【高中数学】秒杀秘诀MS12抛物线切线2

抛物线切线的性质2例1：过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为

．

解：根据定理1的公式得，AB 直线方程为：()4300+=⇒+=y x y y p xx ，故斜率为3。

秒杀秘籍：切点弦性质

定理1：设过点P 与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M ，交切点弦于点Q ，则Q 点平分切点弦AB 。（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且M 处的切线平行于抛物线的切点弦。（图1,3）定理2：直线:l y kx m =+上一动点Q 引抛物线两切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G （图2,4）

如图1，点()00,y x P 为抛物线py x 22=外任意一点，过点P 作抛物线两条切线分别切于A 、B 两点，AB 的中点为Q ，直线PQ 交抛物线于点M ，求证：（1）()轴上的截距在为直线，y AB m m y x x G -==00；且直线AB 方程为()00y y p xx +=；（2）设点M 处的切线l ，求证AB //l 。

证明：（1） 点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴2221212;2py x py x ==求导得p x p x y ==

'22；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-222111x x p x y y x x p x y y 即()()()()⎩⎨⎧+=+=212211y y p xx y y p xx ()()12-得：()1212)(y y p x x x -=-，即222)(12212212x x x p x p x p x x x +=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴Q x x x x =+=2120将点Q ),2(012y x x +代入切线方程得：()021*******py x x y y p x x x =⇒+=+令AB 方程为y kx m =+，代入22x py =得：0222=--pm pkx x 02122py pm x x =-=∴所以直线AB 过定点（0，0y -）；故AB

方程为()()0000x y x y xx p y y p =

+-⇒=+（2）p x k pk x x x pm pkx x 012022022=⇒=+=⇒=--，M 点坐标为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛p x x 2,200，以M 点为切点的切线斜率为p

x p x y 0022=='，故AB //l 。如图2，点()00,y x Q 为直线:l y kx m =+上一动点，过点Q 引抛物线py x 22=两条切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G ()m pk -,。

证明：由定理1结论可知AB ：()00xx p y y =+，又Q 在直线l 上，故00y kx m =+，将两式联立得：

()()()()()0000000000=+--⇒++=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=⇒+=mx kpy kp x y m x y y p k y m kx y x y y p x y y p xx ，由于0y 为任意数，故⎩

⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-m y kp x Cx kpy kp x 00。（图4也可以推导，:l x ky m =+过直线AB 定点G ()kp m ,-）

例2：在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到定点1(0,4F 的距离比点P 到x 轴的距离大

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,设动点P 的轨迹为曲线C ,直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点,M 是线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N .(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)证明:曲线C 在点N 处的切线与AB 平行;(Ⅲ)若曲线C 上存在关于直解：(Ⅰ)y x y y x =⇒=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2224141(Ⅱ) 点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴222121;y x y x ==求导得x y 2='；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎩⎨⎧-=--=-2221112x x x y y x x x y y 即()()⎩⎨⎧+=+=22122211y y xx y y xx ()()12-得：1212)(2y y x x x -=-，即1221222x x x x x --=212x x x +=故∴N M x x x x =+=212令AB 方程为1y kx =+，代入2x y =得：2201122k x x kx x =+⇒=--N x k 2=⇒，N 点坐标为()2,N N x x ，以N 点为切点的切线斜率为N x y 2='，故AB //N 处的切线；

(Ⅲ)若存在两点PQ 关于直线:1l y kx =+对称，则k k PQ 1-=，令PQ 中点()00,y x E ，令PQ 方程为m x k y +-=1，由于E 在直线:1l y kx =+上，固有001y kx =+，根据(Ⅱ)结论可知021x k =-，即011122y k k =+=-，故2212121121k m m k k -=⇒+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，将直线PQ ：⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=221211k x k y 与抛物线y x =2联立得：2222210021211222>-<⇒<⇒>∆=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+k k k k x k x 或。2略解：（I ）将坐标系向上移一个单位，得过的动点()1-'，a A 引抛物线y=x 2两切线Q A P A '''',，切点为Q P '',,

根据定理1，可得：Q A P A '''',方程为()()221121,21xx y y xx y y =+=+，易知Q P ''方程为()12

1-=y ax ；再将坐标系向下平移一个单位，得PQ 的方程为22+=ax y ；（Ⅱ）定点（0,2）。（具体步骤参考定理1证明）

1.过点作直线交抛物线x =2py （p ＞0）于A 、B 且M 为A 、B 中点，过A 、B 分别作抛物线切线，两切线交于点N ，若N 在直线y=﹣2p 上，则p=．

2.过点P（﹣2，1）引抛物线y 2=4x 的两条切线，切点分别为A、B，F 是抛物线的焦点，则直线PF 与直线

AB 的斜率之和为．

3.已知抛物线C ：y=2x 2，直线：y=kx+2交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行．