同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试

同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷

一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）

1

、

下

列

微

分

方

程为一阶线性

方程的是：

【 D 】

:A '1yy =； :B 'e 1y

y +=； :C 2

'y y y +=； :D 2

'y y x =+。 2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且()

0a b c ⨯⋅=，则k = 【 B 】

:1A ； :2B ； :3C ； :4D 。

3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】

:1A ； :2B ； :3C ； :4D 。 4、

设

e cos x x

z x y y

=+

-，则

z

y

∂=∂ 【 A 】

:A 2e sin x x y y -

+； :B 21e sin x

x y y -+； :C 21e sin x y y

-+； :

D 2e sin x

x y y

-。 5

、

交

换

二

次

积

分

的

次

序

：

()22

20

d ,d y

y

y f x y x =⎰

⎰

【 A 】

()4

2

:

d ,d x A x f x y y ⎰

⎰； ()4

:d ,d x B x f x y y ⎰；

()2220

:d ,d x x

C x f x y y ⎰⎰； ()2

:d ,d x

D x f x y y ⎰。

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =()

12e cos sin x c x c x +.

7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。则向量

x =()3,2,6±。

8、空间直线240

329x y z x y z -+=⎧⎨

--=⎩在xoy 面上的投影直线方程为：

7990x y z -=⎧⎨

=⎩

。

9、设函数()2z f x y =-，其中函数

f 具有二阶导数，则

2z

x y

∂=∂∂()

2"2f x y --。

三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出具体解题过程） 10、

求

微

分

方

程

：

2d 1d y

x

y x

-= 的通解。

[

2d d 1y x

y x =+⎰⎰()tan ln y x c ⇒=+]

11、一平面过原点及点()6,3,2-，且与另一平面428x y z -+=垂直，求平面方程。

[()()()6,3,24,1,24,4,6n =-⨯-=--2230x y z ⇒+-=]

12、已知函数(),z z x y =由()()ln 1sin z z xy =++所确定，求d z 。 [()()

()1cos d d d z xy z y x x y z

+=

+]

13、求函数()()2

2

,4f x y x y x y =---的极值点。

[420420x y

f x f y =-=⎧⎨=--=⎩22x y =⎧⇒⎨

=-⎩,20,0,2;0A B C =-<==-∆<,(2,2)-为极大值点]

14、计算二重积分：sin d d D

y

I x x y x =⎰⎰，其中D 由直线,0y x y ==和1x =所围。 [10

d sin d x

y I x x y x =

⎰⎰

1200cos d x

y x x x ⎡⎤

=-⎢⎥⎣

⎦⎰()1201cos1d x x =-⎰()11cos13=-]

15、计算二重积分：d d D

I x x y =

⎰⎰

，其中(){}

()2

22,,00D x y x

y a y a =

+≤≥>。

[π20

2

d cos d a

I θρθρρ=⋅⎰

⎰π320

2cos d 3a θθ=⎰

323

a =] 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出具体解题过程） 16、求微分方程：()

()21d 2cos d 0x y xy x x -+-= 满足初始条件：01x y == 的特解。

[222cos '11x x y y x x +=--()2

1'cos x y x ⎡⎤⇒-=⎣⎦,2sin 1x c y x +=-,1c =-,2sin 11x y x -=-] 17、求函数：2z x y =+ 在椭圆 2

212

x y += 上的最值。

[2

2

2(1)2x L x y y λ=+++-,222012022x y x y λλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩

,41(,)33

,41(,)33--,max min 3;3z z ==-]

18、球面2

2

2

2

x y z a ++=含在柱面()2220x y b b a +=<<内部分的面积恰为全球面

积的

一半，求 b 。

[222

2

d x y b S x y +≤=⎰⎰

(4πa a =22πa

=b ⇒=

] 2009—2010学年第二学期《高等数学C 》(下) 重修

一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案） 1

、

微

分

方

程

'y y

=的通解为：

【 C 】

:A e x

y =； :B e x

y c =+； :C e x

y c =； :D e cx y =。

2、若向量

()()

1,2,3,2,,6a b k ==，

且

a b

⊥，则

k =

【 D 】

:0A ； :4B ； :6C -； :10D -。 3、

计

算

向

量

：

()()23a b a b -⨯+= 【 B 】

():5A a b ⨯； ():7B a b ⨯； (

)

:5C b a ⨯； ()

:7D b a ⨯。

4、设

e ln

xy x

z y

=+，则

z

x

∂=∂