计算方法习题

《计算方法》练习题一

练习题第1套参考答案 一、填空题

1．Λ14159.3=π的近似值，准确数位是（ 2

10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=

)(x R （

))((!

2)

(b x a x f --''ξ ）。

3．设)}({x P k

为勒让德多项式，则=))(),((2

2

x P x P （52

）。

4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。

5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题

1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。

A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+

2．设x x x f +=2

)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４

3．设Ａ＝⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡31

13，则化Ａ为对角阵的平面旋转=

θ（ Ｃ ）．

Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．

Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次

5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.

A ．)(h o Ｂ．)(2

h o Ｃ．)(3

h o Ｄ．)(4

h o 三、计算题

1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+=+2

42321

2121x x x x x x 的最小二乘解。

2

2122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，

由

0,02

1=∂∂=∂∂x x ϕ

ϕ得：

⎩⎨

⎧=+=+9

629

232121x x x x ，

解得14

9,71821

==

x x

。

2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰21

1dx x ，并估计误差。

⎰

≈++++≈21

697.0]2

1

7868581[81x dx ，

96

1

1612)(2=

⨯≤

M x R 。

3．用列主元消元法解方程组：

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++4

26453426352321

321321x x x x x x x x x 。

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1142242644223214264426453426352

回代得：T

x )1,1,1(-=

4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)

1(x ）。

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131410*********x x x

因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。 雅可比迭代公式为：⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+++Λ,1,0,)

1(41)3(41)1(41)(2)1(3)

(3)(1)1(2

)

(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。

取T

x )1,1,1()

0(=计算得：

T

x

)5.0,25.1,5.0()

1(=。

5．用切线法求0143

=+-x x 最小正根（求出1

x ）。

．因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以]5.0,0[*

∈x ，在]5.0,0[上，

06)(,043)(2

≥=''<-='x x f x x f 。由0)()(0≥''x f x f ，选00

=x ，由迭代公式：

Λ,1,0,4

31

423

1=-+--=+n x x x x x n

n

n

n

n 计算得：25.01

=x 。

四、证明题

1． 证明：若)(x f ''存在，则线性插值余项为：

1

010),)((!

2)

()(x x x x x x f x R <<--''=ξξ。

2. 对初值问题：⎩⎨

⎧=-='1

)0(10y y y ，当2.00≤

稳定。

１．设))()(()()()(),)()(()(1

1

1

x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=，有

x x x ,,1

为三个零点。应用罗尔定理，)(t g ''至少有一个零

点ξ，!2)()(,0)(!2)()(ξξξf x k x k f g ''==-''=''。 ２．由欧拉法公式得：

0~1~y y oh

y y n

n n --=-。

当2.00≤

~~y y y y n

n

-≤-。欧拉法绝对稳定。

练习题第2套参考答案 一、填空题

1．Λ71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ 21

102

-⨯，）。

2．用辛卜生公式计算积分⎰≈+10

1x

dx （

）。

3．设)

()

1()

1(--=k ij k a A

第k 列主元为)

1(-k pk

a ，则=

-)1(k pk

a

（ 21

x =， ）。 4．已知⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=24

15

A ，则=1A （

(

))

(434)1(232)1(131333

1m m m x a x a x a b a ---++

, ）。

5．已知迭代法：)

,1,0(),(1

Λ==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件

（ 0

()0f x > ）。 二、单选题