河南省郑州一中2021届高三上学期第四次周测数学(理)试题 图片版含答案
河南省郑州市中牟县第一高级中学2021届高三全真模拟训练四理科数学试卷及答案-
D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量
5．在 中， ， ，且点 为 的中点， ，则 （）．
A．
B．
C．
D．
6．函数 的图象大致是（）
A． B． C． D．
7．已知曲线 在 处的切线方程为 ，则（）
A． B． ，
C． ， D． ，
8．已知 ， 分别是正方体 的棱 ， 上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是（）
因为 , ,所以 ,
所以
故答案为:
点评：
本题考查同角三角函数关系求函数值，诱导公式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得 ， ，进而根据诱导公式计算即可.
16．
本题首先可在 中根据余弦定理得出 ，然后通过勾股定理得出 ，根据面面垂直的性质得出 平面 ，外接球的球心到平面 的距离为 ，再然后通过正弦定理求出 的外接圆的半径，最后根据 求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积.
3．B
应用等比数列等比中项的性质可得 ，运用对数的运算性质可得原式为 ，代入 可计算结果.
解：因为 ，且 ，则有
.
故选：B.
4．C
根据折线图对选项一一分析即可.
对于A，这11天复工指数和复产指数均有升有降，故A错误；
对于B，这11天期间，复产指数的极差为11月与1月的差值，复工指数的极差为10月与2月的差值，易知复产指数的极差小于复工指数的极差，故B错误；
由题意，定义在 上的函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以函数 为奇函数，
所以
又由当 时，结合初等函数的性质，可得函数 为单调递增函数，
又由对数的运算性质可得 ，
所以 ，即 .
2020-2021学年郑州一中高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年郑州一中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2>4}，B ={x|(x +1)(x −3)<0}，则(∁R A)∩B =( )A. {x|−1<x <3}B. {x|−1<x ≤2}C. {x|−2<x ≤3}D. {x|−2≤x <−1} 2. 已知是虚数单位，则( ) A.B. C. D.3. 的值为( ) A.B. C. D. 4. 已知命题p ：∀x >0，3x >x 3.则￢p 为( )A. ∀x >0，3x ≤x 3B. ∀x ≤0，3x ≤x 3C. ∃x 0>0，3x ≤x 3D. ∃x 0≤0，3x ≤x 3 5. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足∠DPD 1=∠CPM ，则点P 的轨迹为( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分6. 如下四个函数，其中既是奇函数，又在(−∞,0)是增函数的是( )A. y =−x +1B. y =−x 3C. y =−1xD. y =3√−x 7. 若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8−S 3=10，则S 11的值为( )．A. 12B. 18C. 22D. 44 8. 在△ABC 中，a =2,b =4,C =30°,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 4√3B. 4C. −4√3D. −4 9. 对集合A ={1,2}，B ={1,2，3}及平面上的点M(a,b)(a ∈A,b ∈B)，记“点M(a,b)落在直线x +y =3或x +y =4上”为事件P ，则事件P 发生的概率为( )A. 13B. 12C. 23D. 56 10. 抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A. −43B. 43C. ±43D. −169 11. 设函数f(x)=xe x −ax +a ，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，则实数a 的取值范围是( )A. [−23e 2,12e )B. [23e 2,12e )C. [−1e 2,1e )D. [1e 2,1e ) 12. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若P ，M ，N 分别为DD 1，AB ，BC 的中点．则四面体OPMN 的体积为( )A. 512B. 1118C. 11√218 D. 56 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y ≤0y ≤3x +y −4≥0.则z =3x +y 的最小值是______． 14. 直线相离，若能表示为某三角形的三条边长，则根据已知条件能够确定该三角形的形状是____________．15. 命题“若实数a 、b 满足a +b ≤5，则a ≤2或b ≤3”是______命题(填“真”或“假”)16. 已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S 100=41，T 100=49，记C n =a n T n +b n S n −a nb n (n ∈N ∗)，那么数列{C n }的前100项和∑C i 100i=1= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若cos2A =−13，a =√6c ．(1)求sin C ；(2)若角A 为锐角，且c =√3，求△ABC 的面积．18. 如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB//EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知AB =2，EF =1．(Ⅰ)求证：平面DAF⊥平面CBF；(Ⅱ)当AD的长为何值时，二面角D−FE−B的大小为60°．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√55，且焦距为8．(1)求C的方程；(2)设直线l的倾斜角为π3，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．20. 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：(1)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；(2)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，其中身高在185～190cm之间的人数记为X，求X的分布列和期望．21. 已知函数f(x)=a x +x 2−xlna ，(a >1)．(Ⅰ)求证：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(Ⅱ)函数y =|f(x)−t|−1有三个零点，求t 的值；(Ⅲ)对∀x 1，x 2∈[−1,1]，|f(x 1)−f(x 2)|≤e −1恒成立，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 过原点且倾斜角为π4，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =1+√5cosβy =2+√5sinβ，(β为参数)． (1)求直线l 的极坐标方程，曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 1和曲线C 2在第一象限的交点分别为M ，N ，求|MN|．23. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =43a n −13×2n+1+23，n ∈N ∗．(Ⅰ)求证数列{a n +2n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ；(Ⅱ)设T(n)=2n S n，n ∈N ∗，证明：∑T n i=1(i)<32； (Ⅲ)设R(n)=∑1i n i=1，n ≥2，证明：n 2<R(an 2n )<n ．【答案与解析】1.答案：B解析：此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握一元二次不等式的解法，掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．先求一元二次不等式的解集得到集合A，B，再进行集合的运算即可．解：∵x2>4，∴x>2或x<−2，∴∁R A={x|−2≤x≤2}，∵(x+1)(x−3)<0，∴−1<x<3，∴B={x|−1<x<3}，∴(∁R A)∩B={x|−1<x≤2}．故选：B．2.答案：A解析：试题分析：，故选A．考点：复数的运算3.答案：A解析：试题分析：根据求解的角超过了周角，那么可以运用诱导公式一，诱导公式二，得到sin5850=sin(3600+sin2250)=，故选A．考点：本题主要是考查任意角的三角函数的值的求解问题。
2021年高三上学期第四次周测数学试题 含答案
2021年高三上学期第四次周测数学试题含答案一．选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．已知全集U=R，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是( )2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．3. 已知函数是定义在区间上的奇函数，若，则的最大值与最小值之和为（）A．0 B．2 C．4 D．不能确定4．设，则的大小关系是( )A．B．C．D．5．已知，，则的值为（）A．B．C．D．6. 中，角的对边分别为,设的面积为，，则角等于（）A．B．C．D．7．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（）A．B．C．D．8.在中，已知，，点在斜边上，，则的值为（）A．B．C．D．9．在中，角的对边分别为，若，则的值为（）A．B．C．D．10. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意∈，都有成立，则称和是上的“密切函数”，区间称为和的“密切区间”.若,在上是“密切函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11．椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于，两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．已知是定义在上的奇函数，当0 < x < 3时，那么不等式的解集是（）A．B．C ．D ．二．填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置．) 13．对于实数，表示不超过的最大整数，观察下列等式：910111213141521⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦按照此规律第个等式等号右边为 ． 14．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是 ．15．已知函数，则函数的零点个数为 个．16．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．已知点 是角终边上一点，，定义．对于下列说法： ①函数的值域是； ②函数的图象关于原点对称；③函数的图象关于直线对称； ④函数是周期函数，其最小正周期为； ⑤函数的单调递减区间是 其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）三．解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足． （1）求S n 与数列{a n }的通项公式；（2）设（n ∈N *），求使不等式成立的最小正整数．18．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生都要参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为五个等级.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数； （2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为. 在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD 平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且，点F 为PD 中点.第（18）题图（1）若，求证：直线AF 平面PEC ；（2）是否存在一个常数，使得平面PAB 平面PED ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分） 已知抛物线和直线，直线与轴的交点，过点的直线交抛物线于、两点，与直线交于点。
河南省郑州一中2021届高三上学期第四次周测数学(文)试题 PDF版含答案
M 为 SO 中点，FM= 1 AO,CF= 2 , sin FCM 2 ...............................12 分
所以四边形 AEGB 为平行四边形，所以 AE // BG ，····· 3 分又因为 BG 平面 SBC ， AE 平面 SBC ，
所以 AE / / 平面 SBC
（2）设 AB 1，则 BC 1， CD 2 ，取 CD 中点 O ， 所以 CO 1 CD AB 又因为 AB / /CD ， ABC 90 ，所以四边形 ABCO 为矩形，所以 AO CO ，
AF2
3
AB
且
4
AF1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AF2
1 2
AB
，则 C 的离心率为________．
16．在一个棱长为12 的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥），且能使该
正四面体在铁盒内任意转动，该正四面体的体积的最大值是________．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
2
4
19．解：（1）
分数不少于120 分 分数不足120 分 合计
每周线上学习数学时间不少于 5 小时
15
4
19
每周线上学习数学时间不足 5 小时
10
16
26
合计
25
2021年高三上学期第四次周考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第四次周考数学（理）试题 含答案考试时间:120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2.在复平面内，复数(是虚数单位)对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在△ABC 中，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知向量，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．35．函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A BC D6．直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是（ ）A ．B ．或C ．D ．7．非零向量、满足，若函数在上有极值，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8. 若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D.9．函数若存在常数C ，对任意的存在唯一的使得则称函数在D 上的几何平均数为C ．已知 则函数在[1,2]上的几何平均数为（ ）A ．B ．2C ．4D ．10.如图所示，在中，，在线段上，设，，，则的最小值为( )A. B. 9C. 9D.11、已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. (0,2) B. (－∞，2) C.(－∞，2] D.[0，＋∞) D CB FA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）满足且f（1）=2，则f（2011）= _______14.在中，，，，则．15. 已知函数若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为．16．下列命题：①命题，满足，使命题为真的实数的取值范围是；②代数式的值与无关；③④已知数列满足：，记则；其中正确的命题的序号是______________.三、解答题: 本大题共6小题，共70分。
2021届河南省中原名校高三上学期第四次质量考评数学(理)试题(解析版)
2021届河南省中原名校高三上学期第四次质量考评数学（理）试题一、单选题1．己知复数z 满足：21zi i =+，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +【答案】B【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求解． 【详解】 由zi 2＝1+i ，得z 211ii i +==--， ∴1z i =-+． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A ＝{x ∈R |22122x x-＜＜8}，B ＝{y |y =，则A ∩B ＝（ ）A ．()()1,11,3-B ．()1,3-C ．[)0,3D ．03)1[)(1⋃，， 【答案】D【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 由221282x x -<<，得2123222x x --<<，即2123x x -<-<. 由212x x -<-，得1x ≠； 由223x x -<，得13x -<<.A ＝{x |﹣1＜x 2﹣2x ＜3}＝{x |﹣1＜x ＜3且x ≠1}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝[0，1）∪（1，3）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m ⊥n ，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（ ） A ．q ：m ⊥α，n ∥β，α⊥β B ．q ：m ⊥α，n ⊥β，α∥β C ．q ：m ⊂α、n ⊥β，α∥β D ．q ：m ⊂α，n ∥β，α⊥β【答案】C【解析】由题意知，若p 是q 的必要条件，则只需q ⇒p 即可；分别判断四个选项中是否满足q 能推出p ，即可得出结论． 【详解】若p 是q 的必要条件，则只需q ⇒p 即可；对于选项A ，m 、n 的位置关系是平行或异面，q 不能推出p ，所以A 错误； 对于选项B ，结论为m ∥n ，则q 不能推出p ，所以B 错误； 对于选项C ，若n ⊥β，α∥β，则n ⊥α； 又m ⊂α，所以m ⊥n ，即q ⇒p ，所以C 正确；对于D ，m 、n 的位置关系是平行或异面或相交，则q 不能推出p ，所以D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．4．设函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内的导函数为f '（x ），若()1x f lnx x+=，则()()0'0f f =（ ） A ．2 B ．﹣2C ．1D ．1e +【答案】B【解析】可令lnx ＝t ，从而得出x ＝e t ，代入原函数即可求出()11tf t e =+，求导函数，即可求出f （0），f ′（0）的值，从而得出()()0'0f f 的值．【详解】令lnx ＝t ，则x ＝e t，代入()1x f lnx x +=得，()111t t te f t e e +==+， ∴()1't f t e=-， ∴()()0112'01f f +==--．故选：B ． 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，对数式和指数式的互化，基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0时，24()4x x ef x e =+，则当x <0时，()f x 的最小值为A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】A【解析】根据函数奇偶性的性质，要求函数当x ＜0时，f （x ）的最小值，可以转化为求函数在x ＞0的最大值，结合最值关系进行求解即可． 【详解】当x ＞0时，()2444444x x x x e f x e e e ==≤==++1， 当且仅当e x 4x e=，即e x ＝2，x ＝ln 2时取等号， 即当x ＞0时，函数f （x ）的最大值为1， ∵函数f （x ）为奇函数， ∴函数关于原点对称，则当x ＜0时，f （x ）的最小值﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合函数奇偶性的性质和对应关系是解决本题的关键．难度不大．6．己知{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 2﹣2n +b ﹣1，{b n }是等比数列，其前n 项和T n 32na =-，则数列{ b n +a n }的前5项和为（ ） A ．37 B ．-27C ．77D ．46【答案】C【解析】由等差数列的求和公式、等比数列的求和公式，结合数列的递推式，可得b ＝1，a ＝2，求得数列{a n }，{b n }的通项公式，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】{a n }是等差数列，其前n 项和221n S n n b =-+-，由等差数列的求和公式可得b ﹣1＝0，即b ＝1， 即S n ＝n 2﹣2n ，a 1＝S 1＝﹣1，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣2n ﹣（n ﹣1）2+2（n ﹣1）＝2n ﹣3， 则a n ＝2n ﹣3，n ∈N ；{b n }是等比数列，其前n 项和32nn a T =-， 则2a-3＝﹣2，即a ＝2， 则b n +a n ＝n +2n ，数列{ b n +a n }的前5项和为（1+2+...+5）+（2+4+ (32)12=⨯5×6()521212-+=-77． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和，以及化简运算能力，属于中档题．7．已知实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数z ＝y +x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可得到结果． 【详解】由题意，实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：目标函数z ＝y +x 经过可行域的C 时，取得最大值，此时10240x y x y --=⎧⎨--=⎩解得C （3，2），所以目标函数z ＝y +x 的最大值为：5， 故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8．设函数()cos()1(3f x x πωω=+->0);将()f x 图象的所有点的横坐标向右平移3π个单位长 度，纵坐标不变，所得函数图象的一个对称中心为(,1)4π--，则ω的最小值为（ ） A ．27B ．107C ．127D ．227【答案】B【解析】由题意利用函数y ＝Acos （ωx +φ）+b 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值． 【详解】∵函数f （x ）＝cos （ωx 3π+）﹣1（ω＞0），将f （x ）图象的所有点的横坐标向右平移3π个单位长度，纵坐标不变， 可得函数y ＝cos （ωx 33ωππ-+）﹣1的图象， 所得函数图象的一个对称中心为14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 则cos [ω⋅（4π-）33ωππ-+）]﹣1＝﹣1，∴cos [ω⋅（4π-）33ωππ-+]＝0，即ω⋅（4π-）33ωππ-+=kπ2π+， 即ω12277k =-，k ∈Z ，∴ω的最小值为107， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数y ＝Acos （ωx +φ）+b 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．己知函数y ＝f （x ）在R 上单调递增，函数y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称，f （﹣1）＝﹣2，则满足﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2的x 的取值范围是（ ） A ．1[,10]10B ．1[,100]100C ．[1,100]D ．1[,1000]10【答案】C【解析】根据y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称,即可得出f （x ）是奇函数，从而根据f （﹣1）＝﹣2得出f （1）＝2，从而根据﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2得出f （﹣1）≤f （lgx ﹣1）≤f （1），再根据f （x ）在R 上单调递增即可得出﹣1≤lgx ﹣1≤1，解出x 的范围即可． 【详解】∵y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称， ∴y ＝f （x ）的图象关于原点对称，∴函数f （x ）为奇函数，且f （﹣1）＝﹣2， ∴f （1）＝2，∴由﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2得，f （﹣1）≤f （lgx ﹣1）≤f （1），且f （x ）在R 上单调递增， ∴﹣1≤lgx ﹣1≤1，即0≤lgx ≤2，解得1≤x ≤100， ∴x 的取值范围是[1，100]． 故选：C ． 【点睛】本题考查了奇函数的定义，奇函数图象的对称性，图象的平移，增函数的定义，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．10．己知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n +a n +1，若将a n +2＝a n +a n +1变形为a n +2﹣a n +1＝a n ，可得a 1+a 2+…+a n ＝（a 3﹣a 2）+（a 4﹣a 3）+（a 5﹣a 4）+…+（a n +2﹣a n +1）＝a n +2﹣a 2＝a n +2﹣2，类似地，可得a 12+a 22+a 32+…+a 20192＝（ ） A ．202020191a a - B ．202020191a a + C ．201920181a a - D ．202020191a a +【答案】A【解析】将a n +2＝a n +a n +1，变形为a n +2﹣a n ＝a n +1，所以两边同时乘以a n +1得：a n +2a n +1﹣a n +1a n ＝a n +12，从而求和． 【详解】由21n n n a a a ++=+得21n n n a a a ++-=，所以22111n n n n n a a a a a ++++-=.所以()()()222222123132214332202020192019201820202019121202020191n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++-=+-=-.故选：A ． 【点睛】本题主要考查类比推理，运用类比推理数列求和，是基础题．11．己知f （x ）＝|lnx |，k ∈（0，e ﹣1），则函数y ＝f （x ）﹣kx 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】问题转化为f （x ）与y ＝kx 的交点个数，根据图象，求出k 的范围，得出结论． 【详解】y ＝0，转化为f （x ）与y ＝kx 的交点个数，图象如下：当y ＝kx 与f （x ）＝|lnx |相切时，设切点为（m ，n ），m ＞1， f '（x ）1x =，得k 1m=， 又n ＝km ，n ＝lnm ，得lnm ＝1，m ＝e ， 所以k 1e =，故0＜k 1e＜时，有三个交点， 故选：D ． 【点睛】考查函数零点与函数交点的关系，求函数的切线方程，中档题．12．在三棱锥A -BCD 中，平面ABC 丄平面ADC , AD 丄AC ,AD =AC , 3ABC π∠=，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为（ ） A ．7 B ．12 C ．6 D ．533【答案】C【解析】设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为R ，三棱锥的外接球球心为O ，△ABC 的外心为O 1，△ABC 的外接圆半径为r ，取DC 的中点为O 2，过O 2作O 2E ⊥AC ，则OO 1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2E12=b，由S＝4πR2＝28π，解得R7=，由正弦正理求出b3r=，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积的最大值．【详解】根据题意，设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，△ABC的外心为O1，△ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E⊥AC，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，如图，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2E12=b，由S＝4πR2＝28π，解得R7=，在△ABC中，由正弦正理得2rACsin ABC=∠，∴2r3bsinπ=，解得b3r=，在Rt△OAO1中，7＝r2+（12b）2，解得r＝2，b＝23，∴AC＝23，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，∴1131222ABCS AB BC sin ABC=⋅⋅⋅∠≤⨯⨯=33，∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值：11332333D ABC ABCV S AD-=⋅⋅=⨯⨯=6．故选：C．【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．已知a =（4，﹣1），b =（2，t 2﹣1），若a b ⋅=5，则t ＝_________. 【答案】2±【解析】结合已知，直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t ． 【详解】∵a =（4，﹣1），b =（2，t 2﹣1）， t 2＝4， 则t ＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用是，属于基础试题． 14．若sinα＝2cos （π+α），则2122sin sin αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 【答案】25-【解析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】由sinα＝2cos （π+α）＝﹣2cosα，得tanα＝﹣2．∴2122sin sin αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sinαcosα2221sin cos tan sin cos tan αααααα==++ 222(2)15-==--+．故答案为：25-． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BC 1的垂线l ，则直线l 与直线CC 1所成角的余弦值为_________.【答案】3 【解析】连结DB 1，则DB 1⊥平面A 1BC 1，从而l ∥DB 1，直线l 与直线CC 1所成角为∠D 1DB ，由此能求出结果． 【详解】如图，连结DB 1，则DB 1⊥平面A 1BC 1， ∴l ∥DB 1，直线l 与直线CC 1所成角为11D DB ∠，连结B 1D 1，在Rt △D 1DB 1中，设DD 1＝a ，则DB 13a =， ∴cos ∠D 1DB 1333a==． 故答案为：3．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．己知函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6，若f （x ）≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(,e]-∞-【解析】根据条件利用解方程组法求出f （x ）的解析式，然后由f （x ）≥lnx 恒成立，可得m 2lnx x +≤-恒成立，构造函数()2lnxg x x+=，求出g （x ）的最小值，可进一步求出m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6①， ∴将﹣x 换为x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝﹣mx ﹣6②， ∴由①②，解得f （x ）＝﹣mx ﹣2． ∵f （x ）≥lnx 恒成立，∴m 2lnxx+≤-恒成立， ∴只需m 2()min lnxx +≤-． 令()2lnx g x x +=-，则g '（x ）21lnx x +=，令g '（x ）＝0，则x 1e =，∴g （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e ，+∞）上单调递增，∴1()min g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴m ≤﹣e ，∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣e ]． 故答案为：（﹣∞，﹣e ]． 【点睛】本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题，考查了函数思想和方程思想，属中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ，若b =2270a ac c -+-=.（1）求B ;（2）若ABC ∆的周长为5,求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2 【解析】（1）由已知可得a 2+c 2﹣b 2＝ac ，由余弦定理可得cosB 12=，结合范围B ∈（0，π），可求B 的值．（2）由已知可求a +c ＝5，两边平方后可求ac 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵a 2﹣ac +c 2﹣7＝0，b 7=，∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴由余弦定理可得cosB 2221222a cb ac ac ac +-===，∵B ∈（0，π）， ∴B 3π=．（2）∵△ABC 的周长为57+，b 7=，∴a +b +c ＝57+，即a +c ＝5， ∴（a +c ）2＝a 2+c 2+2ac ＝25， 又∵a 2+c 2＝7+ac ， ∴ac ＝6， ∴S △ABC 12=acsinB 12=⨯6333⨯=， 所以ABC 的面积为33. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 菱形，0120ADC ∠=,平面SAD ⊥平面 ABCD ，32==丄，SA SD SA SD .E ，F 分别是线段 SC ，AB 上的一点,12SE AF EC FB ==.（1）求证：EF 平面SAD ;（2）求平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）40【解析】（1）先证明平行四边形AGEF ，得到AG ∥EF ，再证明EF ∥平面SAD ； （2）以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图，求出平面DEF 的法向量和平面SBC 的一个法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，从而求出平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值． 【详解】（1）过点E 作EG ∥DC ，如图，连接AG ，因为12SE EC =，所以13EG SE DC SC ==， 故EG ∥CD ，EG 13CD =，由12AF FB =，AF 13AB =， 因为菱形ABCD ，所以EG ∥AF ，EG ＝AF ， 故平行四边形AGEF ，所以AG ∥EF ，又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，所以//EF 平面SAD . （2）取AD 中点O ，等腰三角形SAD ，故SO ⊥AD ，连接OB ， 菱形ABCD ，∠ADC ＝120°，所以OB ⊥OA ， 又平面SAD ⊥平面ABCD 所以SO ⊥平面ABCD ，以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图， 因为SA ＝SD ＝，所以AD ＝AB ＝CD ＝6，SO ＝3， ∠ADC ＝120°，所以AF ＝2，OB =，AO ＝OD ＝3， 所以A （3，0，0），D （﹣3，0，0），S （0，0，3）， F （20），B （0，，0），C （﹣6，0）， 又13SE SC ==（﹣2，﹣1），得E （﹣22），所以()03SB =-，()600BC =-，，，()5DF =，，()1DE =，， 设平面DEF 的一个法向量为()m x y z =，，，由00m DF m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得5020x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故512m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面SBC 的一个法向量为()n a b c =，，，由00n SB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得300c a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故(013n =，，，所以25323102405321()43cos m n -+⋅==+-+＜，＞， 平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值为1590．【点睛】考查线线平行，线面平行的判定，利用向量法求二面角余弦值，考查运算能力和空间想象能力，中档题．19．已知函数f （x ）的定义域I ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上为增函数，且∀x 1，x 2∈I ，恒有f （x 1x 2）＝f （x 1）+f （x 2）． （1）求证：f （x ）是偶函数：（2）若f （m ）﹣f （2m +1）＜3m 2+4m +1，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析（2）1(,1),0(0,)3⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用偶函数的定义直接证明；（2）通过对函数的自变量的取值的任意性，利用赋值法借助于奇偶性，单调性得到关于m 的不等式． 【详解】（1）因为12,x x I ∀∈，恒有()()()1212f x x f x f x =+，所以令121x x ==，得()()121f f =，所以10f =（）. 令121x x ==-，得()()121f f =-，所以()10f -=. 令12,1x x x ==-，得()()()()1f x f x f f x -=+-=，所以f x （）是偶函数.（2）设()()2g x f x x =+，则g x （）是偶函数，且在()0,+∞上为增函数.()()221341f m f m m m -+<++，即()()()222121f m m f m m +<+++，即()()21g m g m <+.由g x （）是偶函数，得()()21g m g m <+，由g x （）在()0,+∞上为增函数，得|m |＜|2m +1|，即()2221m m <+.解得13m >-或1m <-.又0m ≠， 所以实数m 的取值范围是()()1,1,00,3⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决抽象函数的单调性的关键，综合考查函数性质的应用．20．己知数列{n a }的前n 项和为n S ,12,2(2)n n a S S n n ==-≥. （1）试判定{1n a -}是否是等比数列，并说明理由； （2）求数列{n na }的前n 项和n T ；【答案】（1）数列{}1n a -不是等比数列,理由见解析（2）2122(1)2n n n n T n -++=--【解析】（1）运用数列的递推式，以及等比数列的定义，即可得证； 【详解】（1）因为()122n n S S n n -=-≥， 所以当3n ≥时，()1221n n S S n --=--， 所以121n n a a -=-，，即()1121n n a a --=-.所以()11231n n a n a --=≥-. 当2n =时，12122a a a +=-，得20a =，所以21111211a a --==-≠-， 因此数列{}1n a -不是等比数列.（2）由（1），得{}1n a -从第二项起，是以2为公比的等比数列. 所以()222*1122,212,n n n n n a a n n N ----=-⋅=-=-+≥∈.因此，222,12,1,21,22,2n n n n n n a na n n n n --⎧==⎧==⎨⎨-+≥-⋅+≥⎩⎩. ()01222232223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++①()1212422322223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅+⨯+++.②①-②得()()23211222222222n n n n n T n ---+-=-------+⋅-()()()()()2111212222422121222n n n n n n n n n ----+-+-⨯=--+⋅-=----. 所以()212212n n n n T n -++=--.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及求和公式的运用，考查数列的分组求和、错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．21．已知函数1()x e f x a x-=+.（1）判断()f x 极值点的个数；（2）若x >0时，xe >()f x 恒成立，求实数a 的取值范围【答案】（1）0 （2）(,0]-∞【解析】（1）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，分别求得函数f （x ）极值点的个数；（2）e x ＞f （x ），（x ＞0），可化为（1﹣x ）e x +ax ﹣1＜0．设h （x ）＝（1﹣x ）e x +ax ﹣1，（x ＞0），则问题等价于当x ＞0时，h （x ）＜0．，根据函数h （x ）的性质，分类讨论，即可求得实数a 的取值范围． 【详解】（1）由f （x ）1x e x -=+a ，得f '（x ）()211x x e x-+=．x ≠0； 设g （x ）＝（x ﹣1）e x +1，则g '（x ）＝xe x ，当x ∈（﹣∞，0）时，g '（x ）＜0，所以g （x ）在（﹣∞，0）上是减函数， 当x ∈（0，+∞）时，g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0，+∞）上是增函数， 所以g （x ）≥g （0）＝0，所以()0f x '≥，所以f （x ）在定义域上是增函数，f （x ）极值点个数为0． （2）e x ＞f （x ）（x ＞0），可化为（1﹣x ）e x +ax ﹣1＜0．令h （x ）＝（1﹣x ）e x +ax ﹣1，（x ＞0），则问题等价于当x ＞0时，h （x ）＜0． ∴h '（x ）＝﹣xe x +a ，令m （x ）＝﹣xe x +a ，则m （x ）在（0，+∞）上是减函数． 当a ≤0时，m （x ）<m （0）＝a ≤0．所以h '（x ）＜0，h （x ）在（0，+∞）上是减函数． 所以h （x ）＜h （0）＝0． ②当a ＞0时，m （0）＝a ＞0， m （a ）＝﹣ae a +a ＝a （1﹣e a ）＜0， 所以存在x 0∈（0，a ），使m （x 0）＝0．当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＞0，h '（x ）＞0，h （x ）在（0，x 0）上是增函数． 因为h （0）＝0，所以当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＞0，不满足题意． 综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，0]． 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查利用导数研究函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题． 22．已知函数()()2142alnx f x x a R =-∈． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ＝4，且06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求证：11224cos x tanx e e -＜＜．【答案】（1）当0a ≤时，f x （）在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减 （2）证明见解析【解析】（1）求导，判断单调性即可；（2）x ₁＜x ₂∈（0，1），则f （x 1）＜f （x 2），即2211221122lnx x lnx x --＜，得到22121()122x x x e x -＜，即得()221sin 2sin e x cos x x cosx-<，再利用三角函数12-cos 2x ∈（1124--，），所以11224cos x e e --＜，代入即可证明． 【详解】 （1）易知()2ln 142a x f x x =-的定义域为()0,∞+， ()2444a a x f x x x x-='=-， 当0a ≤时，0f x <（）恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减. 当0a >时， 由()00f x x '⎧>⎨>⎩，解得02x <<； 由()00f x x '⎧<⎨>⎩，解得x >所以f x （）在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 综上所述，当0a ≤时，f x （）在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. （2）当4a =时，()212f x lnx x =-， 由（1）可知()21ln 2f x x x =-在01（，）上单调递增. 设()12,0,1x x ∈，且12x x <，则()()12f x f x <，即22112211ln ln 22x x x x -<-， 所以()2211221ln2x x x x <-，所以()22121122x x x e x -<. 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x cosx <<<. 所以()221sin 2sin e x cos x x cosx-<，即1cos22e x tanx -<， 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1111cos2,1,cos2,2224x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以11224cos x e e --<.综上可得，11224e e cos x tanx --<<. 【点睛】题考查了导数的综合应用，利用函数进行不等式比较大小，属于难题．。
2021届河南省郑州第一中学高三(上)期中数学试题(解析版)
16．已知 是等比数列， 满足 ， ，且 ．
求数列 的通项公式及其前n项和 的表达式；
求数列 的通项公式．
17．如图，在三棱柱 中， 和 均是边长为2的等边三角形，点 为 中点，平面 平面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．为响应绿色出行，某市在：推出“共亨单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分吋租赁汽车具体收费标准为日间 元 分钟，晚间 时30分至次日上午7时30分 收费35元 小时，已知孙先生家离上班地点20公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次 由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 分钟 是一个随机变量 现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示：
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
2．若复数z是纯虚数，且 i是虚数单位 ，则
A． B． C．1 D．2
A．50 B．32 C．31 D．19
4．已知过抛物线 的焦点的弦长最小值为4，则p的值为
A．1 B．2 C．4 D．8
5．定义在R上的函数 满足 ，且当 时 ，则 的值为
A．12 B．8 C．9 D．11
12．已知函数 ， ，若 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数 ，是奇函数，则数a的值为______．
14．在可行域 ，内任取一点 ，则满足 的概率是______．
15．若 ，在 的展开式中 的系数为______．
3．C
【解析】
【分析】
求出抽样比例，再计算乙应交的关税值．
河南郑州第一中学2021高三上期中数学(理)考试试题(解析版)
2021届河南省郑州市第一中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则()R A B =（ ） A ．(0,1)B ．[1,2)C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞ 【答案】A【分析】求出集合A 的补集，再按交集的定义运算即可.【详解】由题意，{}1A x x =≥，则{|1}R A x x =<，所以()R A B =(0,1). 故选：A2．122i i-=+（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i 【答案】D【分析】利用复数的除法求解. 【详解】()()()()12212222i i i i i i i ---==-++-. 故选：D3．若α为第三象限角，则（ ）A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin20α>D ．sin 20α< 【答案】C【分析】利用α为第三象限角，求2α所在象限，再判断每个选项的正误.【详解】因为α为第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+()k Z ∈， 可得24234k k ππαππ+<<+ ()k Z ∈，所以2α是第第一，二象限角，所以sin20α>，cos2α不确定，故选：C【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.4．命题“0x ∀>，11ln x x -≤”的否定是（ ） A ．0x ∀>，11ln x x -> B ．00x ∃>，0011ln x x -> C ．00x ∃>，0011ln x x -≤ D ．00x ∃≤，()0011ln x x -≤- 【答案】B 【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为命题“0x ∀>，11ln x x-≤”是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即00x ∃>，0011ln x x ->， 故选：B 5．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90° 【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.6．函数()2x xe ef x x --=的图象是下列图中的（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】先确定函数奇偶性，舍去A,B ；再根据函数值确定选择项.【详解】()()220,()x x x xe e e ef x x f x f x x x ----=∴≠-==-∴()2x x e e f x x --=为奇函数，舍去A,B ； 因为当0x >时，()20x xe ef x x --=>，所以舍去D, 故选：C【点睛】本题考查函数图象识别、奇函数判断，考查基本分析判断能力，属基础题.7．已知数列{}n a 满足()*,n m n m a a a m n N++=∈且11a =，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则数列235n a +⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的前10项和为（ ）A ．12B ．1135C ．24D ．40 【答案】C【分析】先由条件得出数列{}n a 是以首项为1，公差为1的等差数列，即可求出n a n =，然后依次列出数列235n a +⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的前10项即可. 【详解】因为数列{}n a 满足()*,n m n m a a a m n N++=∈且11a = 所以111m m m a a a a +=+=+所以数列{}n a 是以首项为1，公差为1的等差数列所以()111n a n n =+-⨯= 所以232355n a n ++= 所以数列235n a +⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的前10项依次为：1,1,1,2,2,3,3,3,4,4 所以数列235n a +⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的前10项和为111223334424+++++++++= 故选：C【点睛】由条件得出数列{}n a 是等差数列是解题的关键.8．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.9．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p+2是素数，素数对(p ，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是A ．115B ．215C ．245D ．445【答案】D【分析】由题意明确不超过30的素数有10个，满足题意的孪生素数对有4个，利用古典概型公式可得结果.【详解】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p ，p+2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为2104445P C ==， 故选D【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力.10．已知圆2216x y +=与抛物线22(0)y px p =>的准线l 交于A ，B两点，且||AB =P 为该抛物线上一点，PQ l ⊥于点Q ，点F 为该抛物线的焦点.若PQF △是等边三角形，则PQF △的面积为（ ） A．B ．4 C．D ．2 【答案】A【分析】首先由条件可得出2p =，然后由PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2可得出PQF △的边长为4，然后算出答案即可.【详解】由AB =()0,0到l1=，即12p =，即2p = 所以抛物线的方程为24y x =因为PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2所以PQF △的边长为4所以144sin 602PQF =⨯⨯⨯︒=△S 故选：A 【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（）A ．[)3,3e +B ．()3,3e +C ．()3,+∞D ．(]3,3e +【答案】D【分析】利用导数得出函数()f x 的单调性，将函数()y f x a =-有四个不同的零点，转化为两函数()y f x =与y a =图象有四个不同的交点，数形结合求解即可.【详解】当0x ≤时，2(1)()2(1)x f x x e '+=+ ()010f x x '>⇒-<≤；()01f x x '<⇒<-则函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在1,0上单调递增，且0(1)1,(0)f e f e -===当0x >时，22244()1x f x x x '-=-= ()02f x x '>⇒>；()002f x x '<⇒<<则函数()f x 在(0,2)上单调递减，在2,上单调递增，4(2)2312f =+-= 函数()y f x a =-有四个不同的零点，即两函数()y f x =与y a =图象有四个不同的交点如下图所示由图可知，1a e <12,x x 是方程2(1)x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根 所以(]12ln 11,0x x a -=-∈-34,x x 是方程43x a x+-=的两根，即2(3)40x a x -++=的两个 所以343(4,3]x x a e +=+∈+(]12343,3x x x x e ∴-++∈+故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于难题. 12．如图是一个由正四棱锥1111P A B C D -和正四棱柱1111ABCD A B C D -构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，1BB 为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点P 到正四棱柱1111ABCD A B C D -外接球表面的最小距离是（ ）A ．6243-B ．6(32)-C ．6(21)-D ．6(31)-【答案】B 【分析】设正四棱锥的高为h ，AB a ，由条件可得221362h a +=，然后该组合体的体积为()223113472233a h a h h h +⨯=-，然后利用导数求出当23h =时体积取得最大值，此时43a =，然后算出正四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的半径，然后点P 到正四棱柱1111ABCD A B C D -外接球表面的最小距离为点P 到球心的距离减去半径，即可得到答案.【详解】设正四棱锥的高为h ，AB a ，由正四棱锥的侧棱长为6可得221362h a +=， 该组合体的体积为 ()()22223113131347227223333a h a h a h h h h h +⨯==-=-， 令()3722f h h h =-，则()2726f h h '=-，所以可得f h在(上单调递增，在()+∞上单调递减，所以当h =f h 取得最大值，即该组合体的体积最大,此时a =所以正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球半径为:=,点P 到正四棱柱1111ABCD A B CD -外接球表面的最小距离为点P 到球心的距离减去半径，即63h -=,故选：B【点睛】本题考查的知识点有：几何体的体积公式，利用导数解决最值问题，几何体的外接球问题，属于较难题.二、填空题13．已知实数x 、y 满足1036010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.【答案】252【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，找出使得直线2z x y =+在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组1036010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立36010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得9272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+经过可行域内的点97,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距最大， 此时，目标函数2z x y =+取得最大值，且max 97252222z =⨯+=. 故答案为：252. 【点睛】本题考查简单线性规划问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 14．圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a 的值为____________【答案】43- 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标，代入点到直线距离公式，即可求得a 值．【详解】解：圆2228130+--+=x y x y 的圆心坐标为：(1,4)，故圆心到直线10ax y +-=的距离211d a ==+，解得：43a =-， 故答案为：43-． 【点睛】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，属于基础题．15．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①④【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确； 因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误； 故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围. 16．已知正项数列{}n a ，满足()*12nn n a a n N +⋅=∈，且()20201232020321a aa a ++++<-，则首项1a 的取值范围是______． 【答案】(1,2)【分析】根据()*12nn n a a n N +⋅=∈，利用递推得到22n na a +=，则数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列，然后利用等比数列前n 项和公式分别求和，再根据条件得到123a a +<求解. 【详解】因为()*12nn n a a n N +⋅=∈，所以()1*212n n n a a n N +++⋅=∈，所以22n na a += 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列， 所以()()1010101012132019242020,12121122a a a a a a a a =--+++++=--+所以()()()2020202012320212021321a a a a a a =+++++-<-，所以123a a +<， 因为()*12nn n a a n N +⋅=∈，所以212a a ⋅=，即212a a =， 所以1123a a +<，即211320a a -+<， 解得112a <<， 故答案为：(1,2)【点睛】方法点睛：证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明()*12,nn a q n n a -=≥∈N ；二是等比中项法，证明211n n n a a a -+=⋅.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可．三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3(cos )sin b C a c B -=，4a c +=，23b =． （1）求角B 的大小； （2）求ABC 的面积． 【答案】（1）23π；（2）3． 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得3cos sin sin sin B C C B -=，进而可得tan 3B =-，即可得解；（2）由余弦定理可得()212a c ac =+-，进而可得4ac =，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由正弦定理，得3(sin cos sin )sin sin B C A C B -=． 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 得3cos sin sin sin B C C B -=．由0C π<<，得sin 0C ≠．所以3cos sin B B -=． 又cos 0B ≠，所以tan 3B =-． 又0B π<<，得23B π=． （2）由余弦定理及23b =，得2222(23)2cos 3a c ac π=+-． 即212()a c ac =+-．将4a c +=代入，解得4ac =．所以113sin 43222ABCSac B ==⨯⨯=． 18．在如图所示的几何体中，底面ABCD 是矩形，平面MAD ⊥平面ABCD ，平面MAB平面MCD MN =，MAD ∆是边长为4的等边三角形，22CD MN ==.（1）求证：MN MD ⊥；（2）求二面角M BD N --的余弦值【答案】（1）见解析；（2）15【分析】(1)先证明AB⊥平面MAD，又MN AB，从而证明MN⊥平面MAD.即可得证.(2)以AD的中点为O 为原点建立空间之间坐标系，标出点的坐标，求出平面MBD的法向量为1n，平面NBD的法向量2n 代入公式即可求解.【详解】（1）由底面ABCD为矩形可得AB AD⊥，又平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD⋂平面ABCD AD=，AB平面ABCD，所以AB⊥平面MAD因为,AB CD CD⊂平面MCD，AB⊄平面MCD，所以AB∥平面MCD，而平面MAB平面MCD MN=，所以MN AB，所以MN⊥平面MAD.又MD⊂平面MAD，所以MN MD⊥.（2）如图，设AD的中点为O，过O作OH AB交BC于H.易知,,OA OH OM两两垂直，以O为原点，分别以,,OA OH OM为,,x y z，轴建立空间直角坐标系O xyz-则()()2,2,0,2,0,0B D-，((0,0,230,1,2,23M N，所以()4,2,0BD=--，(2,2,23BM=--，(2,1,23DN=设平面MBD的法向量为()1111,,xn y z=.由11n BDn BM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111142022230x yx y z--=⎧⎪⎨--+=⎪⎩可令13x=，可得(13,6,3n=--设平面NBD的法向量()2222,,.n x y z=由22n BDn DN⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2222242022230x yx y z--=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x=，可得()21,2,0n=-则121212cos(,43n n n n n n⋅〉===⋅易知二面角M BD N --为锐角，所以二面角M BD N --的余弦值为4【点睛】本题考查立体几何中的垂直关系判定及二面角问题.考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算能力.属于一般性题目.19．已知圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(,0)(02)A n n <<的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，当1n =，l x ⊥轴时，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若l 不垂直于坐标轴，且在x 轴上存在一点(,0)B m ，使得PBA QBA ∠=∠成立，求m 的取值范围．【答案】（1）2214x y +=；（2）(2,)+∞． 【分析】（1）根据条件构建方程求解即可（2）设直线l 的方程为()y k x n =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得221224414k n x x k -=+，2122814k n x x k+=+，然后由PBA QBA ∠=∠，得0PB QB k k +=，即12120y y x m x m +=--，即()12122()20x x mn x x mn -+++=，然后得出4m n=即可. 【详解】解：（1）椭圆的半焦距为c ．根据题意，得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由l 不垂直于坐标轴知，直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为()y k x n =-，0k ≠联立2214()x y y k x n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得()22222148440k x k nx k n +-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，易知12x x ≠，且12,x x 均不等于m ．由根与系数的关系，得221224414k n x x k -=+，2122814k nx x k+=+． 由PBA QBA ∠=∠， 得0PB QB k k +=，所以12120y y x m x m+=--． 所以()()()1221121202()20y x m y x m x x m n x x mn -+-=⇔-+++=，所以222224482()201414k n k nm n mn k k -⨯-++=++整理可得4mn =，即4m n =． 因为02n <<，所以(2,)m ∈+∞．【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，12x x ，由PBA QBA ∠=∠， 得0PB QB k k +=，然后表示出0PB QB k k +=得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．20．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【答案】（1）分布列答案见解析.（2）()()E X E Y >【分析】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k kk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后列出分布列即可（2）根据题意分别算出X 和Y 的期望即可.【详解】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22kkk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则k 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=.所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=. ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，311()882P A =+=. 所以1(300)()2P Y P A ===， 1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=， 1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=， 所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=. 所以()()E X E Y >.【点睛】本题考查二项分布以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题.21．已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=. （1）讨论()f x 的导函数()'f x 的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥. 【答案】（1）当0a >时，()'f x 存在唯一零点，当0a ≤时，()'f x 无零点.（2）证明见解析【分析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可 （2）先由条件求出1ln ()2xg x x+=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1x x e x --≥，令()2()2ln x h x x e x =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2xa f x e x'=-. 显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()'f x 无零点.当0a >时，取2()()2xa t x f x e x'==-， 则22()40xat x ex'=+>，即()'f x 单调递增， 又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()'f x 存在唯一零点.故当0a >时，()'f x 存在唯一零点，当0a ≤时，()'f x 无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()e ef x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=， 所以1(1)01mg -'==，所以1m =. 又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x+=+. 根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12xx e x+≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥. 令()2()2ln xh x x ex =--，则22121()(21)(21)x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)xF x ex x =->，则221()20x F x e x'=+>， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以()F x 有唯一的零点011,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()()2min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201e x x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.22．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为2,21,x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(2,1)P -，求PA PB ⋅．【答案】（1）l 的普通方程为：10x y +-=，C 的直角坐标方程：2y x =；（2）2．【分析】（1）首先消去参数t 即可得到l 的普通方程，再根据sin y ρθ=，cos x ρθ=即可得到曲线C 的直角坐标方程.（2）首先将直线l 的参数方程代入2y x =，得到220t -=，再利用根系关系和直线参数方程的几何意义即可得到答案.【详解】（1）直线l的参数方程为2,21,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得l 的直角坐标方程为：10x y +-=．曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，即22sin cos ρθρθ=， 将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入，得曲线C 的直角坐标方程：2y x =，（2）把直线l的参数方程2,1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C 的方程2y x =，得220t --=，设1t ，2t 分别为A 、B 对应的参数，则122t t ⋅=-， 所以12||||2PA PB t t ⋅=⋅=． 23．设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，第21页 由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。
2021年高三上学期第四次阶段检测数学(理)试题含答案
2021年高三上学期第四次阶段检测数学（理）试题含答案一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则等于（）A. B. C. D.2.已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.下列说法正确的是（）A. 命题“使得”的否定是：“”B. “”是“在上为增函数”的充要条件C. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件D. 命题p：“”，则p是真命题4．等差数列中，，则（）A．10 B．20 C．40 D．2+log255.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（）6.如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．7.设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（）A. 是偶函数B. 最小正周期为πC. 图象关于点对称D. 在区间上是增函数8.如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．9.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,则该双曲线离心率等于( )A. B. C. D.10.若a,b,c均为单位向量，a·b，c=x a + y b ，则的最大值是( )A． B. C． D.11.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A． B. C． D.12.已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列的前项和为，，，则.14.设ΔABC的三边长分别为，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P －ABC的体积为V，则R＝.15.已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的最小值是.16.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，若，则直线的斜率.三、解答题：本大题共6道题，共70分。
河南省郑州一中2021届高三上学期开学测试数学(理)试题 PDF版
已知点
1,
1 2
是函数
f
x
ax
a
0, a
1 的图象上一点，数列an 的前 n 项和是 Sn
f
n 2 ．
（1）求数列an 的通项公式；
（2）若 bn loga an1 ，求数列an bn 的前 n 项和 Tn .
18. （12 分） 某土特产超市为预估 2021 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2020 年元旦期间的 90 位游客购买
12．已知函数
f
(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|
log3
x
|,0
cos 3 x,3
x x
3 9
，若存在实数
x1 ，
x2
，
x3
，
x4 ，当
x1
x2
x3
x4
时，
满足 f (x1) f (x2 ) f (x3) f (x4) ，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是（ ）
A． (7, 29) 4
B． (21,135) 4
4
6
则所得函数图象的解析式为（ ）
A． y sin( x 5 ) 2 24
B． y sin( x ) 23
C． y sin( x 5 ) 2 12
D． y sin(2x 7 ) 12
4．已知向量 a (3, 2) ， b (2,3) ，则下列结论正确的是（ ）
A． a b B． (a b) (a b) C． a / /b
1 的取值 n
范围是
.
高三 理科数学试题 第 2 页（共 4 页）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. （12 分）