华东师大版一课一练 九年级数学
华东师范大学版 初中数学 九年级上册 一课一练 课堂精练 同步练习册_9
#
问题
学校图书馆去年年底有图书 + 万册预计到明年年 底增加到 ,"% 万册"求这两年的年平均增长率" !!" 分析 设这两年的年平均增长率为 $"
已知去年年底的图书数是 + 万册则今年年底的图 书数是 +# 万册 '$ "
同样明年年底的图书数又是今年年底图书数的 倍 即 万册 # '$ +# '$# '$ #+# '$% "
22"1 !一元二次方程
问题
绿苑小区在规划设计时准备在两幢楼房之间设置 一块面积为 )$$ 平方米的矩形绿地并且长比宽多 #$ 米那么绿地的长和宽各为多少 !!" 分析 我们已经知道可以运用方程解决实际 问题"
设$ #)$$
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可列得方程
整理可得
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第 章 "*( !一元二次方程
华东师范大学版 初中数学 九年级上册 一课一练 课堂精练 同步练习册_26
图 图 !!!!! !#"*"$
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图 !#"*"&
!!我们可以发现当两条直线与一组平行线相交时所
截得的线段存在一定的比例关系
5A A6
#BC?B"这就是如
下的基本事实
两条直线被一组平行线所截所得的对应线段成比
例"简称平行线分线段成比例
思考
如图 当图 %'"#"- %'"#"+ 中的点 5与点 C重合时 就形成一个三角形的特殊情形"此时5A A6 5B B? 这四条线段之间会有怎样的关系呢
练!习
!"判断下列线段 !* ,* -* @ 是否是成比例线段!
"## ! #% /.% ,#( /.% -#' .% @ #- .$
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#"已知线段 !* ,* -满足关系式 !
且 那么 # ,% ,#(%
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$"已知
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如图 在 中 过点 作 %'"#"- -56? AB. 6?
5 AB
的平行线那么根据平行线分线段成比例的基本事实可
以得到
5A A6
#B5B?
再根据比例的有关
性质就
有
5A 56
#
和 等结论 5B
5?
A6 56
#B5??
"
第 章 "%! !图形的相似
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华东师大版九年级数学一课一练
华东师大版九年级数学一课一练九年级数学一课一练一、函数1、图像：画出函数 $$y = (x + 4)^2 - 5$$ 在 [-6, 5] 上的图形。
2、求函数 $$y=2x^{2} - 7x + 5$$当 $$x=2$$ 是 $$y$$ 的值。
3、求 $$ y=\frac{1}{x}+5x^{2} $$ 的定义域。
二、极限1、求极限 $$ \lim_{x \to 4}\frac{2x - 4}{\sqrt{7x - 3} - \sqrt{11x + 19}} $$2、判断极限 $$ \lim_{x\to 0}1-\cos(x)$$ 是否存在？三、导数1、求函数 $$ y = x^{3} + 6x^{2} - 7x + 3 $$ 的导数 $ \frac{d}{dx}y $.2、已知函数 $$ f(x)=\ln x,\quad x>0 $$ 的导数为$$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{1}{x} $$,求$$x$$ 为何时时值，函数 $$ f(x) $$取极大值？四、微积分1、求不定积分 $$ \int\dfrac{x-2}{x^2+7x+6}\,dx $$2、对于定积分 $$ \int_{a}^{b}\dfrac{3x+6}{x^3-x-6}\,dx , $$ 求定积分的值。
五、空间解析几何1、以 $$ O(3, 0, -6) $$ 为顶点，且与直线 $$ 3x+2y-z-8=0 $$ 垂直的平面方程是什么？2、求出 $$ABCD$$ 所围的三棱锥的体积，若 $$AB=AC=2, AA'=3, BC=4, BD=AD=\sqrt{5},D'E=2, D'C=3. $$六、几何概念1、证明：若圆内一点到圆上两点的距离之和等于这两点间的距离，则该点为圆心。
2、设圆 $$C1$$ 已知 $$C1: x^2+y^2+8x+4y-9=0 $$，点 $$ P=(0,-3) $$ 在圆 $$ C1 $$ 上，求圆 $$ C1 $$ 的方程。
华东师大版九年级数学下册全册课时练习(一课一练)
华东师大版九年级数学下册全册课时练习26.1 二次函数1．下列函数，属于二次函数的是( )A．y＝2x＋1 B．y＝(x－1)2－x2 C．y＝2x2－7 D．y＝－1x22．函数y＝(m－5)x2＋x是二次函数的条件为( )A．m为常数，且m≠0 B．m为常数，且m≠5C．m为常数，且m＝0 D．m可以为任何数3．已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半径r(cm)之间的函数表达式为( )A．V＝14r2 B．r＝14πV C．V＝14πr2 D．r＝V14π4．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数表达式为( ) A．y＝1＋x2 B．y＝a (1＋x) C．y＝a (1＋x2) D．y＝a (1＋x)25．用一根长为10 m的木条，做一个长方形的窗框，若长为x m，则该窗户的面积y(m2)与x (m)之间的函数表达式为．6．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，经过调查发现，若每件商品的售价为x 元，可卖出(350－10x)件商品,则所获得的利润y(元)与售价x(元)之间的函数表达式为．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝45°.设BD＝x，AE＝y，则y关于x的函数表达式为．(不要求写出自变量x的取值范围)8．已知二次函数y＝x2－bx－2，当x＝2时，y＝－2，求当函数值y＝1时，x的值．9．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，相框内部的面积(指图中较小矩形的面积)为y cm2.(1)写出y与x的函数表达式；(2)若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度．10．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售价定为x元，每天所赚利润为y元．(1)请你写出y与x之间的函数表达式；(2)当利润等于360元时，求每件商品的售价．参考答案1-4 CBCD5. y＝－x2＋5x6. y＝－10x2＋560x－73507. y＝x2－2x＋1 8.3或－19.(1)y＝4x2－92x＋520(0＜x＜10) (2)3 cm10.(1)y＝－10x2＋280x－1600(10≤x≤20)(2)14元26.2.1 二次函数y=2ax的图象与性质一．选择题1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C． D．2．函数y=ax2+1与y=a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）xA． B.C． D.3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C． D.4．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图，则一次函数y=mx+n与反比例的图象可能是（）函数y=m nxA. B.C. D.二．填空题5．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而减小的是．(填序号)（1）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3）2yx=-，（4）y=﹣x2．6．如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则抛物线的对称轴是；若y＞2，则自变量x的取值范围是．7．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是．三．解答题8．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．（1）求出m的值并画出这条抛物线.（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标.（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？9．分别在同一直角坐标系内，描点画出y=x2+3与y=x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．参考答案一． 1．C 2．B 3．D 4.C二．5．（1）（4） 6．x=120＜x＜1 7．2三． 8．解：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3），得m=3．∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．列表得：图象如右图．（2）由﹣x2+2x+3=0，得x1=﹣1，x2=3．∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．（3）由图象可知：当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．9．解：抛物线y=x2+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（﹣3，6）.抛物线y=x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（﹣3，3），则它们的图象如图.26.2.2 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质1．如图，将抛物线y＝13x2向________平移________个单位得到抛物线y＝13x2＋2；将抛物线y＝13x2向________平移________个单位得到抛物线y＝13x2－2.2．将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的关系式为( )A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)2 3．不画出图象，回答下列问题：(1)函数y ＝4x 2＋2的图象可以看成是由函数y ＝4x 2的图象通过怎样的平移得到的？(2)说出函数y ＝4x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)如果要将函数y ＝4x 2的图象经过适当的平移，得到函数y ＝4x 2－5的图象，应怎样平移？4．抛物线y ＝－12x 2－6的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________；当x ________时，y 有最________值，其值为________；当x ________0时，y 随x 的增大而增大，当x ________0时，y 随x 的增大而减小．5．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的有________．(填序号) ①y ＝－x ＋1，②y ＝2x ，③y ＝－2x，④y ＝－x 2.6．已知点(－1，y 1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2都在函数y ＝12x 2－2的图象上，则y 1______y 2.(填“>”“<”或“＝”)7．二次函数y ＝2x 2＋1，y ＝－2x 2－1，y ＝12x 2－2的图象的共同特征是( )A ．对称轴都为y 轴B ．顶点坐标相同C ．开口方向相同D ．都有最高点8．二次函数y ＝－x 2＋1的图象大致是( )9．二次函数y ＝2x 2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点(2，3)C ．抛物线的对称轴是直线x ＝1D ．抛物线的顶点坐标是(0，－3)10．已知二次函数y ＝ax 2＋c 有最大值，其中a 和c 分别是方程x 2－2x －24＝0的两个根，试求该二次函数的关系式．11．在同一坐标系中，一次函数y ＝－mx ＋n 2与二次函数y ＝x 2＋m 的图象可能是( )12．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( ) A ．－1≤y ≤5 B ．－5≤y ≤5 C ．－3≤y ≤5 D ．－2≤y ≤113．已知函数y ＝⎩⎨⎧x 2＋1（x ≥－1），2x （x <－1），则下列函数图象正确的是( )14．已知二次函数y ＝ax 2＋k 的图象上有A (－3，y 1)，B (1，y 2)两点，且y 2<y 1，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a <0C ．a ≥0D ．a ≤015．小华同学想用“描点法”画二次函数y ＝ax 2＋c 的图象，取自变量x 的5个值，分别计算出对应的y 值，如下表：由于粗心，小华算错了其中的一个y 值，请你指出这个算错的y 值所对应的x ＝________．16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋4与y 轴交于点A ，过点A 且与x 轴平行的直线交抛物线y ＝14x 2于点B ，C ，则BC 的长为________．17．能否适当地上下平移函数y ＝12x 2的图象，使得到的新图象过点(4，－2)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．18．已知抛物线y＝12x2，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位？19．已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2－4的一个交点坐标为(3，5)．(1)求抛物线所对应的函数关系式；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)如果直线y＝kx＋b经过抛物线y＝ax2－4与x轴的交点，试求该直线所对应的函数关系式．参考答案1．上 2 下 22．A3．解：(1)函数y＝4x2＋2的图象可以看成是由函数y＝4x2的图象向上平移2个单位得到的．(2)函数y＝4x2＋2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)．(3)将函数y＝4x2的图象向下平移5个单位得到函数y＝4x2－5的图象．4．下(0，－6) y轴(或直线x＝0) ＝0 大－6 < >5．①④6．>7．A 8.B 9.D10．解：解方程x2－2x－24＝0，得x1＝－4，x2＝6.因为函数y＝ax2＋c有最大值，所以a＜0.而a和c分别是方程x2－2x－24＝0的两个根，所以a＝－4，c＝6，所以该二次函数的关系式是y＝－4x2＋6.11．D .12. C13．C14．A15．2 16．817．解：能．设将函数y＝12x2的图象向上平移c个单位后，所得新图象过点(4，－2)，所得新图象为抛物线y＝12x2＋c.将(4，－2)代入y＝12x2＋c，得－2＝12×16＋c，c＝－10，∴将函数y＝12x2的图象向下平移10个单位后，所得新图象过点(4，－2)．18．解：设将抛物线y＝12x2向下平移b(b＞0)个单位，得到的抛物线的关系式为y＝12x2－b.不妨设点A在点B的左侧，由题意可得A(－2b，0)，B(2b，0)，C(0，－b)．∵△ABC是直角三角形，∴OB＝OC＝OA，即2b＝b，解得b＝0(舍去)或b＝2，∴若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移2个单位.19．解：(1)将交点坐标(3，5)代入y＝ax2－4，得9a－4＝5，解得a＝1.故抛物线所对应的函数关系式为y ＝x 2－4.(2)在y ＝x 2－4中，令y ＝0可得x 2－4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2. 故抛物线与x 轴的交点坐标为(－2，0)和(2，0)． (3)需分两种情况进行讨论：①当直线y ＝kx ＋b 经过点(－2，0)时，由题意可知 ⎩⎨⎧－2k ＋b ＝0，3k ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝2，故该直线所对应的函数关系式为y ＝x ＋2；②当直线y ＝kx ＋b 经过点(2，0)时，由题意可知⎩⎨⎧2k ＋b ＝0，3k ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧k ＝5，b ＝－10，故该直线所对应的函数关系式为y ＝5x －10.综上所述，该直线所对应的函数关系式为y ＝x ＋2或y ＝5x －10.26.2.3二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质1．将抛物线y ＝x 2向________平移________个单位得到抛物线y ＝(x ＋5)2；将抛物线y ＝x 2向________平移________个单位得到抛物线y ＝(x －5)2.2．下列方法可以得到抛物线y ＝25(x －2)2的是( )A ．把抛物线y ＝25x 2向右平移2个单位B ．把抛物线y ＝25x 2向左平移2个单位C．把抛物线y＝25x2向上平移2个单位D．把抛物线y＝25x2向下平移2个单位3．顶点是(－2，0)，开口方向、形状与抛物线y＝12x2相同的抛物线是( )A．y＝12(x－2)2 B．y＝12(x＋2)2C．y＝－12(x－2)2 D．y＝－12(x＋2)24．抛物线y＝12(x＋3)2的开口向______；对称轴是直线________；当x＝______时，y有最______值，这个值为________；当x________时，y随x的增大而减小．5．对于任意实数h，抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2( )A．开口方向相同 B．对称轴相同C．顶点相同 D．都有最高点6．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法中正确的是( )A．其图象开口向上B．其图象的对称轴是直线x＝3C．其图象的顶点坐标是(0，3)D．当x>－3时，y随x的增大而减小7．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是( )8．已知函数y＝－(x－1)2的图象上的两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1______y2.(填“<”“>”或“＝”)9．在平面直角坐标系中画出函数y＝－12(x－3)2的图象．(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函数图象与二次函数y＝－12x2的图象的关系；(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小．10．如图是二次函数y＝a(x－h)2的图象，则直线y＝ax＋h不经过的象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．已知二次函数y＝－(x－h)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x ＞－3时，y随x的增大而减小．当x＝0时，y的值为( )A．－1 B．－9 C．1 D．912．将抛物线y＝ax2－1平移后与抛物线y＝a(x－1)2重合，抛物线y＝ax2－1上的点A(2，3)同时平移到点A′的位置，那么点A′的坐标为( )A ．(3，4)B ．(1，2)C ．(3，2)D ．(1，4)13．已知抛物线y ＝a (x －h )2的形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，且顶点坐标为(－2，0)，则a ＋h ＝________．14．二次函数y ＝a (x －h )2的图象如图所示，若点A (－2，y 1)，B (－4，y 2)是该图象上的两点，则y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)15．若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，y 3为二次函数y ＝(x －2)2图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____________．16．已知直线y ＝kx ＋b 经过抛物线y ＝－12x 2＋3的顶点A 和抛物线y ＝3(x－2)2的顶点B ，求该直线的函数关系式．17．已知二次函数y ＝(x －3)2.(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值． (2)若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)位于对称轴右侧的抛物线上，且x 1<x 2，试比较y 1与y 2的大小关系．(3)抛物线y ＝(x ＋7)2可以由抛物线y ＝(x －3)2平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．18．一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2的形状相同，对称轴与抛物线y＝1 2 (x＋2)2的对称轴相同，且顶点在x轴上，求这条抛物线所对应的函数关系式．19．已知抛物线y＝13x2如图所示．(1)抛物线向右平移m(m>0)个单位后，经过点A(0，3)，试求m的值；(2)画出(1)中平移后的图象；(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．参考答案1．左 5 右 5 2．A 3．B4．上x＝－3 －3 小0 <－35．A 6．D 7．D 8．>9．解：图略．(1)该函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，0)．(2)二次函数y＝－12(x－3)2的图象是由二次函数y＝－12x2的图象向右平移3个单位得到的．(3)当x >3时，y 随x 的增大而减小． 10．B 11．B 12．A 13．－4 14．＝ 15．y 1＞y 2＞y 316．解：抛物线y ＝－12x 2＋3的顶点A 的坐标为(0，3)，抛物线y ＝3(x －2)2的顶点B 的坐标为(2，0)．∵直线y ＝kx ＋b 经过点A ，B ， ∴⎩⎨⎧b ＝3，2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝3，∴该直线的函数关系式为y ＝－32x ＋3.17．解：(1)因为a ＝1>0，所以该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为(3，0)；当x ＝3时，y 最小值＝0，没有最大值．(2)因为当x >3时，y 随x 的增大而增大．又因为3<x 1<x 2，所以y 1<y 2. (3)可以．将抛物线y ＝(x －3)2向左平移10个单位可以得到抛物线y ＝(x ＋7)2.18．解：根据题意设这条抛物线所对应的函数关系式为y ＝a (x －k )2. ∵这条抛物线的形状与抛物线y ＝2x 2的形状相同，∴|a |＝2，即a ＝±2. 又∵这条抛物线的对称轴与抛物线y ＝12(x ＋2)2的对称轴相同，∴k ＝－2，∴这条抛物线所对应的函数关系式为y ＝2(x ＋2)2或y ＝－2(x ＋2)2.19．解：(1)平移后得到的抛物线对应的函数关系式为y ＝13(x －m )2，把(0，3)代入，得3＝13(0－m )2，解得m 1＝3，m 2＝－3.因为m >0，所以m ＝3.(2)如图所示．(3)如图，由题意可知平移后抛物线的函数关系式为y ＝13(x －3)2，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，34，点C 的坐标为(6，3)，点P 为直线BC 与抛物线y ＝13(x －3)2的对称轴(直线x ＝3)的交点．设直线BC 所对应的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧32k ＋b ＝34，6k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝0，即直线BC 所对应的函数关系式为y ＝12x ，当x ＝3时，y ＝32，因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，32.26.2.4二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质1．二次函数y ＝－3()x －42＋2的图象是由抛物线y ＝－3x 2先向________(填“左”或“右”)平移________个单位，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位得到的．2．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( )A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－53．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位4．在同一平面直角坐标系内，将抛物线y＝(x－2)2＋5先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为( )A．(4，4) B．(4，6)C．(0，6) D．(0，4)5．抛物线y＝3(x－2)2＋3的开口________，顶点坐标为________，对称轴是________；当x>2时，y随x的增大而________，当x<2时，y随x的增大而________；当x＝________时，y有最________值是________．6.如图所示为二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，则a________0，h________0，k________0.(填“＞”“＜”或“＝”)7．二次函数y＝(x－2)2－1的图象不经过的象限为( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．设二次函数y＝(x－3)2－4的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A．(1，0) B．(3，0)C．(－3，0) D．(0，－4)9．已知二次函数y＝－(x＋1)2＋2，则下列说法正确的是( )A．其图象开口向上B．其图象与y轴的交点坐标为(－1，2)C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．其图象的顶点坐标是(－1，2)10．二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象如图所示．(1)求b，k的值；(2)二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象经过怎样的平移可以得到二次函数y＝－x2的图象？11．已知二次函数y＝34(x－1)2－3.(1)画出该函数的图象，并写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x 的变化情况；(2)函数y有最大值还是最小值？并写出这个最大(小)值；(3)设函数图象与y轴的交点为P，求点P的坐标．12．若抛物线y ＝(x －1)2＋2不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线的关系式变为( )A ．y ＝(x －2)2＋3B ．y ＝(x －2)2＋5C ．y ＝x 2－1D ．y ＝x 2＋413．如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A (1，m )，B (4，n )平移后的对应点分别为点A ′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7C ．y ＝12(x －2)2－5D ．y ＝12(x －2)2＋414．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋c的大致图象可能是图26－2－21中的( )15．已知二次函数y ＝－(x －h )2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数y 的最大值为－1，则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或616．已知二次函数y ＝－(x ＋k )2＋h ，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是________．17．已知抛物线y ＝()x ＋m －12＋m ＋2的顶点在第二象限，试求m 的取值范围．18．如图，抛物线y ＝－(x －1)2＋4与y 轴交于点C ，顶点为D . (1)求顶点D 的坐标； (2)求△OCD 的面积．19．已知抛物线y ＝3()x ＋12－12如图所示． (1)求出该抛物线与y 轴的交点C 的坐标； (2)求出该抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； (3)如果抛物线的顶点为D ，试求四边形ABCD 的面积．参考答案1．右 4 上22．A 3．B 4．D5．向上(2，3) 直线x＝2 增大减小 2 小 36．< > >7．C 8．B 9．D10．解：(1)由图象可得二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(1，3)．因为二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(b，k)，所以b＝1，k ＝3.(2)把二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得到二次函数y＝－x2的图象(其他平移方法合理也可)．11．解：(1)画函数图象略．∵a＝34＞0，∴图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－3)．当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大．(2)∵a＝34＞0，∴函数y有最小值，最小值为－3.(3)令x＝0，则y＝34×(0－1)2－3＝－94，所以点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－94.12．C 13．D 14．A 15．B16．k≥2 [解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－k，因为a＝－1＜0，所以抛物线开口向下，所以当x＞－k时，y随x的增大而减小．又因为当x＞－2时，y随x的增大而减小，所以－k≤－2，所以k≥2.17．解：因为y ＝()x ＋m －12＋m ＋2＝[x －(－m ＋1)]2＋(m ＋2)，所以抛物线的顶点坐标为(－m ＋1，m ＋2)．因为抛物线的顶点在第二象限，所以⎩⎨⎧－m ＋1<0，m ＋2>0，即⎩⎨⎧m >1，m >－2，所以m >1. 18．解：(1)顶点D 的坐标为(1，4)． (2)把x ＝0代入y ＝－(x －1)2＋4，得y ＝3， 即OC ＝3，所以△OCD 的面积为12×3×1＝32.19．解：(1)当x ＝0时，y ＝－9，所以点C 的坐标为(0，－9)．(2)当y ＝0时，3()x ＋12－12＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，所以点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(1，0)．(3)由抛物线所对应的函数关系式可知点D 的坐标为(－1，－12)，设对称轴与x 轴交于点E ，则点E 的坐标为(－1，0)，所以S 四边形ABCD ＝S △ADE ＋S 梯形OCDE ＋S △BOC ＝12×2×12＋12×1×(9＋12)＋12×1×9＝27.26.2.5二次函数y =a 2x +bx +c 的图象与性质一．选择题1．已知二次函数y =ax 2﹣2x +2（a ＞0），那么它的图象一定不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D.第四象限2.抛物线y =2x 2，y =﹣2x 2，y =12x 2共有的性质是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是y 轴 C.都有最低点 D.y 的值随x 的增大而减小3．抛物线y =2x 2+1的顶点坐标是（ ） A.（2，1）B ．（0，1）C ．（1，0）D ．（1，2）4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D.与x轴有两个交点5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B.对称轴是直线x=12C．当x＜12，y随x的增大而减小 D.当﹣1＜x＜2时，y＞0二．填空题6．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是（填“上升”或“下降”）．7．二次函数y=x2﹣4x﹣5图象的对称轴是直线．8．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是．三．解答题9．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．10．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴.（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？11．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y =x 2﹣x ﹣1与x 轴的交点为（m ，0），求代数式m 2+21m的值．参考答案1.C2. B3. B4. C5. D6.上升7.x =28. a ＜﹣3 9． 解：列表，得10．解：（1）∵二次函数y =a （x ﹣h ）2O （0，0），A （2，0）．解得h =1，a =， ∴抛物线的对称轴为直线x =1.（2）点A ′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，过点A ′作A ′B ⊥x 轴于点B ， ∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′， ∴OA ′=OA =2，∠A ′OA =60°. 在Rt△A ′OB 中，∠OA ′B =30°， ∴OB =12OA ′=1，∴A ′B∴点A ′的坐标为（1），∴点A ′为抛物线y =x ﹣1）2的顶点．11.解：(1) y =x 2﹣x ﹣1=x 2﹣x +14﹣1﹣14=（x ﹣12）2﹣54， 所以顶点坐标是（12，﹣54），对称轴是直线x =12. （2）当y =0时，x 2﹣x ﹣1=0，解得x 或x当m时，m 2+21m =）2+2=；当mm 2+21m =22+=64-（），故m 2+21m=3．26.2.6 二次函数最值的应用1．二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最________值(填“大”或“小”)，把函数关系式配方得____________，其图象的顶点坐标为________，故其最值为________．2．某二次函数的图象如图所示，根据图象可知，当x＝________时，该函数有最______值，这个值是________．3．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，则二次函数y＝ax2＋bx＋c有( )A．最小值－3 B．最大值－3C．最小值2 D．最大值24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( )A．函数有最小值－5，最大值0 B．函数有最小值－3，最大值6 C．函数有最小值0，最大值6 D．函数有最小值2，最大值6 5．若二次函数y＝ax2＋bx＋1同时满足下列条件：①图象的对称轴是直线x ＝1；②最值是15.则a的值为( )A．14 B．－14 C．28 D．－286．一小球被抛出后，它距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )A．1米 B．5米 C．6米 D．7米7．某公园一喷水管喷水时水流的路线呈抛物线形(如图26－2－32)．若喷水时水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋1.25，则在喷水过程中水流的最大高度为( )图26－2－32A．1.25 m B．2.25 mC．2.5 m D．3 m8．如图26－2－33，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )A．60 m2 B．63 m2C．64 m2 D．66 m29．飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数关系式是s＝60t－32t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线的长x(cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x的值是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？11．用长8 m的铝合金条制成矩形窗框(如图所示)，使窗户的透光面积最大(铝合金条的宽度忽略不计)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2 B.43m2 C.83m2 D．4 m212．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当三角尺MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设三角尺的另一直角边PN与边CD相交于点Q，则CQ的最大值为( )A．4 B.94C.92D.17413．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y＝12x上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为(a，b)，则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x( )A．有最大值，最大值为－92B．有最大值，最大值为92C．有最小值，最小值为92D．有最小值，最小值为－9214．如图26－2－36，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________s 时，四边形EFGH的面积最小，其最小面积是________cm2.15．如图，矩形ABCD 的周长为20，求： (1)矩形ABCD 的面积的最大值； (2)矩形ABCD 的对角线的最小值．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝12x 2＋x －4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)若M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．17．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，则平均每件产品的利润y 1(元)与国内的销售数量x (千件)之间的关系为y 1＝⎩⎨⎧15x ＋90（0＜x ≤2），－5x ＋130（2＜x ＜6）.若在国外市场销售，则平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t (千件)之间的关系为y 2＝⎩⎨⎧100（0＜t ≤2），－5t ＋110（2＜t ＜6）.(1)用含x 的代数式表示t 为t ＝________；当0＜x ≤4时，y 2与x 的函数关系式为y 2＝________；当4≤x ＜________时，y 2＝100；(2)求该公司每年销售这种健身产品的总利润w (千元)与国内的销售数量x (千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围；(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大利润为多少？参考答案1．小 y ＝(x －1)2＋5 (1，5) 5 2．2 小 －13．B 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．2010．解：(1)S ＝12x (60－x )＝－12x 2＋30x .(2)在S ＝－12x 2＋30x 中，a ＝－12<0，∴S 有最大值．当x ＝－b2a＝－302×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝30时， S 取得最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0－3024×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝450. ∴当x 的值为30时，菱形风筝的面积S 最大，最大面积是450 cm 2. 11．C .12．B 13．B14．3 18 [解析] 设运动时间为t s(0≤t ≤6)，则AE ＝t cm ，AH ＝(6－t )cm.根据题意，得S 四边形EFGH ＝S 正方形ABCD －4S △AEH ＝6×6－4×12t (6－t )＝2t 2－12t＋36＝2(t －3)2＋18，∴当t ＝3时，四边形EFGH 的面积取最小值，最小值为18.故答案为：3，18.15．解：(1)∵设矩形的一边长为x ，则其邻边长为10－x ， ∴矩形ABCD 的面积S ＝x (10－x )＝－x 2＋10x ＝－(x －5)2＋25， ∴当x ＝5时，S 最大＝25.即矩形ABCD 的面积的最大值为25.(2)设矩形的一边长为x ，则其邻边长为10－x ，对角线长为y ， ∴y 2＝x 2＋(10－x )2＝2x 2－20x ＋100＝2(x －5)2＋50， ∴当x ＝5时，y 最小2＝50，∴矩形ABCD 的对角线的最小值为5 2.16．解：(1)当x ＝0时，y ＝－4，∴点C 的坐标为(0，－4)．当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解得x 1＝－4，x 2＝2，∴点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(2，0)．(2)过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设点M 的坐标为(m ，n )，则AD ＝m ＋4，MD ＝－n ，n ＝12m 2＋m －4，∴S ＝S △AMD ＋S 梯形DMCO －S △ACO＝12(m ＋4)(－n )＋12(－n ＋4)(－m )－12×4×4＝－2n －2m －8 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＋m －4－2m －8＝－m 2－4m (－4<m <0)． ∵S ＝－m 2－4m ＝－(m ＋2)2＋4， ∴当m ＝－2时，S 最大值＝4. 17．解：(1)6－x 5x ＋80 6(2)当0＜x ≤2时，w ＝(15x ＋90)x ＋(5x ＋80)(6－x )＝10x 2＋40x ＋480； 当2＜x ≤4时，w ＝(－5x ＋130)x ＋(5x ＋80)(6－x )＝－10x 2＋80x ＋480； 当4＜x ＜6时，w ＝(－5x ＋130)x ＋100(6－x )＝－5x 2＋30x ＋600.所以w ＝⎩⎨⎧10x 2＋40x ＋480（0＜x ≤2），－10x 2＋80x ＋480（2＜x ≤4），－5x 2＋30x ＋600（4＜x ＜6）.(3)当0＜x ≤2时，w ＝10x 2＋40x ＋480＝10(x ＋2)2＋440，此时，当x ＝2时，w 最大值＝600；当2＜x ≤4时，w ＝－10x 2＋80x ＋480＝－10(x －4)2＋640，此时当x ＝4时，w 最大值＝640；当4＜x ＜6时，w ＝－5x 2＋30x ＋600＝－5(x －3)2＋645，此时当4＜x ＜6时，w ＜640.所以当x ＝4时，w 最大值＝640.所以该公司每年国内销售4千件、国外销售2千件时，可使公司每年的总利润最大，最大利润为64万元(或640千元)．26.2.7 求二次函数的表达式一．选择题1．如果二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，那么（ ）A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜02．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图，则a的取值范围为（）A.a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D.a＜03．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1过原点，则m的值为（）A.±1B．0 C．1 D.﹣14．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（）A．y=（x+1）2+1 B．y=（x+1）2﹣1 C．y=（x﹣1）2+1 D． y=（x﹣1）2﹣1 二．填空题5．已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是．6．若点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a b．（填“＞”“＜”或“=”）．7．如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线的顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为．三．解答题8．在平面直角坐标系内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．9．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．10．已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．参考答案1.C2.B3.D4. D5. （3，﹣3）6. ＜7. y=3（x﹣2）2+2．8.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点，∴0, 422,5, ca ba b=⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩解得2,3,0, abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴抛物线的表达式为y=﹣2x2﹣3x．（2）∵y=﹣2x2﹣3x=﹣2（x+34）2+98，∴抛物线的顶点坐标为（﹣34，98）．9.解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），∴OC=AB=5，∴点C的坐标为（0，5）.（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+5，把点A（﹣1，0）、B（4，0）的坐标分别代入原函数解析式，得a=﹣54，b=154.∴二次函数的解析式为y=﹣54x2+154x+5．10.解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5，∴抛物线的表达式为y=x2﹣5x+6.（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6,∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），∴S△ABC=12×（3﹣2）×6=3．26.3 实践与探索一．选择题1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a ﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③2已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（）A．直线x=﹣1 B．直线x=1 C．直线x=﹣D．直线x=4．抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（）A．向左平移1单位，向上平移1个单位B．向右平移1单位，向上平移1个单位C．向左平移1单位，向下平移1个单位D．向右平移1单位，向下平移1个单位6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△O AB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞18．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限二．填空题9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为_________ ．10如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是_________ ．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________ 米．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b中，其值为正的式子的个数为_________ 个．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 …y … 5 2 1 2 …点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是_________ ．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________ 件（用含x的代数式表示）．。
华东师范大学版 初中数学 九年级上册 一课一练 课堂精练 同步练习册_27
" 如图 !! 例 $
%'"#") D# . D% . D' 56#( AB #'
求 的长 BC #-" 6? "
" !! 解 K D# . D% . D'
L
56 6?
#ABCB
平行线分线段成比例
"
K 56 #( AB #' BC #-
L 6(?1-'
L 6? #*"
思考
如图 当图 %'"#", %'"#"+ 中的直线 . 4 相交于第 二条平行线上某点时是否也有类似的成比例线段呢
由此即有如下结论 平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延 长线所得的对应线段成比例"
图 !#"*"'
在图 %'"#"* 中 AB. 5C. 6? 根据上面的结论试 找出图中成比例的线段与你的同伴比一比看谁找得快 找得多"
K 56. ?B
L
B= 6=
#?5==
平行线分线段成比例
"
L
6= C=
#6B=="
线段的等分
将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情"例如将一根绳子 平均分成五段从数学上看就是将一条线段五等分"
你知道下面这个简单的方法吗 如图 #将这根绳子放在你的练 习本上使它恰好跨过六条横线"现在你看到这根绳子被分成了相 等的五小段"
如果你没有练习本那也没有关系"让我们按照上面的想法用 三角尺完成等分线段这件事情"
华东师范大学版 初中数学 九年级上册 一课一练 课堂精练 同步练习册_56
$% "$
'):2
*%"$"
!!本题是已 知一边#一锐角" 求其他两边!
L $% '"$-):2 *%"$
米 '" 555 =):2 $5B, " #G4% &!
K "$ ','1$5B" "%
第 章 #""$ !解直角三角形
!!# 例 #
如图 在相距 "4!4!""
" 555
米的东#西两座
炮台 "#$处同时发现入侵敌舰 %"在炮台 "处测得敌舰
%在它的南偏东 45B的方向"在炮台 $处测得敌舰 %在
它的正南方!试求敌舰与两炮台的距离!%精确到 % 米&
在 中 # !! 解
J)$"$% "
图 $(&(&$
K *%"$ '>5B.*)"% '$5B"
!!本题是已知 两 直 角 边" 求 斜 边!!
图 $(&(&"
!!# 解 利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的 长度为
槡$" 1%"" '%#"
米 %# 1$ '%G% &! 答'大树在折断之前高 %G 米!
在例 % 中"我们还可以利用直角三角形的边角关系 求出另外两个锐角!像这样"在直角三角形中"由已知元 素求出未知元素的过程"叫做解直角三角形!
# ):2 '5!%G> 5!
华东师范大学版 初中数学 九年级上册 一课一练 课堂精练 同步练习册_40
长的
# '
"
图 !#,$,% !!数学上的 ) 重 心* 与物理上的 )重心*是一致的"
练!习
如图 在 中 分别为边 的中点 相交于点 !" % -56? %A*B*C
6?*5?*56ຫໍສະໝຸດ %5A*6B*?C=%
试求出线段 的长及 的大小 结果保 56#-%6?##$%5?#*"
AB*=5*=C
0BAC
""
探索
用刻度尺和量角器量一量看看上面的两个多边形 是否相似
第 章 "(+ !图形的相似
拓展
如果在图 %'"("( 中取 5?的中点 C!假设 与 6C 5A
相交于
点
如 F>!
图
%'"("+!
那
么
我
们
同
理
可
得
F>A 5A
#
所以 即两图中的点 与点 F>C
6C
#
# '
!
FA 5A
#F5>AA
#
# '
!
F F>
是重合的"
于是!我们有以下结论$
三角形三条边上的中线交于一点!这个点就是三角
形的 重 心! 重 心 与 一 边 中 点 的 连 线 的 长 是 对 应 中 线
留根号#
"第 # 题#
#"求证! 顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形"
习题 !! "
!"三角形的周长为 +- /.!则它的三条中位线组成的三角形的周长是!!!! /."
华东师大版一课一练九年级数学答案
华东师大版一课一练九年级数学答案华东师大版一课一练九年级数学答案一、填空题1. 30°2. 67.5°3. 244. √6/25. A(6,8)6. K(9,-12)7. 58. 4/3二、选择题1. C2. B3. A4. A5. C6. B7. A8. C9. A10. B三、计算题1. 1/22. 13π/63. 31254. 2415. 21/256. 1207. 10π8. 126四、解答题1. cosθ = AB/AC = 3/5，sinθ = BC/AC = 4/5，tanθ = AB/BC = 4/32. 正方形面积为32，边长为4√2，三角形面积为1/2×4√2×4 = 8√2，所以差为24。
3. a = 5，b = 9，c = 12，所以p = 13.5，s = 27，h = √58，V = 162。
4. 该图形为由两个圆环组成，外圆半径为8，内圆半径为3，所以总面积为π(8²-3²)=π(55)，画出切线后可以得知其长为6，所以所求面积为1/2×6×(8+3)×2π=55π。
5. 由中心角的性质可以得出：2π/15×BC = 2π/9×BA，化简得到：5BC = 3BA，所以BC/BA = 3/5。
6. 运用等周性质可得：AC = AJ + JP + PD + DC = 2AD + PD + DC，又因为PC = 2AD，所以AC = PC + PD + DC。
所以PC + PD + DC =2/3×2π×8 = 16π/3。
7. 对于任意一条割线，根据其相交弦的位置关系，可以得到一个截距定理：该截距等于割线与圆心连线的夹角的正切值。
设该割线截距为k，可以列出等式：√2k = 2，解得k = 2/√2，所以割线长度为2k = 2√2。
8. 按照题意列出方程组：(x-1)²+(y-1)² = 4，(x+2)²+y² = 4，联立并化简得到：x²-2x-y²+2y = -1。
华东师范大学版 初中数学 九年级上册 一课一练 课堂精练 同步练习册_11
$# /%"
这里得到了方程的两个根通常也表示成
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这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法" 对于题%有这样的解法 将方程左边用平方差公式分解因式得
$%# $'# #$
必有 或 $%# #$ $'# #$"
分别解这两个一元一次方程得
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方程左边分解因式得
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直接开平方得
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即
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# '$% '%$#$ !!!!!!% $% #'$"
!!" 解 # 方程左边分解因式得
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所以
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# $% %% #$ !!!!!!% #-$% %%+ #$"
第 章 !一元二次方程"!*
移项 得 " !! 解 #
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直接开平方得
槡 $#/ % "
即
槡 槡 $# # % $% #% % "
% 移项得
#-$% #%+"
方程两边都除以 得 #-
!!还有其他解 法吗 !
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法"
华东师范大学版 初中数学 九年级上册 一课一练 课堂精练 同步练习册_1
槡! ! !$ 表示非负数 ! 的算术平方根也就是说 槡! ! ! $ 是一个非负数它的平方等于 ! 即有
槡 # ! ! $ ! ! $ 槡 % ! % #! ! ! $" 形如 槡! ! ! $的式子叫做二次根式"
注意
开方在数槡必!须中是!非的负取数值"必须满足 ! ! $即二次根式的被
21"1 !二次根式
槡 !! !表示什么
! 应满足什么条 件 !
在第 ## 章我们学习了平方根和算术平方根的意义 引进了一个记号槡!"
回顾
的正当的平! 方是根正"数时槡! 表示 ! 的算术平方根即正数 ! 零的算当术! 是平零方时根"槡! 等于 $它表示零的平方根也叫做
当 ! 是负数时槡! 没有意义"
!!" 例 $是怎样的实数时二次根式槡$%# 有意义
!非!负" 数分"析 要使二ห้องสมุดไป่ตู้根式有意义被开方数必须是
被开方数 即 !!" 解
$%# ! $ $! #"
所以当 $! # 时二次根式 槡$%# 有意义"
第 章 "! !二次根式
华东师范大学版 初中数学 九年级下册 一课一练 课堂精练 同步练习册_30
如图 "*!'!( 所示的各扇形面积分别是圆面积的几 分之几
第 章 "#+ !圆
图 !(!%!&
探索
& 圆心角是 &+#I占整个周角的&'+%##因此圆心角是 &+#I的扇形面积是圆面积的!!!!
" 圆心角是 ,#I占整个周角的!ห้องสมุดไป่ตู้!!因此圆 心角是 ,#I的扇形面积是圆面积的!!!!
( 圆心角是 &I占整个周角的!!!!因此它 所对的弧长是圆周长的!!!!
) 圆心角是 AI占整个周角的!!!!因此它 所对的弧长是圆周长的!!!!!
如果弧长为 >圆心角的度数为 A圆的半径为 那1 么弧长为
>) A '%#
"1)&A+#1!
因此弧长的计算公式为
>)&A+#1!
第 章 !圆"'*
图 !(!%!%
我们知道扇形是由组成圆心角的两条半径和圆心 角所对的弧围成的图形!
如图 "*!'!'将组成扇形的一条半径绕着圆心旋 转可以发现扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角 的大小有关!圆心角越大扇形的面积也越大!怎样计算 圆心角为 AI的扇形面积呢
我们知道如果设圆的面积为 /半径为 1那么圆面 积的计算公式为 / )1" 半径为 1的扇形的面积与相同 半径的圆的面积有没有关系呢
' 圆心角是 ()I占整个周角的!!!!因此圆 心角是 ()I的扇形面积是圆面积的!!!!
( 圆心角是 占 &I 整个周角的!!!!因此圆 心角是 &I的扇形面积是圆面积的!!!!
华东师范大学版 初中数学 九年级上册 一课一练 课堂精练 同步练习册_41
利用位似的方法可以把一个多边形放大或缩小!
要画四边形 "$%)的位似图形还可以如图 "#!$!"
那样操作任取一点 作 & 直线 &"&$&% 在 &) 点 &
的另 一 侧 取 点 使 "# $# %# )# &"#3&" ' &$#3
这样就可以得到放大 &$'&%#3&%'&)#3&) '"
点的三角形叫做格点三角形
第 " 题
数学与艺术的美妙结合——分形
!!雪花是什么形状呢 科学家通过研究发现 将正三角形的每边三等分再以其 居中的那一条线段为底边向外作等边三角形这样得到一个六角形!然后将六角形 的每边三等分重复上述的作法!如图% 所示如此继续下去就得到了雪花曲线!
图% 第 章 #!$ !图形的相似
到 " 倍的四边形 "#$#%#)#!
!!试试看写 出演绎推理的 整个过程!
图 $%&'&$
实际上如图 "#!$!# 所示如果把位似中心取在多 边形内那么也可以把一个多边形放大或缩小而且比较 简便!
!!想想看还可 以把位似中心取 在哪里
图 $%&'&%
பைடு நூலகம்任意画一个五边形再把它放大到原来的 # 倍!
你能否用演绎推理说明其中的理由
如图 "#!$!%两个图形的对应点 "与 "# $与 $# %
与 的连线都交于一点 并且 %#
&
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华东师范大学版 初中数学 九年级下册 一课一练 课堂精练 同步练习册_1
第 章 "! !二次函数
的长 "# $ & " ' ( ) % * + ,
的长 #$ $
&+
从 !! 所填的表格中你能发现什么 能作出怎样的 猜想
! 分析 我们看到对于一边 "#的长的每一个确定 值 # &"#&&# 矩形的面积有唯一确定的值与它对 应!也就是说面积是一边 "#的长的函数!问题就归结 为当 "#的长取何值时矩形面积的值最大 为此我 们先求出这个函数关系式!
26.1 !二次函数
问题
用总长为 "# $的围栏材料一面靠墙围成一个矩 形花圃!怎样围才能使花圃的面积最大
图 !#!$!$
我们先列举一些不同的围法观察矩形花圃的面积 是怎样变化的!如图 "%!&!& 设围成的矩 形 花 圃 为 "#$%靠墙的一边为 垂 "% 直于墙面的两边分别为 "# 和 %$!给出矩形一边 "#的长的一些值 # &"#&&# 可以求出 #$的长从而可得矩形的面积!试将计算结果 填入下表的空白处
华东师范大学版 初中数学 九年级下册 一课一练 课堂精练 同步练习册_28
"# #$ $"
分别相切于点 % 9 8 -%59)&"#I -958)
求 &)#I! /"#$的三个内角的大小!
#"/"#$的内切圆 +5与 "# #$ $"分别相切
于点 且 % 9 8 "# )) 7$#$ ), 7$$")
已知线段 #"
"#-% Байду номын сангаас$!
& 画半径为 ( 7$的圆使它经过 " #两点这样的圆能画几个
" 画半径为 ' 7$的圆使它经过 " #两点这样的圆能画几个
' 画半径为 " 7$的圆使它经过 " #两点这样的圆能画几个
$"分别画一个锐角三角形直角三角形和钝角三角形再画出它们的外接圆观察
并叙述各个外心与它们所对应的三角形的位置关系!
%"如图所示的图形主要是用圆规画出的请你试着用圆规画出它们!
第 ( 题
)"已知圆的直径为 "# 7$根据下列圆心到直线 >的距离分别判断直线 >与圆有 几个公共点并说明理由
& + 7$!!!!!!" &# 7$!!!!!!' &" 7$!
求 和 的长 % 7$! "% #9 $8 !
$"任意画一个三角形然后作出它的内切圆!
练!习
第 & 题
习题 !! !
!"已知+5的半径为 &# 7$根据下列点 <到圆心的距离判断点 <与圆的位置 关系并说明理由
华东师大版一课一练九年级数学
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华东师大九年级数学一刻一练增强版
华东师大九年级数学一刻一练增强版
《华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版五四制增强版》是华东师范大学出版社出版的教材，主要用于初中九年级数学教学。
该书包含了初中数学的主要知识点，并且通过丰富的练习题帮助学生巩固所学知识。
该书每一课都分为“知识巩固”、“能力提升”、“拓展探究”三个部分，由浅入深地引导学生学习。
同时，每一课的练习题都配有详细的答案，方便学生自我检测和纠正。
此外，该书还特别注重与实际生活的联系，通过生活中的实例引导学生理解数学知识，培养学生的数学应用能力。
总之，《华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版五四制增强版》是一本非常实用的教材，无论是教师还是学生都可以从中受益。
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