ° C
等边三角形的三个内角都相等,并且 每一个角都等于60°.
二.等边三角形的判定
1.三边相等的三角形是等边三角 形 2.三个内角相等的三角形是等边三 角形 3.有一个角是60°的等腰三角形是 等边三角形
三.等边三角形的对称性
３００
Ａ A
E
B
D
C
等边三角形的三个内角都相等并且 每一个角都等于60°
三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等 边三角形。 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的边等于斜边的一半。
30°
Ｂ
Ｃ
2. 30°角所对的直角边BC与斜边AB 有什么关系？
结论：在直角三角形中,如果一个 锐角等于30°,那么它所对的直角 边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中 ∵∠A＝30° ∴AC＝2BC C
┓ B
例 如图，是屋架设计图的一部分， 点D是斜梁AB的中点，立柱BC、 DE垂直于横梁AC，AB=7.4m， ∠A=30°，立柱BC、DE要多长？