九年级数学培优教程整理汇编(全)

D． y
【解法指导】先要判断出 y＜0，再根据 xy＞0 知 x＜0. 故原式 x
y x2
y .选 D.
【变式题组】
14．已知 a、b、c 为△ABC 三边的长，则化简 a b c (a b c)2 的结果是_______.
15．观察下列分母有理化的计算： 1 2 1 ， 1 3 2 ， 1 4 3 ，
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第 1 讲 二次根式的性质和运算
考点·方法·破译
1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.
经典·考题·赏板
【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（
【变式题组】 9. （聊城）下列计算正确的是（ ）
A． 2 3 4 2 6 5
B． 8 4 2
C． 27 3 3
D． (3)2 3
10．计算： ( 15 4)2007 (4 15)2007 _____________
11． (2 3 3 2)2 (2 3 3 2)2 _____________
a b b a(a b)
2
2
⑵已知 x 3 2 ， y 3 2 ，那么代数式 xy (x y)2 值为________.
3 2
3 2
xy (x y)2
【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求 xy、x＋y 的值，再代 入求值.
【解】⑴原式＝ ab a(a b) b2 (a b)2 a b ，当 a 5 1 ，b 5 1 时，ab＝1，a＋b
ab(a b)
ab(a b) ab
2
2
＝ 5 ,原式＝ 5 .
⑵由题意得：xy＝1，x＋y＝10, 原式＝ 1 100 101 . 1 100 99
【变式题组】
3
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17．（威海）先化简，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中 a 2 3 , b 3 2 .
18．（黄石）已知 a 是 4
2 1
3 2
4 3
算果中找出规律，并利用这一规律计算：
( 1 1
1
) ( 2006 1) _________.
2 1 3 2
2006 2005
16．已知，则 0＜x＜1，则 (x 1 )2 4 (x 1 )2 4 _________.
x
x
【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值： 1 1 b ，其中 a 5 1 ， b 5 1 .
A． 3 和 18
B． 3 和 1 3
C． a2b 和 ab2 D． a 1 和 a 1
8．已知最简二次根式 ba 3b 和 2b a 2 是同类二次根式，则 a＝_______，b＝______.
【例４】下列计算正确的是（ ）
A． 5 3 2
B． 8 2 4
C． 27 3 3
D． (1 2)(1 2) 1
3
的小数部分，那么代数式
(
a2 a 2 a2 4a 4
a2
a
2a
)
(a
4 a
)
的值为________.
【例７】已知实数 x、y 满足 (x x2 2008)( y y2 2008) 2008 ，则 3x2－2y2＋3x－3y－2007
是否一样. A． 18 3 2 ； B． 30 不能化简；C. 48 4 3 ；D． 54 3 6 ，而 24 2 6 .故
本题应选 D. 【变式题组】
6．如果最简二次根式 3a 8 与 17 2a 是同类二次根式，则 a＝________．
7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
）
A. a2 1
1
B.
2
C. 8
D. 27
【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中
不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C、D 含开方数 4、9，故选 A.
【变式题组】
1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（
）
A. 10
B. 8
C. 6
D. 2
12．(济宁)已知 a 为实数，那么 a2 ＝（
A．a
B．－a
C．－1
） D．0
2
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13．已知 a＞b＞0，a＋b＝6 ab ，则 a b 的值为（ ） a b
A． 2 2
B．2
C． 2
D． 1 2
【例５】已知 xy＞0，化简二次根式 x
y 的正确结果为（ x2
）
A． y
B． y
C． y
【 解 法 指 导 】 正 确 运 用 二 次 根 式 的 性 质 ① ( a )2 a(a≥0) ； ②
a(a＞0)
a2
a
Hale Waihona Puke Baidu
0(a
0)
；③
a(a＜0)
ab a b (a≥0,b≥0) ；④ b b (b≥0, a＞0) 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、 aa
B 中的项不能合并.D. (1 2)(1 2) 1 ( 2)2 1.故本题应选 C.
A．x＞3
B．x≥3
C．x＞4 D．x≥3 且 x≠4
5.（怀化） a 2 b 3 (c 4)2 0 ，则 a－b－c＝____________________.
【例３】下列二次根式中，与 24 是同类二次根式的是（
）
1
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A． 18
B． 30
C． 48
D． 54
【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数
x－y－m＝0.化为 y＝2－m，则 2－m＞0，故选 C.
【变式题组】
2．（宁波）若实数 x、y 满足 x 2 ( y 3)2 0 ，则 xy 的值是__________.
3．（荆门）若 x 1 1 x (x y)2 ，则 x－y 的值为（ ）
A．－ 1
B．1
C．2
D．3
4．（鄂州）使代数式 x 3 有意义的 x 的取值范围是（ ） x4
⑵① a2 b2 ；② x ；③ x2 xy ；④ 27abc ，最简二次根式是（ ） 5
A．①,②
B．③,④
C．①,③ D．①,④
【例２】(黔东南)方程 4x 8 x y m 0，当 y＞0 时，m 的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．m≥2
C．m＜2 D．m≤2
【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为 0 的结论.由题意得 4x－8＝0，