状态空间模型

移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态 随时间变化的规律。
例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是 x10, x20, x30 。在u(t)作用下 ，系统的状态开始变 化，运动规律如下：
x3
x 30
t0
t1 t2
t3
x10
x1
x 20
x2
可见，状态向量的状态空间表示，将向 量的代数结构和几何概念联系起来。
由 xx所组成的平面坐标系称为相平面
过去，用解析法求二
阶微分方程不很方便， 在工程上出现了作图求 解的方法。即先用几何 作图法画出x与 x& 的相 轨迹图，再利用图形分 析系统或求近似解。
令x1x, x2x &
x& ( x0 , x&0 )
x
则由x1与x2张成的平面即为状态平面。
1.状态： 定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小 变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变 量组中的每个变量称为系统的状态变量。 注意：
则说明二阶方程只有两个实际的未知变量。我们
称x和 x为相变量。
如果我们能够求出这两个量，这个系统的运动 状态就完全被确定了。
若采用x和 x作为平面的直角坐标轴，则系统在
每一时刻的状态均对应于该平面上一点，当时间t变 化时，这一点在平面上绘出一条相应的轨迹线。该 轨迹线表征系统状态的变化过程，称为相轨迹。
在非零初始条件下。系统的行为不仅与输入有
关，且与初始状态有关，此时，要确定系统的完全 行为，必须先知道这两方面的信息。
写出网络的回路方程:
di
L dt
Ri
uc
u(t)
这个方程有两个独立的未知变量i和uc,只要求 出这两个量，这个系统的运动状态就完全被确定了。
本例中，根据电路知识，只要知道了电感上 的初始电流 i(0) 和电容的初始电压uc(0)以及输入 u(t) ，就可确定电路的全部状态。
两种描述对比：
输入-输出描述（微分方程描述或传递函数描述）：将系统看成一个“黑箱”，只 反映系统外部输入变量与输出变量之间的因果关系，不去表征系统的内部结构和 内部变量。它是一种不完全的描述，具有完全不同内部结构的两个系统也可能具 有机同的外部特性。
内部描述（状态空间描述）：是一种对系统的完全的描述，能完全表征系统的所 有动力学特征。它实现了各种不同的系统（单变量，多变量，时变，时不变，线 性，非线性等）描述形式的统一。适合描述复杂的动态系统。它的出现，推动了 控制理论的发展，实现了由古典控制理论向现代控制理论的过渡。
第2讲
状态空间模型
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。
经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
故根据状态的定义，可选 i 和 uc为本系统的 状态变量。
﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。
例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量
R
C2
i1 u(t)
i2 i3 C1
y(t) C3
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在t=t0时，若已知u(t)及uc1(t0), uc2(t0), uc3(t0) 。 则由克希霍夫定律,可求得电路的解。
二.状态空间表达式
是一组一阶微分方程组和代数方程组成，它 们分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描 述。
1. 建立方法：
例1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式.
u(t) k
x1(t)
x(t)
x
2
(
t
)
M
x
n
(
t
)
n1
又表示为：x(t) ∈Rn [x(t)属于n维状态空间 ]
引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了 系统在某时刻的状态。
换一种说法即状态空间是由所有状态矢量x组成 的，系统的一个状态，在状态空间中就是一个点。
3.状态轨线： 定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所
﹡状态变量具有非唯一性的：
如上例中，最小变量组是2个独立变量， 可在 uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。
2. 状态空间：
定义：由系统的n个状态变量x1(t), x2(t), …, xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状 态空间。
引入状态空间后，即可把n个状态变量用矢量 形式表示出来，称为状态矢量。 记为：
故uc1(t), uc2(t), uc3(t)均可选作状态变量。
但因 uc1+uc2+uc3=0 显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立 的，因此，最小变量组的个数应是二。
一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数
对于n阶系统，有n个状态变量： x1(t), x2(t), … xn(t)
我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统 的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程， 被当作中间变量消掉了。
现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方 程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。
特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比 求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能 同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求 解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。 因而能同时确定系统内部的全部运动状态。
§1-1.状空间表达式
一.状态及状态空间
所谓“状态”是指描述系统动态行为的基本变量 的集合，这些必要且充分的变量，足以完全描述系 统的动态行为。
相平面法：用来求解二阶常微分方程的图解方法
设二阶系统的常微分方程为：
x f(x,x )0 式中 f (x, x) 是x和 x的线性或非线性函数。
若表示为 x f(x,x )
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。
例：RLC网络如下图所示，试选择系统的状态变量
R
L
i
u(t
C y(t)
)
按以前的方法，令电路初始条件为零，用传递 函数求解系统的行为，即：Y(s)=G(s)U(s)，只能求 出输入—输出关系。这只是求出了零状态下的单个 输出解，是一种外部描述，对于二阶系统来说不是 完整描述。