同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳文创编
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr rd d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ； （C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20213cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳育创编
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）C 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在D 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．C 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．题 号（型）一二三四 核分人 得 分总分评卷人B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定A 5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1 .2．交 换ln 1(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ . 5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctany z y x=, 求z x ∂∂,z y ∂∂.解：222yx y x z +-=∂∂; (3分)y z ∂∂=x y arctan +22y x xy +2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分)3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+r r r方向的方向导数。
高等数学同济版下册期末考精彩试题及四套
实用文档文案大全高等数学（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=)0()(log22??ayx a的定义域为D=。
2、二重积分?????1||||22)ln(yx dxdyyx的符号为。
3、由曲线xyln?及直线1???eyx，1?y所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L的参数方程表示为),()()(???????????xtytx则弧长元素?ds。
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6、微分方程xyxydxdytan??的通解为。
7、方程04)4(??yy的通解为。
8、级数????1)1(1n nn的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(yxfz?在),(00yx处可微的充分条件是（）（A）),(yxf在),(00yx处连续；（B）),(yxf x?，),(yxf y?在),(00yx的某邻域内存在；（C）yyxfxyxfz yx???????),(),(0000当0)()(22????yx时，是无穷小；（D）0)()(),(),(lim22000000???????????????yxyyxfxyxfz yxyx。
2、设),()(xyxfyxyfu??其中f具有二阶连续导数，则2222yuyxux?????等于（）（A）yx?；（B）x； (C)y； (D)0 。
?????zdVI等于（）3、设?：,0,1222????zzyx则三重积分（A）4???2020103cossin??????drrdd；（B）???200102sin?????drrdd；实用文档?????????2020103cossindrrdd；（D）文案大全（C）?????????200103cossindrrdd。
4、球面22224azyx???与柱面axyx222??所围成的立体体积V=（）（A）???20cos202244???a drrad；（B）???20cos202244???a drrard；（C）???20cos202248???a drrard；（D）????22cos20224????a drrard。
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、$z=\log_a(x+y)$ $(a>0)$的定义域为$D=\{(x,y)|x+y>0\}$。
2、二重积分$\iint_{|x|+|y|\leq1}2\ln(x+y)dxdy$的符号为正。
3、由曲线$y=\ln x$及直线$x+y=e+1$，$y=1$所围图形的面积用二重积分表示为$\iint_D dxdy$，其值为$e-2$。
4、设曲线$L$的参数方程表示为$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$$(\alpha\leqx\leq\beta)$，则弧长元素$ds=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}dt$。
5、设曲面$\Sigma$为$x+y=9$介于$z=0$及$z=3$间的部分的外侧，则$(x+y+1)ds=\iint_{\Sigma}(x+y+1)dS=27$。
6、微分方程$\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$的通解为$y=\varphi(x,c)$，其中$c$为任意常数，$\varphi(x,c)$是微分方程的一族特解。
7、方程$y^{(4)}+y'''-4y=0$的通解为$y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x-\dfrac{1}{2}x\cos x$。
8、级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(n+1)}{2}$的和为$\dfrac{1}{6}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)$，再利用$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{4}\sum\limits _{n=1}^{\infty}n(n+1)(2n+1)$，最终得到$\dfrac{1}{12}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(2n+1)(n+1)=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4=\dfrac{1}{3}$。
(2021年整理)同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)
课程名称：《高等数学》试卷类别:A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示,不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷,流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质:期末统考(A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则( ）A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于( ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy y C y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处( ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点(1，1，2）处的一个切线方向向量为( ）. A. （—1，3，4） B.（3，—1，4） C 。
同济大学高数试卷大一下学期期末考试
同济大学2021-2021学年第二学期高等数学C(下)期终试卷一、选择题.〔此题共有5小题，每题3分，总分值15分，每题只有一个正确答案〕1、以下微分方程为一阶线性方程的是：【D】y A:yy'1；B:y'e1；C:2y'yy；D:2y'yx。
2、假设向量a2,1,0,b1,1,2,c0,1,2k，且abc0，那么k【B】A；B:2；C:3；D:4。
:13、假设向量a1,2,k在向量b2,1,2上的投影为2，那么k【C】A；B:2；C:3；D:4。
:1xx 4、设ecoszxyy，那么zy【A】A:xx2esinyy ；B:xx1esin2yy ；C:12yxesin y ；D:xx2esinyy 。
5、交换二次积分的次序：22yd,dyfxyx【A】20y4xA:dxfx,ydy；x2x4Bx2fxyy；:d,dBx2fxyy；0x22x Cxfxyy；:d,d20x22x Dxfxyy。
:d,d0x二、填空题〔此题共4小题，每题4分，总分值16分，只需将答案填入空格〕6、微分方程y"2y'2y0的通解为y x ecossincxcx.127、设向量a2,3,2,b2,3,0，假设xax,b，且x7。
那么向量x3,2,6。
8、空间直线2x4yz03x y2z9在xoy面上的投影直线方程为：7x9y9z0。
9、设函数zf2xy，其中函数f具有二阶导数，那么2zxy2f"2xy。
1三、解答题〔此题共有6小题，每题7分，总分值42分，需写出具体解题过程〕10、求微分方程：dyxydx2 1的通解。
[1d ydx2yxyxc]tanln11、一平面过原点及点6,3,2，且与另一平面4xy2z8垂直，求平面方程。
[n6,3,24,1,24,4,62x2y3z0]12、函数zzx,y由zlnz1sinxy所确定，求d z。
[z1cosxydzydxxdyz]13、求函数22fx,y4xyxy的极值点。
高等数学同济下册期末考试题及答案套
大学高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
同济大学高等数学期末考试试卷(含答案)
同济大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．点是函数的间断点.
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
3．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
4．设函数，，则函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．极限（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
6．设曲线如图示，则在内
( )．
A、没有极大值点
B、有一个极大值点
C、有两个极大值点
D、有三个极大值点
【答案】B
7．微分方程满足的特解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
8．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
9．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
10．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
11．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
12．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
13．．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．函数的图形如图示，则函数 ( )．
A、有四个极大值
B、有两个极大值
C、有一个极大值
D、没有极大值
【答案】C
15．是偶函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A。
上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学学科试卷（完成时间：120分钟 满分，150分）一､填空题（本题满分54分，共12小题，第1—6题每题4分，7—12题每题5分）1. 已知向量，满足，则______.2.，则__.3. 已知复数满足，则______________.4. 函数的单调递减区间是_________________.5. 已知，，则在上的投影向量为________．6. 已知，则______．7. 已知，是第三象限角，则_____.8. 若，则__________.9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有__________.①有2个极值点②处取得极小值③有极大值，没有极小值④在上单调递增在()1,2a =r ()3,b k = a b ⊥ k =tan 3α=sin cos sin cos αααα-=+z (1i)13i z +=+||z =3cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1,0a =()1,1b =a b()cos 2f x x =()f x '=3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=βπsin 4β⎛⎫-=⎪⎝⎭1(1)2f '=0(12)(1)lim k f k f k →--=()y f x =()f x '()f x ()f x 1x =()f x ()f x (),3∞-10. △ABC 中，D 为AB 中点，，则___．11. 已知，则满足的实数的取值范围是__________.12. 莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为______.二､选择题（本题满分18分，共4小题，13､14每题4分，15､16每题5分）13. 下列各组向量中，可以作为基底是（ ）A. B. C. D. 14. 都是复数，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. C. D. 则15. 已知非零向量，满足，且，则为（ ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形16. 已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）A. 当时，可作两条切线，则b 的值为B. 当，时，可作两条切线的的4,2AB AC ==2BE EC = CD AE ⋅=()43sin f x x x=-+()()290f a f +->a ABC A B ，P ()PA PA PB PC⋅++()()121,2,2,3e e ==()()123,2,6,4e e =-=-()()120,0,1,3e e ==-()()121,1,2,2e e ==12,z z 22120z z +=120z z ==2211=z z 1212z z z z ⋅=⋅11z <111z -<<AB AC AB BC AC CB AB AC⋅⋅= 12AB AC AB AC ⋅=ABC V ()ex xf x =(),a b ()f x 02a <<24ea-2a =0b >C. 当，时，有且仅有一条切线D. 当时，可作三条切线，则三､解答题（本大题满分78分，共5小题）17. 实系数一元二次方程有虚根，另一根为.（1）求实数的值；（2）求的值.18. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值.19. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）求函数的极值.20. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.（1）用，表示，；（2）如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离.21. 已知集合，为坐标原点，若，，0a =24e b =0a =240eb <<20x px q ++=1α=-+β,p q 22αβ+()2cos 222x x x f x =⋅+()f x ()f x []π,0-()21xx x f x e+-=()y f x =()()0,0f ()y f x =ABC V D E F A D A B 25A C E F C BC CB a = CA b =a b EF CD60ACB ∠=︒20AC =CD EF ⊥C D CDA B AB(){}**2,,,S a a x y x y ==∈∈N N O ()11,OA x y = ()22,OB x y =、，定义点、之间距离为.（1）若，，，求的值；（2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、；（3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明.的OA 2OB S ∈A B ()1212,d A B x x y y =-+-()3,2OA =()1,OB x = (),3≤d A B x ()21,1OI S =∈()(),,d I A d I B p ==p (),d A B OA OB()332,OC x y S =∈ 0λ>AB BC λ= ()()(),,,+=d A B d B C d A C上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学学科试卷 答案一､填空题（本题满分54分，共12小题，第1—6题每题4分，7—12题每题5分）【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】##【3题答案】【4题答案】【答案】【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】③④【10题答案】【答案】0【11题答案】【答案】【12题答案】32-120.5,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11(,)222sin 2x -1-()3,3-【答案】二､选择题（本题满分18分，共4小题，13､14每题4分，15､16每题5分）【13题答案】【答案】A 【14题答案】【答案】C 【15题答案】【答案】D 【16题答案】【答案】D三､解答题（本大题满分78分，共5小题）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）； （2.【19题答案】【答案】（1）；（2）极小值为，极大值为.【20题答案】【答案】（1）；（2）；【21题答案】【答案】（1）、、；（2）最大值为，可取，；（3）充分不必要条件，证明略.的18-2,4p q ==4-2π1210x y --=e -25e1132EF a b =- 2355CD a b =+CD = AB =123(),d A B 2p ()1,1OA p =+ ()1,1OB p =+。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
上海市同济大学第一附属中学2024届数学高一下期末联考试题含解析
上海市同济大学第一附属中学2024届数学高一下期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知向量1a =，2b =，a ，b 的夹角为45°，若c a b =+，则a c ⋅=（ ） A ．2B ．322C ．2D ．32．已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <3．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( ) A ．12倍 B ．2倍 C ．24倍 D ．22倍 4．已知三条相交于一点的线段,,PA PB PC 两两垂直且,,A B C 在同一平面内，P 在平面ABC 外、PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心5．如图，在ABC ∆中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b 表示AD ，正确的是A ．1144AD a b =+ B ．5144AD a b =+C ．3144AD a b =+ D ．5144AD a b =- 6．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于 （ ） A ．55B ．255C ．55-D ．255-7．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有（ ） A ．0AD = B ．0AB =或0AD = C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形8．某校进行了一次消防安全知识竞赛，参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图，若得分在[40,60)的有60人，则参赛学生的总人数为（ ）A ．100B ．120C ．150D ．2009．已知集{}1()22xA x =<，集合{}2B x x =<，则A B =A ．(-2,-1)B ．(-1,0)C ．(0,2)D ．(-1,2)10．已知函数257lg 66y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点是1tan x α=和2tan x β=（,αβ均为锐角），则αβ+=（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）1、下列微分方程为一阶线性方程的是：【 D 】:A '1yy =； :B 'e 1yy +=； :C 2'y y y +=； :D 2'y y x =+。
2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且()0a b c ⨯⋅=，则k = 【 B 】:1A ； :2B ； :3C ； :4D 。
3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】:1A ； :2B ； :3C ； :4D 。
4、设e cos x xz x y y=+-，则zy∂=∂ 【 A 】:A 2e sin x x y y -+； :B 21e sin xx y y -+； :C 21e sin x y y-+； :D 2e sin xx y y-。
5、交换二次积分的次序：()2220d ,d yyy f x y x =⎰⎰【 A 】()42:d ,d x A x f x y y ⎰⎰； ()4:d ,d x B x f x y y ⎰；()2220:d ,d x xC x f x y y ⎰⎰； ()2:d ,d xD x f x y y ⎰。
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =()12e cos sin x c x c x +.7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。
则向量x =()3,2,6±。
8、空间直线240329x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩在xoy 面上的投影直线方程为：7990x y z -=⎧⎨=⎩。
9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则2zx y∂=∂∂()2"2f x y --。
三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出具体解题过程） 10、求微分方程：2d 1d yxy x-= 的通解。
[2d d 1y xy x =+⎰⎰()tan ln y x c ⇒=+]11、一平面过原点及点()6,3,2-，且与另一平面428x y z -+=垂直，求平面方程。
[()()()6,3,24,1,24,4,6n =-⨯-=--2230x y z ⇒+-=]12、已知函数(),z z x y =由()()ln 1sin z z xy =++所确定，求d z 。
[()()()1cos d d d z xy z y x x y z+=+]13、求函数()()22,4f x y x y x y =---的极值点。
[420420x yf x f y =-=⎧⎨=--=⎩22x y =⎧⇒⎨=-⎩,20,0,2;0A B C =-<==-∆<,(2,2)-为极大值点]14、计算二重积分：sin d d DyI x x y x =⎰⎰，其中D 由直线,0y x y ==和1x =所围。
[10d sin d xy I x x y x =⎰⎰1200cos d xy x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰()1201cos1d x x =-⎰()11cos13=-]15、计算二重积分：d d DI x x y =⎰⎰，其中(){}()222,,00D x y xy a y a =+≤≥>。
[π202d cos d aI θρθρρ=⋅⎰⎰π3202cos d 3a θθ=⎰323a =] 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出具体解题过程） 16、求微分方程：()()21d 2cos d 0x y xy x x -+-= 满足初始条件：01x y == 的特解。
[222cos '11x x y y x x +=--()21'cos x y x ⎡⎤⇒-=⎣⎦,2sin 1x c y x +=-,1c =-,2sin 11x y x -=-] 17、求函数：2z x y =+ 在椭圆 2212x y += 上的最值。
[222(1)2x L x y y λ=+++-,222012022x y x y λλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,41(,)33,41(,)33--,max min 3;3z z ==-]18、球面2222x y z a ++=含在柱面()2220x y b b a +=<<内部分的面积恰为全球面积的一半，求 b 。
[2222d x y b S x y +≤=⎰⎰(4πa a =22πa=b ⇒=] 2009—2010学年第二学期《高等数学C 》(下) 重修一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案） 1、微分方程'y y=的通解为：【 C 】:A e xy =； :B e xy c =+； :C e xy c =； :D e cx y =。
2、若向量()()1,2,3,2,,6a b k ==，且a b⊥，则k =【 D 】:0A ； :4B ； :6C -； :10D -。
3、计算向量：()()23a b a b -⨯+= 【 B 】():5A a b ⨯； ():7B a b ⨯； ():5C b a ⨯； ():7D b a ⨯。
4、设e lnxy xz y=+，则zx∂=∂【 A 】:A 1e xyy x +； :B 1e xyy x -； :C 11e xy x y +-； :D e xy y y x+。
5、二重积分：()222213d d x y xy x y +≤+=⎰⎰【 A 】:πA ； :2πB ； :3πC ； :4πD 。
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"0y y -=的通解为y =12e e x xc c -+.7、到平面1z =和到原点的距离相等的点的轨迹方程为：2221x y z ++=。
8、曲面：()2222220a z x a y --= 在点()(),,0a a a a ≠处的切平面方程为：x y z a --+=。
9、设函数(),y x z f x y =，其中函数(),f u v 可微，则zy∂=∂112ln ''y x x y f xy f -⋅+。
三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出解题过程） 10、求微分方程： d 1d y yx x=+ 的通解。
解： '1y y x -= 1'y x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ ln y x c x =+ ()ln y x x c =+ 11、已知三点()()()2,3,1,2,1,1,6,3,1A B C --，求点A 到直线BC 的距离。
解： ()()0,2,2,4,2,0BA BC == BA BC d BC⨯==5=12、已知函数(),z z x y =由e 3zz xy -+=所确定，求,z z x y∂∂∂∂。
解： 令e 3z F z xy =-+-,,e 1z x y z F y F x F ===-,1e 1ez z z y z x x y ∂∂==∂-∂-13、求函数22222(,)()2()f x y x y x y =+--的极值点。
解： 22224()404()40x yf x x y x f y x y y ⎧=+-=⎪⎨=++=⎪⎩ 驻点为：()()()0,0,1,0,10-，22221244,8,4124xx xy yy f x y f xy f x y =+-==++,有极小值点:()1,0和()1,0-14、计算积分：2220d )d x x y y +⎰。
解： π2cos 220d d I θθρρρ=⋅⎰⎰π4204cos d θθ=⎰ 3π4=15、计算二重积分：22d x y xx y +≤⎰⎰。
解：0I x y =⎰10x =⎰1224(1)d t t t =-⎰815= 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出解题过程） 16、求微分方程："'1y y += 的通解。
解：200,1λλλ+=⇒=- *y Ax = 1A = 12e x y c c x -=++17、求抛物面22z x y =+到平面10x y z +++=的最近距离。
解： 令222(1)()L x y z x y z λ=+++++-()()()2221202120210x x x L x y z x L x y z y L x y z z x y λλλ⎧=++++=⎪=++++=⎪⎨=+++-=⎪⎪=+⎩11,22x y z ==-=min 111,,)222d --==18、求由曲面：22z x =-与222z x y =+ 所围的立体体积。
解： (){}22,1xy D x y xy =+≤222[2(2)]d d xyD V x x y x y =--+⎰⎰2π1200d (22)d θρρρ=-⎰⎰112π2()24=⨯⨯-π= *()'2,10'y xy y x yy -==+()22arctan ln 0y x y x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦* 2'xy xy y+=* ()()3'321,00e 12xy y x y y x ⎡⎤=++=⇒=--⎣⎦* 22'y y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭* 'cot 3y x y +=-* "4'5cos y y y x ++= * ()()231d d 0x y y x x x ++++= * e lny xx z y =，求z x∂∂。
* ,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求22uy ∂∂。
* 设()z x yf z =+，其中f 可微，且()1'0yf z -≠，求d z 。
* 求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在点()1,1,1处的切线。
*()0211d ,d yy f x y x --⎰⎰。