向量解题技巧
向量运算口诀
向量运算口诀以下是为您生成的十个适用于小学生的向量运算口诀：1. 《向量加法很重要》一找首尾要相连，二将起点移同点。
首尾相连连首尾，和向量就出现。
加法就像接火车，依次连接不混乱。
方向长度要细算，平行四边形也能办。
首尾相连是关键，相加结果不会变。
2. 《向量减法要记牢》一找共点两向量，二将两尾连一起。
箭头指向被减数，差向量就被找到。
减法如同追小偷，方向看准别回头。
减向量就反方向，仔细计算不慌张。
共点相连很重要，算出差值错不了。
3. 《向量数乘不难算》一瞧系数正或负，二定方向长或短。
正数同向长度变，负数反向长度换。
数乘如同吹气球，系数大小定肥瘦。
零乘向量变零矢，运算规则要遵守。
方向长度随系数，心中有数不犯愁。
4. 《向量数量积运算》一找夹角要准确，二算模长不能忘。
数量积就像做功，相乘再乘夹角量。
同向相乘积为正，反向相乘积为负。
垂直相乘积是零，特殊情况记心中。
模长夹角考虑全，计算结果不会偏。
5. 《向量平行与垂直》一观斜率存不存在，二用坐标来判断。
平行斜率要相等，纵截距可不一样。
若用坐标看平行，对应成比要分清。
垂直斜率乘为负一，坐标相乘和为零。
平行垂直细分辨，向量关系心了然。
6. 《向量合成与分解》一明目标要合成，二定方向来分解。
合成犹如拼积木，首尾相连成一体。
分解好似拆玩具，按照要求分仔细。
遵循平行四边形，大小方向都明晰。
合成分解巧运用，解题轻松又高兴。
7. 《向量坐标运算妙》一加一减很简单，横坐标与横坐标算。
纵坐标和纵坐标加，相减规则也一样。
数乘坐标分别乘，运算轻松不迷茫。
向量相等坐标同，牢记规则不放松。
坐标运算常练习，解题速度快如飞。
8. 《向量模长计算法》一取坐标平方和，二开根号得出果。
模长就像量线段，长度大小要算准。
横纵坐标分别方，相加之后再开方。
计算认真别出错，模长清晰在心中。
记住此法很有用，解题之路更畅通。
9. 《向量夹角计算式》一用数量积公式，二把模长来代入。
夹角余弦在其中，反求角度要慎重。
数学向量解题技巧
数学向量解题技巧1. 嘿，你知道吗？向量解题有个超棒的技巧，就是找好参照呀！比如说在一个平面里，把一个向量当成基准，就像在茫茫人海中找到你的好朋友一样，一下子就能看清其他向量和它的关系啦。
比如这道题：已知向量 a 和向量 b，以向量 a 为参照去分析向量 b，是不是思路一下就打开啦！2. 哇塞，还有很重要的一点哦，那就是善于分解向量呀！可以把一个复杂的向量像拆礼物一样拆成几个简单的，这多有趣呀！就好比那个很难搞的向量 P，把它拆分成两个熟悉的小向量，问题不就迎刃而解了嘛。
就像把一个大难题拆成几个小问题逐一击破呀！3. 嘿呀，要特别注意向量的方向哟！向量就像是有个性的家伙，走错方向可不行哦。
好比你要去一个地方，走反了方向可就到不了啦。
看看这道题里的向量方向，可得仔细看准咯，不然就会出错呢！4. 哈哈，别忘了利用向量的模呀！向量的模就像是它的身份证，能告诉你很多信息呢。
比如说一个向量的模很长，那它可能就很重要哦。
就像在一群人里，那个最高大的人是不是特别显眼呀。
试试用模的概念来解决这道题，是不是一下子就明白了呢！5. 哇哦，有时候建立坐标系也是个超厉害的方法呢！把那些杂乱的向量都放到坐标系里，就像给它们安排好了座位，一下子就清晰啦。
例如在这个复杂的图形里，建立坐标系后，那些向量就乖乖听话啦，是不是很神奇呀！6. 哎呀呀，还可以通过平移向量来找关系呀！把向量移来移去，就像玩拼图一样，找到它们最合适的位置。
就像这道题，平移一下某个向量，立马就能找到答案啦！7. 喂喂喂，观察向量之间的夹角也很关键哦！夹角就像是它们之间的小秘密。
像这个例子里，通过观察夹角，解题思路不就出来了嘛。
8. 嘿，掌握了这些数学向量解题技巧，是不是觉得向量其实也没那么难呀！它们就像是一群有点调皮但又很可爱的小伙伴，只要我们找到了和它们相处的方法，就能轻松应对啦！我的观点结论就是：只要用心去发现和运用这些技巧，数学向量解题就能变得轻松又有趣啦！。
数学解决向量问题的常用方法和技巧
数学解决向量问题的常用方法和技巧向量在数学中起着重要的作用，广泛应用于物理、计算机科学等领域。
解决向量问题是数学学习中的重要内容之一。
本文将介绍解决向量问题的常用方法和技巧，帮助读者更好地理解和运用向量。
一、向量的基本概念和表示方法向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
在解决向量问题时，首先需要了解向量的基本概念和表示方法。
1. 向量的表示方法向量可以用各种方法来表示，最常见的有以下两种方式：（1）以一个带箭头的小写字母表示，如a、a、a等；（2）以一个有向线段上的两个点表示，箭头指向的点为起点，另一个点为终点，如a AB表示以点A为起点，点B为终点的向量。
2. 向量的基本运算在解决向量问题时，常常需要进行向量的基本运算，包括加法、减法、数乘等。
（1）向量的加法向量的加法满足以下规律：对于任意两个向量a和a，a+a=a+a。
即向量的加法满足交换律。
（2）向量的减法向量的减法满足以下规律：对于任意两个向量a和a，a-a=a+(-a)，其中-a称为向量a的负向量。
（3）数乘数乘指的是一个向量与一个数的乘法，即将向量的每个分量乘以该数。
二、解决向量问题的常用方法对于向量问题的解决，具体方法因题而异，但仍然存在一些常用的方法和技巧。
1. 向量的数量积向量的数量积也称为内积或点积，表示为a·a，其计算方法为a·a=|a||a|cos a，其中a为a和a之间的夹角。
通过计算数量积，可以获得向量的夹角、判断向量的垂直性等。
2. 向量的向量积向量的向量积也称为叉积或外积，表示为a×a，其计算方法为a×a=|a||a|sin aa，其中a为a和a之间的夹角，a为垂直于a和a的单位法向量。
向量的向量积常用于求解平面的面积、判断向量的平行性等。
3. 向量的投影向量的投影指的是将一个向量在另一个向量上的投影，通过投影可以得到向量在某个方向上的分量。
在解决向量问题时，有时需要将一个向量分解为两个相互垂直的向量，这时就可以利用向量的投影来实现。
向量解题四个思路
向量解题四个思路嘿呀，朋友们！今天来唠唠向量解题的四个思路呀，这向量题有时候挺让人头疼的，但掌握了思路就好对付多了呢，听我给你们讲讲我同学做题那事儿，你们就能更明白了。
我同学小李呀，数学还行，可一碰到向量题就犯愁。
有次考试里有好几道向量的大题呢，把他给急得呀，抓耳挠腮的。
第一个思路就是利用向量的几何意义去解题啦。
就好比给了两个向量，让求它们相加后的模长啥的，这时候你就可以把向量画出来呀，按照向量相加的平行四边形法则或者三角形法则，把它们在图上表示出来，然后通过几何图形里的边长呀、角度这些关系去算。
小李那次遇到个题，是已知两个向量的夹角和模长，求它们和向量的模长，他一开始没思路，后来试着画图，把那两个向量按照法则一组合，再看着图里的直角三角形，用勾股定理就慢慢算出答案了，当时他那眼睛都亮了，嘴里嘟囔着：“哎呀，原来这么一画，就好弄多了呀。
”第二个思路呢，是坐标法。
把向量放在坐标系里，用坐标来表示向量，这样向量的运算就变成坐标的运算了，多简单呀。
像有回作业里有个题，要判断几个向量是不是平行，小李就给那些向量都标上坐标，然后根据向量平行的坐标判定条件，看看横坐标和纵坐标的比例关系，一下子就判断出来了，还挺得意地跟我说：“嘿，这坐标法用着可太顺手了呢。
”还有就是利用向量的数量积公式啦。
要是求两个向量的夹角，或者证明一些垂直关系啥的，数量积公式就派上用场了。
小李在做一道证明两向量垂直的题时，把相关向量的数量积一算，结果是零，那就说明它们垂直呀，他可高兴了，觉得这思路真巧妙呢。
最后一个思路就是基底法，选好一组基底向量，把其他向量用这组基底表示出来，再去运算解题。
小李刚开始用这个不太熟练，后来多练了练，发现有些复杂的向量关系用基底法一梳理，也能轻松搞定了呢。
从小李做向量题这事儿就能看出来呀，这向量解题的四个思路各有各的妙处，多练练，遇到题的时候找准思路，那向量题就能轻松拿下啦，哈哈，大家要是做向量题也可以试试哦。
向量运算技巧
向量运算技巧引言：向量运算是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的向量运算技巧，包括向量加法、向量减法、向量数量乘法、点积和叉积等。
同时，将通过实例来说明这些运算技巧在实际问题中的应用。
一、向量加法和向量减法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，对于两个向量A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)，它们的向量加法可以表示为A + B = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
向量减法可以看作是向量加法的一种特殊情况，即将一个向量的每个分量减去另一个向量对应分量的值。
例如，对于两个向量A和B，它们的向量减法可以表示为A - B = (a1-b1, a2-b2, a3-b3)。
在实际应用中，向量加法和向量减法常用于描述物体的位置、速度等概念。
例如，在物理学中，我们可以利用向量加法和向量减法来计算物体在空间中的位置变化。
二、向量数量乘法向量数量乘法是指将一个向量的每个分量与一个标量相乘，得到一个新的向量。
例如，对于一个向量A = (a1, a2, a3)和一个标量k，它们的数量乘法可以表示为kA = (ka1, ka2, ka3)。
向量数量乘法在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以利用向量数量乘法来计算物体受到的力的大小和方向。
三、点积点积也被称为内积或数量积，是两个向量的乘积的一个重要运算。
对于两个向量A和B，它们的点积可以表示为A·B = a1b1 + a2b2 +a3b3。
点积的一个重要性质是可以用来计算两个向量之间的夹角。
根据点积的定义和余弦定理，我们可以得到夹角θ的计算公式：cosθ = (A·B) / (|A||B|)，其中|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模。
点积在实际问题中应用广泛。
例如，在工程学中，我们可以利用点积来计算物体所受的力和物体运动方向之间的关系。
四、叉积叉积也被称为矢量积或向量积，是两个向量的乘积的一种运算。
5类平面向量解题技巧
5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧技法03极化恒等式的应用及解题技巧技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧技法05范围与最值的应用及解题技巧技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD xAB y AC =+条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+。
则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++A例1-1．（全国·高考真题）设D 为ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC=-+B.1433AD AB AC=-C.4133AD AB AC=+ D.4133AD AB AC=- 例1-2．如图，在ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（）A.911 B.511C.311D.2111．（2022·全国·统考高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n -+ C ．32m n + D ．23m n+2.（全国·高考真题）在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+3.（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b = ，则EF 等于（）A ．()12a b +B ．()12a b - C ．()12b a - D ．12a b+ 4．（全国·高考真题）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC5．（江苏·高考真题）设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =.若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+ 下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。
向量题的解题窍门
向量题的解题窍门如何解题：向量题的解题窍门导语：数学中最著名的一个人就是笑傲江湖，著名作家金庸的武侠小说中，他们会经常出现一些武功秘籍，这些秘籍被认为是无价之宝，能够让人获得无敌的力量。
而在数学领域也有一些题型，如向量题，拥有解题秘籍就能得心应手。
一、问题解析：向量是什么？向量是数学中的一个重要概念，它描述了具有大小和方向的量。
在解决向量题前，我们需要明确向量的定义和性质。
一个向量可以用一个有序的有限数集来表示。
二、基本操作：向量的加减法向量的加法：两个向量相加，就是将它们对应的坐标分量相加，并且坐标分量的顺序不能变动，得到一个新的向量。
向量的减法：两个向量相减，就是将被减向量对应位置的坐标分量相减，并且坐标分量的顺序不能变动，得到一个新的向量。
三、向量的数量积和向量的夹角向量的数量积：向量的数量积也叫点积，用来度量两个向量之间的夹角关系。
向量的数量积可以通过向量的坐标分量的乘法运算获得。
向量的夹角：两个向量的夹角由它们的数量积决定。
夹角越小，两个向量越接近，夹角越大，两个向量越远离。
通过数量积和夹角的概念，我们可以解决一些与向量有关的几何问题，如求两条直线的夹角、判断两个向量是否垂直或平行等。
四、向量的向量积向量的向量积：向量的向量积是两个向量所确定的平行四边形的面积。
向量的向量积可以通过向量坐标分量的乘法运算和叉乘规则获得。
通过向量的向量积，我们可以解决一些与面积或体积有关的几何问题，如求平行四边形的面积、平行六面体的体积等。
五、向量的应用：平面几何与空间几何向量在平面几何和空间几何中都有广泛的应用。
在平面几何中，我们可以通过向量的数量积和夹角解决一些三角函数和三角方程的问题。
如求两条直线的夹角、判断三角形的形状等。
在空间几何中，我们可以通过向量的数量积和向量的向量积解决一些多面体的问题。
如求平行四边形的面积、计算三棱柱的体积等。
结语：掌握解题的窍门，向量题就不再是难题。
通过对向量的定义和性质的理解，以及掌握向量的加减法、数量积和向量积的运算规则，我们可以快速解决各种向量题。
快速解决向量题目的技巧
快速解决向量题目的技巧解决向量题目的技巧向量是数学中重要的概念，具有广泛的应用。
在解决向量题目时，有一些技巧可以帮助我们更快速地得到答案。
本文将介绍一些解决向量题目的技巧，以帮助读者更好地应对此类问题。
一、向量的概念和表示方法在解决向量题目之前，我们首先需要了解向量的概念和表示方法。
向量可以用有方向和大小表示，通常使用带箭头的字母来表示，例如向量a可以表示为→a。
向量具有起点和终点，起点表示向量的起始位置，终点表示向量的结束位置。
向量的大小也可以用数值来表示，例如|→a|表示向量a的大小。
二、向量的运算法则解决向量题目时，我们需要掌握向量的运算法则，包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的终点相连接，起点相连所得到的新向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
例如，对于向量→a和→b，它们的和可以表示为→a+→b。
2. 向量的减法向量的减法是指通过将减数的相反向量与被减数相加所得到的新向量。
例如，对于向量→a和→b，它们的差可以表示为→a-→b。
3. 数量乘法数量乘法是指将向量的大小与一个标量相乘，得到一个新的向量。
例如，对于向量→a和标量k，它们的数量乘法可以表示为k→a或者→a*k。
三、向量的性质和定理在解决向量题目时，我们还可以利用一些向量的性质和定理来简化计算过程。
1. 向量的共线性如果两个向量的方向相同或者相反，它们是共线的。
共线的向量有一个重要的性质：它们的大小之比等于它们任意一对对应分量的比值。
利用共线性，我们可以根据已知条件来推导未知向量的大小。
例如，如果已知向量→a与向量→b共线且知道它们的大小之比，我们可以通过建立方程来求解未知量。
2. 向量的垂直性如果两个向量的内积等于0，它们是垂直的。
利用垂直性，我们可以根据已知条件来求解未知量。
例如，如果已知向量→a与向量→b垂直且知道它们的大小，我们可以通过利用内积的性质来求解未知量。
四、应用实例为了更好地理解解决向量题目的技巧，下面我们将给出几个应用实例。
向量问题的解答技巧
向量问题的解答技巧
向量问题在数学中是一个非常重要的部分，涉及到许多复杂的计算和理论。
以下是一些解答向量问题的常见技巧：
1. 理解向量的基本概念：向量是具有大小和方向的量，可以进行加减、数乘等运算。
理解这些基本概念是解答向量问题的基础。
2. 掌握向量的运算法则：向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则，数乘则遵循分配律。
熟练掌握这些法则可以帮助你快速解答向量问题。
3. 利用向量的性质：向量有许多重要的性质，如零向量、单位向量、共线向量等。
利用这些性质可以帮助你简化问题，提高解题效率。
4. 画图辅助解答：对于一些复杂的向量问题，画出图形可以帮助你更好地理解问题，找到解决问题的思路。
5. 分析题目要求：在解答向量问题时，首先要明确题目的要求，是求向量的长度、方向，还是求两个向量的夹角等。
明确了题目要求，就可以有针对性地进行计算。
6. 检查答案：在得到答案后，要进行检查，看是否符合题目的要求，是否满足向量的性质等。
以上就是解答向量问题的一些常见技巧。
掌握高中数学中的向量与坐标解题技巧
掌握高中数学中的向量与坐标解题技巧在高中数学中，向量与坐标是常见的解题工具，它们在几何、代数和物理等各个领域中都有广泛的应用。
掌握好向量与坐标解题技巧，不仅可以提高解题的效率，还可以拓展数学思维，培养逻辑推理和问题解决的能力。
本文将介绍一些常见的向量与坐标解题技巧，并通过例题进行说明。
一、向量解题技巧1. 向量的相加与相减：向量的相加与相减是基本的运算，常用于几何和代数问题的求解。
求解过程中需要注意向量的方向和大小，通常使用向量的坐标表示。
2. 向量的数量积：向量的数量积是两个向量间的乘法运算，计算结果是一个标量。
它可以用于求向量的模、两向量夹角的余弦及向量的投影等问题，也常用于解决几何和物理中的力学问题。
3. 向量的叉积：向量的叉积是两个向量间的乘法运算，计算结果是一个新的向量。
它可以用于求向量的方向、面积和体积等问题，常见于几何和物理中的空间解析几何和电磁学等领域。
二、坐标解题技巧1. 坐标系的建立：在解题过程中，需要根据具体问题建立合适的坐标系。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和参数方程等，需要根据题意选择适当的坐标系。
2. 坐标的转换与代入：考虑到问题的特殊性，可能需要进行坐标的转换以简化计算。
在解题过程中，可以根据需要将题目中给出的条件和已知信息代入到坐标中，进而得出结论。
3. 坐标方程的建立和求解：对于问题所给出的条件，可以建立相应的坐标方程来求解。
通过方程求解，可以得到问题的答案或者进一步化简问题。
三、例题分析例题1：已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 3)，C(2, -1)，求三角形ABC的面积。
解析：根据三角形面积的计算公式，可以利用向量的叉积来求解。
向量AB可以表示为(4-1, 3-2) = (3, 1)，向量AC可以表示为(2-1, -1-2) = (1, -3)。
计算向量AB和向量AC的叉积，得到：|AB x AC| = |(3, 1) x (1, -3)| = |(3*(-3) - 1*1, 3*1 - 3*1)| = |(-10, 0)| = 10三角形ABC的面积为10平方单位。
高中数学向量运算解题方法
高中数学向量运算解题方法在高中数学中，向量运算是一个重要的内容，它不仅是数学学科的基础，也是其他科学领域的基础。
掌握好向量运算的解题方法，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们的解题效率。
本文将介绍一些高中数学向量运算的解题方法，并通过具体的题目进行分析和说明，以帮助读者更好地掌握这些技巧。
一、向量的加减法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
向量的减法是指将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量得到一个新的向量。
在解题过程中，我们可以通过将向量的坐标表示出来，然后按照加减法的规则进行计算。
例如，已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, 1)，求向量c = a + b和向量d = a - b。
解析：根据向量的加法和减法的定义，我们可以得到c = (2+4, 3+1) = (6, 4)，d = (2-4, 3-1) = (-2, 2)。
通过这个例子，我们可以看出，向量的加法和减法的解题方法就是将向量的对应分量相加或相减，得到一个新的向量。
二、向量的数量积向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加得到一个数。
在解题过程中，我们可以通过将向量的坐标表示出来，然后按照数量积的规则进行计算。
例如，已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, 1)，求向量a和向量b的数量积。
解析：根据向量的数量积的定义，我们可以得到a·b = 2*4 + 3*1 = 8 + 3 = 11。
通过这个例子，我们可以看出，向量的数量积的解题方法就是将两个向量的对应分量相乘后再相加得到一个数。
三、向量的向量积向量的向量积是指两个向量的叉乘得到一个新的向量。
在解题过程中，我们可以通过将向量的坐标表示出来，然后按照向量积的规则进行计算。
例如，已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, 1)，求向量a和向量b的向量积。
解析：根据向量的向量积的定义，我们可以得到a×b = (2*1 - 3*4, 3*4 - 2*1) = (-10, 10)。
解答向量问题常用的三种途径
向量是高中数学中的重要内容.向量问题经常出现在各类试题中，其常见的命题形式有：（1）求两个向量的数量积及取值范围；（2）求某个向量的模的最值；（3）求向量中参数的取值范围；（4）判断两个向量的位置关系；等等.这就要求同学们熟练掌握并灵活运用各种求解向量问题的方法和思路.下面介绍三种解答向量问题常用的途径.一、利用几何法几何法是指根据向量的几何意义来画出图形，将问题转化为几何图形的位置关系、距离、最值问题来求解.这就要求我们熟练掌握并运用向量的几何意义：（1）向量的加法意义：三角形法则、平行四边形法则；（2）向量的模的几何意义：向量所在线段的长；（3）两个向量数量积的几何意义：一个向量的模与其在另一个向量方向上的投影的乘积.在求解与向量的模或角度有关的问题时，通常可将某个向量看作三角形、四边形、多边形的一条边，利用这些几何图形的性质以及位置关系来解题.例1.在等腰△BCE 中，若∠C =90°，BC =4，那么向量 BE ∙BC =_____.解：由于∠C =90°，可知BC 、EC 分别为等腰△BCE 的两条直角边，由于等腰直角三角形的两腰相等，所以BC =4=EC =4，可得BE =42，则 BE ∙ BC =|| BE ∙||BC cos 45°=4×42=16.解答本题，需根据两向量的数量积公式，将求BE ∙BC转化为求|| BE ∙|| BC .只需将|| BE 、|| BC 看作等腰直角三角形的两条边长，根据等腰直角三角形的性质进行求解即可.例2.若 OA =a ，OB =b ，a 与b 不共线，则∠AOB 平分线上的向量为().A.a |a |+b |b | B.a +b |a +b |C.|b |a -|a |b |a |+|b |D.λæèöøa |a |+b|b |，λ由 OM 确定解：以OM 为对角线，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OCMD ，如图1所示.图1∵OM 平分∠AOB ，∴平行四边形OCMD 是菱形．设OC =OD =λ，∴ OC =λa |a |，OD =λb |b |，∴ OM = OC + OD =λæèöøa |a |+b |b |，且λ由 OM 确定.用几何法来解答向量问题，需先将向量所表示的线段“搬”到几何图形中；再借助几何图形的性质，如三角形的性质、圆的性质、平行四边形的性质等来求解.对于本题，我们以OM 为对角线，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OCMD ，根据平行四边形和菱形的性质建立关系式，就能顺利求得问题的答案.二、运用坐标法运用坐标法解答向量问题，首先要建立一个合适的平面直角坐标系；然后设出未知点的坐标，并求得其他点的坐标；再根据向量的运算法则，如加法a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2)，减法a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，数乘运算λa =(λx 1，λy 1)，向量的模|a |=x 21+y 21，其中a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，求得问题的答案.例3.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD =DC =1，AB =2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心、AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图2所示)，若AP =λ ED +μ AF ，其中λ，μ∈R ，则2λ-μ的取值范围是_____．解：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，图2考点透视32图3a ，OB =b ，OM =x a ，得 OM =4x OC ＋y 三点共线，∴4x ＋y =；得 OM =x a ＋2y OD 考点透视。
高中数学向量求解技巧总结
高中数学向量求解技巧总结向量是数学中的重要概念，应用广泛且常常出现在高中数学中。
掌握向量求解技巧对于解题非常重要。
以下是高中数学向量求解技巧的总结。
一、向量的表示方法1. 位置向量表示：设A为平面内的点，则点A与原点O之间的位移向量称为点A的位置向量，记作OA或a。
2. 坐标表示：在直角坐标系中，向量可以表示为有序实数对或有序实数n元组(a1, a2, ..., an)。
3. 单位向量表示：向量的方向相同，但长度为1，称为单位向量，常用字母u表示。
二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量a与向量b的和称为向量c，记作c=a+b。
向量加法满足交换律、结合律和分配律。
2. 向量的数乘：向量a与实数k相乘，得到向量b，称向量b是向量a的k倍，记作b=ka。
数乘运算满足结合律和分配律。
3. 向量的减法：向量a与向量b的差称为向量c，记作c=a-b。
向量减法可以通过向量加法和数乘得到。
三、向量的性质1. 相等的向量：两个向量的模长相等且方向相同，则这两个向量相等。
2. 零向量：模长为0的向量称为零向量，用0表示，任何向量与零向量相加等于自身。
3. 反向向量：两个向量的模长相等且方向相反，则这两个向量互为反向向量，记作-a。
4. 平行向量：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量平行。
5. 相互垂直的向量：两个向量的数量积为0，则这两个向量相互垂直。
四、向量的数量积1. 两个向量a与b的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦的乘积，即a·b=|a||b|cosθ。
2. 垂直向量的性质：若两个向量的数量积为0，则这两个向量相互垂直。
3. 夹角公式：根据数量积的定义可以推导出夹角公式cosθ=a·b/|a||b|。
五、向量的叉乘1. 两个向量a与b的叉乘结果记作c=a×b，得到一个新的向量c。
2. 叉乘的模长公式：|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角。
数学向量题型和解题方法
数学向量题型和解题方法数学向量是高中数学中重要的一章，涉及到向量的概念、表示、加减、数量积、向量积等等，是一道重要的数学工具。
在学习数学向量的过程中，不同的题型需要不同的解题方法，下面就来介绍一些常见的数学向量题型及解题方法。
一、向量的概念题型向量的概念题型多以向量的定义为主线，通过对向量的定义的理解和应用，来解决问题。
在这类题型中，需要注意向量的定义，了解向量的基本性质。
例如：1. 已知向量AB，求向量BA解法：向量BA是向量AB的相反向量，所以BA=-AB。
2. 若向量OA，OB，OC共线，则证明三角形ABC共线。
解法：若OA，OB，OC共线，则向量OA，OB，OC线性相关，设向量OA=k1OB+k2OC（k1,k2为实数），则只需要证明k1+k2=1即可。
因为三角形ABC的三个顶点不共线，所以可以得到向量OA，OB，OC线性无关。
所以k1+k2=1，三角形ABC共线。
二、向量的运算题型向量的运算题型多以向量的加减、数量积、向量积为主线，通过对向量的计算来解决问题。
在这类题型中，需要注意向量的运算法则，了解向量的性质。
例如：1. 已知向量AB=3i+4j，向量BC=5i+2j，求向量AC解法：向量AC=向量AB+向量BC=（3+5）i+（4+2）j=8i+6j。
2. 已知向量a=2i-j，向量b=3i+4j，求向量a与向量b的数量积。
解法：向量a与向量b的数量积为a·b=2×3+（-1）×4=2。
三、向量的几何应用题型向量的几何应用题型多以向量的几何应用为主线，通过对向量的几何意义的理解和应用，来解决问题。
在这类题型中，需要注意向量的几何意义，了解向量的几何应用。
例如：1. 已知三角形ABC的三个顶点A（1,2），B（2,3），C（4,5），求向量AB，向量BC和向量AC的夹角。
解法：向量AB=(1-2)i+（2-3）j=-i-j，向量BC=(4-2)i+（5-3）j=2i+2j，向量AC=向量AB+向量BC=i+j，所以cos∠ABC=（向量AB·向量BC）/（|向量AB||向量BC|）=(-1-2)/√2×2=-(1/2)。
向量最值题型解题方法
向量最值题型解题方法向量问题一般分为向量的运算和向量的性质两个方面。
其中向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法、向量积和点积等；而向量的性质包括向量的模、单位向量、平行向量和垂直向量等。
下面我将分别介绍这些向量问题的解题方法。
一、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，其结果仍然是一个向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
具体求向量的和时，只需将两个向量的对应分量相加即可。
2.向量的减法向量的减法是指将两个向量按照一定的规则相减，其结果仍然是一个向量。
向量的减法通过加上被减向量的负向量来实现。
具体求向量的差时，只需将两个向量进行相加，其中被减向量的各个分量取其相反数。
3.数量乘法向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘积，其结果仍然是一个向量。
具体求向量的数量乘法时，只需将向量的各个分量与实数相乘即可。
4.向量积5.点积点积又称为数量积或内积，表示为\(A \cdot B\)，是两个向量的数量积。
点积的结果是一个实数，等于两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值之积。
二、向量的性质1.向量的模向量的模是指向量的长度，表示为\(，A，\)或\(\，A\，\)，即向量的终点到原点的距离。
根据勾股定理可以求出向量的模。
2.单位向量单位向量是指向量模为1的向量。
具体求单位向量时，只需将向量的各个分量除以向量的模即可。
3.平行向量平行向量是指夹角为0度或180度的两个向量。
两个向量平行的判断条件是它们的方向相同或相反。
4.垂直向量垂直向量是指夹角为90度的两个向量。
两个向量垂直的判断条件是它们的点积等于0。
在解决向量最值问题时，我们需要根据题目要求选择合适的方法。
根据向量的运算和性质，可以采用如下解题思路：第一步，读清题意，明确向量的数量、方向和运算等要求。
第二步，根据题意选择合适的向量算法。
如果题目要求计算向量的和、差或数量乘法，可以直接利用向量的运算法则进行计算。
如果题目要求计算向量的模、单位向量、平行向量或垂直向量，可以利用向量的性质进行计算。
数学向量题型和解题方法
数学向量题型和解题方法数学向量是高中数学中的重要内容之一，它不仅是解析几何的基础，还是物理学、计算机图形学等领域中的基本概念。
在考试中，向量题型也是比较多的，掌握一定的解题方法可以帮助我们更快地解决问题。
一、向量的基本概念向量是表示有大小和方向的量的数学工具。
它可以用一个带箭头的线段来表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
向量有加法、减法、数乘等运算，也可以表示为坐标形式。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后从两个起点的另一侧连接相应的终点，得到一个平行四边形的对角线，这条对角线就是两个向量的和。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即将减去的向量取反，再进行加法运算。
3. 向量的数乘向量的数乘即将向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，其大小为原向量大小的k倍，方向不变（若k>0，则与原向量方向相同；若k<0，则与原向量方向相反）。
三、向量的解题方法1. 平行向量的性质两个向量平行，当且仅当它们的坐标成比例，即$vec{a}=lambdavec{b}$，其中$lambda$为实数。
2. 向量的模长向量的模长等于其终点到起点的距离，即$left|vec{a}ight|=sqrt{a_x^2+a_y^2}$。
3. 向量的点乘和叉乘向量的点乘：$vec{a}cdotvec{b}=a_xb_x+a_yb_y$，它表示两个向量的夹角余弦值的乘积，有时也用来判断两个向量是否垂直。
向量的叉乘：$vec{a}timesvec{b}=a_xb_y-a_yb_x$，它得到的向量与原向量构成一个右手系，其大小等于原向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所在的平面。
4. 向量的投影向量$vec{a}$在向量$vec{b}$上的投影为$p_{vec{b}}vec{a}=frac{vec{a}cdotvec{b}}{left|vec{b}ight|^2}vec{b}$，它表示向量$vec{a}$在向量$vec{b}$上的长度。
高数向量求解题技巧
高数向量求解题技巧高等数学中的向量求解题目是很常见的类型，主要涉及到向量的加法、减法、数量积、向量积等运算。
下面介绍一些常见的高数向量求解题技巧。
1. 点乘运算的应用：点乘运算是向量乘法中的一种运算方法，它可以用来计算两个向量的夹角、判断两个向量是否正交、计算两个向量的投影等。
常见的技巧有：- 使用点乘计算夹角：设有两个向量A和B，由于两向量的点乘公式是A·B=|A||B|cosθ，其中θ为A和B之间的夹角，利用这个公式可以计算夹角。
- 使用点乘判断正交性：如果两个向量A和B的点乘结果为0，即A·B=0，则可以判定两个向量正交。
- 使用点乘计算投影：设有两个向量A和B，向量B在向量A上的投影为投影向量P，则有P=(A·B)/|A|^2 * A。
2. 叉乘运算的应用：叉乘运算可以用来计算两个向量的向量积，它具有求垂直于两个向量所在平面上且符合右手定则的向量的性质。
常见的技巧有：- 使用叉乘计算面积：设有两个向量A和B，它们的叉乘结果的模的一半即为由A和B所确定的平行四边形的面积。
- 使用叉乘计算向量的方向：叉乘运算满足右手定则，结果指向由A和B所组成的平面的法向量。
可以利用这个性质来确定向量的方向。
- 使用叉乘计算体积：设有三个向量A、B和C，它们的叉乘结果的模即为以向量A、B和C所确定的平行六面体的体积。
3. 向量加法运算：向量加法运算是高等数学中的一个基本运算，它满足向量加法交换律和结合律。
常见的技巧有：- 利用向量加法交换律和结合律进行变形：通过变形可以将给定的向量表达式转化为更简单的形式，便于求解。
- 利用向量加法求解位置关系：设有向量AB和AC，通过向量加法可以求得向量AB和AC的和向量BC，从而得出AB和AC的位置关系（平行、共线或夹角关系）。
4. 向量减法运算：向量减法运算是向量加法运算的一个特殊情况，即将减数向量的方向取反后与被减数向量进行加法运算。
常见的技巧有：- 利用向量减法进行化简：通过变换减法运算可以将给定的向量表达式转化为更简单的形式，便于求解。
数学向量求解题技巧
数学向量求解题技巧数学向量是高中数学中的一个重要概念，也是线性代数的基础内容之一。
在解题过程中，掌握一些技巧可以帮助我们更快地求解向量问题。
以下是一些常见的数学向量求解题技巧。
一、向量的基本概念与性质要理解向量的求解技巧，首先需要掌握向量的基本概念和性质。
向量可以看作有方向的线段，表示为有限长的箭头，箭头的起点称为向量的起点，箭头的终点称为向量的终点。
同时，向量还具有加法、减法和数乘等运算。
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 向量的减法：向量的减法可以看作加上负向量，即A-B=A+(-B)。
3. 向量的数乘：向量的数乘满足结合律和分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k1+k2)A=k1A+k2A。
二、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，向量可以使用坐标表示。
对于平面向量A(x1,y1)和B(x2,y2)，可以通过坐标差表示向量AB：AB=(x2-x1,y2-y1)。
对于三维空间向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，可以通过坐标差表示向量AB：AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
三、向量的运算利用向量的基本运算，我们可以快速求解向量的模长、单位向量、相互垂直和夹角等问题。
1. 向量的模长：向量的模长是指向量的长度，用||A||表示。
在平面直角坐标系中，向量A(x,y)的模长为||A||=√(x^2+y^2)；在三维空间中，向量A(x,y,z)的模长为||A||=√(x^2+y^2+z^2)。
2. 单位向量：向量的单位向量是指具有相同方向但模长为1的向量。
对于非零向量A，它的单位向量为A/||A||。
3. 相互垂直：如果两个向量的乘积为0，则它们相互垂直。
即如果A·B=0，则向量A和向量B相互垂直。
这可以通过向量的坐标表示和向量的数量积求解。
4. 向量夹角：可以使用向量的数量积求解向量的夹角。
对于非零向量A和B，它们的夹角θ满足cosθ=(A·B)/(||A||·||B||)。
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一、二、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确(1)若c a c b b a ===则,,；(2)两向量b a、相等的充要条件是b a =且共线、b a ； (3)b a =是向量b a=的必要不充分条件；(1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A=是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；(2)D C B A=的充要条件是A 与C 重合，D B 与重合。
三、向量运算及数乘运算的求解方法两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。
两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b不共线，则b a b a -+与是以a 与b为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。
在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2211y x B y x A ，则=-=A O B O B A),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-。
例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a --== 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1(=-=-==c c b a 则b a D b a C b a B b a A 2123.2123.2321.2321.+---+- 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点满足C B O A O C Oβα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹为（ ）52. 02.0)2()1.( 01123.22=-+=-=-+-=-+y x D y x C y x B y x A例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(CA CA B A B A A O P O++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定过ABC ∆的（）.A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心 例5 设G 是ABC ∆内的一点，试证明:(1)若G 是为ABC ∆重心，则0=++C B B G A G ；(2)若0=++C B B G A G ，则G 是为ABC ∆重心。
四、三点共线问题的证法证明A,B,C 三点共线，由共线定理(共线与C A B A )，只需证明存在实数λ，使C A B Aλ=，，其中必须有公共点。
共线的坐标表示的充要条件，若),(),,(2211y x b y x a ==，则)(0//12211221y x y x y x y x b a b a ==-⇔=⇔λ例1 已知A 、B 两点，P 为一动点，且B tA A O P O+=，其中t 为一变量。
证明：1.P 必在直线AB 上；2.t 取何值时，P 为A 点、B 点？例2 证明：始点在同一点的向量b a b a23-、、的终点在同一直线上 例3 对于非零向量b a b a b a b a +≤+≤-求证：、, 五、求解平行问题两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。
例1 已知),1(),1,2(),1,0(),0,1(y Q P N M 且Q P N M//，求y 的值。
例2 已知点)2,1(-A ，若向量,132)3,2(==B A a B A同向，与则B 点的坐标是____.例3 平面内给定三向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a，则：(1) 求;23c b a -+ (2)n m c n b m a 、的实数求满足+= (3) 若;),2//()(k a b b k a 求实数-+(4) 设.,1)//()(),(d c d b a c d y x d 求且满足=-+-=例4(1) 已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ，求的坐标的交点，与P B D C A。
(2) 若平行四边形ABCD 的顶点的坐标。
求顶点D C B A ),6,5(),1,3(),2,1(--- 六、向量的数量积的求法求数量积：⎪⎩⎪⎨⎧+=••=•2121cos y y x x b a b a b a坐标法：定义法：θ 当︒=︒=1800//θθ和时，b a 两种可能。
故b a b a•±=•一些重要的结论：22a a a a =•=；2222)(b b a a b a +•±=±；22))((b a b a b a -=-+例1 设c b a,,是任意的非零的向量，且相互不共线，则（ ） 2249)23)(23(()(;;0)()(ba b a b a ④c b c a a c b ③b a b a ②b a c c b a ① -=-+••-•-<-=•-•垂直不与） 其中是真命题的为（ ）②④③④C ②③B ①②A D. . . .例2 已知平面上三点A 、B 、C ，满足,5,4,3===A C C B B A则BA A C A C CBC B B A •+•+•的值等于________。
例3 已知向量b a 和的夹角为︒120，且.______)2(,5,2=•-==a b a b a则七、如何求向量的长度形如b aμλ+的模长求法：开方转化为含数量积运算先平方→→，即： 222222b b a a b a μλμλ+•±=±例1 已知向量____,,60,4,,=+︒==b a b a b a b a则的夹角为与____,=+b a 其中 .___________,方向夹角为与方向的夹角为与a b a a b a-+例2 设向量的值。
求满足b a b a b a b a+=-==3,323,1,八、如何求两向量的夹角夹角公式：222221212121cos y x y x y y x x ba ba +•++=•=θ例1 已知._____,,36)51()3(,12,10的夹角求且b a b a b a-=•==例2 若21e e与是夹角为︒60的单位向量，且的夹角与及求b a b a e e b e e a•+-=+=,23,22121。
九、垂直问题的求解向量垂直的充要条件：002121=+⇔=•⇔⊥y y x x b a b a例1若向量所成的角。
与则满足b a b a b a b a,,-=+例2在ABC ∆中ABC k C A B A ∆==且),,1(),3,2(的一个内角为直角，求k 的值。
例3已知λλ垂直，求与且。
b a b a b a b a-+==⊥23.3,2, 例4已知点的坐标。
求于点D D B O D A B A O ,),3,6(),5,0(),0,0(⊥十、向量的数量积的逆向应用求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。
例1已知?,5,1),3,4(==•=-=b b a b a则且例2求与向量的坐标的向量２的夹角相等，且模长为和c b a)3,1()1,3(=-= 例3若平面向量) (,53180)2,1(==︒-=b b a b则，且的夹角是与向量 )3,6.( )3,6.( )6,3.( )6,3.(----D C B A例4已知._______,15)4,3(==-=b b a b则垂直，且与向量向量十一、线段定比分点公式的运用技巧求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点，定比分点坐标公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 中点坐标公式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ，重心坐标公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x例1设点P 分有向线段→21P P 所成的比为43，则1P 分→P P 2所成的比为________。
例2已知两点Q P Q P 则),3,2(),9,4(--与y 轴的交点分有向线段所成的比为Q P___.十二、利用平移公式解题点),(y x A 按向量的图像按，而函数平移，得到点)(),(),(x f y k y h x k h a =++=向量k h x f y k h a +-==)(),(式为平移得到的函数的解析，解题时要注意理解图像平移前后的关系。
例1已知两个点则：向量),12,3(),14,2('),2,1(-=-a P P(1)把P 按向量a平移得_______.(2)某点按a,得到'P ，求这个点坐标。
(3)P 按某向量平移得到'P ,求这个向量坐标。
例2将函数4)12(log 3-+=x y 的图像按向量a平移后得到的是函数)2(log 3x y =的图像，那么a的坐标是_______.例3将函数平移，的图像按向量a x y 2sin 2=得的图像，1)32sin(2++=πx y 则向量a的坐标是（ ）)1,6( )1,3( )1,6.( )1,3.(ππππD C B A --十三、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。
正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===；A R a sin 2•=，B R b sin 2•=，C R c sin 2•= 三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆。
余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ;cos 2222222-+=-+=下面关系式需熟记：在ABC ∆中C B A C B A cos )cos( sin )sin(-=+=+C BA CB A sin )2cos( 2cos )2sin(=+=+ 例1 在ABC ∆中，?,4:3:2sin :sin :sin =∠=ABC C B A 则例2 已知ABC ∆中的最大角A 是最小角C 的二倍，且c b a 、、成等差数列，则____::=c b a例3 已知c b a 、、是ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，c b a 、、成等差数列，︒=∠30B ，ABC ∆的面积为23，那么_____=b 。
例4在ABC Rt ∆中，的值－求B A c b a C ,26,2=+=π。
十四、如何判定三角形的形状原则上是将角化成边或将边化成角，主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。
注意：做等式变形过程中因式不可直接约分！例1 在ABC ∆中，若,sin sin cos 2C A B =•则ABC ∆的形状一定是（ ）等边三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形. . . .D C B A 例2 关于02coscos cos 2=--cB A x x x 的方程有一根为1，则ABC ∆的形状一定是（ ） 钝角三角形锐角三角形直角三角形等腰三角形. . . .D C B A 例3 在ABC ∆中，则,tan tan 22A bB a =ABC ∆是（ ）.DCBA..直角三角形等腰直角三角形等腰三角形.等腰或直角三角形。