矩阵分析小论文

浅谈正交矩阵与酉矩阵

矩阵是数学中重要的基本概念,是高等代数的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,正交矩阵在矩阵论中占有重要地位，有着广泛的应用.对其本身的研究来说是富有创造性的领域.正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置。对矩阵性质的概括、改进和推广，以及对正交矩阵在数值分析中、矩阵分解中和对方程求解、数理统计中的应用的研究，对矩阵的理论研究有重要意义。本文列举了正交矩阵与酉矩阵的一些常见的性质与定理，并对其应用进行了一些列举。

首先认识什么是正交矩阵，什么是酉矩阵。

酉矩阵的定义：n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix)。即若n 阶复矩阵A 满足条件：E A A AA H H

==(E 为单位矩阵，H A 表示“矩阵A 的共轭转置矩阵，即T H A A =”)，则此时矩阵A 称为酉矩阵。此时，容易验证，当矩阵

A 、

B 为酉矩阵时，则有如下的结论成立：

（1）H A A =

-1也为酉矩阵 （2）1det =A

（3）n n T U A ?∈,即T A 为酉矩阵

（4）AB,BA 也均为酉矩阵

正交矩阵的定义：正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵。如果实数矩

阵A 满足E A A AA T T ==（E 为单位矩阵，T A 表示“矩阵A 的转置矩阵”），则n 阶实矩阵 A 称为正交矩阵。此时，容易验证，当A 、B 为正交矩阵时，则有如下结论成立：

（1）n n T E A A ?-∈=

1，即1-A 、T A 均为正交矩阵 （2）1det ±=A

（3）AB,BA 也均为正交矩阵

正交变换的定义：设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,若A 保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V 都有(A α，A β) = (α，β)，则称A 为V 的正交变换。正交变换关于标准正交基的矩阵为正交矩阵。正交矩阵蕴涵了正交变换。

正交基的定义：在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis ）是元素两两正交的基.称基中的元素为基向量.假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基。 对于酉矩阵来说，有如下定理：

设n n C A ?∈，则A 是酉矩阵（正交矩阵）的充要条件是A 的n 个列（或行）向量是标准正交向量组，以及标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。

此外，也有以下几个结论成立：

（1）),2,1,(,0,111n j i j i j i a a a a kj n

k ki jk n k ik ，当当?=???≠===∑∑

==

（2）设A ，B 都是正交矩阵，则AB ，m A (m 为自然数),A T B ，AB T ，A -1B ，AB -1，A -1BA 等都是正交矩阵。

（3）设A ，B 为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B 必不可逆；设为A ，

B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则A-B必不可逆。

然后来看看正交矩阵与酉矩阵的一些应用：

正交矩阵和酉矩阵在数值分析、矩阵分解、方程组的求解等方面都有重要的应用。数值分析利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质。例如，经常需要计算空间的正交基，或基的正交变换；二者都采用了正交矩阵的形式.有行列式±1和所有模为1的特征值是对数值稳定性非常有利的. 一个蕴涵是条件数为 1 (这是极小的)，所以在乘以正交矩阵的时候错误不放大.很多算法为此使用正交矩阵，如Householder反射和 Givens旋转.有帮助的不只是正交矩阵是可逆的，还有它的逆矩阵本质上是免花费的，只需要对换索引(下标).置换是很多算法成功的根本.但是它们很少作为矩阵明显出现.一些重要的矩阵分解涉及到了正交矩阵，包括QR分解、奇异值分解、谱分解、极分解。而正交矩阵与酉矩阵在方程组的求解的应用在于：如果线性方程组b

Ax 的系数阵A是列正交矩阵，则其有唯一解；正交矩阵在欧氏空间理论中的应用；在n维欧氏空间中，由一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是列正交矩阵.反之，如果任一标准正交基到一个基的过渡矩阵为列正交矩阵，那么该基是一个标准正交基。正交矩阵在工程中还有很多的应用，因此，对正交矩阵与酉矩阵的研究有着深远而重要的意义。