人教A版高中数学必修四《1.1.1任意角》练习题

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1.1.1 任意角(备作业)-【上好课】2020-2021学年高一数学同步备课系列(人教A版必修

第1章 1.1.1任意角（备作业）一．选择题1．与角2021︒终边相同的角是A ．221︒B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒【答案】A【解析】与角2021︒终边相同的角是：3602021k ︒+︒，k Z ∈，当5k =-时，与角2021︒终边相同的角是221︒．故选A ．2．2020︒角的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒角的终边在第三象限．故选C ．3．把1485-︒转化为360(0360,)k k Z αα+︒︒<︒∈的形式是A ．454360︒-⨯︒B ．454360-︒-⨯︒C ．455360-︒-⨯︒D ．3155360︒-⨯︒【答案】D【解析】148518003155360315-︒=-︒+︒=-⨯︒+︒，故选D ．4．下面各组角中，终边相同的是A ．390︒，690︒B ．330-︒，750︒C ．480︒，420-︒D ．3000︒，840-︒【答案】B【解析】690390300︒-︒=︒，75033010803360︒+︒=︒=⨯︒，420480900-︒-︒=-︒，30008403840︒+︒=︒，∴只有B 选项中的两个角的差别是整数倍的周角，故选B ．5．下列说法正确的是A ．锐角是第一象限角B ．第二象限角是钝角C ．终边相同的角一定相等D ．不相等的角，终边必定不同【答案】A【解析】锐角的范围是(0,90)︒︒位于第一象限，故A 正确，360100460α=︒+︒=︒是第二象限，但α不是钝角，故B 错误，终边相同的角不一定相等，故C 错误，30α=︒和390α=︒的终边相同，两个角也不相等，故D 错误，故选A ．6．角60180()k k Z α=-︒+︒∈的终边落在A ．第四象限B ．第一、二象限C ．第一象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】令0k =，60α=-︒，在第四象限；再令1k =，60180120=-︒+︒=︒，在第二象限，故选D ．7．189︒是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C【解析】180189270︒<︒<︒，189∴︒是第三象限角．故选C ．8．下列叙述正确的是A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．钝角是第二象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．不相等的角终边一定不同【答案】B【解析】三角形的内角是第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上，故A 错误；钝角是第二象限角，故B 正确；第二象限角不一定比第一象限角大，如120︒是第二象限角，390︒是第一象限角，120390︒<︒，故C 错误；不相等的角终边可能相同，如30︒与390︒不相等，但终边相同，故D 错误．故选B ．9．在0︒到360︒范围内，与角120-︒终边相同的角是A ．120︒B ．60︒C ．180︒D ．240︒【答案】D【解析】与120-︒终边相同角的集合为{|120360k αα=-︒+︒，}k Z ∈．取1k =，可得在0︒到360︒范围内，与角120-︒终边相同的角是240︒．故选D ．10．终边在直线y x =上的角α的集合是A ．{|36045k αα=︒+︒，}k Z ∈B ．{|360225k αα=︒+︒，}k Z ∈C ．{|18045k αα=︒+︒，}k Z ∈D ．{|18045k αα=︒-︒，}k Z ∈【答案】C【解析】设终边在直线y x =上的角的集合为P ，则{|36045P k αα==︒+︒，}{|36018045k Z k αα∈=︒+︒+︒，}k Z ∈{|18045k αα==︒+︒，}k Z ∈，故选C ．11．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA 与y 轴正半轴的夹角为30︒，则α的值为A ．480-︒B ．240-︒C ．150︒D ．480︒【答案】D【解析】角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA 与y 轴正半轴的夹角为30︒，则α的值为3609030480︒+︒+︒=︒，故选D ．12．与30︒角的终边关于x 轴对称的角的集合为A ．{|36030x x k =︒+︒，}k Z ∈B ．{|36030x x k =︒-︒，}k Z ∈C ．{|360150x x k =︒+︒，}k Z ∈D ．{|360210x x k =︒+︒，}k Z ∈ 【答案】B【解析】与30︒角的终边关于x 轴对称的角中绝对值最小的角为30-︒，又角度旋转一周即360︒后与原角度重合，故与30︒角的终边关于x 轴对称的角的集合为{|36030x x k =︒-︒，}k Z ∈，故选B ．二．填空题13．大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是．【答案】285-︒【解析】36075285-︒+︒=-︒，故答案为：285-︒．14．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是．【答案】960-︒【解析】40分23=小时，23602403⨯︒=︒，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，3602240960-︒⨯-︒=-︒．故答案为：960-︒．15．已知990630α-︒<<-︒，且α与120︒角终边相同，则α= ．【答案】960-︒ 【解析】α与120︒角终边相同，360120k α∴=︒+︒，k Z ∈．990360120630k -︒<︒+︒<-︒，1110360750k ∴-︒<︒<-︒．又k Z ∈，3k ∴=-，此时(3)360120960α=-⨯︒+︒=-︒．故答案为：960-︒． 16．若角α的终边与240︒角的终边相同，则2α的终边在第象限．【答案】二或四【解析】由题意知，240360k α=︒+︒，k z ∈，1201802k α=︒+︒，k z ∈故2α的终边在第二或四象限．故答案为：二或四．三．解答题17．在360~360-︒︒之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．（1）790︒（2）20-︒．【答案】（1）在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是70︒和290-︒，是第一象限角；（2）在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是340︒，是第四象限角．【解析】（1）790236070︒=⨯︒+︒，36070290-︒+︒=-︒，所以在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是70︒和290-︒，是第一象限角；（2）20360340-︒=-︒+︒，所以在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是340︒，是第四象限角．18．已知角390α=︒（1）角α的终边在第几象限；（2）写出与角α终边相同的角的集合；（3）在360~720-︒︒范围内，写出与α终边相同的角．【答案】（1）角α的终边在第一象限；（2）{|36030k ββ=︒+︒，}k Z ∈;（3）330-︒，30︒，390︒.【解析】（1）39036030︒=︒+︒，30︒是第一象限角，∴角α的终边在第一象限；（2）所有和角α终边相同的角的集合为{|36030k ββ=︒+︒，}k Z ∈；（3）36030k β=︒+︒，∴当1k =-时，330β=-︒，当0k =时，30β=︒，当1k =时，390β=︒，∴在360~720-︒︒范围内，与α终边相同的角是330-︒，30︒，390︒．19．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．【答案】{|30180105180k k αα︒+︒<︒+︒，}k Z ∈．【解析】如图，终边落在阴影部分的角为：30105α︒<︒或210285α︒<︒， ∴终边落在阴影部分的角的集合为：{|30360105360k k αα︒+︒<︒+︒或210360285360k k α︒+︒<︒+︒，}k Z ∈ {|30180105180k k αα=︒+︒<︒+︒，}k Z ∈．20．已知角β的终边在直线y x =-上．（1）写出角β的集合S ；（2）写出S 中适合不等式360360β-︒<<︒的元素．【答案】（1）{|135180n ββ=︒+︒，}n Z ∈；（2）225-︒；45-︒；135︒；315︒.【解析】（1）直线y x =-过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0~360︒︒范围内终边在直线y x =-上的角有两个：135︒，315︒．因此，终边在直线y x =-上的角的集合{|135360S k ββ==︒+︒，}{|315360k Z k ββ∈=︒+︒，}k Z ∈{|1352180k ββ==︒+︒，}{|135(21)180k Z k ββ∈=︒++︒，}k Z ∈{|135180n ββ==︒+︒，}n Z ∈．（2）由于360360β-︒<<︒，即360135180360n -︒<︒+︒<︒，n Z ∈．解得11544n -<<，n Z ∈．所以2n =-，1-，0，1．所以集合S 中适合不等式360360β-︒<<︒的元素为： 1352180225︒-⨯︒=-︒；135118045︒-⨯︒=-︒；1350180135︒+⨯︒=︒；1351180315︒+⨯︒=︒；21．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在射线OB 上；（2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．【答案】（1）{|60360k αα=︒+︒，}k z ∈；（2）{|30180k αα=︒+︒，}k z ∈;（3）{|3018060180k k αα︒+︒︒+︒，}k z ∈.【解析】由图形得，（1）终边落在射线OB 上的角的集合为：{|60360k αα=︒+︒，}k z ∈，（2）终边落在直线OA 上的角的集合为：{|30180k αα=︒+︒，}k z ∈，（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为： {|3018060180k k αα︒+︒︒+︒，}k z ∈．22．已知9090α-︒<<︒，9090β-︒<<︒，求2βα-的范围．【答案】1351352βα-︒<-<︒【解析】由9090β-︒<<︒，45452β∴-︒<-<︒，那么：()22ββαα-=+-；9090α-︒<<︒，1351352βα∴-︒<-<︒．。

人教a版必修4学案：1.1.1任意角(含答案)

第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1.1.1任意角自主学习知识梳理1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．4．终边落在坐标轴上角的集合终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴x轴y轴正半轴y轴负半轴y轴自主探究终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限对点讲练知识点一终边相同的角与象限角例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.回顾归纳解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.知识点二终边相同的角的应用例2 已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．回顾归纳解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．知识点三角的象限的判断例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．回顾归纳若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论．考查角的终边的位置．变式训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少.课时作业一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z }二、填空题6．经过10分钟，分针转了________度．7．下列命题：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1．1.1任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转(2)类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角4.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}x轴{α|α＝k·180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}y轴{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}自主探究α终边所在的象角α的集合限第一{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}象限第二{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}象限第三{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}象限第四{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}象限对点讲练例1解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．变式训练1解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．例2解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．变式训练2解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．(1){α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．(2){α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }．例3 解因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上．因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2的终边在第一象限；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限．所以α2的终边在第一或第三象限．变式训练3 D [由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]课时作业 1．C 2.A3．A [∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z .]4．C [可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]5．C [与边界终边相同的角为k ·360°＋120°或k ·360°－45°.故阴影部分的角为k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .] 6．－607．①③④⑤⑥解析 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确． ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确． ⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确． 8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0. ∴θ＝－110°或250°.9．解(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：－570°，－210°，150°，510°.10．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．。

高一数学必修四第一章课后练习

(1)420°(2)-75°(3)855°(4)-510°.
4.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角:
(1)-54°18′(2)395°8′(3)-1190°30′.
5.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来：
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
练习：
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
练习：
2.你认为我们应当如何利用函数的1.4.3正切函数的性质与图像
练习:
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像
练习：
3.作一个以5cm为单位长度的圆，然后分别作出225°，330°角的正弦线、余弦线、正切线，量出它们的长度，从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值.
4.你认为三角函数线对认识三角函数概念有哪些作用?
1.2.2同角三角函数的基本关系
练习：
1.3三角函数的诱导公式
练习：
4.填表：
1.4三角函数的图像与性质
5.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度（可用计算器）.
6.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数.
1.2.1任意角的三角函数
练习：
3.填表：
角
角的弧度数
sin
cos
tan
练习：
1.你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质？
第一章三角函数
1.1.1任意角
练习
1.（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
2．（口答）今天是星期三，那么7k（k∈Z）天后的那一天是星期几？7k（k∈Z）天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？

高中数学课时跟踪训练1 任意角新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

课时跟踪训练(一)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一任意角的概念 1．给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)．[解析]①正确；②错，若顺时针旋转终边落在第一象限，则为负角；③错，第二象限角不都是钝角，钝角都是第二象限角；④错，小于180°的角包括负角和零角．[答案]①2．将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．[解析] 时钟拨快20分钟，相当于转了13小时．因为时针转过1小时，分针转－360°，所以时针转13小时，分针转过的度数为13×(－360°)＝－120°.[答案] －120°3．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．[解] 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题组二终边相同的角与象限角4．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z[解析] 因为405°＝360°＋45°，所以与405°终边相同的角为k ·360°＋45°，k ∈Z .[答案] C5．－435°角的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为－435°＝－360°－75°，而－75°为第四象限角，所以－435°为第四象限角．[答案] D6．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( ) A ．x 轴的非负半轴 B ．y 轴的非负半轴 C ．x 轴的非正半轴D ．y 轴的非正半轴[解析]∵角α，β终边相同，∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，故α－β的终边在x 轴的非负半轴上．[答案] A题组三角αn，(n ∈N *)所在象限的确定7．已知α为第一象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第二象限或第三象限[解析] 由于k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，得k ·180°<α2<k ·180°＋45°，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．[答案] B8．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角D ．第一、四角限角[解析] 由题意知k ·360°<2α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°<α<90°＋k ·180°(k ∈Z )，按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．[答案] D2．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }[解析] 因为直线y ＝－x 为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k ·360°－45°＝2k ·180°－45°，k ∈Z ；终边落到第二象限可表示为k ·360°－180°－45°＝(2k －1)·180°－45°，k ∈Z ，综上可得终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合为{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }．[答案] D3．若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析]∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，∴φ2是第一或第三象限角，而－φ是第三象限角， ∴90°－φ是第四象限角，故选B. [答案] B 二、填空题4．与角－1560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________． [解析] 由于－1560°÷360°＝－4×360°－120° 即最大负角为－120°，最小正角为240°. [答案] 240° －120°5．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________. [解析] 由题意知，β角的终边与60°角终边相同，则β＝k ·360°＋60°，k ∈Z . [答案]k ·360°＋60°，k ∈Z 三、解答题6．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．[解] 由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.① ∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴{ 0°<α<90°－90°<－β<0°， ∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.7．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。

高一数学必修四作业本答案

答案与提示第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1．B.2．C.3．C.4．-1485°=-5×360°+315°.5．{-240°,120°}.6．{α|α=k·360°-490°,k∈Z}；230°；-130°；三.7．2α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，α2的终边在第二、四象限．集合表示略.8.（1）M={α|α=k·360°-1840°,k∈Z}.(2)∵α∈M,且-360°≤α≤360°,∴-360°≤k·360°-1840°≤360°.∴1480°≤k·360°≤2200°,379≤k≤559.∵k∈Z,∴k=5,6,故α=-40°,或α=320°.9．与45°角的终边关于x轴对称的角的集合为{α|α=k·360°-45°,k∈Z}，关于y轴对称的角的集合为{α|α=k·360°+135°,k∈Z}，关于原点对称的角的集合为{α|α=k·360°+225°,k∈Z}，关于y=-x对称的角的集合为{α|α=k·360°+225°,k∈Z}.10.(1){α|30°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.(2){α|k·360°-45°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}．11．∵当大链轮转过一周时，转过了48个齿，这时小链轮也必须同步转过48个齿，为4820＝2.4（周），即小链轮转过2.4周.∴小链轮转过的角度为360°×24=864°.1．1．2弧度制1．B.2．D.3．D.4．αα=kπ+π4,k∈Z.5．-5π4.6．111km.7．π9,7π9,13π9．8．2π15,2π5,2π3,4π5．9．设扇形的圆心角是θrad，∵扇形的弧长是r θ，∴扇形的周长是2r+rθ，依题意，得2r+rθ=πr，∴θ=π-2，∴扇形的面积为S=12r2θ=12(π-2)r2.10.设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r，由已知得l=π2R,R=2lπ．又∵2r+r=R，∴r=R2+1=(2-1)R=2(2-1)πl，∴内切圆的面积为S=πr2=4(3-22)πl2．11．设圆心为O，则R=5,d=3，OP=R2-d2=4，ω=5rad/s，l=|α|R,α=ωt=25rad,l=4×25=100（cm）．1．2任意角的三角函数1．2．1任意角的三角函数（一）1．B.2．B.3．C.4．k.5．π6,56π.6．x|x≠2kπ+32π,k∈Z.7．-25．8．2kπ+π2,2kπ+π，k∈Z.9．α为第二象限角．10．y=-3|x|=-3x(x≥0)，3x(x＜0)，若角α的终边为y=3x(x＜0)，即α是第三象限角，则sinα=-31010,tanα=3；若角α的终边为y=-3x(x≥0)，即α是第四象限角，则sinα=-31010,tanα=-3．11．f(x)=-(x-1)2+4(0≤x≤3)．当x=1时，f(x)max=f(1)=4，即m=4；当x=3时，f(x)min=f(3)=0，即n=0．∴角α的终边经过点P(4,-1)，r=17，sinα+cosα=-117+417=31717．1．2．1任意角的三角函数（二）1．B.2．C.3．B.4．334.5．2.6．1.7．0.8．x|2kπ+π≤x＜2kπ+32π,或x=2kπ,k∈Z.9．（1）sin100°·cos240°＜0.（2）tan-11π4-cos-11π4＞0.（3）sin5+tan5＜0. 10．（1）sin25π6=sin4π+π6=sinπ6=12.（2）cos-15π4=cos-4π+π4=cosπ4=22.（3）tan13π3=tan4π+π3=tanπ3=3．11．（1）∵cosα＞0，∴α的终边在第一或第四象限，或在x轴的非负半轴上；∵tanα＜0，∴α的终边在第四象限．故角α的集合为α2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z.（2）∵2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z，∴kπ-π4＜α2＜kπ,k∈Z ．当k=2n(n∈Z)时，2nπ-π4＜α2＜2nπ,n∈Z,sinα2＜0,cosα2＞0,tanα2＜0；当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+3π4＜α2＜2nπ+π,n∈Z,sinα2＞0,cosα2＜0,tanα2＜0. 1．2．2同角三角函数的基本关系1．B.2．A.3．B.4．-22.5．43.6．232.7．4-22．8．α2kπ+π2＜α＜2kπ+3π2,或α=kπ,k∈Z．9．0.10．15.11．3+12．1．3三角函数的诱导公式（一）1．C.2．A.3．B.4．-1-a2a．5．12．6．-cos2α．7．-tanα．8．-2sinθ．9．32．10．-22+13.11.3．1．3三角函数的诱导公式（二）1．C.2．A.3．C.4．2+22．5．-33．6．13．7．-73．8．-35．9．1.10．1+a4.11．2+3.1．4三角函数的图象与性质1．4．1正弦函数、余弦函数的图象1．B.2．C.3．B.4．3;-3.5．2.6．关于x轴对称.7．（1）取(0,0),π2,1,(π,2),3π2,1,(2π,0)这五点作图.（2）取-π2,0，0,12，π2,0，π,-12，3π2,0这五点作图．8．五点法作出y=1+sinx的简图，在同一坐标系中画出直线y=32，交点有2个．9．（1）（2kπ,(2k+1)π）(k∈Z).(2)2kπ+π2,2kπ+32π(k∈Z).10．y=|sinx|=sinx(2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z)，-sinx(π+2kπ＜x＜2π+2kπ,k∈Z)，图象略．y=sin|x|=sinx(x≥0),-sinx(x＜0),图象略．11．当x＞0时，x＞sinx；当x=0时，x=sinx；当x＜0时，x＜sinx，∴sinx=x只有一解．1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（一）1．C.2．A.3．D.4．4π.5．12,±1.6．0或8．提示：先由sin2θ+cos2θ=1，解得m=0，或m=8．7．（1）4.（2）25π.8．（1）π.（2）π.9．32,2.10．（1）sin215π＜sin425π.(2)sin15＜cos5.11.342.1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（二）1．B.2．B.3．C.4．＜.5．2π.6．3，4，5，6.7．函数的最大值为43，最小值为-2．8．-5．9．偶函数．10．f(x)=log21-sin2x=log2|cosx|．（1）定义域：xx≠kπ+π2,k∈Z.（2）值域：（-∞,0］. （3）增区间：kπ-π2,kπ（k∈Z），减区间：kπ,kπ+π2（k∈Z）.（4）偶函数.（5）π．11．当x＜0时，-x＞0,∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=-x2-sinx.1．4．3正切函数的性质与图象1．D.2．C.3．A.4．5π.5．tan1＞tan3＞tan2.6．kπ2-π4,0(k∈Z).7．2kπ+6π5＜x＜2kπ+3π2,k∈Z .8．定义域为kπ2-π4,kπ2+π4，k∈Z,值域为R，周期是T=π2，图象略．9．（1）x=π4.（2）x=π4或54π.10.y|y≥34.11．T=2π，∴f99π5=f-π5+20π=f-π5，又f(x)-1是奇函数，∴f-π5-1=-fπ5-1f-π5=2-fπ5=-5,∴原式=-5．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）1．A.2．A.3．B.4．3.5．-π2.6．向左平移π4个单位.7．y=sinx+2的图象可以看作是将y=sinx图象向上平移2个单位得到，y=sinx-1的图象可以看作是将y=sinx图象向下平移1个单位而得到.8．±5．9．∵y=sin3x-π3=sin3x-π9，∴可将y=sin3x的图象向右平移π9个单位得到.10.y=sin2x+π4的图象向左平移π2个单位，得到y=sin2x+π2+π4，故函数表达式为y=sin2x+5π4．11．y=-2sinx-π3，向左平移m(m>0)个单位，得y=-2sin(x+m)-π3，由于它关于y轴对称，则当x=0时，取得最值±2，此时m-π3=kπ±π2，k∈Z，∴m的最小正值是5π6．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）1．D.2．A.3．C.4．y=sin4x.5．-2a；-310a+2ka(k∈Z)；-2a.6．y=3sin6x+116π.7．方法1y=sinx横坐标缩短到原来的12y=sin2x向左平移π6个单位y=sin2x+π6=y=sin2x+π3.方法2y=sinx向左平移π3个单位y=sinx+π3横坐标缩短到原来的12y=sin2x+π3．8．(1)略.(2)T=4π,A=3,φ=-π4.9．（1）ω=2,φ=π6.(2)x=12kπ+π6(k∈Z),12kπ-112π,0(k∈Z).10.（1）f(x)的单调递增区间是3kπ-5π4,3kπ+π4(k∈Z).(2)使f(x)取最小值的x的集合是x|x=7π4+3kπ,k∈Z.11．（1）M=1，m=-1，T=10|k|π.（2）由T≤2，即10|k|π≤2得|k|≥5π，∴最小正整数k 为16．1．6三角函数模型的简单应用（一）1．C.2．C.3．C.4．2sinα.5．1s.6．k·360°+2125°(k∈Z).7．扇形圆心角为2rad时，扇形有最大面积m216．8．θ=4π7或5π7．9．（1）设振幅为A，则2A＝20cm，A=10cm．设周期为T,则T2=0.5,T=1s,f=1Hz.（2）振子在1T内通过的距离为4A，故在t=5s=5T内距离s=5×4A=20A=20×10=200cm=2(m).5s末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10cm.10.(1)T=2πs.(2)12π次.11．（1）d-710=sint-1.8517.5π.（2）约为5.6秒.1．6三角函数模型的简单应用（二）1．D.2．B.3．B.4．1-22.5．1124π.6．y=sin52πx+π4.7．95．8．12sin212，1sin12+2．9.设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+b.由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A=2002=100,ω=2π12=π6,b=800,又7月1日种群数量达最高，∴π6×6+φ=π2.∴φ=-π2.∴种群数量关于时间t的函数解析式为y=800+100sinπ6(t-3).10.由已知数据，易知y=f(t)的周期T=12，所以ω=2πT=π6.由已知，振幅A=3,b=10，所以y=3sinπ6t+10.11.（1）图略.（2）y-12.47=cos2π(x-172)365，约为19.4h.单元练习1．C.2．B.3．C.4．D.5．C.6．C.7．B.8．C.9．D.10．C.11．5π12+2kπ,13π12+2kπ(k∈Z).12．4412.13．-3,-π2∪0,π2.14．1972π.15.原式=(1+sinα)21-sin2α-(1-sinα)21-sin2α=1+sinα|cosα|-1-sinα|cosα|=2sinα|cosα|. ∵α为第三象限角，｜cosα｜=-cosα,∴原式＝-2tanα.16.1+sinα+cosα+2sinαcosα1+sinα+cosα=sin2α+cos2α+2sinαcosα+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)2+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)·(1+sinα+cosα)1+sinα+cosα=sinα+cosα. 17.f(x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x2-2sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=1-sin2xcos2x2(1-sinxcosx)-12sinxcosx+14cos2x=12+12sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=12+14cos2x.∴T=2π2=π,而-1≤cos2x≤1,∴f(x)max=34,f(x)min=14.18.∵Aπ3,12在递减段上，∴2π3+φ∈2kπ+π2,2kπ+3π2.∴2π3+φ=5π6,φ=π6.19.(1)周期T=π,f(x)的最大值为2+2，此时x∈x|x=kπ+π8,k∈Z;f(x)的最小值为2-2，此时x ∈x|x=kπ-38π,k∈Z；函数的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.（2）先将y=sinx（x∈R）的图象向左平移π4个单位，而后将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标扩大成原来的2倍，最后将所得图象向上平移2个单位.20.（1）1π.（2）5π或15.7s.(3)略.第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．1．1向量的物理背景与概念2．1．2向量的几何表示（第11题）1．D.2．D.3．D.4．0.5．一个圆.6．②③.7．如：当b是零向量，而a与c不平行时，命题就不正确．8．（1）不是向量.（2）是向量，也是平行向量.（3）是向量，但不是平行向量.（4）是向量，也是平行向量．9．BE，EB，BC，CB，EC，CE，FD（共7个）.10．AO，OA，AC，CA，OC，CO，DO，OD，DB，BD，OB，BO（共12个）. 11．（1）如图.（2）AD的大小是202m，方向是西偏北45°.2．1．3相等向量与共线向量1．D.2．D.3．D.4．①②.5．④.6．③④⑤.7．提示：由AB=DC AB=DC，AB∥DC ABCD为平行四边形AD=BC.（第8题）8．如图所示：A1B1，A2B2，A3B3.9．（1）平行四边形或梯形.（2）平行四边形.（3）菱形.10．与AB相等的向量有3个（OC，FO，ED），与OA平行的向量有9个（CB，BC，DO，OD，EF，FE，DA，AD，AO）,模等于2的向量有6个（DA,AD,EB,BE,CF,FC）.11．由EH,FG分别是△ABD,△BCD的中位线，得EH∥BD，EH=12BD,且FG∥BD，FG=12BD，所以EH=FG,EH∥FG且方向相同，∴EH=FG．2．2平面向量的线性运算2．2．1向量加法运算及其几何意义1．D.2．C.3．D.4．a，b.5．①③.6．向南偏西60°走20km.7．作法：在平面内任取一点O，作OA=a,AB=b,BC=c,则OC=a+b+c，图略.8．（1）原式=（BC+CA）+(AD+DB)=BA+AB=0.（2）原式=(AF+FE)+(ED+DC)+CB=AE+EC+CB=AB.9．2≤|a+b|≤8．当a，b方向相同时，|a+b|取到最大值8；当a，b方向相反时，|a+b|取到最小值2.10．（1）5.（2）24.11．船沿与河岸成60°角且指向上游的方向前进，船实际前进的速度为33km/h．2．2．2向量减法运算及其几何意义1．A.2．D.3．C.4．DB，DC.5．b-a.6．①②.7．（1）原式=(PM+MQ)+(NP-NQ)=PQ+QP=0.（2）原式=(BC-BD)+(CA+AD)+CD=DC+CD+CD=CD.8．CB=-b，CO=-a，OD=b-a，OB=a-b.9．由AB=DC，得OB-OA=OC-OD，则OD=a-b+c.10．由AB+AC=(AD+DB)+(AE+EC)及DB+EC=0得证．11．提示：以OA,OB为邻边作OADB,则OD=OA+OB，由题设条件易知OD与OC为相反向量，∴OA+OB+OC=OD+OC=-OC+OC=0.2．2．3向量数乘运算及其几何意义1．B.2．A.3．C.4．-18e1+17e2.5．(1-t)OA+tOB.6.③.7．AB=12a-12b，AD=12a+12b.8．由AB=AM+MB,AC=AM+MC，两式相加得出.9．由EF=EA+AB+BF与EF=ED+DC+CF两式相加得出.10．AD=a+12b,AG=23a+13b,GC=13a+23b,GB=13a-13b.11．ABCD是梯形．∵AD=AB+BC+CD=-16a+2b=2BC,∴AD∥BC且AD≠BC.2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3．1平面向量基本定理2．3．2平面向量的正交分解及坐标表示1．D.2．C.3．C.4．(-2,3),(23,2).5．1,-2.6．①③.7．λ=5．提示：BD=CD-CB=-3i+(3-λ)j，令BD=kAB(k∈R)，求解得出.8．16．提示：由已知得2x-3y=5，5y-3x=6，解得x=43,y=27.9．a=-1922b-911c．提示：令a=λ1b+λ2c，得到关于λ1,λ2的方程组，便可求解出λ1,λ2的值．10．∵a,b不共线，∴a-b≠0，假设a+b和a-b共线，则a+b=λ·(a-b)，λ∈R，有(1-λ)a+(1+λ)b=0.∵a,b不共线，∴1-λ=0，且1+λ=0，产生矛盾，命题得证．11．由已知AM=tAB（t∈R），则OM=OA+AM=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB，令λ=1-t，μ=t，则OM=λOA+μOB，且λ+μ=1(λ,μ∈R)．2．3．3平面向量的坐标运算2．3．4平面向量共线的坐标表示1．C.2．D.3．D.4．(12,-7)，1,12.5．(-2,6)6．(20,-28)7．a-b=(-8，5)，2a-3b=(-19,12)，-13a+2b=233,-5．8．AB+AC=(0,1),AB-AC=(6,-3),2AB+12AC=92,-1.9．提示：AB=(4,-1),EF=EA+AB+BF=83,-23=23AB.10．31313,-21313或-31313,21313．11．（1）OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t)，当点P在第二象限内时，1+3t＜0，且2+3t ＞0，得-23＜t＜-13.（2）若能构成平行四边形OABP，则OP=AB，得(1+3t,2+3t)=(3,3)，即1+3t=3，且2+3t=3，但这样的实数t不存在，故点O，A，B，P不能构成平行四边形．2.4平面向量的数量积2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义1．C.2．C.3．C.4．-122；-32.5．(1)0.(2)±24.(3)150°.6．①.7．±5.8．-55；217；122.9．120°.10．-25．提示：△ABC为直角三角形，∠B=90°，∴AB·BC=0，BC与CA的夹角为180°-∠C，CA与AB的夹角为180°-∠A，再用数量积公式计算得出．11．-1010．提示：由已知：（a+b）·（2a-b）=0，且（a-2b）·（2a+b）=0，得到a·b=-14b2，a2=58b2，则cosθ=a·b|a||b|=-1010．2．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．B.2．D.3．C.4．λ＞32.5．（2，3）或（-2，-3）.6．［-6,2］.7．直角三角形.提示：AB=(3,-2),AC=(4,6),则AB·AC=0,但｜AB｜≠|AC|.8．x=-13；x=-32或x=3.9.1213,513或-1213,-513.10．正方形．提示：AB=DC,|AB|=|AD|,AB·AD=0.11．当C=90°时，k=-23;当A=90°时，k=113;当B=90°时，k=3±132.2．5平面向量应用举例2．5．1平面几何中的向量方法1．C.2．B.3．A.4．3.5．a⊥b.6．②③④.7．提示：只需证明DE=12BC即可.8．(7,-8).9．由已知：CN=NA,BN=NP,∴AP=NP-NA=BN-CN=BC，同理可证：QA=BC，∴AP=QA，故P,A,Q三点共线.10．连结AO,设AO=a,OB=b,则AB=a+b,OC=-b,AC=a-b,|a|=|b|=r，∴AB·AC=a2-b2=0,∴AB ⊥AC.11．AP=4PM．提示：设BC=a,CA=b，则可得MA=12a+b，BN=a+13b，由共线向量，令PA=mMA,BP=nBN及PA+BP=BA=a+b，解得m=45，所以AP=4PM.2．5．2向量在物理中的应用举例1．B.2．D.3．C.4．|F||s|cosθ.5．(10,-5).6．④⑤.7．示意图略,603N.8．102N.9．sinθ=v21-v22|v1|.（第11题）10．（1）朝与河岸成60°的角且指向上游的方向开.（2）朝与河岸垂直的方向开.11．（1）由图可得：|F1|=|G|cosθ，|F2|=|G|·tanθ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|,|F2|都逐渐增大.（2）令|F1|=|G|cosθ≤2|G|，得cosθ≥12，∴0°≤θ≤60°.（第12(1)题）12．(1)能确定．提示：设v风车，v车地，v风地分别表示风对车、车对地、风对地的相对速度，则它们的关系如图所示，其中｜v车地｜＝6m/s，则求得：|v风车|＝63m/s，|v风地|＝12m/s．(2)假设它们线性相关，则k1a1+k2a2+k3a3=0（k1,k2,k3不全为零），得(k1,0)+(k2,-k2)+(2k3,2k3)=(0,0),有k1+k2+2k3=0，且-k2+2k3=0，可得适合方程组的一组不全为零的解：k1=-4,k2=2,k3=1，所以它们线性相关.(3)假设满足条件的θ存在，则由已知有：(a+b)2=3(a-b)2，化简得，|a|2-4|a||b|cosθ+|b|2=0，令t=|a||b|，则t2-4cosθ·t+1=0，由Δ≥0得，cosθ≤-12或cosθ≥12，故0≤θ≤π3或2π3≤θ≤π时，等式成立．单元练习1．C.2．A.3．C.4．A.5．C.6．C.7．D.8．D.9．C.10．B.11．①②③④.12．-7.13．λ＞103.14．0,2.15.53.16.2-2.17.④.18.(1)-13.(2)19.19．（1）(4,2).（2）-41717．提示：可求得MA·MB=5(x-2)2-8；利用cos∠AMB=MA·MB|MA|·|MB|，求出cos∠AMB的值.20．（1）提示：证(a-b)·c=0.（2）k＜0,或k＞2．提示：将式子两边平方化简．21．提示：证明MN=13MC即可.22．D(1,-1)；|AD|=5．提示：设D(x,y)，利用AD⊥BC，BD∥BC,列出方程组求出x,y的值.第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1．1两角差的余弦公式1．D.2．A.3．D.4．6+24.5.cosx-π6.6.cosx.7．-7210.8．121-m2+32m.9．-2732.10．cos(α-β)=1.提示：注意-1≤sinα≤1,-1≤sin β≤1，可得cosα=cosβ=0．11．AD=6013.提示：设∠DAB=α，∠CAB=β，则tanα=32，tanβ=23，AD=5cos(α-β)．3．1．2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．A.2．B.3．C.4．2cosx+π6.5．62.6．a2+b2,ba2+b2,aa2+b2.7．-32+36.8．725.9．22-36.10．sin2α=-5665.提示：2α=(α+β)+(α-β).11．tan∠APD=18.提示：设AB=1，BP=x，列方程求出x=23，再设∠APB=α，∠DPC=β，则tanα=32，tanβ=34，而∠APD=180°-(α+β)．3．1．3二倍角的正弦、余弦、正切公式1．C.2．C.3．D.4．sinθ2-cosθ2或2sinθ2-π4.5．-36.6.-2cosθ2.7．336625.8．18tan10°.提示：乘以8sin10°8sin10°.9．-12.10．α+2β=3π4.提示：tan2β=125，2β也为锐角.11．tan2α=-34.提示：3α=2α+α，并注意角的范围及方程思想的应用．3．2简单的三角恒等变换（一）1．B.2．A.3．C.4．sin2α.5．1.6．12.7．提示：利用余弦二倍角公式.8．2m4-3m2.9．提示：利用sin2θ2+cos2θ2=1.10．2-3.提示:7°=15°-8°.11．［-3,3］.提示：令cosα+cosβ=t，利用|cos(α-β)|≤1，求t的取值范围.3．2简单的三角恒等变换（二）1．C.2．A.3．C.4．π2.5．［-2,2］.6．-12.提示：y=12cos2x.7．周期为2π，最大值为2，最小值为-2.8．kπ+π8,kπ+5π8（k∈Z）.9．(1,2］.10.y=2sin2x-π6-1，最大值为1，最小值为-3，最小正周期为π.11．定义域为x∈Rx≠kπ+π2,k∈Z，值域为［-2,2］.提示：y=2sin2xx≠kπ+π2(k∈Z). 3．2简单的三角恒等变换（三）1．B.2．D.3．A.4．90°.5．102；π2.6．2.7．-7.8.5-22,5+22.9．1.提示：“切”化“弦”.10．Smax=4.提示：设∠AOB=θ.11．有效视角为45°.提示：∠CAD=α-β，tanα=2，tanβ=13.单元练习1．D.2．C.3．B.4．D.5．B.6．B.7．B.8．B.9．A.10．D.11．a1-b.12．725.13．1665.14．4.15．-6772.16．-2+308.17．0.18.-tanα.19.2125.20.1625.提示：α-2β=(α-β)-β,且0＜α-β＜π.21．提示：1-cos2θ=2sin2θ.22．（1）f(x)=3+4cos2x+π3，最小正周期为π.（2）［3-23,7］.综合练习(一)1．D.2．C.3．B.4．A.5．A.6．D.7．A.8．D.9．C.10．C11．12.12.0.13.（3，5）.14.2sin1.15．41.16．2π.17．②③.18．提示：AB=a+3b,AC=13a+b.19．（1）-13.（2）-83.20．（1）θ=45°.（2）λ=-1.21.6365或-3365.提示：cosα=±45.22．sin2α=-2425；cosβ=-3+4310．提示：β=2kπ+α+π3（k∈Z）.综合练习(二)1．A.2．D.3．D.4．A.5．C.6．D.7．D.8．B.9．C.10．C.11．2kπ-5π6,2kπ+π6（k∈Z）.12．102.13．(1,-1).14．1.15.5∶1.16.锐角.17.π6或2π3.18．33-410.19．∠ABC=45°.提示：利用向量.20．（1）-1225.（2）-75.21．OD=(11,6).提示：设OD=(x,y)，列方程组.22.（1）单调递增区间：23kπ+π6,23kπ+π2(k∈Z)，单调递减区间：23kπ+π2,23kπ+5π6(k∈Z).（2）-22,1.。

必修四任意角和弧度制课时练习含答案

必修四§1.1任意角和弧度制第一课时：§1.1.1任意角1. 下列命题中正确的是( )A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.将-885化为360k α+⋅ (0360α≤<k ,∈Z )的形式是 ( ) A.-165(2)360+-⨯ B.195(3)360+-⨯ C.195(2)360+-⨯ D.165(3)360+-⨯3．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．终边落在X 轴上的角的集合是（）A.{ α|α=k ·360°,K ∈Z }B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }5．角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限6.设,,,,那么( ) A ．B C A B ．B A C C ．D (A ∩C) D ．C ∩D=B7.下列各组角中终边相同的是( )A. +90与Z B.与ZC. +30与+30Z D.与+60Z 8.若角和的终边关于y 轴对称,则有 ( ) A. B.Z C.Z D.Zo {90A =小于的角｝{B =锐角｝{C ＝第一象限的角｝00{900}D =小于而不小于的角180k ⋅90k ⋅k ,∈(21)180k +⋅(41)180k ±⋅k ,∈180k ⋅360k ⋅k ,∈60k ⋅180k ⋅k ,∈αβ90αβ+=90αβ+=360k +⋅k ,∈360k αβ+=⋅k ,∈180αβ+=360k +⋅k ,∈9.若β是第四象限角,则180β-是第象限角。

新人教A版必修四第一章1.1.1任意角知识梳理及重难点题型(含解析版)

1.1.1任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点1 任意角的概念】1.任意角2.角的分类【知识点2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示3.非象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示【知识点3 终边相同的角】一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和. 举一反三【考点1 象限角与集合间的基本关系】【例1】（2019春•杜集区校级月考）设A ＝{小于90°的角}，B ＝{第一象限角}，则A ∩B 等于（）A ．{锐角}B ．{小于90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）} {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ【变式1-1】（2019秋•钦南区校级月考）已知A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（）A ．A ∩C ＝CB ．B ⊆C C ．B ∪A ＝CD ．A ＝B ＝C【变式1-2】（2019秋•黄陵县校级月考）设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（）A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D【变式1-3】（2019秋•宜昌月考）设M ＝{α|α＝k •90°，k ∈Z }∪{α|α＝k •180°+45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k •45°，k ∈Z }，则（）A ．M ⊆NB ．M ⊇NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅【考点2 求终边相同的角】【例2】（2019春•娄底期末）下列各角中与225°角终边相同的是（）A ．585°B ．315°C ．135°D ．45°【变式2-1】（2018春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A ．﹣398°，1042°B ．﹣398°，142°C ．﹣398°，38°D ．142°，1042°【变式2-2】（2018春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（）A ．{α|α＝k •360°+457°，k ∈Z }B ．{α|α＝k •360°+97°，k ∈Z }C ．{α|α＝k •360°+263°，k ∈Z }D ．{α|α＝k •360°﹣263°，k ∈Z } 【变式2-3】（2018春•林州市校级月考）在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（）A ．136°18'B ．136°42'C ．226°18'D ．226°42'【考点3 已知α终边所在象限求2α，2α，3α】【例3】（2018秋•宜昌期末）已知α为锐角，则2α为（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．小于180°的角【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置不可能是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．笫象限【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则2α所在的象限是（） A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则2α-是（）A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【考点4 终边对称的角的表示法】【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m •360°+60°，β＝k •360°+120°，（m ，k ∈Z ），则角α与β的终边的位置关系是（）A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x +y ＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x ﹣y ＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y 轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x 轴对称，则β＝．【考点5 已知终边求角】【例5】（2019春•凉州区校级月考）已知α＝﹣1910°．（1）把角α写成β+k •360°（k ∈Z ，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出θ的值，使θ与α的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【变式5-1】若角α的终边落在直线x +y ＝0上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【变式5-2】已知α、β都是锐角，且α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，求∠α、∠β的大小．【变式5-3】（2018春•武功县期中）已知角α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合|18045,2k M x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，|18045,4k N x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭那么两集合的关系是什么？【考点6 已知角终边的区域确定角】【例6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【变式6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在0A ，0B 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【变式6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于x轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．1.1.1任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点1 任意角的概念】1.任意角2.角的分类【知识点2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示3.非象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示【知识点3 终边相同的角】一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和. 举一反三【考点1 象限角与集合间的基本关系】【例1】（2019春•杜集区校级月考）设A ＝{小于90°的角}，B ＝{第一象限角}，则A ∩B 等于（）A ．{锐角}B ．{小于90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}【分析】先求出A ＝{锐角和负角}，B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，由此利用交集的定义给求出A ∩B ．【答案】解：∵A ＝{小于90°的角}＝{锐角和负角}，B ＝{第一象限角}＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，∴A ∩B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}． {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角的概念的合理运用．【变式1-1】（2019秋•钦南区校级月考）已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．A∩C＝C B．B⊆C C．B∪A＝C D．A＝B＝C【分析】分别判断，A，B，C的范围即可求出【答案】解解：∵A＝{第一象限角}＝（k•360°，90°+k•360°），k∈Z；B＝{锐角}＝（0，90°），C＝{小于90°的角}＝（﹣∞，90°）∴B⊆C，故选：B．【点睛】本题考查了任意角的概念和角的范围，属于基础题．【变式1-2】（2019秋•黄陵县校级月考）设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（）A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D【分析】根据A＝{θ|θ为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得结论．【答案】解：根据A＝{θ|θ为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得A＝D．故选：D．【点睛】本题考查象限角和任意角，考查学生对概念的理解，比较基础．【变式1-3】（2019秋•宜昌月考）设M＝{α|α＝k•90°，k∈Z}∪{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}，N＝{α|α＝k •45°，k∈Z}，则（）A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M∩N＝∅【分析】讨论k为偶数和k为奇数时，结合N的表示，从而确定N与M的关系．【答案】解：∵N＝{α|α＝k•45°，k∈Z}，∴当k为偶数，即k＝2n时，n∈Z，α＝k•45°＝2n•45°＝n•90°，∴当k为奇数，即k＝2n+1时，n∈Z，α＝k•45°＝（2n+1）•45°＝n•90°+45°，又M＝{α|α＝k•90°，k∈Z}∪{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}，∴M⊆N．故选：A．【点睛】本题主要考查了集合之间的关系与应用问题，是基础题．【考点2 求终边相同的角】【例2】（2019春•娄底期末）下列各角中与225°角终边相同的是（）A．585°B．315°C．135°D．45°【分析】写出与225°终边相同的角，取k值得答案．【答案】解：与225°终边相同的角为α＝225°+k•360°，k∈Z，取k＝1，得α＝585°，∴585°与225°终边相同．故选：A．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，是基础题．【变式2-1】（2018春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A．﹣398°，1042°B．﹣398°，142°C．﹣398°，38°D．142°，1042°【分析】根据终边相同的角的定义，化﹣398°和1042°为α+k•360°，k∈Z的形式，再判断即可．【答案】解：由题意，﹣398°＝322°﹣2×360°，1042°＝322°+2×360°，142°，38°；这四个角中，终边相同的角是﹣398°和1042°．故选：A．【点睛】本题考查了终边相同角的概念与应用问题，是基础题．【变式2-2】（2018春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（）A．{α|α＝k•360°+457°，k∈Z}B．{α|α＝k•360°+97°，k∈Z}C．{α|α＝k•360°+263°，k∈Z}D．{α|α＝k•360°﹣263°，k∈Z}【分析】终边相同的角相差了360°的整数倍，又263°与﹣457°终边相同．【答案】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与﹣457°角的终边相同的角是α，则α＝﹣457°+k•360°，k∈Z，又263°与﹣457°终边相同，∴{α|α＝263°+k•360°，k∈Z}，故选：C．【点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．【变式2-3】（2018春•林州市校级月考）在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（）A．136°18'B．136°42'C．226°18'D．226°42'【分析】直接由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′得答案．【答案】解：由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′，可得，在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为226°42′，故选：D ．【点睛】本题考查终边相同的角的表示法，是基础题．【考点3 已知α终边所在象限求2α，2α，3α】【例3】（2018秋•宜昌期末）已知α为锐角，则2α为（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．小于180°的角【分析】写出α的范围，直接求出2α的范围，即可得到选项．【答案】解：α为锐角，所以α∈（0°，90°），则2α∈（0°，180°），故选：D ．【点睛】本题考查象限角与轴线角，基本知识的考查，送分题．【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置不可能是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．笫象限【分析】写出第二象限的角的集合，得到的范围，分别取k 值得答案．【答案】解：∵α是第二象限角，∴90°+k •360°＜α＜180°+k •360°，k ∈Z ．则30°+k •120°＜＜60°+k •120°，k ∈Z ．当k ＝0时，30°＜＜60°，α为第一象限角；当k ＝1时，150°＜＜180°，α为第二象限角；当k ＝2时，270°＜＜300°，α为第四象限角．由上可知，的终边所在位置不可能是第三象限角．故选：C ．【点睛】本题考查象限角及轴线角，考查终边相同角的集合，是基础题．【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则2α所在的象限是（） A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【分析】用不等式表示第二象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．【答案】解：∵α是第二象限角，∴k •360°+90°＜α＜k •360°+180°，k ∈Z ，则k •180°+45°＜＜k •180°+90°，k ∈Z ，令k ＝2n ，n ∈Z有n •360°+45°＜＜n •360°+90°，n ∈Z ；在一象限；k ＝2n +1，n ∈z ，有n •360°+225°＜＜n •360°+270°，n ∈Z ；在三象限；故选：C ．【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则2α-是（）A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【分析】由α是第三象限角，得到180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，从而能求出﹣的取值范围，由此能求出﹣所在象限．【答案】解：∵α是第三象限角，∴180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，∴﹣135°﹣k•180°＜﹣＜﹣90°﹣k•180°，∴﹣是第一或第三象限角．故选：C．【点睛】本题考查角所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意第三象限角的取值范围的合理运用．【考点4 终边对称的角的表示法】【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【分析】结合角的终边相同的定义进行判断即可．【答案】解：α的终边和60°的终边相同，β的终边与120°终边相同，∵180°﹣120°＝60°，∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称，故选：D．【点睛】本题主要考查角的终边位置关系的判断，结合角的关系是解决本题的关键．【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝．【分析】角α的终边与45°角的终边关于原点对称，可得α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【答案】解：∵角α的终边与45°角的终边关于原点对称，∴α＝k•360°+225°，（k∈Z）．故答案为：α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【点睛】本题考查了终边相同的角，属于基础题．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x+y＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是．【分析】求出β∈[0°，360°）时角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称的值，再根据终边相同的角写出角β的取值集合．【答案】解：若β∈[0°，360°），则由角α＝﹣60°，且角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称，可得β＝330°，所以当β∈R时，角β的取值集合是{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．故答案为：{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．【点睛】本题主要考查了终边相同的角的定义和表示方法，是基础题．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．【分析】由题意画出图形，然后利用终边相同角的表示法得答案．【答案】解：如图，设α＝﹣30°所在终边为OA，则关于直线x﹣y＝0对称的角β的终边为OB，终边在OB上的最小正角为120°，故β＝120°+k•360°，k∈Z；关于y轴对称的角β的终边为OC，终边在OC上的最小正角为210°，故β＝210°+k•360°，k∈Z；关于x轴对称的角β的终边为OD，终边在OD上的最小正角为30°，故β＝30°+k•360°，k∈Z．故答案为：120°+k•360°，k∈Z；210°+k•360°，k∈Z；30°+k•360°，k∈Z．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，数形结合使问题更加直观，是基础题．【考点5 已知终边求角】【例5】（2019春•凉州区校级月考）已知α＝﹣1910°．（1）把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出θ的值，使θ与α的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【分析】（1）利用终边相同的假的表示方法，把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，然后指出它是第几象限的角；（2）利用终边相同的角的表示方法，通过k的取值，求出θ，且﹣720°≤θ＜0°．【答案】解：（1）∵﹣1910°＝﹣6×360°+250°，180°＜250°＜270°，∴把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式为：﹣1910°＝﹣6×360°+250°，它是第三象限的角．（2）∵θ与α的终边相同，∴令θ＝k•360°+250°，k∈Z，k＝﹣1，k＝﹣2满足题意，得到θ＝﹣110°，﹣470°．【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，基本知识的考查．【变式5-1】若角α的终边落在直线x+y＝0上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【分析】求出角α的终边相同的角，然后求解在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【答案】解：角α的终边落在直线x+y＝0上，则直线的倾斜角为：45°，角α的终边的集合为：{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}．当k＝﹣2时，α＝﹣315°，k＝﹣1时，α＝﹣135°，k＝0时，α＝45°，k＝1时，α＝225°，在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α：﹣315°，135°，45°，225°．【点睛】本题考查终边相同角的表示，考查计算能力．【变式5-2】已知α、β都是锐角，且α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，求∠α、∠β的大小．【分析】按照终边相同角的表示方法将α+β、α﹣β表示出来，然后解出α、β，由α、β都是锐角得到所求．【答案】解：因为α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，所以α+β＝﹣280°+360°k；α﹣β＝670°+360°k；k∈Z；两式相加，2α＝390°+720°k ＝360°+30°+720°k ＝30°+720°k ；α＝15°+360°k ；因为α，β是锐角，所以α＝15°；β＝65°．【点睛】本题考查了终边相同角的表示，利用方程组的思想求两角，属于基础题．【变式5-3】（2018春•武功县期中）已知角α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合|18045,2k M x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，|18045,4k N x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭那么两集合的关系是什么？【分析】（1）所有与角α有相同终边的角可表示为45°+k ×360°（k ∈Z ），列出不等式解出整数k ，即得所求的角．（2）先化简两个集合，分整数k 是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系．【答案】解析：（1）由题意知：β＝45°+k ×360°（k ∈Z ），则令﹣720°≤45°+k ×360°≤0°，得﹣765°≤k ×360°≤﹣45°，解得，从而k ＝﹣2或k ＝﹣1，代回β＝﹣675°或 β＝﹣315°．（2）因为M ＝{x |x ＝（2k +1）×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝（k +1）×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M ⊊N ．【点睛】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解；（2）可对整数k的奇、偶数情况展开讨论．【考点6 已知角终边的区域确定角】【例6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【分析】利用象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质即可得出．【答案】解：图1：角的集合为{α|30°+k×360°≤α≤120°+k•360°，k∈Z}；图2：角的集合为{α|﹣210°+k•360°≤α≤30°+k•360°，k∈Z}；图3：角的集合为{α|﹣45°+k•360°≤α≤30°+k•360°，k∈Z}；图4：角的集合为{α|60°+k•360°≤α≤120°+k•360°，k∈Z}∪{α|240°+k•360°≤α≤300°+k•360°，k∈Z}．【点睛】本题考查了象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【变式6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在0A，0B位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【分析】（1）直接由终边相同角的表示法写出终边落在0A，0B位置上的角的集合；（2）结合（1）中写出的终边落在0A，0B位置上的角的集合，利用不等式表示出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】解：（1）如图，终边落在OA上的角的集合为{α|α＝150°+k•360°，k∈Z}．终边落在OB上的角的集合为{α|α＝﹣45°+k•360°，k∈Z}；（2）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为{β|﹣45°+k•360°≤β≤150°+k•360°，k∈Z}．【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的概念，是基础题．【变式6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于x轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图1所表示的角的集合：{α|k•360°﹣30°＜α＜k•360°+75°，k∈Z}．图2终边落在阴影部分的角的集合．{α|k•360°﹣135°＜α＜k•360°+135°，k∈Z}【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图（1）所表示的角的集合：{α|k•360°﹣135°≤α≤k•360°+135°，k∈Z}．图2终边落在阴影部分的角的集合{α|k•180°+30°≤α≤k•180°+60°，k∈Z【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．。

【必做练习】高中数学第一章三角函数1.1.1任意角教案新人教A版必修4

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课题：任意角
［课时安排］
1 课时
［教学目标］
1．理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、
象限角、区间角、终边在坐标轴上的角 .
2．从数形结合的角度认识角
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、
转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
［教学重点］
理解概念，掌握终边相同角的表示法 .
A． 30° B ． 30°
C
． 630° D ． 630°
3. 把 1485°转化为 α ＋ k· 360°（ 0°≤ α ＜ 360° , k∈ Z）的形式是（）
A ． 45o 4×360°
B
C． 45o 5× 360°
D
o
． 45 4× 360°
o
．315 5× 360°
4. 下列结论中正确的是 ( )
方向旋转形成的角；
零角：射线没有任何旋转形成的角；
负角：按
方向旋转形成的角。
（3）象限角与坐标轴上的角：
B 终边
始边
O 顶点
A
使角的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边落第几象限，则
称为
；终边落在坐标轴上的角称为
。
2. 与角终边相同的角为
k 360
k z) ，连同角可构成一个集
合 S ，即
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(4) 第四象限 . 探究 2. 写出与角
45 的终边相同的角的集合 S，并写出 S 中适合不等式
360
720 的元素 β .
【当堂训练】 1. 与 405°角终边相同的角是（）
A. k ·360°－ 45° ( k Z )

2020年高中数学人教A版必修4 导学案《任意角》(含答案)

1．1.1 任意角[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角[点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛] 对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．( )(2)钝角是第二象限的角．( )(3)终边相同的角一定相等．( )2．与45°角终边相同的角是( )A．－45° B．225° C．395° D．－315°3．下列说法正确的是( )A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．任意角的概念[典例]A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．终边相同角的表示[典例] 写出与080°范围内与75°角终边相同的角．1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[活学活用]分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．象限角的判断[典例]作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[活学活用]若α是第四象限角，则180°－α一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限角αn，nα(n∈N *)所在象限的确定 [典例] 已知α是第二象限角，求角2所在的象限．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况． (2)已知角α终边所在的象限，确定αn 终边所在的象限，分类讨论法要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．层级一学业水平达标1．－215°是( )A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．下面各组角中，终边相同的是( )A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3 000°，－840°3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是( )A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________. 8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．42．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )A．M∩N＝∅ B．M N C．N M D．M＝N5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．参考答案[小试身手]1．答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．答案：D 3．答案：A4．答案：－25° 395°[典例][解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误． [答案] C [活学活用]解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60° [典例][解] 与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝k·360°＋75°，k ∈Z}．当360°≤β<1 080°时，即360°≤k·360°＋75°<1 080°，解得1924≤k<21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角． [活学活用]解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k·360°，k ∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k·180°，k ∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k·360°，k ∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k ∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k ∈Z}. [典例][解] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角． (2)由图②可知：855°是第二象限角． (3)由图③可知：－510°是第三象限角． [活学活用]解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角．而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到， ∴180°－α是第三象限角.[典例][解] 法一：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k∈Z)．当k 为偶数时，令k ＝2n(n ∈Z)，得n·360°＋45°<α2<n·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n·360°＋225°<α2<n·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． [一题多变]1．解：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)． ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．层级一学业水平达标1．解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同．3．解析：选A 由题意知α＝k·180°＋45°，k ∈Z ，当k ＝2n ＋1，n ∈Z ，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k ＝2n ，n ∈Z ，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限． ∴α是第一或第三象限的角．4．解析：选 D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k ∈Z}，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D 正确． 5．解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．解析：5α＝α＋k·360°，k ∈Z ，∴α＝k·90°，k ∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270°8．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216° －144° 9．解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k ∈Z.层级二应试能力达标1．解析：选D ①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．解析：选C 对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。

1.1.1 任意角练习题

必修四---三角函数§1.1.1 任意角知识点一角的相关概念梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O 从一个位置OA 旋转到另一个位置OB 所成的图形．点O 是角的顶点，射线OA ，OB 分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为知识点三终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z类型一任意角概念的理解1、判断正误（1）经过1小时，时针转过30°.( ) （2）终边与始边重合的角是零角．() （3）小于90°的角是锐角．( ) （4）钝角是第二象限角．( )（5）第二象限角是钝角．( ) （6）第一象限角一定不是负角；类型二象限角的判定判断象限角的步骤①当0°≤α<360°时，直接写出结果；②当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．(2)已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．1、已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( )A ．①②B．①③C．②③D．②④2．2018°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3、已知α为第三象限角，则α2是第几象限角？类型三终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角1．与－457°角终边相同的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z }命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合2 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．方法求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x ≥0和x <0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练写出终边在直线y ＝33x 上的角的集合．1．下列说法正确的是( )A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角C．第四象限角一定是负角 D．小于90°的角都是锐角2．已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________．3、、若α是第四象限角，则180°-α是第象限角。

高中数学必修四 1.1.1任意角和弧度制

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又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°，得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.

人教A版高中数学必修4第一章 1.1 1.1.1 任意角

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角课时过关·能力提升基础巩固1.-215°是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:因为-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,所以-215°也是第二象限角.答案:B2.在下列各个角中,与2 019°角终边相同的是()A.-219°B.-140°C.219°D.140°解析:∵2 019°=360°×5+219°,∴与2 019°角终边相同的是219°,故选C.答案:C3.与-457°角终边相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}答案:C4.已知α是第二象限角,则2α的终边在()A.第一、二象限B.第二象限C.第三、四象限D.以上都不对解析:∵α是第二象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,∴2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°,k∈Z,∴2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.答案:D5.若钟表的时针走过1小时50分钟,则分针转过的角度是 ()A.-660°B.-600°C.600°D.660°解析:∵50÷60=,∴360°×=300°.∵时针和分针都是顺时针旋转,∴时针走过1小时50分钟,分针转过的角度为-660°.答案:A6.在-360°~720°之间,与-367°角终边相同的角是.解析:与-367°角终边相同的角可表示为α=k·360°-367°,k∈Z.当k=1,2,3时,α=-7°,353°,713°,这三个角都是符合条件的角.答案:-7°,353°,713°7.终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合为.解析:在0°~360°内,终边落在阴影部分的角的范围是120°<α<225°,所以终边落在阴影部分的角的集合为{β|k·360°+120°<β<k·360°+225°,k∈Z}.答案:{β|k·360°+120°<β<k·360°+225°,k∈Z}8.在平面直角坐标系中画出下列各角:(1)-180°;(2)1 070°.解:在平面直角坐标系中画出各角如图.9.在-720°~720°范围内,用列举法写出与60°角终边相同的角的集合S.解:与60°角终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z},令-720°≤60°+k·360°<720°(k∈Z),得k=-2,-1,0,1,相应的角为-660°,-300°,60°,420°,从而S={-660°,-300°,60°,420°}.10.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解:(1)∵-1 910°=-6×360°+250°,∴β=250°,即α=250°-6×360°.又250°是第三象限角,∴α是第三象限角.(2)θ=250°+k·360°(k∈Z).∵-720°≤θ<0°,∴-720°≤250°+k·360°<0°,解得-≤k<-.又k∈Z,∴k=-1或k=-2.∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.能力提升1.下列说法正确的是()A.钝角必是第二象限角,第二象限角必是钝角B.第三象限的角必大于第二象限的角C.小于90°的角是锐角D.-95°20',984°40',264°40'是终边相同的角答案:D2.若A={α|α=k·360°,k∈Z},B={α|α=k·180°,k∈Z},C={α|α=k·90°,k∈Z},则下列关系正确的是()A.A=B=CB.A=B∩CC.A∪B=CD.A⊆B⊆C答案:D3.若α是第三象限的角,则180°-是()A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角解析:∵α是第三象限的角,∴k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,∴k·180°+90°<<k·180°+135°,k∈Z,∴-k·180°-135°<-<-k·180°-90°,k∈Z,∴-k·180°+45°<180°-<-k·180°+90°,k∈Z,故当k为偶数时,180°-是第一象限角;当k为奇数时,180°-是第三象限角.答案:B4.已知α为第三象限角,则是第象限角.解析:∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,∴k·120°+60°<<k·120°+90°,k∈Z.∵k·120°+60°角的终边在第一象限、x轴非正半轴、第四象限,k·120°+90°角的终边在y轴非负半轴、第三象限、第四象限,∴是第一、第三或第四象限角.答案:一、第三或第四5.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),则角α组成的集合为.解析:由题图知,将x轴绕原点分别旋转30°与150°得边界,故终边在阴影内的角的集合为{α|k·180°+30°<α<k·180°+150°,k∈Z}.答案:{α|k·180°+30°<α<k·180°+150°,k∈Z}6.★若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=.解析:∵5α与α的始边和终边分别相同,∴这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°(k ∈Z).∴α=k·90°(k∈Z).又180°<α<360°,令180°<k·90°<360°(k∈Z),则2<k<4,∴k=3,α=270°.答案:270°7.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.解:由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①由题意可知,α-β=670°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.8.★已知集合M={α|k·180°+30°<α<k·180°+120°,k∈Z},N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},求M∩N.解:∵M={α|k·180°+30°<α<k·180°+120°,k∈Z},∴当k=2n(n∈Z)时,M={α|n·360°+30°<α<n·360°+120°,n∈Z}.又N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},∴M∩N={x|k·360°+90°<x<k·360°+120°,k∈Z}.当k=2n+1(n∈Z)时,M={α|n·360°+210°<α<n·360°+300°,n∈Z},又N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},∴M∩N={x|k·360°+210°<x<k·360°+270°,k∈Z},∴M∩N={x|k·360°+90°<x<k·360°+120°或k·360°+210°<x<k·360°+270°,k∈Z}.。

高中数学必修四练习册(后含答案)

C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
6．射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转 120°到达 OB 位置，由
OB 位置顺时针旋转 270°到达 OC 位置，则∠AOC＝
()
A．150°
B．－150°
C．390°
D．－390°
7．若集合 M＝{α|α＝±30°＋k·180°，k∈Z}，N＝{α|α＝(－
D.α|α＝2kπ＋53π，k∈Z
3．已知集合 A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－
4≤α≤4}，则 A∩B＝( )
A．
B．{α|0≤α≤π|
C．{α|－4≤α≤4|
D．{α|－4≤α≤－π 或 0≤α≤π}
4．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是____
弧度 ( )
1.1.1 任意角
一、选择题
1．下列各命题正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．第一象限角都是锐角
C．锐角都是第一象限角
D．小于 90°的角都是锐角
2．若 α 是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的
是( )
A．90°－α
B．90°＋α
C．360°－α
D．180°＋α
3．在“①160°，②480°，③－960°，④－1600°”这四个角
A．sinα＋cosα<0
B．tanα－sinα<0
π
π
π
A.π
B.2
C.3
D.4
5．如图中，圆的半径为 5，圆内阴影部分的面积是( )
175π A. 36
125π B. 18
75π C. 18

1.1.1任意角概念及练习题

课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练1】写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°， γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型二终边相同的角的表示及应用
角的分类类型定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角零角一条射线作任何旋转称它形成了一个零角逆时针顺时针没有课课前预习课课堂互动课课堂反馈知识点2象限角如果角的顶点与坐标原点重合角的始边与x轴的非负半轴重合那么角的终边除端点外在第几象限就说这个角是
§1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课堂达标
1．下列说法正确的是( ) A．三角形的内角一定是第一、二象限角 B．钝角不一定是第二象限角 C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．钟表的时针旋转而成的角是负角
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角； B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角； C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍； D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．答案 D
课前预习
课堂互动
课堂反馈
5．已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋ 210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°， k∈Z}． (2) 终边落在阴影部分 ( 含边界 ) 角的集合是 {α|k·360° ＋ 210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．

【创新设计】2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.1.1 任意角 Word版含答案

1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任意角[学习目标] 1.了解角的概念.2.把握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.娴熟把握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．[学问链接]1．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小时，又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转45°. 2．在学校角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．定义2：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 3．学校所学角的范围是什么？答角的范围是[0°，360°]． [预习导引] 1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示方法：①常用大写字母A ，B ，C 等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示； ③特殊是当角作为变量时，常用字母x 表示． (3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.要点一任意角概念的辨析例1 在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②其次象限角大于第一象限角； ③钝角都是其次象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为．答案 ①②④解析 ①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确． ②120°是其次象限角，390°是第一象限角，明显390°>120°，所以②不正确． ③钝角的范围是(90°，180°)，明显是其次象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法推断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的生疏不能再停留在学校阶段，否则推断简洁错误．跟踪演练1 设A ＝{小于90°的角}，B ＝{锐角}，C ＝{第一象限角}，D ＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( ) A ．B C A B ．B A C C ．D(A ∩C )D ．C ∩D ＝B答案 D解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角 B ＝{α|0°<α<90°} 0°～90°的角D ＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}要点二象限角的判定例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)由于－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)由于650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)由于－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是其次象限角．规律方法本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并推断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练2给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是其次象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是其次象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点三终边相同的角的应用例3在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k·360°<－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.规律方法求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪演练3写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解由终边相同的角的表示知与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β<360°，即－720°≤k·360°－1 910°<360°(k∈Z)，∴31136≤k<61136(k∈Z)．故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.要点四区域角的表示例4写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．规律方法解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的全部角的集合，假如集合能化简的还要化成最简．本题还要留意实线边界与虚线边界的差异．跟踪演练4已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．求：(1)A∩B；(2)A∪B.解在直角坐标系中，分别画出集合A，B所包含的区域，结合图形可知，A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}.1．－361°的终边落在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限答案 D2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}答案 C解析令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝.答案270°解析由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．1.对角的理解，学校阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要留意“旋转方向”打算角的“正负”，“旋转量”打算角的“确定值大小”．2．关于终边相同角的生疏一般地，全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．留意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边肯定相同；终边相同的角不肯定相等，终边相同的角有很多多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础达标1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D答案 D2．与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z答案 C3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案 D4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．已知α∈(0°，360°)，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝.答案60°6．下列说法中，正确的是．(填序号)①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③其次象限的角为钝角；④小于90°的角肯定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．答案②⑤解析终边落在第一象限的角不肯定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理其次象限的角也不肯定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不肯定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同．由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、力量提升8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是()答案 C9．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为．答案－160°，200°解析∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．12．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA 、OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与创新13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )．方法一 (分类争辩)当k ＝3n (n ∈Z )时， n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是其次象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角.。

必修4第一章三角函数同步练习及答案

第一章三角函数§1.1 任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )(A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π(B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ *14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§.任意角的三角函数一.选择题1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |tan x x的值域是 ( )(A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3} 2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )(A) 25 (B) -25 (C) 25或 -25 (D) 不确定3.设A 是第三象限角，且|sin2A |= -sin 2A ,则2A是 ( ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形*6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2θ的终边在 ( )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上二.填空题 7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第象限的角;8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ;9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ;*10.设M =sin θ+cos θ, -1<M <1,则角θ是第象限角. 三.解答题11.求函数y =lg(2cos x的定义域。

高一下册数学必修四第一章三角函数.知识点及同步练习

巩固练习
1、在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的
关系一定是（）
A．α=－β B．α+β=k·360°(k∈Z) C．α－β=k·360°(k∈Z)
D．以上答案都不对
2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是
（）
A．等于1弧度 B．大于1弧度 C．小于1弧度
D．无法
判断
（2）角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角
α终边相同的所有角．例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－ 360°≤β＜720°的元素β写出来．思考题：已知α角是第三象限角，则α/2，α/3，α/4各是第几象限角？
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
11、下列命题是真命题的是（）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是
锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
12、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、
C关系是（）
A．B=A∩C B．B∪C=C
度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确
定的？与圆的半径大小有关吗？
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一
个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角α的弧度数的绝
对值|α|=
始边终边顶点 A O B

人教A版数学高二任意角精选试卷练习(含答案)2

人教A 版数学高二任意角精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（） A ．π3 B ．π3- C ．π6 D ．π6- 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C2．把 1 125-︒化成()2π02π,k k αα+≤<∈Z 的形式是（） A ．6π4π-- B ．7π46π- C ．π84π--D ．7π4π8-【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】D3．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（） A ．π3 B ．2π3CD ．2【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】CA ．960-︒B ．480-︒C ．120-︒D ．60-︒ 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】B5．下列转化结果错误的是（）A ．6730︒'化成弧度是3π8 B ．10π3-化成度是600-︒ C ．150-︒化成弧度是5π6 D ．π12化成度是15︒【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C 6．已知α=75π，则角α的终边位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】河北省承德一中2017-2018学年高一上学期第三次月考数学试卷【答案】C7．2016°角的终边所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】C8．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系正确的是（）A ．B AC =I B ．=B C C U C ．A C ⊆D ．==A B C 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】B9．与460-︒角终边相同的角的集合是( )A ．{}|=360457,k k αα⋅︒+︒∈ZB ．{}|=360100,k k αα⋅︒+︒∈ZC ．{}|=360260,k k αα⋅︒+︒∈ZD ．{}|=360260,k k αα⋅︒-︒∈Z 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】C10．已知α是第三象限角，则2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第四象限角D ．第二或第四象限角【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】D11．在[]3601440︒︒，中与2118'-︒终边相同的角有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】D12．经过2小时，钟表上的时针旋转了（）A ．60︒B ．60-︒C ．30︒D ．30-︒ 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】B13．集合180=45,2k M x x k ⎧⋅︒⎫=±︒∈⎨⎬⎩⎭Z ，o o 180=904k N x x k ⎧⎫⋅⎪⎪=±∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z ，，则M 、N 之间的关系为（）A ．=M NB ．N M ⊂≠C ．M N ⊃≠D ．=M N ∅I【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】B14．与−405°角终边相同的角的集合中，0°～360°间的角的大小是（） A ．90° B ．90° C ．305° D ．315° 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】C15．与角53︒终边相同的角是（） A ．127︒B ．233︒C ．307︒-D ．127︒-【来源】黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题【答案】C16．顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在y 轴上的角α的集合是( ) A ．2,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．2,2k k Z πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭C ．,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【来源】东北四市一模(文)试题【答案】C17．与60-°的终边相相同的角是（） A ．3πB ．23π C ．43π D ．53π 【来源】广东省阳江市2016-2017学年高一下学期期末检测数学试题【答案】D 18．与角3π-终边相同的角是（） A ．53π B ．116πC ．56π-D ．23π-【来源】山东省临沂市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A19．下列命题中正确的是（） A ．终边在x 轴负半轴上的角是零角 B ．三角形的内角必是第一、二象限内的角 C ．不相等的角的终边一定不相同D ．若0•360k βα=+（k Z ∈），则α与β终边相同【来源】宁夏平罗中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题【答案】D20．下面四个命题正确的是（） A ．第一象限角必是锐角 B ．锐角必是第一象限角C ．若cos 0α<，则α是第二或第三象限角D ．小于090的角是锐角【来源】2015-2016学年福建省上杭一中高一3月月考数学试卷（带解析) 【答案】B21．下列各个角中与2017°终边相同的是（） A ．﹣147° B ．677° C ．317° D ．217°【来源】江西省景德镇市2016-2017学年高一下学期期末质量检测数学试题【答案】D22．若α是第三象限角，则2α是（）A ．第二象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角【来源】2015-2016学年吉林省实验中学高一上学期期末数学试卷（带解析) 【答案】D23．已知α是第一象限角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角【来源】河南省安阳市第三十五中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题【答案】D24．若角A 是第二象限角，则角2A是第几象限角 A ．一或三B ．二或四C ．三或四D ．一或四【来源】20102011年福建省福州八周高一下学期期中考试数学【答案】A25．下列结论中正确的是( ) A ．小于90°的角是锐角 B ．第二象限的角是钝角 C ．相等的角终边一定相同D ．终边相同的角一定相等【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷【答案】C26．与－30°终边相同的角是（） A ．－330°B ．150°C ．30°D ．330°【来源】海南省文昌中学2016-2017学年高一下学期期中段考数学（理)试题【答案】D27．终边在直线y x =上的角的集合是（） A ．{|,}4k k Z πααπ=+∈ B ．{|2,}4k k Z πααπ=+∈C ．3{|,}4k k Z πααπ=+∈D ．5{|2,}4k k Z πααπ=+∈【来源】山西省太原市2016-2017学年高一下学期阶段性测评（期中考试)数学试卷【答案】A28．若α是第四象限角，则－α一定在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【来源】高中数学人教A 版必修4 第一章三角函数 1.1.1 角的概念的推广【答案】A二、填空题29．3-的终边位于第______象限. 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】三30．给出下列说法：（1）弧度角与实数之间建立了一一对应；（2）终边相同的角必相等；（3）锐角必是第一象限角；（4）小于90︒的角是锐角；（5）第二象限的角必大于第一象限角，其中正确的是__________(把所有正确说法的序号都填上). 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】（1）（3）31．终边在直线y=﹣x 上角的集合可以表示为________．【来源】河北省承德一中2017-2018学年高一上学期第三次月考数学试卷【答案】{α|α=﹣4π+kπ，k ∈Z} 32．在148︒，475︒，960-︒，1601-︒，185-︒这五个角中，第二象限角有______个.【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】433．在0360︒︒:范围内与650︒角终边相同的角为________．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】290︒34．在集合{}120360,A k k αα==︒+⋅︒∈Z 中，属于360360-︒︒:之间的角的集合是________．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】{}120,240︒-︒ 35．已知角α=4π，则与α终边相同的角β的集合是___________________. 【来源】黑龙江省伊春市第二中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题【答案】2,4k k Z πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭36．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第______象限角．【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题（带解析) 【答案】要使原式有意义，必须cos θ·tan θ>0，即需cos θ、tan θ同号，∴θ是第一或第二象限角37．与-20020终边相同的最大负角是________【来源】2012届广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习必修4测试A【答案】0202-38．1200︒-是第象限角【来源】2011—2012学年江苏省苏苑高级中学高一12月月考数学试卷【答案】三39．用弧度制表示终边落在y 轴上的角的集合：_________________________ 【来源】20102011年云南省红河州蒙自县文澜高级中学高一下学期3月月考数学试卷【答案】|,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭40．若παπ-<<，且2α与54π-的终边互相垂直，则α=________. 【来源】第1.1节综合训练【答案】735,,,8888ππππ-- 41．若角θ的终边与角67π的终边相同，则在[)0,2π内与角3θ的终边相同的角是______．【来源】第五章易错疑难集训（一) 【答案】22034,,72121πππ三、解答题42．把下列各角用另一种度量制表示出来：11230︒'；36︒；5π12-；3.5. 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】5π8；π5；75-︒；200.55︒ 43．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. （1）求弦AB 所对的圆心角()π0αα<<的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】（1）π3（2）π503⎛ ⎝⎭44．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，在0360α︒≤<︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）750︒；（2）795-︒；（3）95020'︒.【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】（1）30︒，一（2）285︒，四（3）23020'︒，三45．在角的集合{}9060,k k αα=⋅︒+︒∈Z 中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个角满足不等式360360α-︒<<︒？【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.1任意角【答案】（1）4种（2）8个46．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A （1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．【来源】[同步]2014年苏教版必修四 1.1任意角、弧度制练习卷（带解析) 【答案】α=（）°，β=（）°．47．如果角α的终边经过点M ，试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.【来源】陕西省榆林府谷县麻镇中学2016-2017学年高一下学期期末质量检测试题数学试题【答案】最大的负角为0300-，绝对值最小的角为06048．已知角α的终边经过点P(3a-9，a+2)，且cosα≤0，sinα>0，则a 的取值范围是_____.【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题（带解析) 【答案】－2<a ≤3 49．已知角α的终边与3π角的终边相同，求3α在[]0,2π的]内值【来源】20102011年吉林省油田中学高一下学期起初考试数学试卷【答案】713;;999πππ50．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，在0360α︒≤<︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）750o ；（2）795-o ；（3）'95020o【来源】（人教A 版必修四)1.1.1任意角（第二课时)同步练习01 【答案】（1）30°，一（2）285︒，四（3）23020︒'，三。