某高校《高等几何》期末考试试卷含答案)
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某高校《高等几何》期末考试试卷
(120分钟)
一、填空题(2分⨯12=24分)
1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ;
2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)
3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2
4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x
5、方程0652
2
2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=
x x x ,则原点的对应点 -3
1
7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212
322
21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x
8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ):21→,32→,43→; b ):10→,32→,
01→ 其中为对合的是: b
10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应
12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1
二、求二阶曲线的方程,它是由下列两个射影线束所决定的:
130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233
,'x x
x x λλ=
=。 将它们代入射影对应式并化简得,
2
122313320x x x x x x x +-+=
此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分)
证明:三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线(C ),设
AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '
' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,
),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B
即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B
这两个点列对应点的连线AC ,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB ,B A '
'属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,
13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分)
解:因为
1
7213
112---=0且1
5
01
7213---=0
所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),
非
齐
次
坐
标
为
A(-21,0),B(32,0),C(0,0),D(5
1
,0),
所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB ,CD )=
)
2
151)(320()
32
51)(210(+--+=21
五、求两对对应元素,其参数为12
1
→
,0→2,所确定的对合方程。(10分)
解 设所求为
a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ① 将对应参数代入得:
21a+(1+2
1
)b+d=0 ②
(0+2)b+d=0 ③ 从①②③中消去a,b,d 得
1
2
0123211
λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求
六、求直线32163x x x +-=0关于212
2212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。(12分)
解:设0p (0
30201,,x x x )为所求,则
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----031311111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡03020
1x x x =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡-613 解线性方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=--=-+-=+-6133020103020
10
30201x x x x x x x x
得即,1,1,30
30201-=-==x x x (3,-1,-1)为所求极点的坐标
七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。(12分)
定理:内接于二阶曲线的简单六点形,三对对应边的交点在同一直线上。 证明:设简单六点形654321A A A A A A ,其三对对边的交点分别为L ,M ,N , L= 21A A 54A A ,M=32A A 65A A ,N=43A A 16A A 以1A ,3A 为中心,分别连接其他四点,则由定理得到()65421A A A A A ∧()65423A A A A A
设P A A A A =5421 , Q A A A A =4365
则()65421A A A A A ∧()P A A L 54,,,()65423A A A A A ∧()65,,A A Q M
所以,()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M 由于两个点列底的交点5A →5A ,故有