凸包生成算法实验报告

实验报告

班级：

学生姓名：

学号： 201101218

日期: 2014年5月11日

判断点线关系及计算多边形内角一、点与线的关系

（1）定义：平面上的三点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)的面积量：|x1 x2 x3|

S(P1,P2,P3) = |y1 y2 y3| = (x1-x3)*(y2-y3) - (y1-y3)*(x2-x3)

|1 1 1 |

当P1P2P3逆时针时S为正的，当P1P2P3顺时针时S为负的。

令矢量的起点为A，终点为B，判断的点为C，

如果S（A，B，C）为正数，则C在矢量AB的左侧；

如果S（A，B，C）为负数，则C在矢量AB的右侧；

如果S（A，B，C）为0，则C在直线AB上。

（2）算法

二、计算多边形内角

（1）算法过程

第一步：输入一系列的离散点；

第二步：找x坐标值最小的点p0，这样能确定由此点构成的多边形的角是凸的；

第三步：定义与p0点相邻的前后两个点p1，p2，若超出数组边界，则用首点或尾点取代；

第四步：计算p2与向量p1p0的位置关系，若p2在向量p1p0的左边，则多边形呈逆时针方向；若p2在向量p1p0的右边，则多边形呈顺时针方向。

第五步：计算多边形的各个内角，利用两个向量的夹角公式计算。由于多边形有凹凸性，所以算角时要分情况。找规律可知，若多边形是逆时针走向，那么，若三个相邻的点构成凸角，三点的走向始终是逆时针走向，否则，是顺时针走向，故可根据此来确定角度。

（2）算法实现

1

2

3

（3）算法结果

凸包生成算法

一、凸包定义

通俗的说就是：一组平面上的点，求一个包含所有点的最小凸多边形，这个最小凸多边形就是凸包。

二、Graham算法思想

概要：Graham算法的主要思想就是，最终形成的凸包，即包围所有点的凸多边形，假定多边形是按逆时针方向生成的，那么多边形内部包围的所有点与多边形每个有向边的关系都是：点在有向边的左边。依照此思想，只要找到一个出发点，然后依此出发点按逆时针方向构建多边形，并保证每加入一条有向边时，都要满足其余点都在该边的左边。

具体算法过程：

（1）输入：点集S={P}

（2）寻找基点P0：在所有点中找到y坐标最小的点，若找到多个，则选取其中X坐标最大的点作为基点，若只找到一个，则直接以这个点作为基点。

（3）排序：以基点为起点，以其余点为终点构成一个向量，逐个计算每个向量与x 轴正方向的夹角，并按夹角有小到大进行排序，得到一个排序的点S1={p0,p1,p2,p3…p(N-1)}；对于夹角相同的点，剔除掉离基点近的点，只保留离基点最远的那个点。

注意：由于计算角度复杂且耗时，在这里采用另外一种方式处理，根据上面的点线关系，从基点p0出发，依次遍历其它点，设为pk，p0和pk就构成一条有向向量，依次判断其它点

（如pm）在向量的哪个方向，若在线段右边，则用其它点代替pk，构成一个新向量p0pm,继续判断剩余的点，这样一趟下来，就能找到最右边的点；依此道理判断其他点。如图：从向量p0p3（p3是任意选的，最终要将除p0外的所有点选到即可）开始，p1在向量p0p3左边，不变；p2在p0p3左边，向量不变；p4在p0p3右边，这时要将比较的向量变为p0p4；继续遍历p5，p5在p0p4右边，向量变为p0p5；继续遍历p6,p6在向量p0p5右边，向量变为p0p6；遍历p7，p7在向量p0p6右边，向量变为p0p7，这一趟下来就将p7这一个最右边的点找到了。同样的方法排序其他点，最后向量按与x轴正方向的顺序就是{p7,p6,p5,p4,p3,p2,p1},依次递增。

（4）构造凸包：

第一步：首先将基点p0入栈，p1和p2也依次入栈；

第二步：取栈顶的前两个点构成向量，即向量；

第三步：判断点p(k+1)是否在向量的左边；

第四步：

情况1:若在向量的左边，则将点p(k+1)入栈，重复第二步；

情况2：若在向量的右边，将点pk出栈，继续取下一个点，重复步骤二。

第五步：最后栈中存储的点就为凸包。

三、编程实现

1、判断点p3是否在p1p2左边函数。

5、测试结果图