2009年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2009年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）

1．（4分）（2009•上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．

【专题】计算题．

【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算

【解答】解：设z=a+bi，

则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，

即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，

由，

解得a=0，b=﹣1，

所以z=﹣i，

=i，

故答案为i．

【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．

2．（4分）（2009•上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．

【考点】集合关系中的参数取值问题．

【专题】集合．

【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．

【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，

且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．

故答案为：a≤1．

【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009•上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件

是x＞且x≠4．

【考点】三阶矩阵．

【专题】计算题．

【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．

【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，

即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，

故答案为：x＞且x≠4

【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．

4．（4分）（2009•上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．

【考点】程序框图．

【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．

【解答】解：根据流程图所示的顺序，

程序的作用是分段函数的函数值．

其中输出量y与输入量x满足的关系式是

故答案为：

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

5．（4分）（2009•上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．

【考点】异面直线及其所成的角．

【专题】计算题．

【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．

【解答】解：先画出图形

将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，

BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，

∴∠D1BC=arctan，

故答案为arctan．

【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．

6．（4分）（2009•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．

【考点】三角函数的最值．

【专题】计算题．

【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式

化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．

【解答】解：y=2cos2x+sin2x

=1+cos2x+sin2x

=1+

=1+

当=2k，有最小值1﹣

故答案为1﹣

【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式

化简三角函数．

7．（4分）（2009•上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，

若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表

示）．

【考点】离散型随机变量的期望与方差．

【专题】计算题．

【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．

【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，

当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，

∴P（ξ=0）==，

P（ξ=1）=，

P（ξ=2）=，

∴Eξ=0×=．

故答案为：

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．

8．（4分）（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是．

【考点】球的体积和表面积．

【专题】计算题．

【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．

【解答】解：因为S1=4πR12，所以，