第8章二元一次方程组单元复习2022—2023学年人教版数学七年级下册

第8章 二元一次方程组 单元复习
【知识网络】
二元一次方程组
{
二元一次方程{定义:①方程中含有两个未知数;②含有未知数的项的次数是1;③方程两边是整式方程的解:使方程两边的值相等的未知数的值二元一次方程组{ 定义:①方程组中含有两个未知数;②每个方程中含未知数的项的次数都是1;③由两个方程组成方程组的解:两个方程的 解法:①代入消元法;② 应用:关键是找出题中的等量关系,根据等量关系列出方程(组)具体步骤:①审题;② ;③ ;④解方程组;⑤检验、作答*三元一次方程组{定义:①方程组中含有三个未知数;②每个方程中含未知数的项的次数都是1;③由三个方程组成解法:①代入消元法;②加减消元法 【知识梳理】
1.二元一次方程：含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。

2．方程组：有几个方程组成的一组方程叫做方程组。

如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

3．二元一次方程组的解：二元一次方程的两个方程的公共解叫二元一次方程组的解
二、消元
二元一次方程组有两种解法：一种是代入消元法,一种是加减消元法.
1．代入消元法：把二元一次方程中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

2．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或向减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

【方法指导】如果这两个方程中有同一个未知数的系数相反或相等,可以直接对其两个方程相加减,消去其中的一个未知数;如果没有同一个未知数的系数相反或相等,则可以根据等式的性质对某一个方程进行变形,使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.
【方法指导】运用二元一次方程组这一数学模型解决方案设计问题,首先要准确分析实际问题中的数量关系,找出已知量和未知量,并能发现其中的几个等量关系,然后根据等量关系列出方程组,并解方程组.在此基础上,用方程组的解来解释问题.
【考点突破】
考点1：二元一次方程组及其解
【例1】已知⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1是方程组⎩⎨⎧
ax ＋by ＝5bx ＋ay ＝1
的解，则a ＋b 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3 D ．4
【针对训练1-1】在方程组①⎩⎨⎧2x －y ＝1，y ＝3z ＋1；②⎩⎨⎧x ＝2，3y －x ＝1；③⎩⎨⎧x ＋y ＝0，3x －y ＝5；④⎩
⎨⎧xy ＝1，x ＋2y ＝3；⑤⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1y ＝1，x ＋y ＝1
中，二元一次方程组有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
【针对训练1-2】若⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1
是关于x ，y 的方程kx －y ＝3的解，则k 的值是____ ． 【针对训练1-3】若方程组{y －(a －1)x ＝5,y |a |＋(b －5)xy ＝3
是关于x ,y 的二元一次方程组,则代数式ab 的值是 .
考点2：解二元一次方程组
【例2】解二元一次方程组⎩⎨⎧ 2x －y ＝7 ①3x ＋2y ＝0 ②
. 【针对训练2-1】利用加减消元法解方程组{
2x ＋3y ＝－6, ①3x －2y ＝4, ②下列做法正确的是( ) A.①×2－②×3,消去y
B.①×3＋②×2,消去x
C.①×2＋②×(－3),消去y
D.①×3－②×2,消去x
【针对训练2-2】方程组⎩⎨⎧x －y ＝1，3x ＋y ＝7
的解为__ __． 【针对训练2-3】已知{x ＝1,y ＝2
是方程ax ＋by ＝3的解,则代数式2a ＋4b －5的值为 . 【针对训练2-4】已知关于x ,y 的二元一次方程组{
2ax ＋by ＋4＝0,ax －by －1＝0的解为{x ＝－1,y ＝1,则a －2b ＝ .
【针对训练2-5】解方程组：
(1)⎩⎨⎧x ＋2y ＝5，①3x －2y ＝－1；②
(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＝14，①x －34
－y －33＝112.②
【针对训练2-6】已知关于x,y的方程组{x＋ay＝5,①
bx－3y＝4,②
由于粗心,甲看错了方程①中的a,得到方
程组的解为{x＝－1,
y＝－2;
乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为{
x＝2,
y＝3.
(1)试确定a,b的值;
(2)请你求出原方程组的解.
考点3：列方程组解应用题
【例3】为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元，该校计划在一年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200m2，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的80%，拆除校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建的总面积．
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？
(2)若绿化1m2需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金大约可绿化多少平方米？
【针对训练3-1】如图,面积为36的正方形ABCD,分成4个完全相同的小长方形和一个面积为4的小正方形,则小长方形的长和宽分别是()
A.8,4
B.4,2
C.6,2
D.3,1
【针对训练3-2】某工厂向银行申请了甲、乙两种贷款共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，若设甲、乙两种贷款的数额分别为x 万元和y 万元，则 ( )
A ．x ＝15，y ＝20
B ．x ＝20，y ＝15
C ．x ＝12，y ＝23
D ．x ＝23，y ＝12
【针对训练3-3】某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有 ( )
A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
【针对训练3-4】李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间都是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个零件共需____分钟．
【针对训练3-5】2020年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只，李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，她将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是____次．
【针对训练3-6】一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付费用3480元.
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?
(2)已知甲组单独完成需12天,乙组单独完成需24天,单独请哪个组,商店需付费用少?
(3)在(2)的条件下,若装修完后,商店每天可盈利200元,现有如下三种方式装修:①甲组单独做;②乙组单独做;③甲、乙两组合作.你认为如何安排施工更有利于商店?
考点4：三元一次方程组的解法及应用
【例4】解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋4y ＋3z ＝9 ①
3x －2y ＋5z ＝11②5x －6y ＋7z ＝13③
【针对训练4-1】若方程组⎩⎨⎧x ＋4＝y ，2x －y ＝2z
中的x 是y 的2倍，则z 的值为 ( )
A ．－9
B ．8
C ．－7
D ．－6
【针对训练4-2】桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水，先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升，若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差 ( )
A ．80毫升
B ．110毫升
C ．140毫升
D ．220毫升
【综合练习】
1．下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A.⎩⎨⎧ x ＋2y ＝1x 2＋y 2＝3 B ．⎩⎨⎧ 2x －y ＝3z ＋y ＝8 C.⎩⎨⎧ x ＋2y ＝1xy ＝－6
D ．⎩⎨⎧
x ＋2y ＝13x －5y ＝3 2．已知⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧ mx ＋ny ＝8nx －my ＝1
的解，则2m －n 的算术平方根为( ) A ．±2 B ．2 C ．4 D ．2 3．甲、乙两人做同样的零件，如果甲先做1天，乙再开始做，5天后两人做的一样多；如果甲先做30个，乙再开始做，4天后乙反而比甲多做10个，求甲、乙两人每天各做多少个零件？若设甲、乙两人每天分别做x 、y 个零件，由题意可列出的方程组是( )
A.⎩⎨⎧ 5＋1x ＝5y 30＋4x ＝4y ＋10 B ．⎩⎨⎧ 1＋5x ＝5y 30＋4x ＝4y －10 C.⎩⎨⎧ 5＋1x ＝5y 30＋4x ＝4y －10 D ．⎩⎨⎧
1＋5x ＝5y 30＋4x ＝4y ＋10
4．二元一次方程3x ＋2y ＝15在自然数范围内的解的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5．若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧
x ＋y ＝5k x －y ＝9k
的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝－8的解，则k 的值为 . 6．将三元一次方程组⎩⎨⎧ 5x ＋4y ＋z ＝0①3x ＋y －4z ＝11②x ＋y ＋z ＝－2③
，经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z 后，得到的二元一次方程组是 .
7．解下列方程组： (1)⎩⎨⎧2x ＋3y ＝11，①y －2x ＝1；②
(2)⎩⎨⎧4x ＋3y ＝14，①3x ＋2y ＝22.②
8．根据要求，解答下列问题：
(1)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)
①⎩⎨⎧ x ＋2y ＝32x ＋y ＝3的解为 ⎩⎨⎧ x ＝1y ＝1
； ②⎩⎨⎧ 3x ＋2y ＝102x ＋3y ＝10的解为 ⎩
⎨⎧ x ＝2y ＝2 ； ③⎩⎨⎧ 2x －y ＝4－x ＋2y ＝4的解为 ⎩⎨⎧
x ＝4y ＝4
. (2)以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 ；
(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
9．七(1)班的生活委员利用周末时间为班上买了4把扫帚和6把铲子共64元，到班长那儿报账时，班长拿出了他上个月购买的扫帚和铲子的账目：3把扫帚和5把铲子，共用55元。

班长说：“你这次购买有优惠吧”。

生活委员惊讶地说：“你怎么知道的？这次扫帚确实打了八折”．
(1)你知道班长是如何判断的吗？
(2)你能求出扫帚和铲子的单价吗？
10．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A 、B 两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A 型盒子，多少个B 型盒子？
(1)根据题意，甲和乙两个同学分别列出的方程组如下：
甲：⎩⎨⎧ x ＋2y ＝1404x ＋3y ＝360 乙：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1404x ＋32y ＝360 根据两个同学所列的方程组，请你分别指出未知数x 、y 表示的意义．
甲：x 表示 ，y 表示 ；
乙：x 表示 ，y 表示 ．
(2)求出做成的A 型、B 型盒子各多少个？(写出完整的解答过程)
11．已知，用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货10 t ；用1辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11 t ．某物流公司现有31 t 货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题．
(1)1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
参考答案
【知识网络】
二元一次方程组
{
二元一次方程{定义:①方程中含有两个未知数;②含有未知数的项的次数是1;③方程两边是整式方程的解:使方程两边的值相等的未知数的值二元一次方程组{ 定义:①方程组中含有两个未知数;②每个方程中含未知数的项的次数都是1;③由两个方程组成方程组的解:两个方程的 公共解 解法:①代入消元法;② 加减消元法 应用:关键是找出题中的等量关系,根据等量关系列出方程(组)具体步骤:①审题;② 设未知数 ;③ 列方程组 ;④解方程组;⑤检验、作答*三元一次方程组{定义:①方程组中含有三个未知数;②每个方程中含未知数的项的次数都是1;③由三个方程组成解法:①代入消元法;②加减消元法 【知识梳理】
1.二元一次方程：含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。

2．方程组：有几个方程组成的一组方程叫做方程组。

如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

3．二元一次方程组的解：二元一次方程的两个方程的公共解叫二元一次方程组的解
二、消元
二元一次方程组有两种解法：一种是代入消元法,一种是加减消元法.
1．代入消元法：把二元一次方程中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

2．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或向减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

【方法指导】如果这两个方程中有同一个未知数的系数相反或相等,可以直接对其两个方程相加减,消去其中的一个未知数;如果没有同一个未知数的系数相反或相等,则可以根据等式的性质对某一个方程进行变形,使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.
【方法指导】运用二元一次方程组这一数学模型解决方案设计问题,首先要准确分析实际问题中的数量关系,找出已知量和未知量,并能发现其中的几个等量关系,然后根据等量关系列出方程组,并解方程组.在此基础上,用方程组的解来解释问题.
【考点突破】
考点1：二元一次方程组及其解
【例1】已知⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1是方程组⎩⎨⎧
ax ＋by ＝5bx ＋ay ＝1
的解，则a ＋b 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】把⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1代入方程组，得⎩⎨⎧
2a ＋b ＝5 ①2b ＋a ＝1 ②
，①＋②，得3a ＋3b ＝6.等式两边都除以3，得a ＋b ＝2.故选B . 【针对训练1-1】在方程组①⎩⎨⎧2x －y ＝1，y ＝3z ＋1；②⎩⎨⎧x ＝2，3y －x ＝1；③⎩⎨⎧x ＋y ＝0，3x －y ＝5；④⎩⎨⎧xy ＝1，x ＋2y ＝3；
⑤⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1y ＝1，x ＋y ＝1
中，二元一次方程组有 ( A ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
【针对训练1-2】若⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1
是关于x ，y 的方程kx －y ＝3的解，则k 的值是____ ． 【答案】2
【针对训练1-3】若方程组{y －(a －1)x ＝5,y |a |＋(b －5)xy ＝3
是关于x ,y 的二元一次方程组,则代数式ab 的值是 .
【答案】－5
考点2：解二元一次方程组
【例2】解二元一次方程组⎩⎨⎧ 2x －y ＝7 ①3x ＋2y ＝0 ②
. 解：①×2＋②，得7x ＝14，解得x ＝2.把x ＝2代入①，得y ＝－3.所以原方程组的解为⎩
⎨⎧
x ＝2y ＝－3 【针对训练2-1】利用加减消元法解方程组{
2x ＋3y ＝－6, ①3x －2y ＝4, ②下列做法正确的是( D ) A.①×2－②×3,消去y
B.①×3＋②×2,消去x
C.①×2＋②×(－3),消去y
D.①×3－②×2,消去x 【针对训练2-2】方程组⎩⎨⎧x －y ＝1，3x ＋y ＝7
的解为__ __． 【答案】 【针对训练2-3】已知{
x ＝1,y ＝2
是方程ax ＋by ＝3的解,则代数式2a ＋4b －5的值为 . 【答案】1 ⎩⎨⎧x ＝2，
y ＝1
【针对训练2-4】已知关于x ,y 的二元一次方程组{2ax ＋by ＋4＝0,ax －by －1＝0的解为{x ＝－1,y ＝1,
则a －2b ＝ .
【答案】5
【针对训练2-5】解方程组： (1)⎩⎨⎧x ＋2y ＝5，①3x －2y ＝－1；②
解：①＋②，得4x ＝4，解得x ＝1，
把x ＝1代入①，得1＋2y ＝5，解得y ＝2，
∴原方程组的解为⎩
⎨⎧x ＝1，y ＝2. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＝14，①x －34
－y －33＝112.② 解：②×12，得3x －4y ＝－2，③
①＋③，得4x ＝12，解得x ＝3，
把x ＝3代入①中，得y ＝114
， ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝114.
【针对训练2-6】已知关于x ,y 的方程组{x ＋ay ＝5, ①bx －3y ＝4, ②
由于粗心,甲看错了方程①中的a ,得到方程组的解为{x ＝－1,y ＝－2;乙看错了方程②中的b ,得到方程组的解为{x ＝2,y ＝3.
(1)试确定a ,b 的值;
(2)请你求出原方程组的解.
解:(1)由于甲看错了方程①中的a ,得到方程组的解为{x ＝－1,y ＝－2,所以{x ＝－1,y ＝－2适合方程bx －3y ＝4,代入得－b ＋6＝4,解得b ＝2.
由于乙看错了方程②中的b ,得到方程组的解为{x ＝2,y ＝3,所以{x ＝2,y ＝3适合方程x ＋ay ＝5,代入得2＋3a ＝5,解得a ＝1.
(2)由(1)知,原方程组为{
x ＋y ＝5,2x －3y ＝4, 解得{x ＝
195,y ＝65. 考点3：列方程组解应用题
【例3】为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元，该校计划在一年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200m 2，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的80%，拆除校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建的总面积．
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？
(2)若绿化1m 2需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金大约可绿化多少平方米？
解：(1)设原计划拆、建面积分别是xm 2
、ym 2
，根据题意，得⎩⎨⎧
x ＋y ＝72001＋10%x ＋80%y ＝7200
，
解得⎩⎨⎧
x ＝4800y ＝2400
.所以，原计划拆除旧校舍4800m 2，新建校舍2400m 2；
(2)原计划所需费用为4800×80＋2400×700＝2064000(元)，实际施工的费用为(1＋10%)×4800×80＋2400×80%×700＝1766400(元)．所以节约资金：2064000－1766400＝297600(元)，可以用来实施绿化2976000÷200＝1488(m 2)．
【针对训练3-1】如图,面积为36的正方形ABCD ,分成4个完全相同的小长方形和一个面积为4的小正方形,则小长方形的长和宽分别是( B )
A.8,4
B.4,2
C.6,2
D.3,1
【针对训练3-2】某工厂向银行申请了甲、乙两种贷款共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，若设甲、乙两种贷款的数额分别为x 万元和y 万元，则 ( A )
A ．x ＝15，y ＝20
B ．x ＝20，y ＝15
C ．x ＝12，y ＝23
D ．x ＝23，y ＝12 【针对训练3-3】某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有
( C )
A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
【针对训练3-4】李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间都是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个零件共需____分钟． 【答案】40
【针对训练3-5】2020年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只，李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，她将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是____次． 【答案】4
【针对训练3-6】一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付费用3480元.
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?
(2)已知甲组单独完成需12天,乙组单独完成需24天,单独请哪个组,商店需付费用少? (3)在(2)的条件下,若装修完后,商店每天可盈利200元,现有如下三种方式装修:①甲组单独做;②乙组单独做;③甲、乙两组合作.你认为如何安排施工更有利于商店? 解:(1)设甲组工作一天,商店应付x 元,乙组工作一天,商店应付y 元. 依题意,得{8x ＋8y ＝3520,6x ＋12y ＝3480,解得{x ＝300,
y ＝140.
答:甲组工作一天,商店应付300元,乙组工作一天,商店应付140元. (2)300×12＝3600(元),140×24＝3360(元). 因为3600＞3360,
所以单独请乙组,商店需付费用少. (3)选择①:(300＋200)×12＝6000(元); 选择②:(140＋200)×24＝8160(元); 选择③:(300＋140＋200)×8＝5120(元). 因为5120＜6000＜8160,
所以安排甲、乙两组合作施工更有利于商店. 考点4：三元一次方程组的解法及应用
【例4】解方程组⎩⎨⎧
2x ＋4y ＋3z ＝9 ①
3x －2y ＋5z ＝11②
5x －6y ＋7z ＝13③
解：①＋②×2，得8x ＋13z ＝31④，②×3－③，得4x ＋8z ＝20，即x ＋2z ＝5⑤，由④⑤
组成方程组，得⎩⎨⎧
8x ＋13z ＝31x ＋2z ＝5，解得⎩⎨⎧
x ＝－1
z ＝3
.把 x ＝－1，z ＝3代入②，得y ＝0.5.所
以原方程组的解为⎩⎨⎧
x ＝－1
y ＝0.5
z ＝3
.
【针对训练4-1】若方程组⎩⎨⎧x ＋4＝y ，
2x －y ＝2z
中的x 是y 的2倍，则z 的值为 ( D )
A ．－9
B ．8
C ．－7
D ．－6
【针对训练4-2】桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水，先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升，若过程中水没有
溢
出
，
则
原
本
甲
、
乙
两
杯
内
的
水
量
相
差
( B )
A ．80毫升
B ．110毫升
C ．140毫升
D ．220毫升
【综合练习】
1．下列方程组中是二元一次方程组的是( D )
A.⎩⎨⎧ x ＋2y ＝1x 2＋y 2＝3 B ．⎩⎨⎧ 2x －y ＝3z ＋y ＝8 C.⎩⎨⎧ x ＋2y ＝1xy ＝－6 D ．⎩⎨⎧
x ＋2y ＝13x －5y ＝3
2．已知⎩⎨⎧
x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧
mx ＋ny ＝8nx －my ＝1
的解，则2m －n 的算术平方根为( D )
A ．±2
B ．2
C ．4
D ．2
3．甲、乙两人做同样的零件，如果甲先做1天，乙再开始做，5天后两人做的一样多；如果甲先做30个，乙再开始做，4天后乙反而比甲多做10个，求甲、乙两人每天各做多少个零件？若设甲、乙两人每天分别做x 、y 个零件，由题意可列出的方程组是( C ) A.
⎩
⎨⎧
5＋1x ＝5y 30＋4x ＝4y ＋10 B ．
⎩
⎨⎧
1＋5x ＝5y
30＋4x ＝4y －10 C.
⎩
⎨⎧
5＋1x ＝5y
30＋4x ＝4y －10 D ．⎩⎨⎧
1＋5x ＝5y
30＋4x ＝4y ＋10
4．二元一次方程3x ＋2y ＝15在自然数范围内的解的个数是( C ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．若关于x 、y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧
x ＋y ＝5k
x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝－8的解，
则k 的值为 . 【答案】－1
6．将三元一次方程组⎩⎨⎧
5x ＋4y ＋z ＝0①
3x ＋y －4z ＝11②
x ＋y ＋z ＝－2③
，经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z
后，得到的二元一次方程组是 .
【答案】⎩⎨⎧
4x ＋3y ＝2
7x ＋5y ＝3
7．解下列方程组：
(1)⎩⎨⎧2x ＋3y ＝11，①y －2x ＝1；②
解：①＋②，得4y ＝12，解得y ＝3.
把y ＝3代入②，得3－2x ＝1，解得x ＝1.
∴原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝1，
y ＝3.
(2)⎩⎨⎧4x ＋3y ＝14，①3x ＋2y ＝22.②
解：由①×2，得8x ＋6y ＝28，③ ②×3，得9x ＋6y ＝66.④ ④－③，得x ＝38.
把x ＝38代入①，得4×38＋3y ＝14. 解得y ＝－46.
∴原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝38，
y ＝－46.
8．根据要求，解答下列问题：
(1)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)
①⎩⎨⎧ x ＋2y ＝32x ＋y ＝3的解为 ⎩⎨⎧
x ＝1y ＝1 ； ②⎩⎨⎧
3x ＋2y ＝102x ＋3y ＝10的解为 ⎩⎨⎧ x ＝2y ＝2 ；
③⎩⎨⎧ 2x －y ＝4－x ＋2y ＝4的解为 ⎩
⎨⎧ x ＝4y ＝4 .
(2)以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 ； 【答案】x ＝y
(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
解：⎩⎨⎧
3x ＋2y ＝252x ＋3y ＝25，解为⎩
⎨⎧
x ＝5y ＝5.
9．七(1)班的生活委员利用周末时间为班上买了4把扫帚和6把铲子共64元，到班长那儿报账时，班长拿出了他上个月购买的扫帚和铲子的账目：3把扫帚和5把铲子，共用55元。

班长说：“你这次购买有优惠吧”。

生活委员惊讶地说：“你怎么知道的？这次扫帚确实打了八折”．
(1)你知道班长是如何判断的吗？
解：设扫帚的单价为x 元，铲子的单价为y 元．根据题意，得⎩⎨⎧ 3x ＋5y ＝554x ＋6y ＝64，解得⎩⎨⎧
x ＝－5y ＝14
.
因为扫帚的单价不可能为负数，所以班长的判断是正确的； (2)你能求出扫帚和铲子的单价吗？
解：设扫帚的单价为x 元，铲子的单价为y 元．根据题意，得⎩⎨⎧
3x ＋5y ＝55
4x×0.8＋6y ＝64，解得
⎩
⎨⎧
x ＝5y ＝8.答：扫帚的单价为5元，铲子的单价为8元． 10．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A 、B 两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A 型盒子，多少个B 型盒子？
(1)根据题意，甲和乙两个同学分别列出的方程组如下： 甲：⎩⎨⎧
x ＋2y ＝1404x ＋3y ＝360 乙：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1404x ＋3
2y ＝360 根据两个同学所列的方程组，请你分别指出未知数x 、y 表示的意义． 甲：x 表示 ，y 表示 ； 乙：x 表示 ，y 表示 ． (2)求出做成的A 型、B 型盒子各多少个？(写出完整的解答过程)
解：(1)做成的A 型盒子x 个 做成的B 型盒子y 个 做A 型盒子共用了x 张正方形纸板 做B 型盒子共用了y 张正方形纸板；
(2)设做成的A 型盒子x 个，B 型盒子y 个．根据题意得⎩⎨⎧ x ＋2y ＝1404x ＋3y ＝360，解得⎩⎨⎧
x ＝60y ＝40
.
答：能做成60个A 型盒子，40个B 型盒子．
11．已知，用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货10 t ；用1辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11 t ．某物流公司现有31 t 货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题． (1)1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
解：(1)设1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货x t ，y t ．根据题意，得
⎩⎨⎧2x ＋y ＝10，x ＋2y ＝11，解得⎩⎨⎧x ＝3，
y ＝4.
答：1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货3 t ，4 t. (2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(2)根据题意可得3a ＋4b ＝31，则b ＝31－3a
4，使a ，b 都为整数的情况共有a ＝1，b ＝7
或
a ＝5，
b ＝4或a ＝9，b ＝1三种， 故有三种租车方案，分别为 ①A 型车1辆，B 型车7辆； ②A 型车5辆，B 型车4辆； ③A 型车9辆，B 型车1辆．
(3)若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
(3)方案①花费为100×1＋120×7＝940(元)； 方案②花费为100×5＋120×4＝980(元)； 方案③花费为
100×9＋120×1＝1 020(元)．
故方案①最省钱，即租用A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费用为940元．。