锐角三角函数知识点考点总结复习整理
锐角三角函数 知识梳理
锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二、锐角三角函数的增减性：（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0三、同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA 或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．四、互余两角的函数关系：在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°-∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．五、特殊角的三角函数值：（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=； tan60°=；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．六、计算器-三角函数（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．（2）求锐角三角函数值的方法：如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．注意：不同型号的计算器使用方法不同．（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：如已知sinα=0.5678，一般先按键“SHIFT”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键七、解直角三角形1、（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2、解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案3、坡度角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=hl=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．4、仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．5、方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．。
九年级锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数知识总结 1、Rt△ABC中(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sin∠A＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cos∠A＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tan∠A＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cot∠A＝∠A的邻边∠A的对边2、特殊角度的三角函数值：3、互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.AC B4、同角三角函数间的关系: ，，1cot tan =•αα，1cos sin 22=+αα5、三角函数值 （1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i ）锐角三角函数值都是正值（ii ）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii ）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sin α≤1, 1≥cos α≥0, 当角度α在0°至90°间变化时，0cot ,0tan >>αα。
6、解直角三角形的基本类型：解直角三角形的基本类型及其解法如下表：7、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．。
锐角三角函数知识点总结大全
锐角三角函数知识点总结大全
1.解直角三角形必备条件：（除直角外）至少知道两条边的
长度或一条边的长度和一个角的度数。
2.近似计算不能用勾股定理求边长，否则误差会很大。
3.解直角三角形解题思路总结：（除直角外）
（1）知一角求另一角题型：已知一个角的度数，用直角三角形中两锐角互余，求出另一角的度数。
（2）知两边求另一边题型：已知两边的边长，用勾股定理求出第三边的长。
（3）锐角三角函数：适用于“知角求边”或“知边求角”
的题型中。
（用sin，cos，tan，cot求出）。
4.仰角和俯角
（1）仰角：视线在水平线上方，与水平线形成的夹角。
（2）俯角：是现在水平线下方，与水平线形成的夹角。
5.锐角三角函数的性质（a为锐角）
（1）正弦的性质：
①取值范围：0＜sina＜1 ②增减性：a越大，sina越大（2）余弦的性质：
①取值范围：0＜cosa＜1 ②增减性：a越大，cosa越小联系：sina和cosa互为反函数
（3）正切的性质：
①取值范围：tana可取全体正数②a越大，tana越大
③当a无限接近90度时，tana无穷大。
（4）余切的性质
①取值范围：cota可取全体正数②当a无限接近0度时，cota无穷大③a越大，cota越小
6.锐角三角函数间的关系
（1）平方关系：sina2+cosa2=1
（2）倒数关系：tana=1
cota
（3）比值关系：①tana=sina
cosa ②cota=cosa
sina。
锐角三角函数(复习巩固)
奇偶性
正弦函数是奇函数（sin(-A) = sinA），余弦函数是偶函数 （cos(-A) = cosA）。
图像特征
正弦和余弦函数的图像是连续的 波浪形曲线，正切函数的图像是 间断的折线。在直角坐标系中， 可以通过五点作图法绘制出这些
函数的图像。
02
三角函数关系式及诱导公 式
同角三角函数关系式
平方关系
锐角三角函数(复习 巩固)
目录
• 锐角三角函数基本概念 • 三角函数关系式及诱导公式 • 三角恒等变换与证明 • 解三角形相关知识点回顾
目录
• 锐角三角函数在几何中应用 • 复习策略与备考建议
01
锐角三角函数基本概念
正弦、余弦、正切定义
正弦（sine）
正切（tangent）
在直角三角形中，锐角的正弦等于对 边长度除以斜边长度，即sinA = a/c。
重点难点突破
在知识体系梳理的基础上，要针对重点难点进行突破。例如，对于正弦、余弦、正切等基本概念的理 解和应用，可以通过多做练习题来加深理解；对于与三角形相关的定理和公式，可以通过分析典型例 题来掌握解题方法。
常见题型分类及解题技巧总结
常见题型分类
锐角三角函数的常见题型包括求值题、证明题、应用题等。在复习时，要对各种题型进行分类，并总结相应的解 题技巧。
05
锐角三角函数在几何中应 用
相似三角形判定定理
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
如果两个三角形的两组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
相似比
相似三角形对应边之间的比值称为相似比。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
锐角三角函数单元总结
第二十八章锐角三角函数单元总结【知识要点】知识点一锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c a A =sin1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A 余弦斜边的邻边A A ∠=cos c b A =cos1cos 0<<A (∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba A =tan 0tan >A (∠A 为锐角)对边邻边斜边ACBba c 【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA 是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°αsin 212223αcos 232221αtan 3313正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，知识点二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系： 1.勾股定理（）2.∠A+∠B=90°3.sin A==4.cos A==5.tan A==【考查题型】考查题型一正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．45变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C = ∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（）A ．35B ．45C ．34D ．43变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6cm ，则BC 的长度为()A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（）A ．55B ．255C 5D ．23变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠= ，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（）A ．18B ．2C ．12D ．118变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M 52），那么cosα的值是（）A B ．23C ．252D ．53考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（）A ．12B ．1C ．33D 变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（）.A ．2B C D ．1变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若2tan 5BAC ∠=，则此斜坡的水平距离AC 为（）A ．75mB ．50mC ．30mD ．12m考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是()A ．(32，12)B ．(－32，－12)C ．(－32，12)D ．(－12，－32)变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A ．cos40°=sin50°B ．tan15°•tan75°=1C ．sin 225°+cos 225°=1D ．sin60°=2sin30°变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC 中，sin A =cos B =22，则下列最确切的结论是（）A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA=45，则cosB 的值等于()A ．35B ．45C ．34D ．55变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA=12，那么sinA 的值是（）A ．22B ．32C ．33D ．12变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠= ，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（）A ．35B ．53C ．34D ．43考查题型六解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为()A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（）A ．102B ．3C ．4D ．104变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（）A ．11米B ．（36﹣）米C ．D ．（36﹣考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：≈1.4）变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C 处603D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为3的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB 的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）。
锐角三角函数知识点
锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。
2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。
一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。
3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。
二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。
圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。
2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。
三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。
2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。
四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。
中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就Ca bc是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， (1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则 ①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++． 直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高） ②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△． 【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例2】1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．(2)在△ABC，∠C＝90°，3sin5 BCAAB==．设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴4432 cos tan5315k kA Bk k+=+=．(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝23 ACAD=．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己尝试完成．举一反三：【变式】（2015•乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故选：D．类型二、特殊角的三角函数值【高清课堂：锐角三角函数综合复习 例1】2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin 2 A+cos 2A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式． 【答案与解析】解 (1)tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°(2)∵12sin cos A A -2(sin cos )|sin cos |A A A A =-=-，∴12sin cos A A -cos sin (045)sin cos (4590)A A A A A A -<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°．【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2． 例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-． 举一反三：【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例1】 【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值. 【答案】∵3sin 22α，且2α为锐角， ∴2α＝60°，α＝30°． ∴12cos sin 22βα===， ∴β＝45°． ∴23tan()tan 3033β==°． 3．（2015春•凉州区校级月考）如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求： （1）tanC 的值；（2）sinA 的值．【思路点拨】（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ，利用面积公式求出高AD 的长，从而求出BD 、CD 、AC 的长，此时再求tanC 的值就不那么难了．（2）同理作AC 边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA 的值． 【答案与解析】 解：（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ． ∵S △ABC =BC •AD=84， ∴×14×AD=84，∴AD=12． 又∵AB=14， ∴BD==9．∴CD=14﹣9=5． 在Rt △ADC 中，AC==13，∴tanC==；（2）过B 作BE ⊥AC 于点E ． ∵S △ABC =AC •EB=84， ∴BE=，∴sin ∠BAC===．【总结升华】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，以及解直角三角形公式的灵活应用． 举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到)【答案】过点C 作CD ⊥AB 于点D.EABCCD 就是连接两岸最短的桥.设CD=x （千米）. 在直角三角形BCD 中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD 中，∠ACD=30°，所以AD=CD ×tan ∠ACD=x ·tan30°=x.因为AD+DB=AB ，所以x+x=3，x=≈答：从C 处连接两岸的最短的桥长约为. 类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长． 【思路点拨】解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程． 【答案与解析】解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°．∵4cos 5CD DCE CE =∠=， 设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ．∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高相同，∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△．即553533AC DE k k ==⨯=． ∴44tan 55CD k A AC k ===．∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k =+==．∴AB ＝AD+DB ＝AD+32AD ＝541． 【总结升华】在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等． 5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到)．(参考数据：sin10°≈°≈°≈°≈°≈°≈ 【思路点拨】本题是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解． 【答案与解析】解：如图所示，延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝DB ·sinl5°≈50× CE ＝BF ＝DB ·cos15°≈50× ∴AE ＝CE ·tan10°≈× ∴≈答：树高约为． 【总结升华】一些特殊的四边形，可以通过切割补图形的方法将其转化为若干个直角三角形来解． 举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC 的边长为2，点D 在BC 的延长线上，CD ＝3．(1)动点P 在AB 上由A 向B 移动，设AP ＝t ，△PCD 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC ＝z ，求z 与t 之间的函数关系式． 【答案】解：(1)作PE ⊥BC 于E ，则BP ＝AB-AP ＝2-t(0≤t ＜2)． ∵∠B ＝60°， ∴1133sin (2)2222PCD S CD PE CD BP B t ===-△， 即3333(02)42y t t =-+≤<． (2)由(1)不难得出，3(2)2PE t =-，1(2)2BE t =-． ∴112(2)(2)22EC BC BE t t =-=--=+． ∵22222231(2)(2)2444PC PE EC t t t t =+=-++=-+．∴224(02)z t t t =-+≤<．6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO 与BO 的长．(2)若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．①如图(2)所示，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD ＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑了多少米；②如图(3)所示，当A 点下滑到A ′点，B 点向右滑行到B ′点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ′点，若∠POP ′＝15°，试求AA ′的长．【思路点拨】（1）在直角△AOB 中，已知斜边AB ，和锐角∠ABO ，即可根据正弦和余弦的定义求得OA ，OB 的长；（2）△APO 和△P′A′O 都是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等，即可求得∠PAO 的度数， 和∠P′A′O 的度数，在直角△ABO 和△A′B′O 中，根据三角函数即可求得OA 与OA′，即可求得AA′的长．【答案与解析】解：(1)Rt △AOB 中，∠O ＝90°，α＝60°，∴∠OAB ＝30°．又AB ＝4米，∴OB ＝12AB ＝2米．OA ＝AB ·sin 60°＝4×2＝米)． (2)①设AC ＝2x ，BD ＝3x ，在Rt △COD 中，OC ＝2x ，OD ＝2+3x ，CD ＝4，根据勾股定理：OC 2+OD 2＝CD 2，∴2222)(23)4x x ++=．∴213(120x x +-=．∵x ≠0，∴13120x +-=．∴1213x =．24213AC x ==．即梯子顶端A 沿NO 下滑了2413米． ②∵点P 和点P ′分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A ′OB ′的斜边A ′B ′的中点，∴PA ＝PO ，P ′A ′＝P ′O ．∴∠PAO ＝∠AOP ，∠P ′A ′O ＝∠A ′OP ′．∴∠P ′A ′O-∠PAO ＝∠POP ′＝15°．∵∠PAO ＝30°，∴∠P ′A ′O ＝45°．∴A ′O ＝A ′B ′·cos 45°＝42⨯=∴AA ′＝OA-A ′O ＝米．【总结升华】解答本题的关键是理解题意．此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠P′A′O=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．。
锐角三角函数 复习
C.扩大4倍
D.没有变化
2.（2013•温州）如图，在△ABC中， ∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（ C ）
A. 3
B. 4
C. 3
4
3
5
D. 4 5
3
3.在△ABC中，∠C＝90，BC＝6cm，sinA= ，
则AC的长为( B )
5
A.3cm B.8cm C.10cm D.5cm
边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则
正弦：sinA=______=_______； A
b
余弦：cosA=______=_______；
C
正切：tanA=______=_______．
c aB
考点二：特殊角的三角函数 值30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
角度 三角函数
sinA
BE 5
AE
ABC为等腰直角三角形， AB AC 6， B 且A 45，在RtAED中，AE DE x,
由AB AE EB得 : 62 62 x 5x 解得x 12
AD AE2 DE2 122 122 12 2
14．如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条 幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往 条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角 为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到 0.1米）
D
A
O
B
C
11.（2008 泰安）直角三角形纸片的两直
角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，
使点 A 与点 B重合，折痕为DE，则
tan CBE 的值是
。
锐角三角函数全章复习
B
D
C
专题二、锐角三角函数的性质
1.锐角三角函数的增减性： (1)当角度在00～900之间变化时， 正弦和正切值随角度的增大而增大； 余弦随角度的增大而减小。 (2)当∠A为锐角时， 0<sinA<1;0<cosA<1; tanA>0 2.互余两角的三角函数之间关系 ∠A为锐角时，sinA=cos(900-∠A) cosA=sin(900-∠A)
• 例4.若∠A为锐角，且 cosA≤0.5,则∠A的范围是（ ） A.00<∠A≤600 B.600≤∠A<900 C.00<∠A≤300 D.300≤∠A<900
• 例5.当锐角A>450时，下列不等式 中不成立的是 （ ）
2 A. sin A 2 2 B. cos A 2 C. t an A 1 D. t an A 1
• 例6.下列不正确的是（
A. sin 48 37 cos 41 21
0 / 0 / 2
）
B.RtABC中，C＝90 ，则sin A sin B 1
0 2
C.RtABC中，C＝90 ，则AB＝ACsinB
0
1 D.RtABC中，C＝90 ，则 sinB cosB tanB
0
专题三、解直角三角形及其应用
1.定义； 2.直角三角形边角关系； 3.解直角三角形的应用 (1)在测量距离方面的应用； (2)在工程建筑、航空、航海等 方面的应用.
• 例7.在△ABC中，
BC 1 3, B 60 ,
0
∠C＝450，求AB的长
A
B
C
• 例8.A、B之间有条河，原来从A到B需 过桥CD：A→D→C→B。 A 现建桥EF，可沿直线AB 从A到B.已知 D ∠A＝450， C ∠B＝300，BC＝ E 11km，CD∥AB， F 则现在从A到B比 原来少走多少路程？
锐角三角函数、概率、圆总结
锐角三角函数 一、锐角三角函数 1、正弦：在△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的叫做∠A 的正弦，记做sinA 。
2、余弦：在△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的叫做∠A 的余弦，记做cosA 。
3、正切：在△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的叫做∠A 的正切，记做tanA 。
4、余切：在△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的叫做∠A 的余切，记做cotA 。
[注]：0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值二、解直角三角形1、定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2、依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法) [注]：（1）三角形面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. （2）正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C ===. （3）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-三、实际应用1、仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
概率一、随机事件和概率 1、 事件的分类：（1）不可能事件：事件一定不会发生 （2）必然事件：事件一定会发生（2）随机事件：事件有可能发生，也有可能不发生2、概率：对于一个事件A ，我们把刻画其发生可能性的大小的数值叫做事件A 的概率，记做：P(A)特点：每次试验结果只有有限个；各种结果出现的可能性相等。
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。
2. 余弦函数cosx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。
3. 正切函数tanx：对于任意实数x，将sinx除以cosx就是tanx。
4. 余切函数cotx：对于任意实数x，将cosx除以sinx就是cotx。
5. 正割函数secx：对于任意实数x，将1除以cosx就是secx。
6. 余割函数cscx：对于任意实数x，将1除以sinx就是cscx。
二、三角函数的性质1. 基本关系式：sin^2x + cos^2x = 12. 周期性：sin(x+2kπ) = sinx，cos(x+2kπ) = cosx，其中k为任意整数。
3. 奇偶性：奇函数有sinx、tanx和cotx，偶函数有cosx、secx和cscx。
4. 正函数和负函数：在单位圆上，sinx和cscx为正函数，cosx和secx为负函数。
5. 三角函数的范围：sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1]，cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。
三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。
2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。
四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换：π弧度=180°，1°=π/180弧度。
2.角度的换算：1°=60'，1'=60''。
五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式：sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x，tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。
2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2]，tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。
锐角三角函数知识点考点总结
锐角三角函数知识点考点总结一、正弦函数（sin）1. 正弦函数的定义：对于任意角θ（其中0<θ<π/2），其正弦函数的值可以定义为θ的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
2.正弦函数的性质：（1）范围限制：正弦函数的值域范围是[-1, 1]，即-1 ≤ sinθ ≤ 1；（2）周期性：正弦函数的周期是2π，即sin(θ+2π) = sinθ；（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；（4）特殊值：sin(0) = 0，sin(π/6) = 1/2，sin(π/4) = √2/2，sin(π/3) = √3/2，sin(π/2) = 1；（5）图像特点：正弦函数在0到π/2区间上单调递增，在π/2到π区间上单调递减。
二、余弦函数（cos）1. 余弦函数的定义：对于任意角θ（其中0<θ<π/2），其余弦函数的值可以定义为θ的邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。
2.余弦函数的性质：（1）范围限制：余弦函数的值域范围是[-1, 1]，即-1 ≤ cosθ ≤ 1；（2）周期性：余弦函数的周期是2π，即cos(θ+2π) = cosθ；（3）奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；（4）特殊值：cos(0) = 1，cos(π/6) = √3/2，cos(π/4) =√2/2，cos(π/3) = 1/2，cos(π/2) = 0；（5）图像特点：余弦函数在0到π/2区间上单调递减，在π/2到π区间上单调递增。
三、正切函数（tan）1. 正切函数的定义：对于任意角θ（其中0<θ<π/2），其正切函数的值可以定义为θ的对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。
2.正切函数的性质：（1）定义域限制：正切函数的定义域是除去tan(π/2)的所有实数；（2）奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ；（3）周期性：正切函数的周期是π，即tan(θ+π) = tanθ；（4）特殊值：tan(0) = 0，tan(π/6) = 1/√3，tan(π/4) = 1，tan(π/3) = √3；（5）图像特点：正切函数在0到π/4区间上单调递增，在π/4到π/2区间上单调递减，其图像有无穷多个垂直渐近线。
锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点，它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。
本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式，以及它们在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 锐角：角度小于90度的角。
2. 直角三角形：一个角为90度的三角形。
3. 边的命名：- 对边（Opposite side）：锐角所对的边。
- 邻边（Adjacent side）：锐角旁边的边，但不包括斜边。
- 斜边（Hypotenuse）：直角三角形中最长的边，对直角的两边进行闭合。
4. 锐角三角函数：- 正弦（Sine, sin）：锐角的对边与斜边的比值。
- 余弦（Cosine, cos）：锐角的邻边与斜边的比值。
- 正切（Tangent, tan）：锐角的对边与邻边的比值。
三、基本公式1. 定义公式：- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系：- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式：- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值：- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题：- 利用三角函数求解边长。
初中锐角三角函数知识点总结
初中锐角三角函数知识点总结一、角的定义和性质1.角的定义：角是由两条共线的射线组成的图形。
2.角的顶点：射线的交点称为角的顶点。
3.角的度量：以角的顶点为圆心，角的一条射线为始边，另一条射线顺时针旋转到与始边重合所形成的弧所对应的圆心角度数称为角的度量。
4.角的正负：顺时针旋转的角度为负，逆时针旋转的角度为正。
5.角的平分：若一条射线把一个角分成两个相等的角，称为角的平分线。
6.角的补角：两个角的度数之和等于180度，称这两个角互为补角。
7. 角的弧度制：角的弧度制定义为以角所对的圆弧的长度与半径之比。
（1圆周角 = 2pi弧度）二、三角函数的定义和性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于A的对边长度与斜边长度的比值。
sinA = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于A的邻边长度与斜边长度的比值。
cosA = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于A的对边长度与邻边长度的比值。
tanA = 对边/邻边。
4.三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域都是锐角的集合，即0到90度之间的角度。
5.三角函数的值域：正弦函数和余弦函数的值域是[-1,1]，正切函数的值域是全体实数。
三、三角函数的性质和关系1. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是360度或2pi弧度，正切函数的周期是180度或pi弧度。
2. 三角函数的和差公式：sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinB，cos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinB。
3. 三角函数的对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sinA；余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cosA。
4. 三角函数的倒数关系：tanA = 1/cotA，cotA = 1/tanA，sinA/cosA = 1/tanA。
中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解
中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解锐角三角函数是初中数学中的一个重要内容，也是中考数学考试中常考的内容之一、掌握了锐角三角函数的定义、性质和相关的计算方法，可以帮助我们解决与角度有关的各种问题，如计算角度的大小、求角的三角函数值等。
下面是锐角三角函数的综合复习知识讲解。
1.弧度制和角度制在介绍锐角三角函数之前，我们首先要了解弧度制和角度制。
在角度制中，一个圆的周长被定义为360度，而在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。
所以可以得到以下关系：360度=2π弧度180度=π弧度90度=π/2弧度2.定义对于任意一个锐角A，我们可以在一个单位圆上面取点P，使得∠POA 的顶点为O，点O为圆心，点P在单位圆上。
这样，我们可以定义以下几个锐角三角函数：正弦函数sinA、余弦函数cosA、正切函数tanA、余切函数cotA。
3.性质(1) 正弦函数sinA：在单位圆上，点P的纵坐标就是正弦值sinA。
(2) 余弦函数cosA：在单位圆上，点P的横坐标就是余弦值cosA。
(3) 正切函数tanA：tanA的值等于sinA/cosA。
(4) 余切函数cotA：cotA的值等于cosA/sinA。
(5) 错位现象：sinA等于cos(90度-A)，cosA等于sin(90度-A)。
4.基本关系式(1) sin²A + cos²A = 1，即sin²A = 1 - cos²A，cos²A = 1 -sin²A。
(2) tanA = sinA/cosA，cotA = 1/tanA = cosA/sinA。
(3) sin(180度 - A) = sinA，cos(180度 - A) = -cosA。
(4) cos(360度 - A) = cosA，sin(360度 - A) = -sinA。
5.锐角三角函数的值(1)0度、30度、45度、60度、90度的正弦、余弦、正切值是特殊的，需要进行熟记。
锐角三角函数复习与小结
（3）常用关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分 别是∠A，∠B，∠C的对边． a2＋b2＝c2 ； 三边关系：______________
三角关系：∠A+ ∠B ＝90° 边角关系： ；
a A的对边 ① ∠A的正弦：sinA=___________ ＝____; 斜边 c
∠A的邻边 b ②∠A的余弦：cosA＝ ＝ c ； 斜边 ∠A的对边 a ③∠A的正切：tanA＝ ∠A的邻边 ＝ b .
；
2 5 ；
（四）坡度与坡角练习
1、斜坡的坡度是1 : 3 ，则坡角
__________ __ . 300
3、某人沿着坡度i=1: 25 米高。 面有________
3
的山坡走了50米，他离地
（五）解直角三角形在实际问题中的应用
1 ． 如图，AB和CD是同一地面上的两座 相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测 得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°．求楼CD的高（结果保留 根号）。
解：(1)由题意得∠ACB＝45°，∠A＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝600(米)． (2)DE＝AC＝600 (米)
在Rt△BDE中，
tan∠BDE＝
3 ∴BE＝DE· tan30°= 600 3 = 200
BE DE
3 (米 )
∵CD＝AE = AB－BE = 600 200
；
，cos45°＝
1 ，cos60°＝ 2
；
，tan45°＝
1
，tan60°＝定义
在直角三角形中（除直角外）由已知条 件求出未知条件的过程叫做解直角三角形。
(2)直角三角形可解的条件：
初中数学锐角三角函数知识点
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是高中数学的重要内容，它涉及到三角函数的定义、性质以及与三角函数相关的常见解题方法。
以下将详细介绍锐角三角函数的知识点。
一、锐角三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以对边AB与斜边AC的比值作为函数值。
记作sinA = AB/AC。
2. 余弦函数（cosine function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以邻边BC与斜边AC的比值作为函数值。
记作cosA = BC/AC。
3. 正切函数（tangent function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以对边AB与邻边BC的比值作为函数值。
记作tanA = AB/BC。
4. 余切函数（cotangent function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以邻边BC与对边AB的比值作为函数值。
记作cotA = BC/AB。
5. 正割函数（secant function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以斜边AC与邻边BC的比值作为函数值。
记作secA = AC/BC。
6. 余割函数（cosecant function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以斜边AC与对边AB的比值作为函数值。
记作cscA = AC/AB。
二、锐角三角函数的性质1. 正弦函数的定义域为[0, π/2]，值域为[0, 1]，是一个奇函数，即sin(π/2 - A) = cosA。
2. 余弦函数的定义域为[0, π/2]，值域为[0, 1]，是一个偶函数，即cos(π/2 - A) = sinA。
3.正割函数和余割函数的定义域为(0,π/2)∪(π/2,π)，值域为R^+∪R^-。
4.正弦函数和余弦函数的图像是一条周期为2π的曲线，对称于直线x=π/25.正切函数和余切函数的定义域为(0,π/2)∪(π/2,π)，值域为R^+∪R^-。
6.正切函数和余切函数的图像是一条周期为π的曲线，对称于直线x=π/2三、常用的锐角三角函数解题方法1. 利用定义求函数值：根据三角函数的定义，利用已知信息计算出函数值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 锐角三角函数定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c
余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c
正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b
锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
2 特殊角的三角函数值
角度30°45°60°
正弦(sin) 1/2 √2/2 √3/2
余弦(cos) √3/2 √2/2 1/2
正切(tan) √3/3 1 √3
（注 θ是锐角：0<sin θ<1 0<cos θ<1 tan θ>0） 3锐角三角函数值的符号及其变化规律 1）锐角三角函数值都是正值。
2）当角度在0°~90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 4同角三角函数基本关系式 a a a tan cos sin ⋅=
5互为余角的三角函数间的关系
a a cos )90sin(=- a a sin )90cos(=-
6 解直角三角形的基础知识
在Rt ABC ∆中， 90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c （1） 三边之间的关系：222c b a =+ （2） 锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠= 90
（3） 边角之间的关系：c
a
A =sin ；c
b A =cos ；b
a A =tan ；
c a B =
cos ；c b B =sin ；a
b
B =tan （4） 面积公式：ch ab S 21
21==∆（h 为斜边上的高）
7 解直角三角形的基本类型及其解法如下表： 类型 已知条件 解法
两边
两直角边a 、b
c=22a b +，tanA=a b
，∠B=90°-∠A
一直角边a ，斜边c b=22c a -，sinA=a c ，∠B=90°-∠
A
一边一锐角
一直角边a ，锐角A ∠B=90°-∠A ，b=A a tan ，c=sin a
A 斜边c ，锐角A
∠B=90°-∠A ，a=c ·sinA ， b=c ·cosA
解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘勿除，取原避中”。
其含义是当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则取已知数据，忌用中间数据。
8 解直角三角形应用题中的常见概念
（1）坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则αtan ==
l
h
i
（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角。
目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
（3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角。
目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（5）俯角与仰角。