高三一轮复习专题：数列通项公式与求和方法总结(新)

关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716

4,1093

,542,211（3） ,52,21,32

,1（4） ,5

4

,43,32,21-- 答案：（1）110-=n

n a （2）;1

22++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅

-=+n n

a n n .

公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －

1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）

(A) 122-=n a n (B)

42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D)

例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n b 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n

n n .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，

只需求首项及公差公比.

公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨

⎧≥-==-2

,1

,11n S S n s a n n n .

例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n . （2）12

-=n s n

答案：（1）n a =3232

+-n n ，（2）⎩⎨

⎧≥-==)

2(12)1(0

n n n a n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.

【型如)(1n f a a n n +=+的地退关系递推关系】

简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得

例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：

)(52N n n a n ∈+=

例6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a .答案：n a =12+n

例7.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：n

a n 1

2-=

（1）当f(n)为常数，即：

q a a n

n =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =1

1-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.

例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式. 例9： 已知数列{}n a 中，3

1

1=

a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a . . 答案：.)

12(12(1

-+=

n n a n 思考题1：已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.

分析：原式化为 ),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，累积得解.

构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】 （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，

数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.

方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1

≠-=c c d

λ，

所以：)1(11-+=-+

-c d a c c d a n n ,即⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

-+1c d a n 构成以11-+

c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例10：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a . 答案：12-=n

n a

构造2：相邻项的差为特殊数列

例11：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a .提示：变为)(3

1

112n n n n a a a a --=-+++. 构造3：倒数为特殊数列【形如s

ra pa a n n n +=

--11

】

例12： 已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），

，求数列的通项公式. 答案 n

b a n n 1

1==

例13：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n

解析：设1

)1(-+-+=n n bq

d n a c 建立方程组，解得.

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：

则c bn a n +=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{n a 为等比数列，则1

-=n n Aq a ，

)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n .