2013届高考数学专题训练11 三角变换与解三角形、平面向量 理
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高考专题训练十一
三角变换与解三角形、平面向量
班级_______ 姓名_______ 时间:45分钟 分值:75分 总得分________ 一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上.
1.a ,b 是不共线的向量,若AB →=λ1a +b ,AC →
=a +λ2b (λ1,λ2∈R),则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( )
A .λ1=λ2=-1
B .λ1=λ2=1
C .λ1λ2+1=0
D .λ1λ2-1=0
解析:只要AC →,AB →共线即可,根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →=λAB →
, 即a +λ2b =λ(λ1a +b ),由于a ,b 不共线,根据平面向量基本定理得1=λλ1且λ2
=λ,消掉λ得λ1λ2=1.
答案:D
2.(2011·辽宁)若a ,b ,c 均为单位向量,且a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +
b -
c |的最大值为( )
A.2-1 B .1 C. 2
D .2
解析:a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0, 即a ·b -(a ·c +b ·c )+c 2
≤0 ∴a ·c +b ·c ≥1. 又|a +b -c |=a +b -c
2
=a 2
+b 2
+c 2
+2a ·b -2a ·c -2b ·c =3-2a ·c +b ·c ≤1. 答案:B
3.(2011·全国)设向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=1,a ·b = -12,〈a -c ,b -c 〉=60°,则|c |的最大值等于( ) A .2 B. 3 C. 2
D .1
解析:设OA →=a ,OB →=b ,OC →
=c
(ⅰ
)若OC 在∠AOB 内,如图
因为a ·b =-1
2
,所以∠AOB =120°,
又〈a -c ,b -c 〉=60°,则O ,A ,C ,B 四点共圆.
|AB |2
=|OA |2
+|OB |2
-2|OA |·|OB |·cos120°=3,∴|AB |= 3. 2R =|AB |sin120°=33
2=2,∴|OC |≤2,即|c |≤2.
(ⅱ)若OC 在∠AOB 外,如图
由(ⅰ)知∠AOB =120°,又∠ACB =60°,
|OA |=|OB |=1,知点C 在以O 为圆心的圆上,知|c |=|OC →
|=1. 综合(ⅰ),(ⅱ)|c |最大值为2. 答案:A
4.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量OA →=a ,OB →
=b ,其中a =(3,1),b =(1,3).若OC →
=λa +μb ,且0≤λ≤μ≤1,C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
解析:由题意知OC →
=(3λ+μ,λ+3μ),取特殊值,λ=0,μ=0,知所求区域包含原点,取λ=0,μ=1,知所求区域包含(1,3),从而选A.
答案:A
5.(2011·天津)如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且AB =AD,2AB =3BD ,BC =2BD ,则sin C 的值为( )
A.3
3 B.36 C.63
D.
66
解析:如题图所示
在△BCD 中,∵BC =2BD , ∴
sin C sin ∠BDC =1
2
.
在△ABD 中,∵AB =AD,2AB =3BD ,
∴cos ∠ADB =AD 2+BD 2-AB 22AD ·BD =3
3
,
∴sin ∠ADB =6
3
,∵∠ADB =π-∠BDC ,
∴sin ∠ADB =sin ∠BDC , ∴sin C =12×63=6
6.
答案:D
6.(2011·河南省重点中学第二次联考)在△ABC 中,sin 2
A +cos 2
B =1,则cos A +cos B +cos
C 的最大值为( )
A.5
4 B. 2 C .1
D.32
解析:由sin 2
A +cos 2
B =1,得cos 2
B =cos 2
A .又A 、
B 为△AB
C 的内角,所以A =B ,则C =π-2A .cos A +cos B +cos C =2cos A +cos(π-2A )=2cos A -cos2A =-2cos 2
A +2cos A +1=-2⎝
⎛⎭⎪⎫cos A -122+32,可知当cos A =12时,cos A +cos B +cos C 取得最大值32. 答案:D
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. 7.(2011·江苏)已知tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x +π4=2,则tan x tan2x 的值为________.
解析:tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x +π4=
1+tan x 1-tan x =2,∴tan x =13,
tan2x =2tan x 1-tan 2
x =3
4, 则tan x tan2x =1
334=49
. 答案:49
8.(2011·上海)函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6-x 的最大值为________.
解析:y =cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫
32cos x +12sin x =32
cos 2x +12sin x ·cos x =32·
cos2x +12+14sin2x =
34cos2x +14sin2x +34=12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x +π3+3
4.
故y max =12+3
4.
答案:12+34
9.(2011·江西)已知|a |=|b |=2,(a +2b )·(a -b )=-2,则a 与b 的夹角为________. 解析:(a +2b )·(a -b )=-2 ∴a 2
+a ·b -2b 2
=-2 ∵|a |=2,|b |=2,
∴4+a ·b -8=-2,∴a ·b =2
∴cos θ=a ·b |a ||b |=24=12,0≤θ≤π,∴θ=π3
.
答案:π
3
10.(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中,设BC →
= 2BD →,CA →=3CE →,则AD →·BE →
=________. 解析:∵BC →=2BD →
,∴D 为BC 中点.
∵CA →=3CE →
,∴E 为AC 边上距C 近的一个三等分点. ∴AD →=12(AB →+AC →),BE →=AE →-AB →=2
3
AC →-AB →
.