2013届高考数学专题训练11 三角变换与解三角形、平面向量 理
2013高考数学选择题高效训练三角函数向量解三角形
2013高考数学选择题高效训练三角函数，向量，解三角形1．－3000化为弧度是A ．34π-B ．35π- C ．47π- D ．67π-2．已知53)sin(-=+απ，则一定有（ ） A ．53)2sin(=-απ B ．53)sin(=-α C ．53)2sin(-=+απk D ．53)sin(=-απ3．已知角α的终边过点P(－4,3) ，则2sin cos αα+ 的值是A ．－1B ．1C ．52-D ． 254．sin105cos105的值为 （ ）Ａ．14 Ｂ．－14 Ｃ．4 Ｄ．－45．函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一条对称轴是 （ ） A ．4x π=-B ．2x π=-C ．8x π=D ．54x π=6．000054cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（ ） A ．0 B ．22 C ．23 D ．21 7. 函数 )252sin(π+=x y 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π 的奇函数 D.周期为2π的偶函数8.函数12cos 222y x x =+的图象可以由函数sin 2y x =的图象 作以下平移得到（ ）A. 向右平移6p B. 向右平移12p C. 向左平移6p D. 向左平移12p 9. 已知sin cos 1x x +=-,则20052005sincos x x +的值为 A ．0 B ．1 C ．-1 D ．± 110. 若函数()sin ()f x x g x =+在区间[3,44p p -]上单调递增， 则函数)(x g 的表达式为A ．x cosB ． cos x -C ．1D ．tan x -11. 函数12log (12cos 2)y x =-的一个单调递减区间是A ．(,0)6p -B ．(0,4p )C ．[,62p p ]D ．[,42p p ]12. 函数())sin(3)f x x x q q =---是奇函数，则tan q 等于 A ．33 B ．- 33 C ．3 D ．- 3 13. 把函数4cos()3y x p =+的图象向右平移q (q >0)个单位， 所得的图象关于y 轴对称，则q 的最小值为A ．6pB ． 3pC ． 23pD ． 43p14、在ABC ∆中，,4,2,2π=∠==A b a 则=∠B （ ） A.3π B. 6π C. 6π或65π D. 3π或32π15、某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ）A.400米B.500米C. 800米D. 700米16、已知三角形ABC 的面积4222c b a s -+=，则C ∠的大小是（ ）A. 045B.030C.090D.013517、在ABC ∆中，1,60,30==∠=∠O O a B A ，则=b （ ） A 2 B 3 C 23 D 3318、＝则中，A c b a ABC ∠===∆,2,3,7（ ）A O 30B O 45C O 60D O 9019、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（） A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B ===C 、7,5,80a b A ===D 、14,16,45a b A ===20、在△ABC 中，若B a A b cos cos =，则△ABC 的形状为（ ）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形21、△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为31，则其外接圆的半径为（ ）A 、229 B 、429 C 、 829 D 、92222、在ABC ∆中，2,60a b C ︒==，则ABC S ∆=（ ）A ： ：32 C ：：23、在ABC ∆中，若()()a b c c b a bc +++-=，则A 为（ ）A ： 60︒B ：45︒C ： 120︒D ： 30︒24. 某人向正东方向走xkm 后，向左转身150︒，然后朝新方向走3km ，，那么x 的值为（ ）A ：： C ： 325．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C)53(2112e e - D ．)35(2112e e -26．下列四式不能化简为的是（ ） A ．＋（ B ．（MC ．；MD ．＋－27．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．13、28．下面四个有关向量数量积有关系式中：⑴000=∙→→； ⑵)()(→→→→→→∙∙=∙∙c b a c b a ； ⑶→→→→∙=∙a b b a ; ⑷→→→→∙≤∙b a b a 其中正确的是（ ）A ．⑴⑵ B ．⑵⑶ C ．⑶⑷ D ．⑴⑶29. 已知向量a =(sin ,cos )a a ，=（3，4），且a //，则tan a 等于 （ ）A ．43 B ．34- C ． 34 D ．43-30. 向量m 和n 满足m =1, n =2, 且)(n m m -⊥,则m 与n 夹角的大小为A. 30o B. 45o C. 75o D. 135o31.已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）（0,a ,),0(a 其中常数0a >，点P 在线段AB上，且=t )10(≤≤t ，则OA ·OP 的最大值为A ．aB ．2aC ．3aD ．2a参考答案：1~5. BDDBB 6~10. DBDCB 11~15. DDBBD 16～20. ABCDC 21～25. CBCAA 26～30. CADAB 31.D。
【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题二 三角函数与平面向量(带解析)
【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习专题二三角函数与平面向量三角函数与平面向量主要包括三部分内容——三角函数、平面向量、解三角形，复习这三部分内容应牢牢把握三个点：“角”、“关系”与“运算”，这三个点串成了该部分知识复习的主线．线索一“角”，是三角函数复习线索的中心，该部分知识的复习要围绕“角”这个中心，抓住四个基本点：三角函数的定义、同角三角函数的基本关系与诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换．(1)任意角的三角函数的定义揭示了三角函数值与坐标之间的关系，要明确三角函数各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三角函数定义是推导同角三角函数关系的基础；(2)同角三角函数的基本关系和诱导公式是求解三角函数值、对三角函数式进行化简求值的基础，注意角的范围对三角函数值符号的影响，诱导公式要准确记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，化简时要遵循“负变正，钝变锐”的原则，把角化归到锐角范围内进行研究；(3)三角函数的图像与性质是三角函数的重点，准确把握三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等是解决图像问题的关键，如处理三角函数图像平移问题可借助对应两个函数图像的关键点确定平移的单位和方向；根据函数图像写解析式时，要遵循“定最值求A，定周期求ω，定最值点求φ”的基本思路；(4)角的变化是三角恒等变换的关键，熟练记忆和角、差角、倍角的三角函数公式，这是三角函数化简求值的基础，三角函数综合问题的求解都需要先利用这些公式把三角函数解析式化成“一角一函数”的形式，进而研究三角函数的图像与性质，这些公式是联系三角函数各个部分的纽带．线索二三角形中的“边角关系”，这是解三角形问题的核心，主要涉及正弦定理、余弦定理及解三角形的实际应用问题．(1)正弦定理、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，应注意定理的灵活变形，如a ＝2Rsin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角；(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B)＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等；利用“大边对大角”可以排除解三角形中的增解问题等；(3)测量问题是解三角形在实际应用中的主要内容，解决问题的关键是把要测量的问题归入到相应的三角形中，然后利用正、余弦定理求解相应的边角．线索三平面向量的“基本运算”，这是平面向量中的重点，主要包括线性运算、数量积运算以及坐标运算．(1)正确理解平面向量的基本概念和基本定理是实施平面向量基本运算的基础，如利用相反向量可把向量的减法转化为向量的加法；(2)平面向量的线性运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础，如“a ∥b ”的必要不充分条件是“存在实数t ，使得b ＝ta ”，因为若a ＝0，b ≠0，虽然有a ∥b ，但实数t 不存在； (3)数量积是平面向量中的一种重要运算，坐标运算是平面向量的核心知识，涉及夹角、距离等的基本运算，是历年高考命题的重点，要准确记忆相关公式；(4)平面向量多作为解决问题的工具或者通过运算作为条件出现，常与三角函数、解三角形以及平面解析几何等问题相结合，在复习中要重视向量在解决此类问题时的应用．第一节三角函数的图像与性质1．巧记六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．3．识破三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――→横坐标变为原来的1 ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．(2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0 平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．[考情分析] 高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等．[例1] 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4[思路点拨] 由三角函数定义求出tan θ值，再由θ的范围，即可求得θ的值． [解析] tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos π4sin π4＝－1， 又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.[答案] D[类题通法]1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件． [冲关集训]1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a 1log 3a(a>0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为( ) A.1010 B ．－1010C.31010D ．－31010解析：选B 由题意可知tan(3π＋α)＝13，所以tan α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. ∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. [考情分析] 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定A 、ω、φ问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力．[例2] (2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．[思路点拨] (1)利用最值求出A 的值．再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期，从而得出ω＝2，进而得解；(2)结合已知条件得出关于角α的某一个三角函数值，再根据α的范围易求得α的值．[解] (1)∵函数f(x)的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π.∴ω＝2.∴函数f(x)的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.∴α－π6＝π6，∴α＝π3.[类题通法]1．确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 解析式的方法(1)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，求解析式，常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图像的升降找准第一个零点的位置． (2)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的图像求解析式，参数A ，B ， A ＝最大值－最小值2，B ＝最大值＋最小值2；2．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像变换的技巧及注意事项(1)函数图像的平移变换规则是“左加右减”．(2)在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变换．(3)变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． [冲关集训]3．(2012·济南一模)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2解析：选D y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――――→向左平移π6个单位y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.因为当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1，所以对称轴可以是x ＝π2. 4．(2012·天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：选D 将函数f(x)＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f(x)＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2. 5．(2012·衡水模拟)若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点与最低点，且OM ·ON＝0，则A ·ω＝( ) A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π3解析：选C 由题中图像知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ， 由OM ·ON＝0，得7π2122＝A2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. [考情分析] 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法． [例3] (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．[思路点拨] 先化简函数解析式，再求函数的性质． [解] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)， 故f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}． 因为f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x －cos x) ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z)．[类题通法]函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． [冲关集训]6．(2012·石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析：选D 因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为减函数．7．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.8．(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R)，给出下面四个命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图像关于直线x ＝π4对称；④函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x 的图像可知，函数f(x)的图像关于直线x＝π4不对称，③错误；由f(x)的图像易知函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确． 9．设函数f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R. (1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f(x)＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4， 又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x|x ＝3π2＋4k π，k ∈Z}．(2)法一：因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 所以，x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z ， 又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z.法二：x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ωπ8－cos ωπ8＝0， 即tan ωπ8＝1.所以ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 以下同法一．“观看”数学思想在三角函数中的精彩应用许多三角函数问题，如能灵活运用相应的数学思想(数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想、整体思想)，往往能使一些抽象的、复杂的三角问题迅速、准确地找到解题思路，从而得到便捷的解法．[典例] 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．[思路点拨] 利用转化思想把方程问题化为函数问题，再利用数形结合法求解．[解] (1)由图像知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2，又图像过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2.即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m(m ∈R)的图像，如图所示，由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m<1或1<m<2. 当－2<m<1时，两根之和为4π3； 当1<m<2时，两根之和为π3.[名师支招]本题将方程的根的问题转化成两个函数图像交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解，从函数图像上可以清楚地看出当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图像的对称性便可求出两根之和． [高考预测]函数f(x)＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx|对任意的x ∈R 都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________． 解析：依题意得，当sin πx －cos πx ≥0，即sin πx ≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx ；当sin πx －cos πx<0，即sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图像可知，|x2－x1|的最小值是34.答案：34[配套课时作业]1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：选A 记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α＝cos23π＝－12，y ＝sin α＝sin 23π＝32.2．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan2 θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan2 θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin2 θ＋cos2 θ＝2tan θ1＋tan2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.3．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3解析：选B 由于函数f(x)＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像，可知π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 4．(2012·福州质检)将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B .⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析：选 B 将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.5．(2012·山西考前适应性训练)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<5,0≤φ≤π2)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫0，32，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1，则ω＝( ) A.113 B ．4 C.133 D.143解析：选D 依题意得，f(0)＝sin φ＝32，又0≤φ≤π2，因此φ＝π3.由f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ω×π4＋π3＝－1得ω×π4＋π3＝2k π－π2，ω＝8k －103，k ∈Z ；又0<ω<5，于是有0<8k －103<5，512<k<2524，k ∈Z ，因此k ＝1，ω＝143.6．已知函数f(x)＝sin x ＋3cos x ．设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析：选B 法一：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f ⎝⎛⎭⎫π7，所以c<a<b.法二：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，显然f(x)的最小正周期T ＝2π，一个对称轴为x ＝π6.因为⎪⎪⎪⎪π6－π6<⎪⎪⎪⎪π7－π6<⎪⎪⎪⎪π3－π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，即c<a<b.7．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：r ＝x2＋y2＝16＋y2， 且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.答案：－88．函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析：∵f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，且f(x)的最大值是3<2，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，即sin π4ω＝32， ∴π4ω＝π3，∴ω＝43. 答案：439．函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1，给出下列四个命题：①函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数； ②直线x ＝π8是函数图像的一条对称轴；③函数f(x)的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度而得到；④若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f(x)的值域是[]－1，2.其中所有正确命题的序号是________．解析：∵f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得：k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，即f(x)的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．∴命题①正确．又∵x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是函数图像的一条对称轴，∴命题②正确．又∵f(x)可由y ＝2sin 2x 的图像向左平移π8个单位长度而得到，∴命题③错误．又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－1， 2 ]， 即f(x)∈[－1， 2 ]，∴命题④正确． 答案：①②④10．(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos2x －1，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)法一：因为f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.法二：由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，因为－π4≤x ≤π4，则－π2≤2x ≤π2，则－π4≤2x ＋π4≤3π4.所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，即－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤ 2. 所以f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.11．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，3π2上的函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f(x)＝－sin x.(1)作出y ＝f(x)的图像； (2)求y ＝f(x)的解析式．解：(1)y ＝f(x)的图像如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，因函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f(x)＝－sin x ，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2.12.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图像的一部分如右图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1)由图像知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图像经过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0.又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23， ∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值为－2 2.第二节三角变换与解三角形1．“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α.②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.③tan 2α＝2tan α1－tan2α.2．“熟记”两个定理 (1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝a2＋c2－2accos B ， c2＝a2＋b2－2abcos C.推论：cos A ＝b2＋c2－a22bc ，cos B ＝a2＋c2－b22ac ，cos C ＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A ，a2＋c2－b2＝2accos B ， a2＋b2－c2＝2abcos C.[考情分析] 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题．[例1] (2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R. (1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．[思路点拨] (1)可以直接代入求值．(2)首先要化简条件得sin α，cos β，然后用和角公式sin(α＋β)计算．[解] (1)f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. (2)由f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，即2sin α＝1013，所以sin α＝513.由f(3β＋2π)＝65，得2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65， 即2cos β＝65，所以cos β＝35.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin2α＝1213，sin β＝1－cos2β＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365. [类题通法]三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换．特别是“1”的代换，如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x ＋2cos2x ＝(sin2x ＋cos2x)＋cos2x ＝1＋cos2x ；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2等．(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次．(4)化弦(切)法．将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)．(5)引入辅助角．asin θ＋bcos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)，这里辅助角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba确定．[冲关集训]1．(2012·深圳调研)已知直线l ：xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73B.73C.57D ．1 解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.2．(2012·哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525解析：选A 依题意得sin α＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2 α＋β ＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.3．(2012·德州模拟)已知函数f(x)＝2cos2x2－3sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．解：(1)∵f(x)＝2cos2x2－3sin x＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴周期T ＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos2α－sin2α2cos2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.[考情分析] 正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．[例2] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为 3，求b ，c.[思路点拨] (1)由题设以及正弦定理得到关于A 的三角函数值，进而求得A 的值．(2)由面积公式以及余弦定理得到b 与c 的方程组，进而求得b 与c 的值． [解] (1)由acos C ＋3asin C －b －c ＝0得 sin Acos C ＋3sin Asin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin Asin C －cos Asin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝3，故bc ＝4.而a2＝b2＋c2－2bccos A ，故b2＋c2＝8. 解得b ＝c ＝2. [类题通法] 解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C. [冲关集训]4．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos2 B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725. 5．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin ∠B ＝bsin ∠A a ＝3sinπ33＝12，所以∠B ＝π6或5π6(舍去)，所以∠C ＝π－∠A －∠B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π26．(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C. (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c. 解：(1)由3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C ， 得3(cos Bcos C －sin Bsin C)＝－1， 即cos(B ＋C)＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C)＝13.(2)由于0<A<π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bcsin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，得b2＋c2＝13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b2＋c2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.[考情分析] 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S ，利用余弦定理把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数求解S 的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v ，t 的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题． [解] (1)设相遇时小艇航行距离为S 海里，则 S ＝900t2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30° ＝900t2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，Smin ＝103，v ＝303，即小艇以每小时303海里的速度航行，相遇时距离最小．(2)若轮船与小艇在B 处相遇，由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·(30t)·cos(90°－30°)， 化简得v2＝400t2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675， 由于0<t ≤12，即1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．(3)由(2)知v2＝400t2－600t ＋900，令1t＝μ(μ>0)，于是有400μ2－600μ＋900－v2＝0，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧600 2－1 600 900－v2 >0，900－v2>0，解得：153<v<30，所以v 的取值范围为(153，30)． [类题通法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[冲关集训]7.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CDsin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BCtan 60°＝10 6.答案：10 68．(2012·郑州模拟)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(2＝1.414，3＝1.732) 解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得 cos C ＝AC2＋BC2－AB22AC ·BC ＝82＋52－AB22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD2＋BD2－AB22AD ·BD ＝72＋72－AB22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，③解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BDsin D ，S △ABC ＝12AC ·BCsin C ，因为AD ·BD>AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD>S △ABC.故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝∠C ＝60°. 故S △ABC ＝12AC ·BCsin C ＝103，所以所求的最低造价为5 000×103＝50 0003≈86 600元．透视三角函数的求值、求角问题许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于：①未能牢记三角公式；②不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法．三角函数的求值、求角问题包括：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； (2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．[典例] (2011·天津高考)已知函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，求α的大小． [思路点拨] (1)根据正切函数的有关概念和性质求解；(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值．[解] (1)由三角函数的定义得2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠π8＋k π2，k ∈Z.∴f(x)的定义域为{x|x ≠π8＋k π2，k ∈Z}，f(x)的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos2α－sin2α)， 整理得：sin α＋cos αsin α－cos α＝2(sin α＋cos α)(sin α－cos α)．∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sin α＋cos α≠0.∴(sin α－cos α)2＝12.∴sin 2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α＝π6，α＝π12.[名师支招]利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用．求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围．总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变． [高考预测]已知向量OA ＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA－n)．(1)求向量OA ；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)． 解：(1)∵OA＝(cos α，sin α)， ∴OA－n ＝(cos α，sin α＋5)，∵m ⊥(OA －n)，∴m ·(OA－n)＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②联立方程解得cos α＝－255，sin α＝－55，∴OA＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210， 又∵0<β<π，∴sin β＝7210，且π2<β<π.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45， cos 2α＝2cos2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22.[配套课时作业]1．(2012·威海模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，则tan 2α＝( )A.43 B ．－43 C ．－2D ．2解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，所以sin α＝－1－cos2α＝－255.所以tan α＝2.则tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.2．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3解析：选D 由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝14，sin2α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32.即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 3．设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( )A ．－247B ．－724C.247D.724解析：选D ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.又∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12，∴tan 2β＝2tan β1－tan2β＝－43，∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝724. 4．(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：选C 原式＝sin 30°＋17° －sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选D 由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－435.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 6．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C ，3b ＝20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a>b>c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n>1，且n ∈N*)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)· n ＋1 2＋n2－ n ＋2 22n n ＋1 ，化简得7n2－13n－60＝0，n ∈N*，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶si n C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：代入余弦定理公式得：b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：48．(2012·烟台模拟)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，则tan α＝________. 解析：因为cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，即cos2α＋cos 2α＝12，所以cos2α＋2cos2α－1＝12.整理得3cos2α＝32，所以cos α＝22(因α为锐角，所以取正)．。
平面向量 三角函数 解三角形
平面向量 三角函数 解三角形【热点强化训练】1.（2013届山东省德州市乐陵一中高三10月月考）已知ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边， 60,3,2===B b a ，则A =A.135 B.45 C.135或45 D.90 2.（20l3届山东省烟台市莱州一中高三第二次质量检测）已知cos 21,054x x π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜x ＜π，则tan x 为 A.43-B.34-C.2D.2-3.（2013届云南省玉溪一中高三第四次月考）要得到)32sin(π-=x y 的图象，只要将x y 2sin =的图象（ ）A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位 4.（2013届山东省兖州市高三9月入学诊断检测）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为( )A．2 B ．0 C ．－1 D．1-5.（2013届山东省济南外国语学校高三上学期期中考试）已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）A. -12B. -6C. 6D. 126.（2013届山东省青岛市高三上学期期中考试）已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+(R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数7.向量a 、b 满足（a -b ）（2a +b ）=-4=2=4，则a ，b 夹角等于 。
8已知81cos sin =⋅θθ,且24πθπ<<，则θθsin cos -的值为 。
9.已知2)4tan(=+πx ，则xx2tan tan 的值为 。
10．（2013届天津市天津一中高三上学期一月考）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)=-，m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且c o s c o ss a B b A c C +=，则角B = ．11．(2012年高考山东卷)已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2A x x x A ==>m n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在5[0,]24π 上的值域．12.在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，),cos ,(cos ),2,(C B c a b =-=且//。
2013年高考数学 热点专题专练 专题四 三角函数解三角形平面向量测试题 理
专题四三角函数、解三角形、平面向量测试题)分满分：150120(时间：分钟分．在每小题给出的四个选项中，605分，共一、选择题：本大题共12小题，每小题只有一项是符合题目要求的．π??x??xf2－) 的一个增区间为)＝1．函数lgsin(( ??4ππ973π7π????????，， A. B.????8888ππ7π7π35????????，－，－D.C. ????8888πππ????xx????kkkx－2－2；又π，2π＋解析由sin2Zπ<2∈>0，得sin－<2π＋<0，∴????444πππ??????xxx??????xf－－2－22在定义域(的增区间即)＝lgsinsin在定义域内的增区间，即sin??????444π3π5π7πkkkkxkxk，当Zπ<<＋2∈π<2－<＋2ππ，，∈Z.化简得＋内的减区间，故π＋8842π75πxk C. ，故选0＝时，<<88C答案aaxaxfx，则它的图象的一个对称中心>0)＋3cos的最小正周期为2．若函数((1)＝sin) 为(π10)－0)－，，B．(A．(331????0， C.D．(0,0)??3πππ2????xax????xfxafaT＋＋2π，)＝2sin＝，∴((2sin>0)，∵＝＝1，∴)＝2π解析(????a33k111π????0，xxkkkxk是其一个对称中心，∈Z，当＝1时，故＝由2π＋＝，π，∈Z得－＝，，??33632C.故选C答案aaafxxax) 最大值为，4，则的值为( ]，的定义域为已知函数3．()＝sin＋cos(<0)[0π22 ．－B3 A．－4．－D2．－C．πππ5π????x????xaxxafxax，＋，∴＝2＋sin∈，π解析 ](，当)＝时，sin∈＋[0cos ????4444ππ??2????xx??????xafaaa＋＋的最大值为－2<0，故2(sinsin，－)]，即∈∈，由于[1－，????44??2aaa＝－4.，即故选，∴－D.＝4答案 D2πfxAxkA>0，ω>0,0<φ<πsin(ω)＋φ)＋的图象向右平移4．将函数((个单位，所)＝3fx)的解析式为( 得曲线的一部分如图所示，则 ()1221π????xf －1＝Asin(＋??112221221π13??x ??xf ＋＋ B ．＝(sin)??1122221121π1??x ??xf ＋ －＝C ．2sin() ??12222125π13??x ??xf ＋＋( )＝sin ．D ??112222AkA ＝3都是相同的，由平移之后的图象可知2，ω，，解析 图象平移之前与平移之后的7ππ2π3112????TAk －＝，∴＝2×∴ω＝，＝＝；.??6411ω2212π13????x ????xg 2φ，＋代入，得 ＋设平移后的函数解析式为(，将)＝sin 1????411223π5π5π3????xgkkk φ＋＝，故＝)φ＝1，∴＝2π＋(，Z ∈，取0＝sin ，则φ 111??1122222125π1??x ??＋＋sin. ??11222．π2xfxf )(()将其图象向左平移个单位，得的解析式为3π2π51213????x ??＋??＋ ＋，＝sin??3??112222π122113??x ??xf ＋B.(故选)＝即sin ＋. ??112222B答案babcAABCABCa，，4，已知＝＝60°，5．在△2中，角＝，，，所对的边分别为4，3B)＝则(．45°或135° B．135°A D．以上都不对C．45°213BabBAB，∴>>2×＝，∴，解析由正弦定理，得sin＝45°或135°，＝×4又2243B＝45°.故选∴C.答案 CbcA＋2ABCabcABCABC的形状为( ，分别为角则△，)6．在△中，cos＝(，，的对边，)c22A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形bcAbcA＋＋＋cos12解析∵cos＝，∴＝，cc2222222bccba＋－＋∴1＋＝，bcc2222ABCcab B. ，故△＝化简得＋是直角三角形．故选B答案22CCAAABCB) 则cos ＋cos7．在△中，若角的最大值为，( ，0成公差大于的等差数列，31 A. B.22 2D．不存在C．ABCACB，，成等差数列，∴＝解析∵角＋，2ABCBAC＝120°.＝180°，∴＋又＝60°，＋＋AC111＋1＋cos2cos222ACACC)＋＋[cos(240°－2(cos2＋＝1＋＝cos＋cos1＋cos2)＝22221CC＋60°)．cos(21]cos2＝＋2．CC<120°，∴180°<2∵60°<＋60°<300°，51122CCA D. ＋60°)<，即coscos(2的最大值不存在，故选＋cos∴<1＋422D答案π????kxxxk，0的取值范围内有两个不同的实数解，则的方程cos2在＋sin2＝28．关于??2) 是(????1212????B.A. ，，－????2222????1212???? D.C.，－，????22221xkkxxx，得＝(cos2)sin2＋＝2sin2解析由cos2＝＋2ππ5πππ2??????x??????xx，，20＋∈sin ＋2∈，，当时，??????444242π22112??x??k＋2时，方程有两个不同的实数解．故<sin<≤.数形结合可知，当∴－<??422222A.选A答案ba) 9．(2012·浙江)设是两个非零向量，(bbaaab ||，则|⊥A．若|－＋||＝bbaaba||＝||B．若|⊥－，则|＋abbaab＝λ|C．若|＋，则存在实数|＝|λ|－|，使得babaab| －．若存在实数λ，使得|＝λ|，则||＋|＝D babababa；由此可|－||≥||，则有|与|解析选项A错，若|＋方向相反，且有|＝|ba，同向，故错误．得选项B中的结论也是错误的；选项C 是正确的，选项D中，若λ>0则C答案→→BCABBCABABCAC) ·＝( ＝110．(2012·湖南)在△中，＝2，，则＝3，7 B.A.32322D.C．→→→→BCBCABABbACBCacbABCABc|cos(180°＝|则＝2，|·|＝解析在△中，设＝3，＝，，＝·，2222aa1＋2－3－51aaBBaBacB，cos＝由余弦定理得：×＝＝－.1＝－－∠)cos＝，得cos＝－a22×222××2BCa3.＝＝解得．A答案baabab，则下面结论正确的是＋－||＝11．(2012·辽宁)已知两个非零向量|，|满足)(baab∥⊥ A．B．bbaaba |＋－D．．C|＝|＝|bbaaab为邻边的平行四边形||，由向量的加法和减法法则可知以＋解析因为|，－＝|bbaa，.也可直接等式两边平方化简得⊥＝·对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以0ba.从而⊥B答案βα·若平面向＝.β，定义α·β12.(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β·βnπ????n aabbbaabba，0中，都在集合{，且|·量}，满足|和|≥|∈|>0，·与Z的夹角θ∈??42ba)·＝( 则11 ．A. B253 D.C.22babπ??||||||cosθ2????○??ab，0，又θ∈，θ，因解析解法一：θ∈cos＝＝cos1，2??aa4||||??2bb n1|1|1||○○○ababbaab n，＝，＝，又＝，cos∈{|，∈Z|}|≥||>0，所以故θ<1aaθ|2|2cos|2|2n a??||22○○○??n baaabb∈|，所以＝∈{∈(1,2)，又θcos θ＝2cosθ，又因cos∈1，b2||??23○ba.，所以＝Z}2bbaa3||cos||π·θbbaa，＝＝＝1，θ＝，则·解法二(特殊值法)：取||＝3，||＝2bbb2|6|·n baab1||cos||θ·n ab }中．∈Z|·＝＝＝，都在{2aaa2| ·2|C答案 16分，将答案填在题中的横线上．4二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共ABACBCDBCADCABCAD的长＝45°，则，点2如图，△13.中，2＝＝，＝3在边上，∠．________度等于1BC23CABC＝cos＝解析在△，中，AC2ACADC＝30°，由＝，∴ADCC ∠sinsin AC12CAD2. ＝＝∴·sin＝·ADC∠2sin222答案ABCABC的的等差数列，则△的一个内角为120°，并且三边长构成公差为414．已知△．面积为________2aaaaa8)，(＋4，，则设三边长为＋8120°角所对边长为＋＋8，由余弦定理得解析222aaaaaaaa＝0，解得)＝6或．＝＋(＝－＋4)－2·(4(＋4)·cos120°，化简得舍去－2－241aSa3.＝＋4)·sin120°＝·(15∴三角形面积23答案 15BCBACABABC＝60°，________＝3，则＋215．(2011·课标)在△．中，的最大值为ABBC3 ＝＝＝由正弦定理，2，解析AC sinsin32ABCCAB＝2sin＝2sin，得，ACABBCAAAA75sin2sin＋4sin＋＝2sin(180°－60°－2＋)4sin＝＝则2＋3cos＝π3BCABAA27. ＝，故当)φ(为锐角＋φsin(φ＋)，其中tanφ＝时，＋2取最大值257答案2CBACABCBA＝．(2011·上海16)＝75°，∠千米的2、两点处测量目标点，若∠在相距CA________60°，则、两点之间的距离为千米．解析AC2C.＝如图，∠＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，sin60°sin45°．AC6.＝得 6答案三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)ACca－－2cos2cos ABCABCabc.已知，＝，，的对边分别为.在△中，内角Bb cos C sin(1)求的值；A sin1BbABCS.的面积＝若cos2＝，，求△(2)4abck，解(1)由正弦定理，设＝＝＝CAB sinsinsin AACcakCk sin－－2sin2sin2sin－. ＝则＝BBbk sinsin ACCA sin2sin－2cos－cos所以＝BB sincos ACBCAB，)cos－－2cossin)sin ＝(2sin即(cos ABBC) ＋)化简可得sin(＝＋2sin(ABC＝π＋又，＋C sin CA.因此＝所以sin2.＝2sin A sin C sin ca.＝＝2得2由(2)A sin1222bacacBBb＝2，cos，由余弦定理＝＝＋2－ cos及41222aaa×＋44－＝得44ac2＝，从而1＝解得．151BBB.sin＝<又因为cosπ＝，且0<，所以44151511BacS.sin＝＝因此×1×2×＝4422)本小题满分12分18．(CABBACabcABC，，，的对边分别为，角，成等差数列．，(2012·辽宁)在△，中，角B的值；(1)求cos CcAab成等比数列，求sin(2)边的值．，sin，CABBAC(1)由已知2＋＝＝180°，＋＋，解1BB.解得＝＝60°，所以cos212Bacb，及cos(2)解法一：由已知，＝＝22CBA，根据正弦定理得sinsin＝sin32BAC.cos所以sin＝sin＝1－412Bbac解法二：由已知＝＝，，及cos222acac－＋cBa根据余弦定理得cos＝＝，解得，ac23CCBAA.＝sin＝60°，故sin所以＝＝4)12分本小题满分19．(cabABCABC.在△，中，角的对边分别为、，、π??A??AA＋ (1)若sin＝2cos，求的值；??61CcAb，求(2)cossin＝，3＝的值．3ππAAAAAA≠0，sin，所以cos＝解 (1)由题设知sincos＋cos2cossin ＝3cos，从而66πAAA＝，所以.因为0<tan<π＝3.31222222AbcabcbcAabc.3＝，得及＝－＋－2＝cos＝由(2)cos，3πABCB＝是直角三角形，且.故△21CA＝.sin所以＝cos3．)(本小题满分12分20．pCpBBABCACabcA，且＝，∈所对的边分别为sin，R，(.已知sin)在△＋中，角，sin12bac.＝45cpba，1(1)当时，求＝，的值；＝4pB为锐角，求(2)若角的取值范围．5?aca?1，＝1＝＋????4a，＝?4??解 (1)解得或由题设并利用正弦定理，得1c1＝?? ???4cac?1.＝＝4222Bacbac＝cos＋－2(2)由余弦定理，2Bacacac cos22＝(＋－)－112222Bbpbb －cos－，＝22132Bp.即＝＋cos2236??2??ppBp2，2.，所以<∈，由题设知<因为0<cos>0<1，得??22)12分21．(本小题满分CCCabcBABCAC.sin＝，已知在△sin中，角1，，＋的对边分别是cos，－，2C求sin的值；(1)22cbbaa )－8(2)若，求边＋＝4(的值．＋CCC，1－由已知得解 (1)sincos＋sin＝2CCC??2??1＋2cos 即sin＝2sin，??222CCCCC1 ＝cos，2cos＋1＝2sin，即sin－sin由≠0得2222223C.＝两边平方得sin4CCCπ1π，<<cossin－＝>0，得(2)由2222427π3CCC ＝－cos， <π，由sin即＝，得<2442222abababab，2＝，2＝，得0＝2)－(＋2)－(，得8－)＋4(＝＋由．222cCacbab1. ＋＝2由余弦定理得＝7＋，所以－27cos＋＝8)本小题满分14分22．(在某次攀岩活)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)(2012·黑龙江省哈六中一模动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地CA分别为两名面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图(2)，BEABABD，处测得，攀岩者所在位置，为山脚，某人在为山的拐角处，且斜坡，的坡角为θCEDa.，＝，的仰角分别为α，βγBDCD间的距离；间的距离及(1)求：aβ＋αθsin hA.处攀岩者距地面的距离求证：在＝(2)θαcosβ＋CEDBEDAED＝α. ＝β解 (1)根据题意得∠，∠＝γ，∠CDaCEDCD，＝tan中， tanγ＝，γ在直角三角形DEBDaBDBED. ＝，βtan在直角三角形tan中，β＝DEhaBEAE，＝＝， (2)证明：易得βsincosαABEAEBEAB ＝π－(α，∠＋θ)，在△β中，∠＝α－BEAE＝，正弦定理ABEEAB∠sinsin∠a sinαsinθ＋βh＝代入整理：θsinβcosα＋。
2013年理科全国各省市高考真题——平面向量(带答案)
2013年全国各省市理科数学—平面向量1、2013全国理T3．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥- ，则=λ（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-12、2013辽宁理T3.已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，3、2013重庆理T10.在平面上，12AB AB ⊥ ，121OB OB == ,12AP AB AB =+.若12OP < ，则OA 的取值范围是（ ）A 、⎛ ⎝⎦B 、 ⎝⎦C 、 ⎝D 、⎝ 4、2013浙江理T7．设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00∙≥∙。
则A. 090=∠ABCB. 090=∠BACC. AC AB =D.BC AC = 5、2013陕西理T3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件6、2013湖南理T6. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦7、2013湖北理T6.已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）C. 8、2013福建理T7. 在四边形ABCD 中，)2,1(=AC ，)2,4(-=BD ,则该四边形的面积为A.5B.52C.5D.109、2013新课标I 理T13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，b a c )1(t t -+=.若c b ⋅=0，则t =____________.10、2013新课标Ⅱ理T13.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=_______。
2013届最新3年高考数学(理)试题分类汇编：专题11 解三角形 PDF版含答案
C．１２０°
D．１５０°
１３������ (２０１２������湖北������理１１)设 △ABC 的 内 角 A、B、C 所 对 的 边
分别是a,b,c．若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab,则角 C＝ ．
１４������ (２０１２������重庆������理１３)设 △ABC 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分
A．(０,６＋ ２)
(第 １８ 题 )
１９．(２０１１������上海������理６)在相 距 ２ 千 米 的 A、B 两 点 处 测 量 目 标 点C,若∠CAB＝７５°,∠CBA＝６０°,则 A、C 两点之间的距离为 千米．
２０．(２０１１������ 全 国 新 课 标 ������ 理 １６)在 △ABC 中,B＝６０̊,AC＝
(第 ５ 题 )
A．３３
B．６３
C．３６
D．６６
６．(２０１１������重庆������理６)若△ABC 的 内 角A、B、C 所 对 的 边a,
b,c满足(a＋b)２－c２＝４,且 C＝６０°,则ab的值为( )．
A．４３
B．８－４ ３
别
为a,b,c,且
cosA＝
３ ５
,cosB＝１５３,b＝３,则c＝
C．３３
D．３４
１０������ (２０１０������湖北������理３)在 △ABC 中,a＝１５,b＝１０,A＝６０°,
则cosB 等于( )������
点,BD＝ １２DC,∠ADB＝１２０°,AD＝２,若 △ADC 的 面 积 为 ３－ ３,则 ∠BAC＝ ．
２４������ (２０１０������北京������理１０)在 △ABC 中,若b＝１,c＝ ３,∠C＝
1-4-11三角变换与解三角形、平面向量
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考情分析
相关的内容要予以高度重视，它们将是今后高考命题的 热点；同时将解三角形的知识与实际问题结合起来，也 将是今后命题的一个热点，复习时要给予重视．
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考情分析
2．平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个 方面：一是向量的基本概念，二是向量的坐标运算，三 是向量的数量积，其中向量的数量积及其应用是考查的 重点内容．从试题形式上看主要以小题为主，一般为 1～2题，同时平面向量具有几何与代数形式的“双重
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a· b (3)向量的夹角：cosθ＝cos〈a，b〉＝ |a|· |b| x1x2＋y1y2 ＝ 2 2 2 2. x1＋y1· x2＋y2 → (4)三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线⇔OP＝ → → xOA＋yOB(x＋y＝1)．
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2sinxcosx＋sinxcosx cosx＋sinx ＝ ＝sin2x· cosx－sinx cosx－sinx
π 4 － 2cos －x 7 5 28 4 ＝sin2x· ＝ × ＝－ . π 25 3 75 ＋x 2cos 5 4
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π π π [点评] 注意 ＋x， －x,2x 三个角的内在联系， ＋ 4 4 4
π π π π x 与 －x 互余，2x＝ ＋x－ －x， ＋2x＝ 4 4 4 2 π π π 2 ＋x， －2x＝2 －x. 4 2 4
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2013高考数学专题之--三角函数与平面向量的综合应用
专题三、三角函数与平面向量的综合应用【知识点梳理】1．同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力．通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点．2．研究三角函数的性质，一般要化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的形式，若是奇函数，则可化为f (x )＝±A sin ωx ；若是偶函数，则可化为f (x )＝±A cos ωx .求三角函数的定义域，实际上是利用三角函数图像或三角函数线来确定不等式的解，求函数的单调区间可以转化为求y ＝sin x 与y ＝cos x 的单调区间．3．解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现．4．平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性． [难点正本、疑点清源]1．三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的形式，再研究其性质．2．向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别．要用向量的思想和方法去分析解决问题，一定要突出向量的工具性作用.【题型分类】题型一、三角函数式的化简求值问题例1、已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值． 探究提高：(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”，“－”的变化特点．(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换．(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确．已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图像上任意两相邻对称轴的间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝2326，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (4π＋2α) 题型二 三角形中的三角恒等变换例2、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．探究提高：本题的难点是第(2)问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A 或角C 的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A 的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图像和性质确定三角函数式的取值范围．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．题型三 平面向量与三角函数例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．探究提高 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．已知A 、B 、C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．8.平面向量与三角函数的综合问题试题：(12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .审题视角 (1)利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值．(2)根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的问题．(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式．规范解答(1)解由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. [4分] (2)解|b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β)＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32，所以|b＋c|的最大值为4 2. [8分] (3)证明由tan αtan β＝16，得sin αsin β＝16cos αcos β，即4 cos α·4cos β－sin αsin β＝0，故a∥b. [12分]第一步：将向量间的关系转化成三角函数式．第二步：化简三角函数式．第三步：求三角函数式的值或分析三角函数式的性质．第四步：明确结论．第五步：反思回顾．查看关键点，易错点和规范解答．批阅笔记(1)本题是典型的向量与三角函数的综合，题目难度中档，属高考的重点题型．(2)本题体现了转化与化归的思想方法．根据向量关系，转化为三角函数式的问题，利用三角函数解决．(3)易错分析．在将向量关系转化为三角函数式时易出错．在第(3)问中，学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b.事实上是学生忽略了a∥b的条件.方法与技巧1．研究三角函数的图像与性质的主要思想方法是数形结合思想，这主要体现在运用三角函数的图像研究三角函数的图像变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识；运用三角函数的图像解决取值范围、交点个数、定义域等内容．2．三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型，主要从以下两个方面进行考查．(1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角)，通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图像与性质等解决问题．(2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．3．加强数学思想方法的考查，转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题．失误与防范1．对于三角函数的化简求值问题，一要熟练应用公式化简，二要注意角的范围．2．平面向量与三角函数问题，一般是通过向量运算，将其转化为三角函数式，要注意转化的准确性和灵活性．课时规范训练(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题1．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π33．已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值等于( )A ．1 B.32 C.12 D.22二、填空题4．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，则2cos 2α＋sin 2(α＋β)cos α－sin α＝________.5．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______．6．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin 2x ＝________. 三、解答题7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (A >0，ω>0，|φ|<π2)，若该函数图像上的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3，与其相邻的对称中心的坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0. (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x 的集合．8．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝ ⎝⎛⎭⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，512πC.⎣⎡512π，π2D.⎣⎡⎦⎤π12，512π2．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎡⎦⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π4，π3B.⎣⎡⎦⎤π6，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡π3，π23．(2011·大纲版全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2B.3C. 2D ．1二、填空题4．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是__________．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·PA →取得最小值时，tan ∠DPA 的 值为________．6．(2011·上海)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. 三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值． 8．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝3，|b |＝1，x 为正实数．(1)若a ＋2b 与a －4b 垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求|x a －b |的最小值及对应的x 的值，并指出向量a 与x a －b 的位置关系；(3)若θ为锐角，对于正实数m ，关于x 的方程|x a －b |＝|m a |有两个不同的正实数解，且x ≠m ，求m 的取值范围．答案题型分类·深度剖析例1 解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1， 得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)，可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6.又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6.从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤(2x 0＋π6)－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6·sin π6＝3－4310. 变式训练1 (1)13 (2)－1314 2例2 解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， 所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A .故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6A <π2，解得π3A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6， 所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.变式训练2 (1)13 (2)－72例3 解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0.∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2， sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32.变式训练3 (1)5π4 (2)－59课时规范训练 A 组1．B 2.C 3.B 4.4＋2m 5.π2或π3 6.－1957．(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈R (2)函数的最小值为－3； 相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z8．(1)π3(2) 3B 组1．D 2.B 3.A 4.4、0 5.1235 6.1527．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，所以a b ＝cos B cos A≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B .所以△ABC 是非等腰的直角三角形． (2)由m ⊥n ，得m·n ＝0. 所以2a 2－3b 2＝0.①由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14， 所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14， 即－3a 2＋8b 2＝14.②联立①②，解得a ＝6，b ＝2. 所以c ＝a 2＋b 2＝10.故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10. 8．解 (1)由题意得，(a ＋2b )(a －4b )＝0，即a 2－2a·b －8b 2＝0，得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，得cos θ＝16，又θ∈(0，π)，故θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 因此，sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫162＝356，tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)|x a －b |＝(x a －b )2＝x 2a 2－2x a·b ＋b 2 ＝9x 2－2x ×3×1×cos π6＋1＝9⎝⎛⎭⎫x －362＋14，故当x ＝36时，|x a －b |取得最小值为12， 此时，a ·(x a －b )＝x a 2－a·b ＝36×9－3×1×cos π6＝0， 故向量a 与x a －b 垂直．(3)对方程|x a －b |＝|m a |两边平方整理， 得9x 2－(6cos θ)x ＋1－9m 2＝0，①设方程①的两个不同正实数解为x 1，x 2，则由题意得，⎩⎨⎧Δ＝(6cos θ)2－4×9×(1－9m 2)>0，x 1＋x 2＝6cos θ9>0，x 1x 2＝1－9m29>0.解之得，13sin θ<m <13.若x ＝m ，则方程①可以化为－(6cos θ)x ＋1＝0，则x ＝16cos θ，即m ＝16cos θ.而x ≠m ，故得m ≠16cos θ令13sin θ<16cos θ<13， 得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ<1，cos θ>12得0°<θ<60°，且θ≠45°，当0°<θ<60°，且θ≠45°时， m 的取值范围为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13，且m ≠16cos θ； 当60°≤θ<90°，或θ＝45°时，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13.。
2013年高考数学平面向量(理)
2013年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）A ．0,0m M =>B ．0,0m M <>C ．0,0m M <=D ．0,0m M <<【答案】D ．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB u u u r同方向的单位向量为 （ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P 00•≥•.则 （ ）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =【答案】D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r,则四边形的面积为 （ ）A B ．C ．5D ．10【答案】C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r所表示的区域的面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）在平面上,12AB AB ⊥u u u r u u u u r ,121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r.若12OP <u u u r ,则OA u u u r 的取值范围是 （ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝ 【答案】D7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知,a b 是单位向量,0a b =g .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】A8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+u r r,若()()m n m n +⊥-u r r u r r,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1【答案】B9 ．（2013年高考湖北卷（理））已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB u u u r 在CD u u ur 方向上的投影为 （ ）A B C ．D ． 【答案】A [ 二、填空题[10．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =u u u r u u u rg _______.【答案】211．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知向量(1)a k =r，,(9 6)b k =-r ，.若//a b r r ,则实数 k = __________【答案】34-12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量AB u u u r与AC u u u r的夹角为120°,且3AB =u u u r ,2AC =u u u r ,若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ,且AP BC ⊥u u u r u u u r,则实数λ的值为__________.1213．（2013年高考新课标1（理））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____.[【答案】t =2.14．（2013年高考北京卷（理））向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.【答案】415．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,的最大值等于________. 【答案】216．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.【答案】1217．（2013年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r,则λ=_________.【答案】218．（2013年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________【答案】5219．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r, 则AB 的长为______.2。
2013高考数学专题之--三角函数与平面向量的综合应用
专题三、三角函数与平面向量的综合应用【题型分类】题型一、三角函数式的化简求值问题例1、已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图像上任意两相邻对称轴的间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝2326， 求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (4π＋2α)的值． 题型二 三角形中的三角恒等变换例2、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．题型三 平面向量与三角函数例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x4，1， n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．已知A 、B 、C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．8.平面向量与三角函数的综合问题试题：设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .课时规范训练(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、填空题1．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是_______ 2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为__________3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值=___________4．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，则2cos 2α＋sin 2(α＋β)cos α－sin α＝________.5．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______．6．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin 2x ＝________. 二、解答题7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (A >0，ω>0，|φ|<π2)，若该函数图像上的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3，与其相邻的对称中心的坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0. (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x 的集合．8．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝ ⎝⎛⎭⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．B 组 专项能力提升题组一、填空题1．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是__________2．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎡⎦⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是__________3．(2011·大纲版全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于_______4．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是__________．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·P A →取得最小值时，tan ∠DP A 的 值为________．6．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. 二、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．8．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝3，|b |＝1，x 为正实数．(1)若a ＋2b 与a －4b 垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求|x a －b |的最小值及对应的x 的值，并指出向量a 与x a －b 的位置关系；(3)若θ为锐角，对于正实数m ，关于x 的方程|x a －b |＝|m a |有两个不同的正实数解，且x ≠m ，求m 的取值范围．答案题型分类·深度剖析例1 解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1， 得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π. 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)，可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6. 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6 ＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤(2x 0＋π6)－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6·sin π6＝3－4310. 变式训练1 (1)13 (2)－1314 2例2 解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， 所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A .故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， 由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6， 所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.变式训练2 (1)13 (2)－72例3 解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2， sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 变式训练3 (1)5π4 (2)－59课时规范训练 A 组1．B 2.C 3.B 4.4＋2m 5.π2或π3 6.－1957．(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈R (2)函数的最小值为－3； 相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z8．(1)π3 (2) 3B 组1．D 2.B 3.A 4.4、0 5.1235 6.1527．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，所以a b ＝cos B cos A≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B .所以△ABC 是非等腰的直角三角形． (2)由m ⊥n ，得m·n ＝0. 所以2a 2－3b 2＝0.①由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14， 所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14， 即－3a 2＋8b 2＝14.②联立①②，解得a ＝6，b ＝2. 所以c ＝a 2＋b 2＝10.故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10. 8．解 (1)由题意得，(a ＋2b )(a －4b )＝0，即a 2－2a·b －8b 2＝0，得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，得cos θ＝16，又θ∈(0，π)，故θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 因此，sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫162＝356， tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)|x a －b |＝(x a －b )2 ＝x 2a 2－2x a·b ＋b 2 ＝9x 2－2x ×3×1×cos π6＋1＝9⎝⎛⎭⎫x －362＋14，故当x ＝36时，|x a －b |取得最小值为12， 此时，a ·(x a －b )＝x a 2－a·b ＝36×9－3×1×cos π6＝0， 故向量a 与x a －b 垂直．(3)对方程|x a －b |＝|m a |两边平方整理， 得9x 2－(6cos θ)x ＋1－9m 2＝0，①设方程①的两个不同正实数解为x 1，x 2，则由题意得，⎩⎨⎧Δ＝(6cos θ)2－4×9×(1－9m 2)>0，x 1＋x 2＝6cos θ9>0，x 1x 2＝1－9m 29>0.解之得，13sin θ<m <13.若x ＝m ，则方程①可以化为－(6cos θ)x ＋1＝0，则x ＝16cos θ，即m ＝16cos θ. 而x ≠m ，故得m ≠16cos θ. 令13sin θ<16cos θ<13， 得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ<1，cos θ>12， 得0°<θ<60°，且θ≠45°， 当0°<θ<60°，且θ≠45°时， m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13，且m ≠16cos θ； 当60°≤θ<90°，或θ＝45°时， m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13.。
2013年高考数学 学困生专用精品复习资料(04)平面向量、三角函数和解三角形(学生版)
2013年高考数学 学困生专用精品复习资料（04）平面向量、三角函数和解三角形（学生版）【考纲考情分析】一、基本初等函数II （三角函数） （1）任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念。
②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±，2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan cos sin ===，，的图像，了解三角函数的周期性。
③理解正弦函数、余弦函数在区间[02]π，的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等），理解正切函数在区间（22ππ，-）的单调性。
④理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin 1cos sin 22==+，⑤了解函数sin()y A x ωφ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωφ=+的图像，了解参数A 、ω、ϕ对函数图象变化的影响。
⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。
（3）三角恒等变换 （1）和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）二、平面向量（1）平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景。
②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
③理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义。
③了解向量线性运算的性质及其几何意义。
2013高考题解三角形
2013高考：解三角形8.(2013·浙江)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b.(1)求角A的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.9. （2013·江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=23错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
ab的值.【解题指南】（1）先利用二倍角公式把角2B化为角B，再进行角化边的处理；（2）借助第（1）问的结果结合余弦定理进行求解.10.（2013·北京）在△ABC中，a=3，b =26，∠B=2∠A. (I)求cos A的值，(II)求c的值【解题指南】（1）由条件可以看出，已知两角关系求角，可以利用正弦定理解决问题；（2）由已知两边和角求第三边，所以应用余弦定理求解。
11.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解题指南】(1)将a=bcosC+csinB“边化角”,化简求得B.(2)利用角B、边b将△ABC面积表示出来,借助均值不等式求最大值.1.（2013·重庆）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且2222a b ab c ++=． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）设32cos cos 5A B =，2cos()cos()2cos 5A B ααα++=，求tan α的值． 【解题指南】直接利用余弦定理可求出C 的值，由和差公式及C 的值通过化简可求出tan α的值.2. （2013·山东）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+c=6，b=2，cosB =97. （1）求a ，c 的值；（2）求sin （A-B ）的值.【解题指南】（1）先由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=可得到ac 的关系式，再和已知a+c=6联立方程，可得a ，c 的值；（2）由()B A B A B A s i n c o s c o s s i n s i n -=-知，需先求出sinA,sinB,cosA,cosB 的值，可先利用同角三角函数基本关系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA ，进而求得cosA ，从而本题得解.。
2013高考数学(人教A文)多考点综合练：三角函数、解三角形 平面向量
多考点综合练(三)测试内容：三角函数、解三角形 平面向量 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2012年孝感第一次统考)点A(sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：由于2 013°＝5×360°＋211°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin 2 013°<0，cos 2 013°<0，从而A 点在第三象限，选C. 答案：C2．(2011年高考课标卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝ ( ) A ．－45 B ．－35C.35D.45解析：由已知tan θ＝2，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＝1－tan2θtan2θ＋1＝－35.答案：B3．函数y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)]是 ( )A ．周期为π4的奇函数B ．周期为π4的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数 解析：y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)] ＝2·(－sin 2x)·cos 2x ＝－22sin 4x ， 因此周期T ＝2π4＝π2，且f(－x)＝－f(x)，函数是奇函数，选C. 答案：C4．(2012年浙江)设a ，b 是两个非零向量． ( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b| 解析：由|a ＋b|＝|a|－|b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b ＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，即a·b ＝－|a|·|b|，故a 与b 方向相反．又|a|≥|b|，则存在实数λ∈[－1,0)，使得b ＝λa .故A ，B 命题不正确，C 命题正确，而两向量共线，不一定有|a ＋b|＝|a|－|b|，即D 命题不正确，故选C. 答案：C5．已知向量a ＝(sin x ，cos x)，向量b ＝(1, 3)，则|a ＋b|的最大值为 ( ) A ．1 B. 3C ．3D ．9解析：|a ＋b|＝s in x ＋12＋c os x ＋32 ＝5＋4sin x ＋π3，所以|a ＋b|的最大值为3. 答案：C6．(2012年洛阳统考)若sin α－π4cos 2α＝－24，则sin α＋cos α的值为 ( )A ．－72 B ．－12C.12D.72解析：依题意，得22s in α－cos α cos2α－sin2α＝－22sin α＋cos α＝－24，所以sin α＋cos α＝12，选C.答案：C7．在△ABC 中，“AB →·BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：由AB →·BC →＝0⇒AB →⊥BC →，故角B 为直角，即△ABC 为直角三角形；反之若三角形为直角三角形，不一定角B 为直角，故“AB →·BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．故选A. 答案：A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m ＝(3b －c ，cos C)，n ＝(a ，cos A)，m ∥n ，则cos A ＝ ( ) A.22 B ．－22 C.33D ．－33解析：∵m ∥n ，∴(3b －c)cos A ＝acos C. ∴(3sin B －sin C)cos A ＝sin Acos C ， 即3sin Bcos A ＝sin Acos C ＋sin Ccos A ＝sin(A ＋C)＝sin B ， 易知sin B ≠0，∴cos A ＝33. 答案：C9．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为 ( )A. 3B ．2 3C. 6D.62解析：由AB →＝DC →＝(1,1)，知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|CD →|＝ 2. 又BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3BD →|BD →|， 知平行四边形ABCD 为菱形，且C ＝120°， ∴S 四边形ABCD ＝2×2×32＝ 3.故选A. 答案：A10．(2013届江西省百所重点高中阶段诊断)已知函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1<x2<x3)，那么x1＋2x2＋x3等于 ( )A.5π3B.4π3C.3π4D.3π2解析：可据题意作出函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π6的图象，观察图象可知x1，x2关于直线x ＝π6对称，x2，x3关于直线x ＝23π对称，故x1＋2x2＋x3＝(x1＋x2)＋(x2＋x3)＝2×π6＋2×23π＝53π. 答案：A11．如图，在平面斜坐标系中，∠xOy ＝120°，平面上任意一点P 的斜坐标是这样定义的：“若OP →＝x e1＋y e2(其中e1，e2分别是与x ，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y)”．那么，在斜坐标系中，以O 为圆心，2为半径的圆的方程为( )A ．x2＋y2＝2B ．x2＋y2＝4C ．x2＋y2－xy ＝2D ．x2＋y2－xy ＝4解析：据题意可知在斜坐标系中圆上的点P(x ，y)满足|OP →|＝|x e1＋y e2|＝2，即|x e1＋y e2|2＝x2＋y2＋2xy e1·e2＝x2＋y2＋2xycos 120°＝4， 整理可得x2＋y2－xy ＝4，即为所求圆的方程．故选D.答案：D12．(2012～2013学年河北省高三教学质检)函数 f(x)＝2sin(2x ＋π4)，给出下列命题：①函数 f(x)在区间[π2，5π8]上是减函数；②直线x ＝π8是函数 f(x)的图象的一条对称轴；③函数 f(x)的图象可以由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是 ( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵当π2≤x ≤5π8时，5π4≤2x ＋π4≤3π2，∴ f(x)在[π2，5π8]上是减函数，故①正确．②∵f(π8)＝2sin(π4＋π4)＝2，故②正确．③y ＝2sin 2x 向左平移π4个单位得y ＝2sin 2(x ＋π4) ＝2cos 2x ≠ f(x)，故③不正确．故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ，b 满足：|a|＝1，a·b ＝32，|a ＋b|＝22，则|b|＝________. 解析：∵|a ＋b|＝22，∴|a ＋b|2＝a2＋2a·b ＋b2＝8. 又∵|a|＝1，a·b ＝32，∴b2＝4，|b|＝2. 答案：214．(2011年江苏)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.解析：由图象知A ＝2，T ＝4(712π－π3)＝π，∴ω＝2，则f(x)＝2sin(2x ＋φ)，由2×π12＋φ＝π2，得 φ＝π3，故f(x)＝2sin(2x ＋π3) ∴f(0)＝2sin π3＝62.答案：6215．(2012年山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．解析：如图，由题意知＝OB ＝2，∵圆半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2，∴DA ＝APcos(2－π2)＝sin 2，DP＝APsin(2－π2)＝－cos 2.∴OC ＝2－sin 2，PC ＝1－cos 2. ∴OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2)16．(2012年衡阳六校联考)给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期为5π；④函数y ＝cos(2x 3＋7π2)是奇函数；⑤函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．解析：对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f(x)＝cos(2x 3＋7π2)，则f(－x)＝cos(－2x 3＋7π2)＝cos(2x 3－7π2)＝－cos(2x 3－7π2＋7π)＝－cos(2x 3＋7π2)＝－f(x)，因此④正确；对于⑤，函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin 2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年江苏)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB·AC·cos A ＝3BA·BC·cos B ，即AC·cos A ＝3BC·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A，从而sin Bcos A ＝3sin Acos B ，又因为0<A ＋B<π，所以cos A>0，cos B>0，所以tan B ＝3tan A. (2)因为cos C ＝55，0<C<π， 所以sin C ＝1－cos2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B)]＝2， 即tan(A ＋B)＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan Atan B ＝－2，由(1)得4tan A1－3tan2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A>0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.18．(2012年天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(1)求sin C 和b 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3的值． 解：(1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由a sin A ＝csin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74. 由a2＝b2＋c2－2bccos A ，得b2＋b －2＝0， 因为b>0，故解得b ＝1. 所以sin C ＝74，b ＝1. (2)由cos A ＝－24，sin A ＝144，得cos 2A ＝2cos2A －1＝－34， sin 2A ＝2sin Acos A ＝－74.所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos 2Acos π3－sin 2Asin π3＝－3＋218. 19．(2013届山西大学附属中学高三10月月考)已知A ，B ，C 为锐角△ABC 的三个内角，向量m ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A)，n ＝(1＋sin A ，cos A －sin A)，且m ⊥n. (1)求A 的大小；(2)求y ＝2sin2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2B 取最大值时角B 的大小． 解：(1)∵m ⊥n ，∴(2－2sin A)(1＋sin A)＋(cos A ＋sin A)(cos A －sin A)＝0，∴2(1－sin2 A)＝sin2A －cos2A ∴2cos2A ＝1－2cos2A ∴cos2A ＝14.∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ＝12 ∴A ＝π3. (2)∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴π6<B<π2∴y ＝2sin2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2B ＝1－cos2B －12cos 2B ＋ 32sin 2B ＝32sin 2B －32cos 2B ＋1＝3sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3＋1 当y 取最大值时，2B －π3＝π2即B ＝512π.20．(2012年重庆)设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x －sin2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．解：(1)由题设条件知f(x)的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2. 因f(x)在x ＝π6处取得最大值2， 所以A ＝2.从而sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z. 又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g(x)＝6cos4x －sin2x －12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝6cos4x ＋cos2x －22cos 2x＝2cos2x －13cos2x ＋222cos2x －1＝32cos2x ＋1⎝⎛⎭⎫cos2x ≠12. 因cos2x ∈[0,1]，且cos2x ≠12，故g(x)的值域为⎣⎡⎭⎫1，74∪⎝⎛⎦⎤74，52. 21．(2012年辽宁锦州5月模拟)向量a ＝(2,2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a·b ＝－2.(1)求向量b ；(2)若t ＝(1,0)，且b ⊥t ，c ＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos2C2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c|的取值范围．解：(1)设b ＝(x ，y)，则a·b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b|＝a·b|a|cos3π4＝1＝x2＋y2，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)∵b ⊥t ，且t ＝(1,0)，∴b ＝(0，－1)． ∵A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝π3.∴b ＋c ＝(cos A,2cos2C2－1)＝(cos A ，cos C)． ∴|b ＋c|2＝cos2A ＋cos2C ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2C)＝1＋12[cos 2A ＋cos(4π3－2A)]＝1＋12(cos 2A －12cos 2A －32sin 2A) ＝1＋12cos(2A ＋π3)．∵2A ＋π3∈(π3，5π3)，∴－1≤cos(2A ＋π3)<12，∴12≤|b ＋c|2<54，∴22≤|b ＋c|<52. 22．(2012年湖北)设函数f(x)＝sin2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos2ωx ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f(x)的值域． 解：(1)因为f(x)＝sin2ωx －cos2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，即ω＝k 2＋13(k ∈Z)．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．。
2013年全国各省市高考真题——平面向量(带答案)
2013年全国各省市文科数学—平面向量1、2013大纲文T3.已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-12、2013辽宁文T3.已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3、2013福建文T10．在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．104、2013广东文T10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量 a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+ a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+ a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+ a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+ a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 5、2013陕西文T2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (D) 06、2013湖南文T8.已知a,b 是单位向量，a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为1127、2013湖北文T7．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ．D ．8、2013新课标文T13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60 ，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____。
三角恒等变换高考题
一、（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.解:(I)因为a =3,b B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin A =.所以2sin cos sin A A A =.故cos A =.(II)由(I)知cos A =,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin 3B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a C c A==. 二、1（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-, 则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =- ()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==.由题知a b >,则A B >,故4B π=. 根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去). 故向量BA 在BC 方向上的投影为cos 2BA B =三2、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若31sin sin 4A C -=,求C .四3、（2013年山东数学（理）试题）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b a c ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =. (Ⅱ)在△ABC 中,242sin 1cos 9B B =-=,由正弦定理得 sin 22sin a B A b ==, 因为a c =,所以A 为锐角,所以21cos 1sin 3A A =-=因此 102sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.五、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.六、（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小; (II)若ABC ∆的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值.解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒ (II)1sin 532S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴==七、4（2013年重庆数学（理））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且2222a b ab c ++=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos 322cos cos ,5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值.由题意得八5、（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 11323cos3042+-⨯⨯=74,∴PA =72; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得,o o 3sin sin150sin(30)αα=-,化简得,3cos 4sin αα=, ∴tan α=34,∴tan PBA ∠=34.九、（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++=即有sin sin 3sin cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 30B B =,又cos 0B ≠,所以tan 3B =又0B π<<,所以3B π=. (2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+.又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。
高考数学专题训练11 三角变换与解三角形、平面向量 理
高考专题训练十一三角变换与解三角形、平面向量班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0解析：只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →＝λAB →， 即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.答案：D2．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0， 即a ·b －(a ·c ＋b ·c )＋c 2≤0 ∴a ·c ＋b ·c ≥1. 又|a ＋b －c |＝a ＋b －c2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2a ·c ＋b ·c ≤1. 答案：B3．(2011·全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝ －12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( ) A ．2 B. 3 C. 2D ．1解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c(ⅰ)若OC 在∠AOB 内，如图因为a ·b ＝－12，所以∠AOB ＝120°，又〈a －c ，b －c 〉＝60°，则O ，A ，C ，B 四点共圆．|AB |2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos120°＝3，∴|AB |＝ 3. 2R ＝|AB |sin120°＝332＝2，∴|OC |≤2，即|c |≤2.(ⅱ)若OC 在∠AOB 外，如图由(ⅰ)知∠AOB ＝120°，又∠ACB ＝60°，|OA |＝|OB |＝1，知点C 在以O 为圆心的圆上，知|c |＝|OC →|＝1. 综合(ⅰ)，(ⅱ)|c |最大值为2. 答案：A4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )解析：由题意知OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.答案：A5．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36 C.63D.66解析：如题图所示在△BCD 中，∵BC ＝2BD ， ∴sin C sin ∠BDC ＝12.在△ABD 中，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，∴cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∵∠ADB ＝π－∠BDC ，∴sin ∠ADB ＝sin ∠BDC ， ∴sin C ＝12×63＝66.答案：D6．(2011·河南省重点中学第二次联考)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cosC 的最大值为( )A.54 B. 2 C ．1D.32解析：由sin 2A ＋cos 2B ＝1，得cos 2B ＝cos 2A .又A 、B 为△ABC 的内角，所以A ＝B ，则C ＝π－2A .cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A ＋cos(π－2A )＝2cos A －cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos A －122＋32，可知当cos A ＝12时，cos A ＋cos B ＋cos C 取得最大值32. 答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．(2011·江苏)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为________．解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，∴tan x ＝13，tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝34， 则tan x tan2x ＝1334＝49. 答案：498．(2011·上海)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的最大值为________．解析：y ＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝32cos 2x ＋12sin x ·cos x ＝32·cos2x ＋12＋14sin2x ＝34cos2x ＋14sin2x ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34.故y max ＝12＋34.答案：12＋349．(2011·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． 解析：(a ＋2b )·(a －b )＝－2 ∴a 2＋a ·b －2b 2＝－2 ∵|a |＝2，|b |＝2，∴4＋a ·b －8＝－2，∴a ·b ＝2∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝24＝12，0≤θ≤π，∴θ＝π3.答案：π310．(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝ 2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________. 解析：∵BC →＝2BD →，∴D 为BC 中点．∵CA →＝3CE →，∴E 为AC 边上距C 近的一个三等分点． ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，AB →与AC →夹角为60°， ∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →2－AB →2－13AB →·AC → ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－13×1×1×cos60°＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－16＝－14.答案：－14三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α＝1013，∴sin α＝513，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1213，∵f (3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3β＋2π3－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35，又β∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.12．(13分)(2011·湖北)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c .∴A <C ，故A 为锐角． ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.。
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高考专题训练十一三角变换与解三角形、平面向量班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0解析：只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →＝λAB →， 即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.答案：D2．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0， 即a ·b －(a ·c ＋b ·c )＋c 2≤0 ∴a ·c ＋b ·c ≥1. 又|a ＋b －c |＝a ＋b －c2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2a ·c ＋b ·c ≤1. 答案：B3．(2011·全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝ －12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( ) A ．2 B. 3 C. 2D ．1解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c(ⅰ)若OC 在∠AOB 内，如图因为a ·b ＝－12，所以∠AOB ＝120°，又〈a －c ，b －c 〉＝60°，则O ，A ，C ，B 四点共圆．|AB |2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos120°＝3，∴|AB |＝ 3. 2R ＝|AB |sin120°＝332＝2，∴|OC |≤2，即|c |≤2.(ⅱ)若OC 在∠AOB 外，如图由(ⅰ)知∠AOB ＝120°，又∠ACB ＝60°，|OA |＝|OB |＝1，知点C 在以O 为圆心的圆上，知|c |＝|OC →|＝1. 综合(ⅰ)，(ⅱ)|c |最大值为2. 答案：A4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )解析：由题意知OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.答案：A5．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36 C.63D.66解析：如题图所示在△BCD 中，∵BC ＝2BD ， ∴sin C sin ∠BDC ＝12.在△ABD 中，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，∴cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∵∠ADB ＝π－∠BDC ，∴sin ∠ADB ＝sin ∠BDC ， ∴sin C ＝12×63＝66.答案：D6．(2011·河南省重点中学第二次联考)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cosC 的最大值为( )A.54 B. 2 C ．1D.32解析：由sin 2A ＋cos 2B ＝1，得cos 2B ＝cos 2A .又A 、B 为△ABC 的内角，所以A ＝B ，则C ＝π－2A .cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A ＋cos(π－2A )＝2cos A －cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos A －122＋32，可知当cos A ＝12时，cos A ＋cos B ＋cos C 取得最大值32. 答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．(2011·江苏)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为________．解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，∴tan x ＝13，tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝34， 则tan x tan2x ＝1334＝49. 答案：498．(2011·上海)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的最大值为________．解析：y ＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝32cos 2x ＋12sin x ·cos x ＝32·cos2x ＋12＋14sin2x ＝34cos2x ＋14sin2x ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34.故y max ＝12＋34.答案：12＋349．(2011·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． 解析：(a ＋2b )·(a －b )＝－2 ∴a 2＋a ·b －2b 2＝－2 ∵|a |＝2，|b |＝2，∴4＋a ·b －8＝－2，∴a ·b ＝2∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝24＝12，0≤θ≤π，∴θ＝π3.答案：π310．(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝ 2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________. 解析：∵BC →＝2BD →，∴D 为BC 中点．∵CA →＝3CE →，∴E 为AC 边上距C 近的一个三等分点． ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，AB →与AC →夹角为60°， ∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →2－AB →2－13AB →·AC → ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－13×1×1×cos60°＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－16＝－14.答案：－14三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α＝1013，∴sin α＝513，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1213，∵f (3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3β＋2π3－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35，又β∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.12．(13分)(2011·湖北)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c .∴A <C ，故A 为锐角． ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.。