中考复习几何探究题(含答案)

几何探究题

1题（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点． ①如图1，求证：ABE ADC △≌△；

②探究：如图1，BOC ∠=；如图2，BOC ∠=； 如图3，BOC ∠=．

（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点．

①猜想：如图4，BOC ∠=（用含的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想． 2题.请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，是线段()()a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究与的位置关系及

PG

PC

的值． 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及PG

PC 的值；

（2）将图1中的菱形BEFG 绕点顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线恰好与菱形ABCD 的边在同一

条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你

的猜想并加以证明． （3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠

=<<αα，将菱形BEFG 绕点顺时针旋转任意角度，原问题中

的其他条件不变，请你直接写出PG

PC

的值（用含的式子表示）． 3题。如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；

（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；

（3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM

的长；不存在，请说明理由.

4题已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别时，

2222PA PB PC PD 、、和（2）

证明你的结论．

D A B

E F C P G 图1 D C

G P

A B E

F

图2

答：对图（2）的探究结论为____________________________________． 对图（3）的探究结论为_____________________________________． 证明：如图（2）

5题如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 6题如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与

C 、

D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，

连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (ab ，k 0)，第(1)

题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结DG 、，且a =3，b =2，k =

1

2

，求22BE DG +的值． 7题正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F 。如图1，当点P 与点O 重合时，显然有DF ＝CF ． ⑴如图2，若点P 在线段AO 上（不与点A 、O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于点E 。 ①求证：DF ＝EF ；

②写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论； ⑵若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E 。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明） 8

(00)，，(6

A

秒1OC AO 向终点运（1）用含的代数式表示OP OQ ，；

（2）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标； （3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？与AC 能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．

（第22题）

图1

图2

图3

9题（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD

AB 与CD 的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：

①如图2，点M ，N 在反比例函数x

k

y =

（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ． 试证明：MN ∥EF ．

②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3

所示，请判断 MN 与EF 是否平行．

1题。（1均为等边三角形， AD ∴=AE 且60BAD CAE ∠=

BAD CAE ∴∠∠+∠DAC BAE ∠=∠ 证法二： AD ∴=60CAE =

ADC ∴△ABE ADC ∴△≌△．

②120，，．（2）①

360

n

②证法一：依题意，知BAD ∠和CAE ∠都是正边形的内角，AB AD =，AE AC =，

BAD DAE CAE DAE ∴∠-∠=∠-∠，即BAE DAC ∠=∠． ·

····························· 11分 ABE ADC ∴△≌△． ·

················································································· 12分 ABE ADC ∴∠=∠，180ADC ODA ∠+∠=，180ABO ODA ∴∠+∠= ·

·········· 13分 (2)180360

180180n BOC DAB n n

-∴∠=-∠=-

= ········································ 14分

证法二：同上可证 A B E A D C △≌△． ·

························································ 12分 ABE ADC ∴∠=∠，如图，延长交CO 于，

180AFD ADC DAF ∠+∠+∠= ································ 13分 360

180BOC DAF BAD n

∴∠=∠=-∠=

··················· 14分 证法三：同上可证 A B E A D C △≌△． ·

························································ 12分 180(360)BOC BAC DAC ∴∠=--∠-∠ ······················································ 13分

即360

180BOC BAD n

∠=-∠=

··································································· 14分 证法四：同上可证 A B E A D C △≌△． ·

························································ 12分 AEB ACD ∴∠=∠．如图，连接，BEC BOC OCE ∠=∠+∠

图 3

D