【高中数学】秒杀秘诀MS12抛物线切线2
高中数学 高考数学50条秒杀型公式与方法
高中数学| 高考数学50条秒杀型公式与方法1，适用条件：[直线过焦点]，必有e c o s A=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2，函数的周期性问题(记忆三个)：①、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;②、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;③、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限 b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=si nx y=si n派x相加不是周期函数。
3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：①，若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;②、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;③、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称。
4，函数奇偶性：①、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;②、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项③，奇偶性作用不大，一般用于选择填空。
5，数列爆强定律：①，等差数列中：S奇=n a中，例如S13=13a7(13和7为下角标);②，等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；③，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；④，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q ²m S(n)可以迅速求q。
6，数列的终极利器，特征根方程。
首先介绍公式：对于a n+1=p an+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
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高考数学秒杀公式之抛物线必考秒杀结论大全高考数学秒杀公式：抛物线必考秒杀结论大全！冲刺名校，高考必备高考命题具有连续性和稳定性的特点，认真研究高考题的高频题型，总结出题目隐含的速解结论，可以极大地提高学生高考时的解题效率。
下面将抛物线中常考题型的结论归纳如下，并配有真题，让考生达到知结论，会应用的目的。
家长收藏，让学生熟记，考试中定会突破高分，就读清北名校！抛物线y2=2px（p>0）,斜率为k过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),过焦点垂直于AB的直线交抛物线与CD两点.直线AB的倾斜角为θ.例1：(2017全国新课标卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( )A．16 B．14 C．12 D．10例2：(2014·全国新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|=( )例3：(2013·全国新课标卷Ⅱ)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B 两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为( )三、面积类规律公式例4：(2014·全国新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )例5：(2013年高考福建卷)在四边形ABCD中，AC=(1，2)，BD=(－4，2)，则该四边形的面积是( )四、有关垂直和切线的其它规律线段AB的中点为M，点A，M，B在准线l的上的射影分别为A1，M1，B1：(9)M1F⊥AB(10)∠AM1B=90°，M1F=p/sinθ,以AB为直径的圆与准线l相切于点M1．(11)∠A1FB1=90°，以A1B1为直径的圆与直线AB相切于点F．(12)以AF，BF为直径的圆与y轴分别相切于点E，N．(13)AM1平分∠A1AF，BM1平分∠B1BF;A1F平分∠AFO，B1F平分∠BFO．(14)①A，F，B共线;②A，O，B1共线；③BB1∥x轴．(15)M1A与M1B是抛物线的切线，或者说以A，B两点为切点的两条切线互相垂直且交点在抛物线的准线上．解一：由结论（8）知MA，MB为抛物线的两条切线,故lAB：2y=4(x－2),即y=2x－4,故k=2,选D.解二：由结论(10)知MF⊥AB,∵kMF=-1/2,∴kAB=2,故选D.用上述结论做抛物线的选择和填空题，过程简洁，省时高效。
利用二级结论秒杀抛物线(学生版)
利用二级结论秒杀抛物线考点目录考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论考点分类考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式已知倾斜角为θ直线的l 经过抛物线y 2=2px 的焦点F ，且与抛物线交于A ,B 两点，则①|AF |=p 1−cos θ,|BF |=P 1+cos θ，1|FA |+1|FB |=2p .②|AB |=2p sin 2θ，S ΔOAB =p 22sin θ，|AB |=2p 1+1k2.③|AF |=x A +p 2，|BF |=x B +p2,|AB |=x A +x B +p .【精选例题】1倾斜角为45°的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，则|AB |=()A.43B.4C.6D.82已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是抛物线C :x 2=8y 上的两点，且直线AB 经过C 的焦点，若y 1+y 2=12，则AB =()A.12B.14C.16D.183已知抛物线y 2=6x ，弦AB 过抛物线的焦点F 且满足AF =3FB，则弦AB 的中点到y 轴的距离为()A.32B.3C.52D.44已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(A 在第一象限)，O 为坐标原点，若AF =2BF =6，则()A.p =4B.直线l 的斜率是±22C.线段AB 的中点到y 轴的距离是52D.△OAB 的面积是62【跟踪训练】1已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 的直线l 交抛物线于两点A ，B ．若弦长|AB |=4p ，则直线l 的斜率为．2在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的倾斜角为π4的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且点A 在第一象限，△OAB 的面积是82，则()A.AB =8B.p =4C.1AF +1BF=12 D.AF =8+423已知直线l ：y =x +m 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，则()A.m =1B.AB =8C.AF =2BFD.抛物线C 上的动点到直线y =x +2距离的最小值为224已知直线l 过抛物线C :y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点，点M 为C 的准线与x 轴的交点，则下列结论正确的是()A.若x 1+x 2=5，则AB =7B.过C 的焦点的最短弦长为4C.当AF =2FB 时，直线l 的倾斜角为π3D.存在2条直线l ，使得AF ⋅BM =BF ⋅AM 成立考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式①抛物线y 2=2px 的焦点为F ，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：x 1x 2=p 24,y 1y 2=−p 2.②一般地，如果直线l 恒过定点M (m ,0)与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点，那么x A x B =m 2,y A y B =−2pm .③若OA ⊥OB ⇒AB 恒过定点(2p ,0).【精选例题】1已知抛物线C ：y =2x 2的的焦点为F ，M x 1,y 1 、N x 2,y 2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A.点F 的坐标为18,0B.若直线MN 过点F ，则x 1⋅x 2=-116C.若MF =λNF ，则MN 的最小值为14D.若|MF |+|NF |=32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为582已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，过F 且倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点()A.直线l 的方程为x -y -2=0B.原点到直线l 的距离为2C.AB =16D.y 1y 2=-83已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，点A ，B 是抛物线C 上不同两点，下列说法正确的是()A.若AB 中点M 的横坐标为3，则AB 的最大值为8B.若AB 中点M 的纵坐标为2，则直线AB 的倾斜角为π4C.设N 4,0 ，则AN 的最小值为42D.若OA ⊥OB ，则直线AB 过定点4,0【跟踪训练】1过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则说法正确的是()A.AB =x 1+x 2+pB.y 1+y 2=p 2C.1AF +1BF=2p D.OA ⋅OB =-34p 22已知点M (-1,0)在抛物线C :y 2=2px p >0 的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，则()A.抛物线C 的方程是y 2=4xB.x 1x 2=1C.当AF =3FB 时，AB =323D.∠AMF =∠BMF3已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=x 上不同于原点O 的两点，点F 是抛物线C 的焦点，下列说法正确的是()A.点F 的坐标为14,0,B.AB =x 1+x 2+12C.若OA ⊥OB ，则直线AB 经过定点1,0D.若点P -2,1 ,PA ､PB 为抛物线C 的两条切线，则直线AB 的方程为x -2y -2=0考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式①已知AB ,CD 是抛物线E :y 2=2px (p >0)中过焦点F 的两条相互垂直的弦，AB +CD 存在最小值，且最小值为8p .②已知AB ,CD 是抛物线E :y 2=2px (p >0)中过焦点F 的两条相互垂直的弦，则四边形ABCD 的面积的最小值为8p 2.【精选例题】1过抛物线C：y2=4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1和l2，设直线l1交抛物线C于A，B两点，直线l2交抛物线C于D，E两点，则AB+DE可能的取值为()A.18B.16C.14D.122在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆x2+y2-2x=0内切，且与直线x=-2相切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点F1,0作两条互相垂直的直线与曲线E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积S的最小值.【跟踪训练】1已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB+DE的最小值为2已知抛物线y2=4x.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形ABCD面积的最小值为．考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式设直线l与抛物线y2=2px相交所得的弦AB的中点坐标为x0,y0，则k AB=p y0【精选例题】1已知抛物线y2=2px的一条弦AB恰好以点P(1,1)为中点，弦AB的长为15，则抛物线的准线方程为()A.x=-12B.x=-1 C.x=-32D.x=-22直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点，AB中点的横坐标为2，则k为()A.-1B.2C.-1或2D.以上都不是3直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为()A.255B.355C.5D.25【跟踪训练】1已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为1,4，则直线l的方程为()A.4x-y=0B.2x-y=0C.8x-y-6=0D.x-2y+3=02已知抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ，第一象限的A 、B 两点在抛物线上，且满足BF -AF =4，AB =4 2.若线段AB 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.3已知抛物线C :y 2=4x ，过点P 1,1 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为.考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题设AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①以弦AB 为直径的圆与准线相切．②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.【精选例题】1已知A ,B 是抛物线C :y 2=6x 上的两动点，F 是抛物线的焦点，下列说法正确的是()A.直线AB 过焦点F 时，以AB 为直径的圆与C 的准线相切B.直线AB 过焦点F 时，AB 的最小值为6C.若坐标原点为O ，且OA ⊥OB ，则直线AB 过定点3,0D.与抛物线C 分别相切于A ,B 两点的两条切线交于点N ，若直线AB 过定点32,0，则点N 在抛物线C 的准线上2已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(其中点A 在x 轴上方)，则()A.1AF +1BF=1 B.弦AB 的长度最小值为lC.以AF 为直径的圆与y 轴相切D.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切【跟踪训练】4设O 是坐标原点，直线y =k x -2 k >0 经过抛物线C ：y 2=2px 的焦点F ，且与C 交于A ，B 西点，△OAF 是以OF 为底边的等腰三角形，l 是抛物线C 的准线，则()A.以AB 直径的圆与准线l 相切B.k =2C.BF =2FAD.△OAB 的面积是625已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 在直线l :y =kx -k 上，直线l 与抛物线交于点A ,B (O 为坐标原点)，则下列说法中正确的是()A.p =2B.准线方程为x =-2C.以线段AB 为直径的圆与C 的准线相切D.直线OA ､OB 的斜率之积为定值考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论①知识要点：如图，假设抛物线方程为x 2=2py (p >0)，过抛物线准线y =−p2上一点P (x 0,y 0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A ,B ，其坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2). 则以点P 和两切点A ,B 围成的三角形PAB 中，有如下的常见结论:结论1.直线AB 过抛物线的焦点F .结论2.直线AB 的方程为x 0x =2py 0+y2=p (y 0+y ).结论3.过F 的直线与抛物线交于A ,B 两点，以A ,B 分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P (x 0,y 0)的轨迹即为抛物线的准线.证明：过A 点的切线方程为x 1x =p (y 1+y )，过B 点的切线方程为x 2x =p (y 2+y )，两式相除可得：x 1x 2=y +y 1y +y 2⇒y =x 2y 1−x 1y 2x 1−x 2⇒y =x 1x 22p =−p 2.这就证明了该结论.结论4.PF ⊥AB .证明：由结论3，k AB =x0p ，k PF =y 0−p2x 0.那么k AB ⋅k PF =x 0p ⋅y 0−p2x 0=y 0p −12=−1.结论5.AP ⊥PB .证明：k AP =x 1p ,k BP =x 2p ,则k AP ⋅k BP =x 1p ⋅x2p =x 1⋅x 2p2.由抛物线焦点弦的性质可知x 1x 2=−p 2，代入上式即可得k AP ⋅k BP =x 1⋅x 2p 2=−1，故AP ⊥PB .结论6.直线AB 的中点为M ，则PM 平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点A ,B 的切线的交点P 在抛物线准线上.且P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 22p，显然PM 平行于抛物线的对称轴.【精选例题】1已知抛物线C ：x 2=2py ，(p >0)的焦点为F ，M x ,y x >0 为C 上一动点，若曲线C 在点M 处的切线的斜率为3，则直线FM 的斜率为()A.32B.33C.34D.352设抛物线C ：y 2=6x 的焦点为F ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作C 的切线l 1，l 2，若l 1与l 2交于点P ，且满足PF =23，则AB =()A.5B.6C.7D.83(多选题)已知抛物线y =x 2的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，B 在第一象限，过A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，若BP 交x 轴于点Q ，则下列说法正确的有()A.点P 在抛物线的准线上B.∠APB =π3C.FQ ⊥BQD.若k =33，则AF FB的值为134已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 倾斜角为60°，交C 于A ,B 两点，过A ,B 两点分别作C 的切线l 1，l 2，其交点为P ，l 1，l 2与x 轴的交点分别为M ,N ，则四边形PMFN 的面积为.【跟踪训练】1已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，若抛物线上一点P 满足PF =5，则过点P 的切线方程为()A.2x -y -4=0或3x -4y +4=0B.2x -y -4=0或2x +y +4=0C.2x +y +4=0或3x +4y +4=0D.3x -4y +4=0或3x +4y +4=02(多选题)设抛物线C ：y =x 2的焦点为F ，过抛物线C 上不同的两点A ，B 分别作C 的切线，两条切线的交点为P ，AB 的中点为Q ，则()A.PQ ⊥x 轴B.PF ⊥ABC.∠PFA =∠PFBD.AF +BF =2PF3已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ，且F 与圆M :x 2+y +4 2=1上的点的距离的最小值4．(1)求p ；(2)若点P 在圆M 上，PA ,PB 是C 的两条切线，A ,B 是切点，求△PAB 面积的最大值．1已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)，过点P 3,0 且垂直于x 轴的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为9，则p =()A.32B.2C.52D.32已知O 为坐标原点，过抛物线C :y 2=8x 焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF |=|AO |，则|AB |=()A.5B.9C.10D.183已知抛物线Γ:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线于A ,B 两点，若AF =3BF ，则k =()A.33B.±33C.3D.±34已知抛物线y 2=4x 与过焦点的一条直线相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点M 的横坐标为32，则弦AB 的长|AB |=5已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为x =-1，直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点，若线段MN 的中点为1,1 ，则直线l 的方程为．6已知抛物线C :y 2=6x ，过P 3,2 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点，且PA =PB ，则直线l 的方程为.7已知倾斜角为π3的直线l 经过抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线m 交于点D ，则()A.以AF 为直径的圆与y 轴相切B.准线m 上存在唯一点Q ，使得QA ⋅QB=0 C.BDBF =2D.AFBF =28(多选题)已知抛物线C ：x 2=2py p >0 的焦点为F ，过F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，分别以A 、B 为切点作抛物线C 的切线，两切线交于点T ，设线段AB 的中点为M ．若点T 的坐标为2,-12，则()A.点M 的横坐标为2B.点M 的纵坐标为3C.直线l 的斜率等于2D.TM =5。
高中解析几何秒杀公式数学秒杀秘诀大全
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关于高中的解析几何有哪些秒杀公式帮助大家解题呢？又有哪些秘诀可供同学们学习呢？赶快跟小编来看一下吧！
1一化二代解析高中数学几何步骤一：（一化）
口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。
1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；
2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；
3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化。
步骤二：点与直线、曲线从属关系的代数化（二代）
口诀：点代入直线、点代入曲线。
1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；
2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；
1高中解题的秒杀秘诀1、点代入这两个点共同所在的直线把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如y=kx+d）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；
2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；
3、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就。
【高中数学】秒杀秘诀MS08抛物线的焦点弦性质
AP
BP
关于抛物线 x2 2 py 的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点， 90 为 AB 倾斜角）
1.
AF
p 1 sin
；
BF
p 1+ sin
；2.
AB
y1
y2
p
2p cos2
；3. S AOB
p2 2 cos
；
4.设
AF BF
,则
sin
1；AF 1
1 p 2
解：
BF BC
d BC
cos
1; 2
AF
p 1 cos
3
p
3 ，故此抛物线的方程为 y 2 2
3x 。
13.过抛物线 y2 2 px (焦p点 0F)且倾斜角为 60 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若 | AF | 3 , 则此抛物线方程为( )
A． y 2 3x
B． y 2 = 6 x
19.直线 l 过抛物线 y2 x 的焦点 F ，交抛物线于 A、B 两点，且点 A 在 x 轴上方，若直线 l 的倾斜角 ≥ π ，则|FA|
4
的取值范围是
（）
A.
14 ,
3 2
B.
1, 3 4 4
2
2
20.设 O 是坐标原点， F 是抛物线
y2
C.
1,1 4
2
2
2 px( p 0) 的焦点，
A．4
B． 2 5
C．6
D． 8 2 3
6..AB 是抛物线 y 2 2x 的一条焦点弦，|AB|=4，则 AB 中点 C 的横坐标是
7.已知 P 为抛物线 y 1 x 2 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是 (6, 17 ) ，则 PA PM 的最小值
切线二级结论 推导过程
切线二级结论推导过程
嘿，朋友们！咱们今天来聊聊切线二级结论的推导过程，这可是个有趣又有点挑战的事儿。
咱们先来说说什么是切线。
你就想象一下，一个圆在那儿安静地待着，突然有一条直线跟它来了个亲密接触，就碰了那么一个点，这条直线就是切线啦。
那为什么要研究切线的二级结论呢？这就好比你在爬山，知道了一些特别的路径，就能走得更轻松、更快不是？
比如说，我们有一个函数图像，就像一条蜿蜒的小路。
要找到它在某一点的切线，这可不容易，得费一番功夫。
咱们先从简单的函数入手，就像先从平坦的小坡开始爬。
假设是个二次函数，那咱们就先把它的表达式写出来。
然后呢，求导！求导这事儿就像是给函数装上了速度计，能知道它变化的快慢。
这导数是啥呢？你就把它当成函数变化的“向导”。
通过求导，我们能得到在某一点的斜率。
有了斜率，再知道那一点的坐标，切线方程不就呼之欲出啦？
再复杂点的函数，也别怕！就像爬山遇到更陡峭的山峰，咱们一步一步来。
比如说，碰到个三角函数，正弦余弦啥的。
这时候求导可就得小心了，可别被它的“弯弯绕绕”给弄晕喽。
咱们在推导的过程中，得细心再细心，就像走在钢丝上，一不小心
就可能掉下去。
每一步的计算都得稳稳当当的，一个小错误都可能让
咱们前功尽弃。
你想想，要是推导错了，那不就像在森林里迷路了一样，找不到正
确的方向啦？
经过一番努力，当我们成功推导出切线的二级结论时，那种成就感，就像是登上了山顶，看到了无比美丽的风景！
所以说啊，推导切线二级结论虽然有点难，但只要咱们有耐心，有
细心，就一定能成功！。
秒杀题型12 圆锥曲线中的切线(原卷版)
说明：圆锥曲线中的切线问题是高考压轴题的一大类型，共分下面四种题型，在高考中主要以考查重要结论为主，且重要结论的证明步骤固定，所以要求考生熟记下面的步骤，在高考中直接套用即可。
【秒杀题型】：玩转压轴题之三大曲线中的切线『秒杀策略』：当抛物线开口向上或开口向下时（此时抛物线可看作函数），主要利用导数解决，当抛物线 开口向左或开口向右时利用0=∆解决。
椭圆利用0=∆解决。
【题型一】：过曲线上一点作曲线的切线。
『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆12222=+by a x 上一点()00,y x P 作切线，则切线方程为：12020=+byy a x x 。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过()00,y x P 的切线方程为：()00x x k y y -=-，与椭圆方程联立，利用0=∆。
熟记：②过抛物线px y 22=上一点()00,y x P 作切线，则切线方程为：)(00x x p y y +=。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过()00,y x P 的切线方程为：()00x x k y y -=-，与抛物线方程联立，利用0=∆。
若为开口向上或开口向下的抛物线，求导，代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程 。
〖母题〗抛物线2y x =上到直线24x y -=的距离最小的点的坐标是 ( )A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.()1,1 C.39,24⎛⎫⎪⎝⎭D.()2,4 1.(高考题)抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 ( ) A.43 B.75 C.85D.3 【题型二】：过曲线外一点作曲线的切线。
『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆12222=+by a x 外一点()00,y x P 作椭圆的两条切线，则两切点连线方程为：12020=+byy a x x 。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设两切点为()11,y x A 、()22,y x B ，则切线PA ：12121=+byy a x x ；同理，切线PB ：12222=+b yy a x x ；点P 在两切线上，则有：1201201=+b y y a x x ①，1202202=+by y a x x ②，构造直线l ：12020=+b y y a x x ，则由①②可知点A 、B 均在直线l 上，即直线AB 的方程为12020=+byy a x x 。
【高中数学】秒杀秘诀MS02导数与函数切线
例1：（2014•广西）曲线y=xe x ﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．1解：()()()()C e f k e x e x e x x f x x x ，选，2211011=='=+='+'⋅='--。
例2：设点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A ．B ．[0，）∪[，π）C ．D ．解：()为第二象限角）（，，，απαπαα<≤∴-≥∴-≥-=-='323tan 333tan 3322x x x f 为第一象限角）（或απα20<≤。
1.曲线y=sinx+e x （其中e=2.71828…是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的斜率为（）A ．2B ．3C ．D ．2.设f （x ）存在导函数且满足=﹣1，则曲线y=f （x ）上的点（1，f （1））处的切线的斜率为（）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．23.函数y=f （x ）在x=x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是（）A ．在点x 0处的斜率B ．曲线y=f （x ）在点（x 0，f （x 0））处切线的斜率C ．在点（x 0，f （x 0））处的切线与x 轴所夹锐角的正切值D ．点（x 0，f （x 0））与点（0，0）连线的斜率4.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A ．3B ．2C ．1D ．5.函数在x=1处切线的倾斜角为（）A ．B ．C ．D ．6.已知函数y=f （x ）的图象如图，则f ′（x A ）与f ′（x B ）的大小关系是（）A ．f ′（x A ）＞f ′（x B ）B ．f ′（x A ）＜f ′（x B ）C ．f ′（x A ）=f ′（x B ）D ．不能确定7.（2014•陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A ．y=x 3﹣x 2﹣x B ．y=x 3+x 2﹣3xC ．y=x 3﹣xD ．y=x 3+x 2﹣2x8.过曲线32y x x =+-上的点P O 的切线平行于直线y =4x －1，则切点P O 的坐标为（）A.(0，－1)或(1，0) B.（1，0）或（－1，－4）C.（－1，－4）或（0，－2） D.（1，0）或（2，8）秒杀秘籍：导数的几何意义函数()x f y =在点()()00x f x ，处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，即()0()=tan k f x '=表示倾斜角αα导数的几何性质例3：已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x .求函数)(x f y =的解析式；解：()()110761,1=-==+---y x y x f 代入得：，将处切线方程为：由于在点，由于函数过点P （0，2），可得2=d ，故有()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-⋅=+++-⇒⎩⎨⎧=-'=-61213121611123a b a b f f ，联立得：⎩⎨⎧-==11b a 故2)(23++-=x x x x f 。
【圆锥曲线】11抛物线切线(含经典题型+答案)
抛物线切线的性质例1：点M （2，1）是抛物线x 2=2py 上的点，则以点M 为切点的抛物线的切线方程为 ．解：将点M （2，1）代入抛物线得：p =2，故以点M 为切点的切线方程为()122+=y x ，即01=--y x例2：过点A （0，2）且和抛物线C ：y 2=6x 相切的直线l 方程为 ．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()003x x yy +=代入点A （0，2）得：0032x y =，与抛物线方程联立得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=⎪⎭⎫⎝⎛004386230000020y x y x x x 或，故切线方程为0843=+-y x 或0=x 。
例3：直线l 经过点（0，2）且与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，满足这样条件的直线l 有 条．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()004x x yy +=代入点A （0，2）得：002x y =，与抛物线方程联立得：()⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒=4200820000020y x y x x x ，或，故存在两条切线，还有一条直线2=y 与抛物线只有一个公共点，故答案为3条。
1.在曲线y=x 2上切线的倾斜角为的点的坐标为 ．2.过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.抛物线2x y =在点M(21,41)处的切线的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.设曲线2ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A.12-B.12C.1D.1- 5.函数24x y =在点P （2, 1）处的切线方程为__________________________.6.抛物线x 2=4y 的准线l 与y 轴交于点P ，若直线l 绕点P 以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t= ．7.过点（2，﹣1）引直线与抛物线y=x 2只有一个公共点，这样的直线共有 条．8.过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为 ． 9.（2014•辽宁）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于 点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知点A 为抛物线C ：x 2=4y 上的动点（不含原点），过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则△ABF （ ）A ．一定是直角 B ．一定是锐角C ．一定是钝角 D ．上述三种情况都可能11.抛物线x 2=y 在第一象限内图象上一点（a i ，2a i 2）处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i+1，其中i ∈N *，若a 2=32，则a 2+a 4+a 6等于（ ）A ．64 B ．42C ．32D ．2112抛物线C 1：x 2=2py （p ＞0）的焦点与双曲线C 2：﹣y 2=1的左焦点的连线交C 1于第二象限内的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）A ．B ．C ．D ．13.已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A 、B.过点A 的抛物线C 的切线y 轴交于点D ，求证；︱AF ︱=︱DF ︱；14.已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1（x 1＞0），过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线于点M ，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1值．15如图所示，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）与直线AB ：y=x+b 相切于点A ．（1）求p ，b 满足的关系式，并用p 表示点A 的坐标；（2）设F 是抛物线的焦点，若以F 为直角顶角的Rt △AFB 的面积等于25，求抛物线C 的标准方程． 例4：已知点P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，过点P 的直线与抛物线C 相切于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为（ ）A ．1B ．C ．D ．3解：P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，故p =6，抛物线C ：y 2=12x ，根据秘籍中的性质（1）可知，AB 中点的纵坐标与P 点纵坐标相等（如图），即20=y ，且AB 过抛物线的焦点；设AB 方程为3+=ky x ，代入抛物线方程得：036122=--ky y ，312621221021=⇒==+=⇒=+k k y y y k y y ，故直线AB 的斜率为3。
抛物线切线方程二级结论
抛物线切线方程二级结论抛物线是一种二次函数，其曲线能够准确描述各种物理现象。
抛物线切线方程是在二次函数曲线上求出曲线和抛物线切线的结果，这可以改善我们对各种物理现象的理解。
抛物线的法线是抛物线的切线，也就是在抛物线上的点P处的切线方程，当定点变化时，抛物线的切线方程也会发生变化。
一般来说，抛物线的切线方程的求解可以分为两种：一种是一级求解，也就是求出抛物线的法向量；另一种是二级求解，也就是求出抛物线的切线方程。
本文将重点关注抛物线切线方程二级求解的结论。
首先，我们来看看抛物线一级求解的结论。
抛物线切线的一级求解，指的是求出抛物线的法向量。
这个法向量是一个单位向量，它的方向恰好与抛物线的切线方向相反。
当抛物线的定点改变时，抛物线的法向量也会发生变化，而只有当抛物线的定点改变后，才能求出抛物线的法向量。
接下来，我们来看看抛物线二级求解的结论。
二级求解就指的是求出抛物线的切线方程。
在求出抛物线的切线方程之前，需要先求出它的法向量，也就是一级求解的结果。
只有当我们知道抛物线的法向量后，才能求出抛物线的切线方程。
这里最重要的是根据法向量的方向，转换到一般方程的形式，即y=ax+b，其中a为斜率，b为常数项，最后可以求出抛物线的切线方程。
最后，我们来总结一下抛物线切线方程二级结论：抛物线切线方程的二级求解，指的是求出抛物线的切线方程。
当抛物线的定点改变时，抛物线的切线方程也会发生变化。
要求出抛物线的切线方程，首先需要求出它的法向量，根据法向量的方向，转换到一般方程的形式，最后可以求出抛物线的切线方程。
抛物线切线方程的求解，是数学中非常重要的一个研究方向，它能够更加准确地描述各种物理现象，能够更好地帮助我们解决实际问题。
因此，要想更好地理解抛物线切线方程，我们需要充分的研究和讨论，以此来发掘出更多的结论。
【高中数学】秒杀秘诀MS11抛物线切线
29.已知抛物线 C：y=x2，直线 l：x﹣2y﹣2=0，点 P 是直线 l 上任意一点，过点 P 作抛物线 C 的切线 PM，PN，切点 分别为 M，N，直线 PM，PN 斜率分别为 k1，k2，如图所示（1）若 P（4，1），求证：k1+k2=16；（2）若 MN 过抛 物线的焦点，求点 P 的坐标．
26.已知抛物线 x2 4 y 的焦点为 F ,过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线 l 交抛物线于 A , B 两点,抛物线在 A 、 B 两
点处的切线交于点 M .(Ⅰ)求证: A , M , B 三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)设直线 MF 交该抛物线于 C , D 两点,求 四边形 ACBD 面积的最小值.
(1)求抛物线 P 的方程;(2)设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E,过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程;
解：（1）
MF
yM
p 2
2
p 2
3
p 2 ，故抛物线的方程为 x2
4y
；
（2）E
点坐标为
0， 1
，设抛物线的切点为
Q
x0 ,
y0
，求导得
y
2x 4
x 2
，故切线方程为
y
y0
y
y0
x0 p
x
x0 即
py
py0
xx0
x0 2
xx0
py
y0
同理，在抛物线 y2 2 px 上任意一点 Ax0 , y0 的切线方程为： yy0 px x0
证明： 点
Ax0 , y0 在抛物线上
y02
2 px0 ；又
y2
2 px
x
y2 2p
高中数学抛物线中的切线问题(解析版)
抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.1.(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p 2,由y 2=2px y =k x +p2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .2.(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．3.已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(2)证明：|PF|2=|AF|⋅|FB|．【解析】(1)由题意,F0,p 2,当AB∥x轴时,将y=p2代入x2=2py有x2=p2,解得x=±p,又AB =2故2p=2,解得p=1.故抛物线C的方程为x2=2y.(2)由(1),设A x1,y1,B x2,y2,直线l的方程为y=kx+12,联立抛物线方程有x2-2kx-1=0,故x1+x2=2k,x1x2=-1.又抛物线方程y=12x2,故y =x,故切线PA的方程为y-12x21=x1x-x1,即y=x1x-12x21,同理可得切线PB的方程为y=x2x-12x22,联立y=x1x-12x21y=x2x-12x22可得x1-x2x=12x21-x22,解得x=1 2x1+x2,代入y=x1x-12x21有y=12x1x1+x2-12x21=12x1x2,代入韦达定理可得P k,-12.故当k=0时有l⊥PF,当k≠0时,因为k FP=-12-12k-0=-1k,故k FP⋅k l=-1,也满足l⊥PF.故l⊥PF恒成立.又k PA⋅k PB=x1x2=-1,故PA⊥PB.所以∠PAB+∠PBA=90°,∠PAF+∠APF=90°,故∠PBF=∠APF,故Rt△PBF∼Rt△APF,故BF PF =PFAF,即PF2=AF⋅BF,即得证.4.已知直线l过原点O,且与圆A交于M,N两点,MN=4,圆A与直线y=-2相切,OA与直线l垂直,记圆心A的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)过直线y=-1上任一点P作C的两条切线,切点分别为Q1,Q2,证明：①直线Q1Q2过定点；②PQ1⊥PQ2．【解析】(1)如图,设A(x,y),因为圆A与直线y=-2相切,所以圆A的半径为|y+2|．由圆的性质可得|OA|2+|ON|2=|AN|2,即x2+y2+4=(y+2)2,化简得x2=4y．因为O与A不重合,所以y≠0,所以C的方程为x2=4y(y≠0)．(2)证明：①由题意可知Q1,Q2与O不重合．如图,设P(t,-1),Q1x1,y1,则x21=4y1,因为y =x2,所以切线PQ1的斜率为x12,故x12=y1+1x1-t,整理得tx1-2y1+2=0．设Q2x2,y2,同理可得tx2-2y2+2=0．所以直线Q1Q2的方程为tx-2y+2=0,所以直线Q1Q2过定点(0,1)．②因为直线Q1Q2的方程为tx-2y+2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t 24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p2,则d 1=3p 2+6pt 204t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p2-2pt 24t 20+1=p 2+2pt 204t 2+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20=3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p 2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4ymx +y -1=0,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y=2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x 设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4xx =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y 12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 22-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1=0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 20,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 22=1k 1-1k 221k 1+1k 22+4=k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2 k 1+k2k 1k 22+4=(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +4 2=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 20+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 2+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=20 5.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2=0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2 ,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mmy 2=4x,消元整理得m 42-my 2-y +2-mm =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2kk +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2k x 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a ,准线方程为y =-14a ；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14a x 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx =ax 2x 1-14ax 1+x 22-2ax 11+ax 2x 1-14ax 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a-2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a -ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 122ax 21++4a 2x 12=-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q=kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2k y =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y (2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D=1a+1m . 由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1),求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx得x =0,y =0 或x =2pk 2,y =2p k,即O 0,0 ,A2p k 2,2pk所以线段OA 的中点Mp k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p k p k 2-3p=k1-3k 2．所以k 1-3k 2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±22=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p 2 ,因为AF ⎳x ,所以y A =p2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =xp ,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p 2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y =0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB =k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max=f23=3227所以S△ABCmax=23227=869>2所以S△ABCmax=86 916.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,点P m,2(m>0)在抛物线C上,且满足PF=3．(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点G0,4的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求三角形PQG周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF=2+p2=3,得p=2,∴抛物线C的标准方程为x2=4y；(2)设A x1,y1,B x2,y2,直线l的方程为y=kx+4,∴联立y=kx+4x2=4y,消掉x,得x2-4kx-16=0,Δ>0,∴x1+x2=4k,x1x2=-16,设A,B处的切线斜率分别为k1,k2,则k1=x12,k2=x22,∴在点A的切线方程为y-y1=x12x-x1,即y=x1x2-x124①,同理,在B的切线方程为y=x2x2-x224②,由①②得：x Q=x1+x22=2k,代入①或②中可得：y Q=kx1-x214=y1-4-y1=-4,∴Q2k,-4,即Q在定直线y=-4上,设点G关于直线y=-4的对称点为G ,则G 0,-12,由(1)知P22,2,∵PQ+GQ=PQ+G Q≥G P=251,即P,Q,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG周长最小值为GP+G P=251+23．17.已知圆C:x2+y-22=1与定直线l:y=-1,且动圆M与圆C外切并与直线l相切.(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；(2)已知点P是直线l1:y=-2上一个动点,过点P作轨迹E的两条切线,切点分别为A、B.①求证：直线AB过定点；②求证：∠PCA=∠PCB.【解析】(1)依题意知：M到C0,2的距离等于M到直线y=-2的距离,∴动点M的轨迹是以C为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x2=2py p>0,则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x2=8y,故：动圆圆心M的轨迹E的方程为：x2=8y；(2)①由x2=8y得：y=18x2,∴y =14x,设A x1,1 8 x21、B x2,18x22,P t,-2,其中x1≠x2,则切线PA的方程为y-18x21=x14x-x1,即y=14x1x-18x21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x22,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28,∴t =x 1+x 22-2=x 1x28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16,∵A x 1,18x 21 、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y -y 1=x 1x -x 1 ,直线QB 的方程为y -y 2=x 2x -x 2 .又直线QA 与QB 均过点Q ,b -y 1=x 1a -x 1 ,b -y 2=x 2a -x 2 ,又x 21=2y 1,x 22=2y 2,∴y 1=ax 1-b ,y 2=ax 2-b ,所以直线AB 的方程为y =ax -b ,联立方程y =ax -b 和x 2=2y 得方程组x 2=2y ,y =ax -b ,消去y 得x 2-2ax +2b =0,∵b ≠0,∴x 1≠0,x 2≠0,∵x 1x 2=2b ,又S 0,b ,则直线AS 的斜率k 1=y 1-b x 1；直线BS 的斜率k 2=y 2-bx 2,∴k 1+k 2=x 1+x 2 x 1x22-b x 1x 2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。
高中数学解曲线切线问题解题技巧
高中数学解曲线切线问题解题技巧在高中数学中，曲线切线问题是一个常见的考点，也是数学解题中的一大难点。
解曲线切线问题需要掌握一定的解题技巧，下面我将为大家介绍一些常见的解题方法和技巧。
一、求曲线切线的斜率要求曲线在某一点的切线斜率，首先需要求出该点的导数。
导数表示了曲线在某一点的变化率，也就是切线的斜率。
例如，求曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率。
首先，我们需要求出曲线$y=x^2$的导函数。
根据求导法则，$y'=2x$。
然后，将$x=2$代入导函数中，得到$y'=2\times2=4$。
所以曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4。
二、求曲线切线的方程已知切线斜率后，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求出曲线切线的方程。
1. 利用点斜式点斜式是求直线方程的一种常用方法，它利用直线上一点和直线的斜率来表示直线方程。
例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用点斜式求出切线的方程。
根据点斜式，切线的方程为$y-4=4(x-2)$，化简得$y=4x-4$。
2. 利用斜截式斜截式是求直线方程的另一种常用方法，它利用直线的斜率和截距来表示直线方程。
例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用斜截式求出切线的方程。
根据斜截式，切线的方程为$y=4x+b$，其中$b$为截距。
将点$(2,4)$代入方程，得到$4=4\times2+b$，解方程得到$b=-4$。
所以切线的方程为$y=4x-4$。
三、举一反三掌握了求曲线切线的斜率和方程的方法后，我们可以通过举一反三的方法拓展解题技巧。
举例来说，已知曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率为3，我们可以利用之前的方法求出切线的方程为$y=3x-2$。
然后，我们可以进一步求出曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线与曲线的交点。
将切线方程$y=3x-2$代入曲线方程$y=x^3$中，得到$x^3=3x-2$。
50条高考数学秒杀公式方法
50条高考数学秒杀公式方法高考数学是高中阶段最重要的科目之一，也是考生们普遍感到困难的科目之一、而掌握一些高考数学的秒杀公式，不仅可以在考场上提高效率，还可以帮助考生更好地理解和解题。
下面是50条高考数学秒杀公式方法：一、二次函数1. 一般式：y=ax^2+bx+c，顶点是（-b/2a, -△/4a），对称轴是x=-b/2a；2.抛物线开口情况：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；3. 零点判别式：△=b^2-4ac，当△>0时，零点有2个；当△=0时，零点有1个；当△<0时，零点没有；4.顶点坐标：(-b/2a,c-b^2/4a)；5. 切线方程：y=kx+b，k=2a；6. 直线与抛物线交点：求解方程ax^2+bx+c=y；7.最值：y=a最大值的时候，x=-b/2a；y=a最小值的时候，x=-b/2a；二、三角函数1. 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中a,b,c为三角形的边长，A,B,C为对应的角度，R为外接圆半径；2. 余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中a,b,c为三角形的边长，C为对应的角度；3. 正弦函数的性质：-1≤sinx≤1；4. 余弦函数的性质：-1≤cosx≤1；5. 三角函数的周期性：sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx，其中k为整数；6. 诱导公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB，cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB；7. 一些特殊角的值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，sin45°=cos45°=1/√2，sin60°=√3/2，cos60°=1/2；8. 三角函数图像：y=Asin(Bx+C)+D，A为振幅，B为周期，C为横向平移量，D为纵向平移量；三、数列与数列的和1.等差数列：an=a1+(n-1)d，Sn=(a1+an)n/2；2.等比数列：an=a1*q^(n-1)，Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，其中q为公比；3. 通项和前n项和的换算：an=Sn-S(n-1)；4.等差数列前n项和的推导：n=(an-a1)/d+1，Sn=(a1+an)n/2=(a1+an)/2*n；5.等比数列前n项和的推导：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，当，q，<1时，Sn=a1/(1-q)；四、导数与微分1. 导数的定义：f'(x)=lim(x→0)(f(x+h)-f(x))/h；2. 基本初等函数的导数：常数函数的导数为0，x^n的导数为nx^(n-1)，sinx的导数为cosx，cosx的导数为-sinx，e^x的导数为e^x，lnx的导数为1/x；3. 乘法法则：(u·v)'=u'v+uv'；4. 除法法则：(u/v)'=(u'v-uv')/v^2；5.链式法则：[f(g(x))]'=f'(g(x))·g'(x)；6.整除法：P(x)=D(x)·G(x)+R(x)，R(x)为余数；7. 幂函数的导数：y=x^n，y'=nx^(n-1)；8. 指数函数的导数：y=a^x，y'=a^x·lna；9. 对数函数的导数：y=log_a(x)，y'=1/(x·lna)；五、空间几何1.平面方程：Ax+By+Cz+D=0；2.直线方程：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p，其中(x0,y0,z0)为直线上一点的坐标，m,n,p分别为直线在x,y,z轴上的方向比例；3.平面与平面的交线：先通过向量积求得交点的一个坐标，再带入两个平面方程解出其他两个坐标；4.立体图形的体积：长方体的体积为V=a·b·c，正方体的体积为V=a^3，圆柱的体积为V=πr^2h，圆锥的体积为V=1/3πr^2h，球体的体积为V=4/3πr^3以上是50条高考数学的秒杀公式方法，希望对你备考高考数学有所帮助！。
抛物线切线方程二级结论
抛物线切线方程二级结论抛物线是几何学研究中的一个重要研究内容，它是由曲线和凸出的半月轮组成的，这种曲线是从右边开始的。
抛物线的形状，在任何给定的点上，都能够定义一条切线。
切线也称作渐近线，它是表示两个点之间的连线。
因此，抛物线切线方程是关于两点之间切线方程结论的一个重要研究内容。
要定义一条抛物线切线方程，我们首先需要定义一个抛物线，可以把它写成 y=ax2 + bx + c形式，其中 a，b，c 为常数。
接着，我们可以求出该抛物线上两个点（x1，y1）和（x2，y2）之间的切线方程结论。
首先，我们可以把切线方程写成 y-y1=m(x-x1)形式，其中 m示斜率。
把 x=x1 x=x2 代入方程，可以得到 m = (y2-y1)/(x2-x1)。
m 值代入切线方程 y-y1=m (x-x1)，就可以得到该抛物线上两个点（x1，y1）和（x2，y2）之间的切线方程结论：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) (x - x1)维基百科中，抛物线切线方程的定义是：如果两个点(x1,y1)和(x2,y2)在抛物线上，那么，他们之间的一条切线方程就可以写成 y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) (x - x1)。
接下来，我们可以讨论抛物线切线方程的一些更复杂的应用。
比如我们可以用抛物线切线方程来进行线性规划，以便实现最优的解决方案。
比如说，我们有一个包含三个变量的优化问题。
如果我们使用抛物线切线方程，可以用抛物线来连接这三个变量，再在抛物线上找到极值，以此来求解问题。
此外，抛物线切线方程还可以用来研究多个抛物线之间的关系，从而找出最适合的结论。
例如，我们可以用抛物线切线方程来研究两个抛物线之间的交点，进而得出最佳的结论。
总之，抛物线切线方程是一个重要的数学概念，可以用来解决多种问题，进而帮助人们更好地理解抛物线的特性和研究它们之间的关系。
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧【摘要】抛物线作为高中数学中重要的几何图形之一，其解题方法与技巧至关重要。
本文首先介绍了抛物线的基本概念和重要性，引出了对其解题方法的探讨。
在详细介绍了抛物线的标准方程、性质，以及与直角坐标系的关系，还重点讲解了利用抛物线的对称性和焦点性质解题的方法。
通过实例的讲解，读者更容易掌握抛物线的解题技巧。
在结论部分总结了抛物线的解题方法与技巧，强调了对抛物线知识的掌握对高中数学学习的重要性。
本文旨在帮助读者更深入地理解抛物线，提高解题效率，为高中数学学习提供有力的支持。
【关键词】抛物线、高中数学、解题方法、技巧、标准方程、焦点、对称性、实例、知识重要性1. 引言1.1 介绍抛物线的基本概念抛物线是平面解析几何学中的一种二次曲线，其形状像一个开口朝下或朝上的弧线。
抛物线的定义可以通过几何或代数的方式进行描述。
在几何意义上，抛物线是平面上到定点距离相等的点的轨迹，这个定点被称为焦点，而至定直线距离相等的点的轨迹被称为准线。
在代数意义上，抛物线可以用标准的二次方程表示，一般形式为y=ax^2+bx+c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
抛物线在数学中有着重要的地位和广泛的应用。
在几何学中，抛物线是一种常见的曲线，出现在许多几何问题中。
在物理学中，抛物线是描述自由落体运动的基本曲线。
在工程学和建筑领域中，抛物线的曲线形状也被广泛应用，比如拱形结构和天桥设计等。
对抛物线的理解和掌握对于理解数学和应用数学都具有重要意义。
在高中数学学习中，抛物线是一个重要的章节，掌握抛物线的基本概念和解题方法是非常重要的。
接下来我们将探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧，希望能够帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
1.2 重要性和应用背景抛物线作为数学中重要的几何曲线之一，在高中数学中占据着重要的地位。
它不仅仅是一种几何形状，更是一种具有丰富数学内涵和实际应用的数学工具。
在现代科学和工程领域，抛物线被广泛运用于各种实际问题的建模和解决。
高中解析几何秒杀公式数学秒杀秘诀大全
高中解析几何秒杀公式数学秒杀秘诀大全步骤一：（一化）口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。
1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化。
步骤二：点与直线、曲线从属关系的代数化（二代）口诀：点代入直线、点代入曲线。
1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；1、点代入这两个点共同所在的直线把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如y=kx+d）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；3、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式）；4、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；5、把这个一元二次方程的判别式?>0列出来。
《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
性质奇偶与增减，观察图象最明显。
复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。
指数与对数函数，两者互为反函数。
底数非1的正数，1两边增减变故。
函数定义域好求。
分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。
两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，y=x是对称轴。
求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。
幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。
《三角函数》三角函数是函数，象限符号坐标注。
高考数学讲义抛物线之切线与定点问题
2014年二轮复习抛物线之切线与定点问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455抛物线之切线与定点2014年高考怎么考自检自查必考点抛物线22y px =分为上下两支，可以分别看成函数求导 对于22y px =求导得2'2yy p =，则'p y y=抛物线22y px =在11(,)A x y 的切线的斜率为1AT p k y = 故切线AT 为111()py y x x y -=- 化简得到11()py x x y =+ 同理切线BT 为22()py x x y =+抛物线切线性质总结（老师带领学生证明）性质1：过抛物线一弦AB 的中点平行于对称轴的直线与抛物 线交于点P ，若过P 的切线为PT ，则PT //AB性质2：过抛物线上一点P 的切线交其对称轴于点T ，则PF TF =性质3：过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上TPQBAOyxFOyxA自检自查必考点TF BAOyx性质4：过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直性质5：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 性质6：切线交点与弦中点连线平行于对称轴性质7：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分 性质8：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径性质9：从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上性质10：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必平行于此抛物线的对称轴性质11：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上【例1】 证明：过抛物线上一点00M x y （，）的切线方程是：00y y p x x =+（）【例2】 设抛物线2y =2px 的焦点弦AB 在其准线上的射影是11A B ，证明：以11A B 为直径的圆必过一定点22y px =例题精讲【例3】 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的,A B 两点．⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅u u u r u u u r的值；⑵如果4OA OB ⋅=-u u u r u u u r证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【例4】 如图,过抛物线()220y px p =>上一定点()()000,0,P x y y >作两条直线分别交抛物线于()()1122.,,.A x y B x y(I)求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离; (II)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.yPO xAB【例5】 如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上. （I ）写出该抛物线的方程及其准线方程;（II ）当PA PB 与的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y +的值及直线AB 的斜率.x【例6】 如图，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上一点(0,c)C 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q（Ⅰ）若2OA OB ⋅=u u u r u u u r，求c 的值；（Ⅱ）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （Ⅲ）试问（Ⅱ）的逆命题是否成立？说明理由。
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解12 抛物线
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解考点12 抛物线1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质22221.求抛物线的标准方程的方法：①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p 值即可．②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．2.确定及应用抛物线性质的技巧：①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．抛物线的定义与方程一、单选题1．（2023·广东·二模）已知抛物线E ：24y x =，圆F ：()2214x y -+=，直线l ：y t =（t 为实数）与抛物线E 交于点A ，与圆F 交于B ，C 两点，且点B 位于点C 的右侧，则△F AB 的周长可能为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得AF AD =，又2FB =，可得△F AB 的周长为2FA AB FB DB ++=+，又知24DB <<，即可求解. 【详解】由题意知：抛物线焦点()1,0恰为圆心F ，抛物线准线:1l x =-，圆半径为2，可得圆F 与l 相切，设直线l ：y t =与准线l 交于D ，由抛物线定义知：AF AD =，又2FB =，故△F AB 的周长为22FA AB FB AD AB DB ++=++=+，由图知24DB <<，故()24,6DB +∈，结合选项知：△F AB 的周长可能为5. 故选：B.2．（2023·江苏·海安高级中学二模）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线为l ．点P 在C 上，直线PF 交x 轴于点Q ，且3PF FQ =u u u ru u u r，则点P 到准线l 的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】设()00,P x y ，(,0)Q t ，∵(0,1)F ，3PF FQ =u u u ru u u r, ∴013(1)y -=⨯-，∴04y =， ∴P 到l 的距离5d =， 故选：C ．3.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线28y x =第一象限上一点A 到其焦点的距离为8，则点A 的纵坐标为（）A ．B ．6C ．4D ．答案】D【分析】设点2,8b A b ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0b >，利用抛物线的定义可求得b 的值，即为所求.【详解】设点2,8b A b ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0b >，抛物线28y x =的准线方程为2x =-，由抛物线的定义可得2288b +=，0b >，解得b =故选：D.二、多选题4．（2023·广东韶关·二模）已知抛物线 :C 24y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点D ，直线m 过D 且交C 于不同的A ，B 两点，B 在线段AD 上，点P 为A 在l 上的射影．线段PF 交y 轴于点E ，下列命题正确的是（ ） A ．对于任意直线m ，均有AE ⊥PF B ．不存在直线m ，满足2BF EB =uu u ruu rC ．对于任意直线m ，直线AE 与抛物线C 相切D ．存在直线m ，使|AF |+|BF |=2|DF | 【答案】AC【分析】A 选项由E 为线段PF 的中点以及抛物线定义即可判断；B 选项由2BF EB =uu u ruu r及抛物线方程求出,A B 坐标，再说明,,D B A 三点共线，即存在直线m 即可；C 选项设()11,A x y ，表示出直线AE ，联立抛物线，利用0∆=即可判断；D 选项设出直线m ，联立抛物线得到121=x x ，通过焦半径公式结合基本不等式得4AF BF +>即可判断.【详解】A 选项，如图1，由抛物线知O 为DF 的中点，l y ∥轴，所以E 为线段PF 的中点，由抛物线的定义知AP AF =，所以AE PF ⊥，所以A 正确；B 选项，如图2，设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，(1,0)F ，1(1,)P y -，E 为线段PF 的中点，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12222(1,),(,)2y BF x y EB x y =--=-， 由2BF EB =uu u r uu r 得22122122()2x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得213x =，123y y =，又2211224,4y x y x ==，故13B ⎛ ⎝，(A ，又(1,0)D -，可得DA k =，3113DB k ==+m ，满足 2BF EB =uu u r uu r ，选项B 不正确．C 选项，由题意知，E 为线段PF 的中点，从而设()11,A x y ，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线AE 的方程：()1112yy x x x =+，与抛物线方程24y x =联立可得：211124y y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2114y x =代入左式整理得：22311120y y y y y -+=， 所以43111440y y y ∆=-=，所以直线AE 与抛物线相切，所以选项C 正确．D 选项，如图3，设直线m 的方程()()10y k x k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，由()214y k x y x⎧=+⎨=⎩，得()2222240k x k x k +-+=．当()224224416160k k k ∆=--=->，即11k -<<且0k ≠时，由韦达定理，得 212242k x x k -+=，121=x x ．因为11AF x =+，21BF x =+，所以12224AF BF x x +=++≥=， 又12x x ≠，2DF =，所以2AF BF DF +>成立，故D 不正确． 故选：AC ．5．（2023·山东潍坊·二模）已知四面体ABCD 的4个顶点都在球O （O 为球心）的球面上，△ABC 为等边三角形，M 为底面ABC 内的动点，AB=BD=2，AD AC BD ⊥，则（ ）A ．平面ACD ⊥平面ABCB ．球心O 为△ABC 的中心C ．直线OM 与CD 所成的角最小为3πD ．若动点M 到点B 的距离与到平面ACD 的距离相等，则点M 的轨迹为抛物线的一部分【答案】ABD【分析】设ABC 的中心为G ，取AC 的中点E ，由题可得BE ⊥平面ADC 可判断A ，根据勾股定理可得GD =进而判断B ，利用特例可判断C ，利用面面垂直的性质及抛物线的定义可判断D.【详解】设ABC 的中心为G ，取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，则BE AC ⊥.因为AC BD ⊥，BE BD B ⋂=, 所以AC ⊥平面BDE ，则AC DE ⊥，又△ABC 为等边三角形，2AB BD ==，AD =所以1,1AE DE ==，BE∴222DE BE BD +=，即DE BE ⊥，又,BE AC AC DE E ⊥⋂=，∴BE ⊥平面ADC ，BE ⊂平面ABC ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ，故A 正确；又∵GE =GB GA GC ===∴GD ==故G 为四面体ABCD 的外接球的球心，即球心O 为△ABC 的中心，故B 正确； 当OM ∥AC 时，DCA ∠为直线OM 与CD 所成的角， 由上知43DCA ππ∠=<，故C 错误；由平面ACD ⊥平面ABC 可知，动点M 到平面ACD 的距离即动点M 到直线AC 的距离， 由抛物线的定义可知，点M 的轨迹为抛物线的一部分，故D 正确. 故选：ABD.6．（2023·山东聊城·二模）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过F 的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，则（ ） A ．C 的准线方程为2x =-B ．若4AF =，则OA =C ．若24AF BF p ⋅=，则l 的斜率为D ．过点A 作准线的垂线，垂足为H ，若x 轴平分HFB ∠，则4AF = 【答案】BCD【分析】根据抛物线p 的几何意义求出p ，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A 、B 、D ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断C ；【详解】解：因为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，所以2p =，所以抛物线方程为24y x =，则焦点()1,0F ，准线为1x =-，故A 错误；若4AF =，则3A x =，所以2412A A y x ==，所以OA B 正确； 可设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线24y x =联立， 消去x ，可得2440y my --=， 可得124y y m +=，124y y =-，由抛物线的定义可得1212||||(1)(1)(2)(2)16AF BF x x my my ⋅=++=++= 即212122()416m y y m y y +++=，即2248416m m -++=，解得m =AB 的斜率为C 正确； 对于D ，若x 轴平分HFB ∠，则OFH OFB ∠=∠，又//AH x 轴， 所以AHF OFH OFB AFH ∠=∠=∠=∠，所以HF AF AH ==， 所以2A HF x x x +=，即3A x =，所以14A AF x =+=，故D 正确；故选：BCD7．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线2:2C y px =过点(M ，焦点为F ，则（ ） A ．点M 到焦点的距离为3 B ．直线MF 与x 轴垂直C ．直线MF 与C 交于点N ，以弦MN 为直径的圆与C 的准线相切D ．过点M 与C 相切的直线方程为210x y -+= 【答案】AC【分析】先求出2p =，由抛物线的定义即可判断A 、C 选项；B 选项由,M F 坐标即可判断；D 选项易知点M 不在直线210x y -+=上即可判断.【详解】由题意知：(24p =，解得2p =，即24y x =，焦点(1,0)F ，准线1x =-. 由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于到准线的距离为2(1)3--=，故A 正确； 由焦点(1,0)F 知直线MF 不与x 轴垂直，故B 错误；如图，设MN 中点为P ，过,,M N P 作准线的垂线，垂足为,,M N P '''，易知222MM NN MF NF MNPP ''++'===， 故以弦MN 为直径的圆与C 的准线相切，C 正确；由2210-⨯≠知M 不在直线210x y -+=上，故D 错误. 故选：AC. 三、填空题8．（2023·辽宁沈阳·二模）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，在C 上有一点P ，8PF =，则点P 到x 轴的距离为______．【答案】【分析】根据抛物线的定义，列出相应方程求解即可.【详解】由抛物线的定义可知：28p PF x =+=，所以6p x =，代入28y x =中，得248p y =，所以p y =P 到x 轴的距离为为故答案为：抛物线的几何性质1.（2021北京八中高三上学期期中）已知直线1l ：40x y -+=和直线2l ：2x =-，抛物线28y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A ．B ．CD ．2+ 【答案】A【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和d PB PA PB PF =+=+，当B ，P ，F 三点共线时，PB PF +最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解．【详解】∵抛物线28y x =，∴抛物线的准线为2x =-，焦点为()2,0F ，∴点P 到准线2x =-的距离P A 等于点P 到焦点F 的距离PF ，即PA PF =， ∴点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和d PB PA PB PF =+=+， ∴当B ，P ，F 三点共线时，PB PF +最小，∵d '==，∴mind d '==∴点P 到直线1l和直线2l 的距离之和的最小值为 故选：A ．2.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线2:4Z x y =的焦点为F ，圆()22:14F x y +-=与抛物线Z 在第一象限的交点为2,4m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线():0l x t t m =<<与抛物线Z 的交点为A ，直线l 与圆F 在第一象限的交点为B ，则FAB 周长的取值范围为（） A. ()3,5 B. ()4,6 C. ()5,7 D. ()6,8【答案】B【分析】将抛物线与圆方程联立可求得P 点坐标，由此可知B y 的取值范围；利用抛物线定义和圆的半径可将FAB 周长转化为3B y +，由B y 范围可得所求周长取值范围. 【详解】由抛物线24x y =得：()0,1F ，准线为1y =-； 设x t =与1y =-交于点D ，由抛物线定义知：AF AD =；由圆()22:14F x y +-=知：2BF =；由()2224140,0x y x y x y ⎧=⎪⎪+-=⎨⎪>>⎪⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，即()2,1P ，则2m =，设(),B B B x y ，02t m <<=，13B y ∴<<，FAB ∴△的周长为AF BF AB AD BF AB BF BD ++=++=+21B y =++3B y =+，()34,6B y +∈，FAB ∴△周长的取值范围为()4,6.故选：B.直线与抛物线的位置关系1.（云南省曲靖市第一中学2023届高三上学期第一次质量监测卷）已知直线l ：y =x +1与抛物线C ：x 2=2py （p >0）相交于A ，B 两点，若AB 的中点为N ，且抛物线C 上存在点M ，使得3OM ON =（O 为坐标原点）. （1）求此抛物线的标准方程；（2）若正方形PQHR 的三个顶点P ，Q ，H 都在抛物线C 上，求正方形PQHR 面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32.【分析】（1）联立方程由点N 为AB 的中点，求得点N 的坐标，再根据3OM ON =，得到M 的坐标，代入抛物线方程求解；（2）设222312123444x x x P x Q x H x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，直线QH 的斜率为k ，根据PQ QH ⊥得到1k -，由||||PQ QH =，得到2132()x x k x x -=-，再由123244x x x k x k =--=-，，得到32222k x k k-=+，然后由正方形PQHR 的面积为22232||(1)()S QH k x x ==+-2222216(1)1(1)k k k k ++=⨯+，利用基本不等式求解.【详解】（1）设1122()()A x y B x y ，，，，联立方程组整理得2220x px p --=，则122x x p +=，可得121222 2.y y x x p +=++=+ 由点N 为AB 的中点，所以(1).N p p +，设00()M x y ，，因为3OM ON =，可得(333)M p p +，， 又由点M 在抛物线C ：22(0)x py p =>上， 可得2(3)23(1)p p p =⨯+， 即220p p -=，解得2p =或0p =（舍去）， 所以抛物线的标准方程为24x y =.（2）设222312123444x x x P x Q x H x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，直线QH 的斜率为k ， 不妨设123x x x <<，则0k >，且22323232444x x x x k x x -+==-，因为PQ QH ⊥，所以221212121444x x x x k x x -+-==-.由||||PQ QH =，得2222132211()(1)()x x k x x k ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，即2222132()()x x k x x -=-，即2132()x x k x x -=-，将123244x x x k x k =--=-，，代入得2242(42)x k k x k+=-， 所以222(1)2k x k k+=-， 所以32222k x k k -=+，所以正方形PQHR 的面积为22232||(1)()S QH k x x ==+-，222(1)(42)k k x =+-，2222116(1)k k k k ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭， 2222216(1)1.(1)k k k k ++=⨯+， 因212k k +≥，所以222(1)4k k+≥（当且仅当1k =时取等号）.12k +≥，所以22(1)12k k ++≥， 所以2211(1)2k k +≥+（当且仅当1k =时取等号），所以1164322S ≥⨯⨯=（当且仅当1k =时取等号）， 所以正方形PQHR 的面积的最小值为32.2.（2021四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线C ：22y px =()0p >上的点()2,t 到焦点F 的距离为4． （1）求抛物线C 的方程；（2）设纵截距为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点，若4FA FB ⋅=，求直线l 的方程．【答案】（1）28y x =；（2）5440x y -+=． 【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解.（2）设直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，即可求解. 【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为2px =-， 由点()2,t 到焦点F 的距离为4，得242p+=，解得4p =， 所以抛物线C 的标准方程为28y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为1y kx =+，联立21,8,y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y 得()222810k x k x +-+=，由0∆>得()222840k k -->，即2k <． 所以12228k x x k -+=-，1221x x k =． 又因为4FA FB ⋅=，()2,0F ，所以()()1212224FA FB x x y y ⋅=--+=，所以()()()()()2121212*********(2)54x x x x kx kx k x x k x x -+++++=++-++=，即450k -=， 解得54k =，满足0∆>， 所以直线l 的方程为5440x y -+=．1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p =. 故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C的准线方程为______.【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=-uu u r因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=Q ，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.3.（2021年全国高考乙卷）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得2025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭， 所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -， 由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ， 所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+， 当00y >时，因为0092530y y +≥=， 此时103OQk <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的斜率为k ，则22229525⎛⎫==- ⎪⎝⎭y k x x x． 令11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭t t x ，则2292255=-+k t t 的对称轴为59t =，所以21110,933≤≤-≤≤k k ．故直线OQ 斜率的最大值为13．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ．因为(1,0),9=F PQ QF ，所以()24,49(1,)--=--x t y t x y ．于是249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩，所以21049104x t y t⎧=+⎨=⎩则直线OQ的斜率为244194934==≤=++y t x t t t ．当且仅当94t t =，即32t =时等号成立，所以直线OQ 斜率的最大值为13．【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率关于y 的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q 的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ 的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率k 的平方关于x 的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线OQ 斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.一、单选题1．（2023·山东泰安·二模）已知以F 为焦点的抛物线22y x =-上的两点A ，B （点A 的横坐标大于点B 的横坐标），满足OA OB FA λ-=（O 为坐标原点），弦AB 的中点M 的横坐标为56-，则实数λ=（ ）A ．32 B ．43C ．3D ．4【答案】D【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出||1||4=FA AB ，再由已知OA OB FA λ-=求出λ的值.【详解】由题意可得抛物线22y x =-的焦点1(,0)2F -. 弦AB 的中点M 的横坐标为56-， 由已知条件可知直线AB 的斜率存在.设直线AB 的方程为1()2y k x =+，112212(,),(,)()>A x y B x y x x ，则联立22,1()2y x y k x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得2222(2)04+++=k k x k x ， ∴1214x x =，又因为弦AB 的中点M 的横坐标为56-， ∴1253x x +=-，∴116x =-，232x =-， ∴点A 到准线的距离为112||23=+=FA x ， 点B 到准线的距离为2122=+=FB x ，所以||1||3=FA FB ∴||1||4=FA AB ， 又OA OB BA -=uu ruu u ruu r，OA OB FA λ-=故4λ=. 故选：D2．（2023·河北唐山·二模）F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点(),4M m 在C 上，直线MF 交C 的准线于点N ，则FN =（ ） A ．54B ．103C ．5D ．12【答案】B【分析】依据两点间距离公式去求FN【详解】点(),4M m 在抛物线2:4C y x =上，则244m =，解之得4m =，则()4,4M 又抛物线2:4C y x =的焦点F ()1,0，准线1x =- 则直线MF 的方程为4340x y --=，则N 81,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭则103FN = 故选：B3．（2023·天津·一模）已知抛物线28y x =的准线与双曲线()22210-=>y x m m相交于D ､E 两点，且OD ⊥OE （O 为原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．43y x =± B ．y = C ．y = D ．=y 【答案】B【分析】根据对称性求得,D E 的坐标，从而求得m ，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】抛物线28y x =的准线为2x =-，由于OD OE ⊥，根据双曲线的对称性可知：（不妨设）()()2,2,2,2D E ---，代入()22210-=>y x m m得22244441,3,,3m m m m -===所以双曲线的渐近线方程为y x ==.故选：B4．（2023·辽宁锦州·一模）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点P 是C 上一点，且5PF =，以PF 为直径的圆截x 轴所得的弦长为1，则p =（ ） A ．2 B ．2或4C ．4D ．4或6【答案】D【分析】根据几何关系，求点P 的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】设圆的圆心为M ，与x 轴交于点,F B ，线段FB 的中点为A ，MA x ⊥轴，由条件可知52MA =，12FA =，MA =P y = 由焦半径公式可知52P p x +=，即52P p x =-，所以代入抛物线方程24252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得：4p =或6.故选：D5．（2023·广东惠州·一模）若抛物线22y px =（0p >）上一点P （2，0y ）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ） A ．y 2=2x B ．y 2=4x C ．y 2=6x D ．y 2=8x【答案】D【分析】由抛物线的定义可解答.【详解】抛物线22y px =上一点()02,P y 到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴242p+=，解得4p =，∴抛物线的标准方程为28y x =. 故选：D. 二、多选题6．（2023·河北秦皇岛·二模）过抛物线2:2C y px =上一点(1,4)A -作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为M ，N ，则（ ） A ．C 的准线方程是4x =- B ．过C 的焦点的最短弦长为8 C ．直线MN 过定点(0,4)D ．当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为2380x y +-= 【答案】AD【分析】由点在抛物线上求得C 为216y x =，结合抛物线的性质判断A 、B ；设MN 为x my n =+并联立抛物线，结合AM AN⊥及韦达定理、向量垂直的坐标表示列方程求出m 、n 的数量关系，代入直线方程即可判断C ；由C 分析所得的定点P ，要使A 到直线MN 的距离最大有MN AP ⊥，即可写出直线MN 的方程判断D. 【详解】将()1,4A -代入C 中得：8p =，则C 为216y x =， 所以C 的准线方程是4x =-，故A 正确；当过C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B 不正确；设211,16y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,16y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线MN 为x my n =+，联立抛物线得：216160y my n --=， 所以1216y y m +=，1216y y n =-，又AM AN ⊥，所以()()()()22221212121216161,41,44401616256y y y y AM AN y y y y --⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为14y ≠-，24y ≠-，即()()12440y y ++≠， 所以()()124410256y y --+=，整理得()121242720y y y y -++=，故16642720n m --+=，得417n m =-+，所以直线MN 为(4)17x m y =-+，所以直线MN 过定点()17,4P ，故C 不正确. 当MN AP ⊥时A 到直线MN 的距离最大，此时直线MN 为2380x y +-=，故D 正确.故选：AD7．（2023·江苏江苏·二模）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若O 为线段PQ 中点，则2PF =B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ⊥D ．PFQ △面积的最小值为2【答案】AD【分析】对于A ，求出P 点的横坐标，再根据抛物线的定义求出PF ，即可判断； 对于B ，根据抛物线的定义求出P 点的横坐标，再求出OP ，即可判断，对于C ，()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，判断0FP QF ⋅=是否有解，即可判断；对于D ，根据12P Q PFQSOF y y =⋅⋅-，结合基本不等式即可判断. 【详解】解：抛物线24y x =的准线为1x =-，焦点()1,0F ， 若O 为PQ 中点，所以1P x =，所以12p PF x =+=，故A 正确；若4PF =，则413P x =-=，所以OP =，故B 错误； 设()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21,2FP a a =-，22,QF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22224220FP QF a a ⋅=-+=+>，所以FP 与FQ 不垂直，故C 错误；212112212PFQP Q Sa OF a y a ay =+=⋅⨯⨯=+⋅-≥， 当且仅当1a a =，即1a =±时，取等号， 所以PFQ △面积的最小值为2，故D 正确. 故选：AD.8．（2023·广东·一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点1P ，2P ，L ，n P （2n ≥且*N n ∈）满足1223112n n n PFP P FP P FP P FP nπ-∠=∠==∠=∠=，则下列结论中正确的是（ ）A ．2n =时，12112PF P F += B ．3n =时，123PF P F P F ++的最小值为9 C ．4n =时，13241114PF P F P F P F +=++D ．4n =时，1234PF P F P F P F +++的最小值为8 【答案】BC【分析】以12PP 为抛物线通径，求得1211PF P F +的值，判断A; 当3n =时,写出焦半径123,,PF P F P F 的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B; 当4n =时,求出1234,,,PF P F P F P F 的表达式，利用三角函数的知识，可判断C,D. 【详解】当2n =时，1212PFP P FP π∠=∠=，此时不妨取12PP 过焦点垂直于x 轴，不妨取12(12),(12)P P -，， ，则121111=+122PF P F +=，故A 错误； 当3n =时，12233123PFP P FP P FP π∠=∠=∠=，此时不妨设123,,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx παα∠=∈, 则12||1cos PF α=- ，则 2222||,||241cos()1cos()33P F P F ππαα==-+-+， 故123222241cos 1cos()1cos()33PF P F P F ππααα++=++--+-+214(1cos )2211cos (cos )2ααα+=+-+ ， 令113cos ,(,)222t t α=+∈ ，则123242332t PF P F P F t t+++=+-， 令242332()t t tf t +=+- ，则232382627(1)()(32)(32)t t f t t t t t +--'=-=-- ， 当112t <<时，()0f t '> ，()f t 递增，当312t <<时，()0f t '< ，()f t 递减， 故min ()(1)9f t f == ， 故当1t = ，即1cos ,23παα==时，123PF P F P F ++取到最小值9，故B 正确； 当4n =时，122313442PFP P FP P FP P FP π∠=∠=∠=∠=，此时不妨设1234,,,P P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx πθθ∠=∈, 则12342222||,||,||,||31cos 1cos()1cos()1cos()22PF P F P F P F ππθθπθθ====--+-+-+， 即234222||,||,||1sin 1cos 1sin P F P F P F θθθ===++-， 故1322241cos 1cos sin PF P F θθθ+=-++=，2422241sin 1sin cos P F P F θθθ+=+-+=，所以132242sin cos 144141PF P F P F P F θθ=++=++，故C 正确；由C 的分析可知：23422122244416sin cos sin cos sin 2PF P F P F P F θθθθθ++===++， 当2sin 21θ= 时，216sin 2θ取到最小值16， 即1234PF P F P F P F +++最小值为16，故D 错误； 故选：BC【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径||1cos pPF α=-的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.9．（2023·湖南常德·一模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，则（ ）A ．焦点F 的坐标为(1,0)B ．过点(1,0)A -恰有2条直线与抛物线C 有且只有一个公共点 C ．直线10x y +-=与抛物线C 相交所得弦长为8D ．抛物线C 与圆225x y +=交于,M N 两点，则4MN = 【答案】ACD【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知抛物线方程为24y x = 对于A ，焦点F 的坐标为(1,0)，故A 正确对于B ，过点(1,0)A -有抛物线的2条切线，还有0y =，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B 错误对于C ，22104404x y y y y x+-=⎧⇒+-=⎨=⎩，弦长为128y -=，故C 正确对于D ，222254504x y x x y x ⎧+=⇒+-=⎨=⎩，解得1x =（5x =-舍去），交点为(1,2)±，有4MN =，故D 正确 故选：ACD10．（2023·广东肇庆·模拟预测）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 相交于A ，B 两点，2l 与C 相交于E ，D 两点，M 为A ，B 中点，N 为E ，D 中点，直线l 为抛物线C 的准线，则（ ） A ．点M 到直线l 的距离为定值 B ．以AB 为直径的圆与l 相切 C ．AB DE +的最小值为32 D ．当MN 最小时，MN //l【答案】BCD【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M 的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得||||||2M AB AF BF d =+=,由此判断B; 计算出弦长||ED ，可得AB DE +的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C; 求出MN 的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,E x y ，()44,D x y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ， 直线1l 的方程为2x my =+，则直线2l 的方程为12x y m=-+, 将直线1l 的方程2x my =+代入28y x =，化简整理得28160y my --=， 则128y y m +=，1216y y =-，故()21212484x x m y y m +=++=+,所以212422M x x x m +==+，1242M y yy m +==,因为点A 到直线l 的距离112d x =+，点B 到直线l 的距离222d x =+， 点M 到直线l 的距离2M M d x =+，又242M x m =+，所以244M d m =+，故A 错误； 因为212||||||4882M AB AF BF x x m d =+=++=+=， 所以以||AB 为直径的圆的圆心M 到l 的距离为||2AB ， 即以||AB 为直径的圆与l 相切，故B 正确； 同理，()3434211484x x y y m m +=-++=+，所以242N x m =+，4N y m=-，3428||||||48ED EF DF x x m =+=++=+， 则228||||81632AB ED m m +=++≥，当且仅当1m =±时等号成立，故C 正确；||MN =设221m t m +=，则2212m t m +=≥，42412m t m+=-，||MN =当2t =时，即1m =±时，||MN 最小，这时N M x x =，故D 正确, 故选:BCD.【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.11．（2023·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()1,2M ，()11,A x y ，()22,B x y 都在抛物线上，且0FA FB FM ++=ruu r uu r uuu r ，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线方程为22y x =B ．F 是ABM 的重心C ．6FA FM FB ++=D ．2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△【答案】BCD【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得F 是ABM 的重心，利用抛物线的定义可得6FA FM FB ++=，利用三角形面积公式及122x x +=，可得2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△.【详解】对于A ，由()1,2M 在抛物线上可得42p =，即抛物线方程为24y x =，错误； 对于B ，分别取,AB AM 的中点,D E ，则2FA FB FD +=uu u u r uu r u r ，2FM FD =-uuu r uu u r，即F 在中线MD 上，同理可得F 也在中线BE 上，所以F 是ABM 的重心，正确；对于C ，由抛物线的定义可得121,2,1FA x FM FB x =+==+uu r uuu r uu r， 所以124++=++FA FM FB x x uu r uuu r uu r.由()1,0F 是ABM 的重心，所以12113x x ++=，即122x x +=， 所以1246++=++=FA FM FB x x uu r uuu r uu r，正确；对于D ，112AFO S OF y =△，221114AFO S y x ==△； 同理222214BFO S y x ==△,21MFO S =△，所以2221213AFO BFO MFO S S S x x ++=++=△△△，正确.故选：BCD. 三、填空题12．（2023·北京丰台·二模）已知抛物线C ：28x y =，则抛物线C 的准线方程为______． 【答案】2y =-【分析】根据抛物线的方程求出p 的值，进一步得出答案.【详解】因为抛物线2:8C x y =， 所以28p =，∴4p = 所以C 的准线方程为2y =-. 故答案为：2y =-13．（2023·福建·模拟预测）已知抛物线()21120y p x p =>与抛物线()22220x p y p =>在第一象限内的交点为00(,)P x y ，若点P 在圆((22:8C x y +=上，且直线OP 与圆C 相切，则12p p =___________. 【答案】310【分析】由于点P 在圆C 上，所以可得)220000120x y x y +-++=，而点P 也在两抛物线上，代入抛物线方程可得00124x y p p =，当OP 与圆相切时，可得22220812OP x y OC =+=-=，然后前面的几个式子结合可求得答案【详解】因为((22008x y +=，所以)22000120x y x y +-++=， 因为20102y p x =，20202x p y =，所以00124x y p p =， 当OP 与圆相切时，22220812OP x y OC =+=-=， 所以00x y +， 所以()()2220000001225x y x y x y =+-+=， 所以00123410x y p p ==. 故答案为：31014．（2023·重庆八中模拟预测）若抛物线()220y px p =>上的点()0,2A x 到焦点的距离是点A 到y 轴距离的2倍，则p =___________. 【答案】2【分析】直接利用抛物线的焦半径公式解方程组即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为2px =-.由抛物续的性质可得0022p x x +=，所以02px =①. 而()0,2A x 在抛物线()220y px p =>上,即042px =②.由①②可得:p =2. 故答案为:2 四、解答题15．（2023·山东济宁·二模）已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，点()4,M m 在抛物线E 上，且OMF 的面积为212p （O 为坐标原点）.(1)求抛物线E 的方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ､B 两点，过A ､B 分别作垂直于l 的直线AC ､BD ，分别交抛物线于C ､D 两点，求AC BD +的最小值. 【答案】(1)24y x =(2)【分析】（1）根据面积及抛物线上的点可求解；（2）利用直线与抛物线的位置关系分别求得()1||2AC ty =+、()22BD ty =+，再通过导数求最值即可.(1)由题意可得228,11,222m p p m p ⎧=⎪⎨⨯⋅=⎪⎩解得p =2.故抛物线E 的方程为24y x =.(2)由题意直线l 的斜率一定存在且不为0，设直线l 的方程为1x ty =+，0t ≠， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=. 所以124y y t +=，124y y =-.由AC 垂直于l ，直线AC 的方程为()11y y t x x -=-- 由()112,4,y y t x x y x ⎧-=--⎨=⎩消去x 得2114440ty y tx y +--=.所以134y y t+=-，111344tx y y y t--=.∴AC ====12ty =+()12ty =+.同理可得()22BD ty =+，所以())21241AC BD t y y t +++=+=⎡⎤⎣⎦令()()321x f x x+=，0x >，则()()()2312x x f x x+-'=，0x > 所以当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以当x =2时，()f x取得最小值，即当t =AC BD +最小值为16．（2023·湖北武汉·二模）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，点1,4Q m ⎛⎫⎪⎝⎭为E 上一点，且Q 到E 的准线的距离等于其到坐标原点O 的距离.(1)求E 的方程；(2)设AB 为圆22(2)4x y ++=的一条不垂直于y 轴的直径，分别延长,AO BO 交E 于,C D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值. 【答案】(1)22y x =(2)16【分析】（1）根据抛物线的定义可知，QO QF =，即可列式求p ；（2）首先设直线AC 的方程为：y kx =，分别与圆的方程和抛物线方程联立，求点,A C 的坐标，利用弦长公式求AC ，再利用AC BD ⊥，求BD ，最后表示四边形的面积12S AC BD =⨯⨯，再通过换元，利用导数求函数的最值. (1)设抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意QO QF =，故1224p =⨯，解得：1p =.故抛物线的标准方程为22y x =.(2)由题意，直线AC 斜率存在且不为0，设直线AC 的方程为：y kx =，设点()()1122,,,A x y C x y ，()2224y kx x y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，联立得：()22140k x x ++=，由10x ≠，得124.1x k -=+ 22y kx y x=⎧⎨=⎩，联立得：2220k x x -=，由20x ≠，得222.x k =221231k AC x +=-=因为AC BD ⊥，用1k -代替k，得2321BD ⎛⎫+ ⎪==。
MS12抛物线切线2
抛物线切线的性质2秒杀秘籍：切点弦性质定理1：设过点P 与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M ，交切点弦于点Q ，则Q 点平分切点弦AB 。
（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。
且M 处的切线平行于抛物线的切点弦。
（图1,3）定理2：直线:l y kx m =+上一动点Q 引抛物线两切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G （图2,4）如图1，点()00,y x P 为抛物线py x 22=外任意一点，过点P 作抛物线两条切线分别切于A 、B 两点，AB 的中点为Q ，直线PQ 交抛物线于点M ，求证：（1）()轴上的截距在为直线，y AB m m y x x G -==00；且直线AB 方程为()00y y p xx +=；（2）设点M 处的切线l ，求证AB //l 。
证明：（1）点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴2221212;2py x py x ==求导得px px y =='22；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-222111x x p x y y x x p x y y 即()()()()⎩⎨⎧+=+=212211y y p xx y y p xx()()12-得：()1212)(y y p x x x -=-，即222)(12212212x x x p x p x p x x x +=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴Q x x x x =+=2120 将点Q ),2(012y x x +代入切线方程得：()021*******py x x y y p x xx =⇒+=+令AB 方程为y kx m =+，代入22x py =得：0222=--pm pkx x 02122py pm x x =-=∴所以直线AB 过定点（0，0y -）；故AB 方程为()()0000x y x y xx p y y p=+-⇒=+ （2）pxk pk x x x pm pkx x 012022022=⇒=+=⇒=--，M点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,200，以M 点为切点的切线斜率为px p x y 0022=='，故AB //l 。
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抛物线切线的性质2例1：过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为．解：根据定理1的公式得，AB 直线方程为：()4300+=⇒+=y x y y p xx ，故斜率为3。
秒杀秘籍：切点弦性质定理1：设过点P 与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M ，交切点弦于点Q ，则Q 点平分切点弦AB 。
（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。
且M 处的切线平行于抛物线的切点弦。
（图1,3）定理2：直线:l y kx m =+上一动点Q 引抛物线两切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G （图2,4）如图1，点()00,y x P 为抛物线py x 22=外任意一点，过点P 作抛物线两条切线分别切于A 、B 两点，AB 的中点为Q ，直线PQ 交抛物线于点M ，求证：（1）()轴上的截距在为直线，y AB m m y x x G -==00；且直线AB 方程为()00y y p xx +=；（2）设点M 处的切线l ，求证AB //l 。
证明：（1） 点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴2221212;2py x py x ==求导得p x p x y =='22；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-222111x x p x y y x x p x y y 即()()()()⎩⎨⎧+=+=212211y y p xx y y p xx ()()12-得：()1212)(y y p x x x -=-，即222)(12212212x x x p x p x p x x x +=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴Q x x x x =+=2120将点Q ),2(012y x x +代入切线方程得：()021*******py x x y y p x x x =⇒+=+令AB 方程为y kx m =+，代入22x py =得：0222=--pm pkx x 02122py pm x x =-=∴所以直线AB 过定点（0，0y -）；故AB方程为()()0000x y x y xx p y y p =+-⇒=+（2）p x k pk x x x pm pkx x 012022022=⇒=+=⇒=--，M 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,200，以M 点为切点的切线斜率为px p x y 0022=='，故AB //l 。
如图2，点()00,y x Q 为直线:l y kx m =+上一动点，过点Q 引抛物线py x 22=两条切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G ()m pk -,。
证明：由定理1结论可知AB ：()00xx p y y =+，又Q 在直线l 上，故00y kx m =+，将两式联立得：()()()()()0000000000=+--⇒++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⇒+=mx kpy kp x y m x y y p k y m kx y x y y p x y y p xx ，由于0y 为任意数，故⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-m y kp x Cx kpy kp x 00。
（图4也可以推导，:l x ky m =+过直线AB 定点G ()kp m ,-）例2：在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到定点1(0,4F 的距离比点P 到x 轴的距离大14,设动点P 的轨迹为曲线C ,直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点,M 是线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N .(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)证明:曲线C 在点N 处的切线与AB 平行;(Ⅲ)若曲线C 上存在关于直解：(Ⅰ)y x y y x =⇒=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2224141(Ⅱ) 点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴222121;y x y x ==求导得x y 2='；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎩⎨⎧-=--=-2221112x x x y y x x x y y 即()()⎩⎨⎧+=+=22122211y y xx y y xx ()()12-得：1212)(2y y x x x -=-，即1221222x x x x x --=212x x x +=故∴N M x x x x =+=212令AB 方程为1y kx =+，代入2x y =得：2201122k x x kx x =+⇒=--N x k 2=⇒，N 点坐标为()2,N N x x ，以N 点为切点的切线斜率为N x y 2='，故AB //N 处的切线；(Ⅲ)若存在两点PQ 关于直线:1l y kx =+对称，则k k PQ 1-=，令PQ 中点()00,y x E ，令PQ 方程为m x k y +-=1，由于E 在直线:1l y kx =+上，固有001y kx =+，根据(Ⅱ)结论可知021x k =-，即011122y k k =+=-，故2212121121k m m k k -=⇒+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，将直线PQ ：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=221211k x k y 与抛物线y x =2联立得：2222210021211222>-<⇒<⇒>∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k k x k x 或。
2略解：（I ）将坐标系向上移一个单位，得过的动点()1-'，a A 引抛物线y=x 2两切线Q A P A '''',，切点为Q P '',,根据定理1，可得：Q A P A '''',方程为()()221121,21xx y y xx y y =+=+，易知Q P ''方程为()121-=y ax ；再将坐标系向下平移一个单位，得PQ 的方程为22+=ax y ；（Ⅱ）定点（0,2）。
（具体步骤参考定理1证明）1.过点作直线交抛物线x =2py （p ＞0）于A 、B 且M 为A 、B 中点，过A 、B 分别作抛物线切线，两切线交于点N ，若N 在直线y=﹣2p 上，则p=．2.过点P（﹣2，1）引抛物线y 2=4x 的两条切线，切点分别为A、B，F 是抛物线的焦点，则直线PF 与直线AB 的斜率之和为．3.已知抛物线C ：y=2x 2，直线：y=kx+2交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行．4.如图，设抛物线x 2=2py （p ＞0），M 为直线y=﹣2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．5.过x 轴上动点A （a ，0），引抛物线y=x 2+3的两条切线AP 、AQ ，切点分别为P 、Q ．（Ⅰ）若a =﹣1，求直线PQ 的方程；（Ⅱ）探究直线PQ 是否经过定点，若有，请求出定点的坐标；否则，请说明理由．6.(深圳一模)在四边形ABCD 中，已知(0,0),(0,4)A D ，点B 在x 轴上，//BC AD ，且对角线AC BD ⊥．（Ⅰ)求点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)若点P 是直线52-=x y 上任意一点，过点P 作点C 的轨迹T 的两切线PA 、PB ，A 、B 为切点，M 为AB 的中点．求证：PM //y 轴或PM 与y 轴重合；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，直线AB 是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．7.（2008•陕西）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x 轴的垂线交C于点N．（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；（2）证明：抛物线C在点N处的切线与直线AB平行；（3）是否存在实数k使=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．8.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M到直线l：y=x+1的最小距离为．点N在直线l上，过点N作直线与抛物线相切，切点分别为A、B．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）当原点O到直线AB的距离最大时，求三角形OAB的面积．9.已知抛物线C：y2=4x和直线l：y=x+4．（Ⅰ）求抛物线C上一点到直线l的最短距离；（Ⅱ）设M为l上任意一点，过M作两条不平行于x轴的直线．若这两条直线与抛物线C都只有一个公共点，这两个公共点分别记为A，B，证明：直线AB过定点．10.过点A（﹣，0）和抛物线x2=2py焦点F的直线与抛物线相交于点B，且=2．（1）求抛物线的方程；（2）M，N为抛物线上两点，O为原点，•=﹣1，过M，N分别作抛物线的两条切线，相交于P点，求△PMN面积的最小值．11.已知直线l的方程是y=x﹣1和抛物线C：x2=y，自l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A，B，（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点．（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．12.点P是在平面直角坐标系中不在x轴上的一个动点，满足：过点P可作抛物线x2=y的两条切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）设点A（x1，y1），求证：切线PA的方程为y=2x1x﹣x12；（Ⅱ）若直线AB交y轴于R，OP⊥AB于Q点，求证：R是定点并求的最小值．13.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（1，）．抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点．（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．14.已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k（k＞0）．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D．判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．15.如图所示，已知抛物线y=x2的动弦AB所在直线与圆x2+y2=1相切，分别过点A、B的抛物线的两条切线相交于点M，求点M的轨迹方程．。