一阶逻辑基本概念复习课程
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S={1,2,…,50} 表述S中所有元素都大于3这样一个性质，需要 1>3, 2>3, …, 50>3 等50个命题。
2. 不能描述命题间的逻辑联系
例如，逻辑学中著名的苏格拉底三段论： P：所有人必死 Q：苏格拉底是人 R：苏格拉底必死
表示为命题逻辑：应该有 (PQ) R，也就是公式 (PQ)R应该是恒真的。
–命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。
–命题：他是三好学生。 个体词：他。
说 明
个体词一般是充当陈述句主语的名词或代词
个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母a, b,c，…表示。
个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,…表
示。
思 考
不是，只有用谓词常项取代P，用个体常项取代 x1,x2,…,xn时，才能使n元谓词变为命题。
谓词的形式化定义
设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{0，1} 上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn表 示集合D的n次笛卡尔乘积。
例：令G(x，y)： “x高于y”，G(x，y)是一个二元谓词。 将x代以个体 “张三”，y代以个体 “李四”，则G(张 三，李四)就是命题： “张三高于李四”。
离散数学
第4章 一阶逻辑基本概念
本章说明
本章的主要内容
– 一阶逻辑基本概念、命题符号化 – 一阶逻辑公式、解释及分类
本章与后续各章的关系
–克服命题逻辑的局限性 –是第五章的先行准备
命题逻辑的缺陷
把命题看成是一个个孤立的命题，忽略了命题之间的联 系，不能反映某些重要的常见的逻辑思维过程。
1. 繁琐 例. 表述集合个体性质及相互关系
个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。
–可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。
–可以是无穷集合，如N,Z,R,…。
全总个体域（universe）——由宇宙间一切事物组成 。
说 明
本教材在论述或推理中，如果没有指明所采
用的个体域，都是使用的全总个体域。
谓词及相关概念
谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相 互关系的词。
C(x)：x是红的， D(y)：y是古老的
E(y)： y是图书， F(x,y)：x摆满了y
a：这个东西
b：那些东西
符号化为：A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b)
现在可以将苏格拉底三段论符号化为…
用谓词的概念可将苏格拉底三段论做如下的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。
。
–n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。 –n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关系P。
0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、
P(a1,a2,…,an)。若F、G、P为谓词常项，则上述0元谓词为命 题常项；若F、G、P为谓词变项，则为命题变项。
n元谓词是命题吗？
G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。 将x，y代以任意确定的个体，由G(x，y)都能得到一个
命题。
例题
D={2, 3, 4} 设P(x)：x大于3，则P(x)为一元谓词。 指定元素--命题：P(2)=0, P(3)=0, P(4)=1 设P(x,y)：x大于y,则P(x,y)为二元谓词。 指定元素--命题：P(2,3)=0, P(4,2)=1 设P(x,y,z)：若x+y-1=z，则P(x,y,z)为1，否则为0 。
则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(苏格拉底) R： M(苏格拉底)
但问题是…
令命题P為：所有人都会死 ，其否定命題為 P = (H(x)M(x)) = (H(x)M(x)) = H(x)M(x)
亦即，命题 P“所有人都会死” 的否定命题是 “所有人 都不會死”。这和人们对命题 “所有人都必死”的否定 的理解並不一致。
原因——命题P的确切意思应该是： “对任意x，如果 x是人，则x必死”。 但是
H(x)M(x)
中并没有确切的表示出 “对任意x”这个意思，因此，在 谓词逻辑中除引进谓词外，还需要引进 “对任意x”这个 语句，及其对偶的语句 “存在一个x”。
则P(x,y,z)为三元谓词。 指定元素--命题：P(2,3,4)=1,P(4,2,2)=0
例题
将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化.
(1)设 F(x,y)：x摆满了y，R(x)：x是大红书柜
Q(y)：y是古书， a：这个书柜 b：那些书
符号化为：R(a)∧Q(b)∧F(a,b)
(2)设 A(x)：x是书柜， B(x)：x是大的
(4) x与y具有关系L。 x，y都是个体变项，谓词为L，命题符号化为L(x,y)。
谓词及相关概念
谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。 如(1)、 (2) 、(3) 中谓词F、G、H。
谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写 字母表示。如(4) 中谓词L。
n(n1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个个体变项的n元谓词
本章内容
4.1 一阶逻辑命题符号化 4.2 一阶逻辑公式及解释
本章小结 习题 作业
4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素 –个体词 –谓词 –量词
个体词及Байду номын сангаас关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体或抽
象的客体。
心物一元 or 心物二元？
举例
量子力学中的测不准原理
(1) 是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号 化为F() 。
(2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号 化为G(x)。
(3) 小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为H ，命题符号化为H(a,b) ，其中a：小王，b：小李。
显然该公式不是恒真的，解释{P，Q，R}就能弄 假该公式。
原因：命题R和命题P, Q是有内在关系的，只是这 种关系在命题逻辑中无法表示。
因此，需要对命题的成分、结构和命题间的共同 特性等作进一步的分析，分析出个体词、谓词和 量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和 数量关系，这正是谓词逻辑所要研究的问题。
2. 不能描述命题间的逻辑联系
例如，逻辑学中著名的苏格拉底三段论： P：所有人必死 Q：苏格拉底是人 R：苏格拉底必死
表示为命题逻辑：应该有 (PQ) R，也就是公式 (PQ)R应该是恒真的。
–命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。
–命题：他是三好学生。 个体词：他。
说 明
个体词一般是充当陈述句主语的名词或代词
个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母a, b,c，…表示。
个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,…表
示。
思 考
不是，只有用谓词常项取代P，用个体常项取代 x1,x2,…,xn时，才能使n元谓词变为命题。
谓词的形式化定义
设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{0，1} 上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn表 示集合D的n次笛卡尔乘积。
例：令G(x，y)： “x高于y”，G(x，y)是一个二元谓词。 将x代以个体 “张三”，y代以个体 “李四”，则G(张 三，李四)就是命题： “张三高于李四”。
离散数学
第4章 一阶逻辑基本概念
本章说明
本章的主要内容
– 一阶逻辑基本概念、命题符号化 – 一阶逻辑公式、解释及分类
本章与后续各章的关系
–克服命题逻辑的局限性 –是第五章的先行准备
命题逻辑的缺陷
把命题看成是一个个孤立的命题，忽略了命题之间的联 系，不能反映某些重要的常见的逻辑思维过程。
1. 繁琐 例. 表述集合个体性质及相互关系
个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。
–可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。
–可以是无穷集合，如N,Z,R,…。
全总个体域（universe）——由宇宙间一切事物组成 。
说 明
本教材在论述或推理中，如果没有指明所采
用的个体域，都是使用的全总个体域。
谓词及相关概念
谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相 互关系的词。
C(x)：x是红的， D(y)：y是古老的
E(y)： y是图书， F(x,y)：x摆满了y
a：这个东西
b：那些东西
符号化为：A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b)
现在可以将苏格拉底三段论符号化为…
用谓词的概念可将苏格拉底三段论做如下的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。
。
–n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。 –n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关系P。
0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、
P(a1,a2,…,an)。若F、G、P为谓词常项，则上述0元谓词为命 题常项；若F、G、P为谓词变项，则为命题变项。
n元谓词是命题吗？
G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。 将x，y代以任意确定的个体，由G(x，y)都能得到一个
命题。
例题
D={2, 3, 4} 设P(x)：x大于3，则P(x)为一元谓词。 指定元素--命题：P(2)=0, P(3)=0, P(4)=1 设P(x,y)：x大于y,则P(x,y)为二元谓词。 指定元素--命题：P(2,3)=0, P(4,2)=1 设P(x,y,z)：若x+y-1=z，则P(x,y,z)为1，否则为0 。
则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(苏格拉底) R： M(苏格拉底)
但问题是…
令命题P為：所有人都会死 ，其否定命題為 P = (H(x)M(x)) = (H(x)M(x)) = H(x)M(x)
亦即，命题 P“所有人都会死” 的否定命题是 “所有人 都不會死”。这和人们对命题 “所有人都必死”的否定 的理解並不一致。
原因——命题P的确切意思应该是： “对任意x，如果 x是人，则x必死”。 但是
H(x)M(x)
中并没有确切的表示出 “对任意x”这个意思，因此，在 谓词逻辑中除引进谓词外，还需要引进 “对任意x”这个 语句，及其对偶的语句 “存在一个x”。
则P(x,y,z)为三元谓词。 指定元素--命题：P(2,3,4)=1,P(4,2,2)=0
例题
将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化.
(1)设 F(x,y)：x摆满了y，R(x)：x是大红书柜
Q(y)：y是古书， a：这个书柜 b：那些书
符号化为：R(a)∧Q(b)∧F(a,b)
(2)设 A(x)：x是书柜， B(x)：x是大的
(4) x与y具有关系L。 x，y都是个体变项，谓词为L，命题符号化为L(x,y)。
谓词及相关概念
谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。 如(1)、 (2) 、(3) 中谓词F、G、H。
谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写 字母表示。如(4) 中谓词L。
n(n1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个个体变项的n元谓词
本章内容
4.1 一阶逻辑命题符号化 4.2 一阶逻辑公式及解释
本章小结 习题 作业
4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素 –个体词 –谓词 –量词
个体词及Байду номын сангаас关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体或抽
象的客体。
心物一元 or 心物二元？
举例
量子力学中的测不准原理
(1) 是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号 化为F() 。
(2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号 化为G(x)。
(3) 小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为H ，命题符号化为H(a,b) ，其中a：小王，b：小李。
显然该公式不是恒真的，解释{P，Q，R}就能弄 假该公式。
原因：命题R和命题P, Q是有内在关系的，只是这 种关系在命题逻辑中无法表示。
因此，需要对命题的成分、结构和命题间的共同 特性等作进一步的分析，分析出个体词、谓词和 量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和 数量关系，这正是谓词逻辑所要研究的问题。