复杂网络数学建模与交通流

很简单，没有超过高中的数学
毕达哥拉斯的理念 既是模型又是实证



直径的常数上界——一个新的网络类
环与理想，各种各样的数学对象

随机阿波罗网络
Chapter II 复杂网络上的交通问题


传播动力学（SIR,SIS,SI……） 网络同步与控制 自旋相互作用（Iring, XY临界模型） 级联动力学 交通流与信息流 网络导航 网络上的博弈问题（囚徒博弈、争当少数者博弈， 退出者博弈……） ……
Dorogovtsev-Mendes老化网络模型
老化：真实网络中不可避免的现象
Klemm K and Eguiluz V M 2002 Phys. Rev. E 65 036123
老化模型的基本框架——连接概率不仅 与节点的度k有关，还与节点的年龄有关
不考虑年龄则退化为BA模型。不同的模型 有不同的老化函数 其中最有名的是DM
什么是网络
网络最基本的几个概念
节点的度ki＝5
i
簇系数(clustering coefficient): 朋友之间相互是朋友的概率
节点簇系数Ci＝2/10=0.2
距离？ dij=3
j
规则网络
大的簇系数 大的平均距离 单点度分布
有限维晶格网络，超立方体网络等等
J.-M. Xu, Topological Structure and Analysis of InterconnectionNetwork, Kluwer Academic, Dordrecht, 2001.
Rc＝网络吞吐量
提高节点的处理能力（周涛） 重新分配节点的处理能力（周涛）
有效路由（严钢）
G. Yan, T. Zhou, et al, arXiv: condmat/ 0505366 分布式动态寻路（王文旭）

整数网络模型
规则：1到N之间的合数，如果有整除 关系就连一条边，只考虑最大连通分支
N＝30的情 况，最大连 通分支有15 个节点和19 条边



簇系数比BA网络大，且随着N的变化是稳定的， 大约在0.34左右 度分布是由指数为2的幂率分布（出度）和乱七 八糟单的分布（入度）组合而成，数值上可以看 作近似与指数2.4的幂率 直径有一个常数上界！！！！ 簇度相关性C(k)～1/k





超家族分类 定点强度（strength）幂率分布 Strength-Degree幂率相关性 后代规模分布 合作规模分布 定点项目度分布与度分布的一致性问题 特征值谱 ……

Krapivsky非线性BA模型 Holme-Kim可调簇系数模型 Klemm高集聚网络模型 Dorogovtsev-Mendes老化网络模型 Sen距离偏好模型 BBV含权网络模型 等等等等等等等等等等等等
平均距离
规则网络 ER随机网络 大 小
簇系数
大 小 大 小
度分布
Delta函数 泊松分布 指数分布 幂Байду номын сангаас分布
WS小世界网络 小 BA无标度网络 小
部分真实网络
小
大
近似幂率分布
Question 1
如何构造同时满足 三个统计特性的简 单优美的网络模型
更加深入细致 的统计特性
度-度相关性
度很大的节点到底是倾向于和度大 的节点相连还是和度小的节点相连？ 正相关 负相关
Question 2
为什么社会网络是正相 关，而技术生物网络是 负相关的？如何构建正 相关的无标度网络？
簇-度相关性
好莱坞演员网络 英文单词网络
在只有拓扑的网络中，簇度往往是负相关的； 在考虑几何的网络中，簇度往往是不相关的。
E. Ravasz and A.-L Barabasi, Phys. Rev. E 67, 026112(2003)
Dorogovtsev S N and Mendes J F F 2000 Phys. Rev. E 62 1842
参数
取值范围
0
幂指数
2 3 指数分布，链状结构 3
0 1
1



Amaral L A N, Scala A, Barthelemy M and Stanley H E 2000 Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 97 11149 Klemm K and Eguiluz V M 2002 Phys. Rev. E 65 036123 Zhu H, Wang X R and Zhu J Y 2003 Phys. Rev. E 68 056121 Dorogovtsev S N and Mendes J F F 2000 Phys. Rev. E 62 1842 Jiang P Q, Wang B H, Zhou T et al, 2005 Chin. Phys. Lett. 22 1285
Holme-Kim可调簇系数模型
在优先连接的同时 以一定的概率连接 被选中节点的邻居 节点度分布依然是幂指数为-3的幂率分布 簇系数变得很大（解析结果PRE 67, 056102） 平均距离依然很小
P. Holme and B. J. Kim, Phys. Rev. E 65, 066109 2002
M. E. J. Newman, Phys. Rev. Lett. 87, 208701(2002)
W. -X. Wang, B. Hu, T. Zhou, B. -H. Wang and Y. -B. Xie, arXiv: cond-mat/0504062 (submitted to Phys. Rev. E)
Barabasi-Albert网络
每个时步增加一个节点
每个节点按线性偏好连接
Power-law 度分布
P(k) ~ k^{-γ}
短的平均距离
小的簇系数(lnN)^2/N
A.-L. Barabási and R. Albert, Science 286, 509 1999.
各种网络主要拓扑特征一览
整数网络 T. Zhou et al, arXiv: cond-mat/0405258 合作网络模型 T. Zhou, Y. -D. Jin et al, arXiv: cond-mat/0502253 随机阿波罗网络与单纯形网络 T. Zhou, et al, Phys. Rev. E 71, 046141 T. Zhou, G. Yan, et al, arXiv:cond-mat/0409414 Z. -M. Gu, T. Zhou, et al, arXiv: cond-mat/0505175 生长老化模型 P. -Q. Jiang, B. -H. Wang, T. Zhou, et al, Chin. Phys. Lett. 22 1285 握手模型 含权合作网络 自组织无标度网络 高聚簇无标度的多样性网络 ……
复杂网络数学建模与交通流
Chapter I
复杂网络演化机制





复杂网络研究现状概述 国内的情况 什么是网络？ 典型网络的主要统计特征与物理意义 更加深入细致的统计特性 重要的模型介绍 复杂网络上的数学模型

陈关荣＋范正平＋流动访问学者（香港城市大学） 汪小帆＋李翔＋方锦清＋吕金虎（上交，中科院） 何大韧（扬州大学）* 狄增如＋樊瑛＋郑志刚＋李梦辉（北师大）* 李春光＋张洪斌（电子科大） 朱陈平＋古志鸣（南航）* 马志明＋耿显明（中科院，南航） 许伯铭＋K. P. Chan（香港中文大学）* 朱建阳＋朱涵（北师大，南大） 史定华（上海大学） 章忠志（大连理工）* 刘宗华（华东师范） 蔡勖（华中师范）
复杂网络上的交通流
交通流理论，已经在自然科学与经 济社会的许多领域，特别是公路网 上的车辆流问题和计算机互联网上 的信息流问题上，有着广泛而深入 的应用。近年来关于复杂网络方面 的研究表明，计算机互联网具有无 标度特性，不能用简单的规则网络 模型或ER随机网络模型模拟。因此， 讨论网络拓扑结构对其上交通动力 学行为的影响是非常有意义的。
交通是指人,物以及思想,信息的地点间移动.因此 交通流的研究对象是广泛的!交通流研究可以属 于广义传播范畴,它包括信息流,粒子流,车辆流, 颗粒流等等.
物理学家感兴趣的部分包括:交通系统的动力学 行为:相变与自组织临界性.灾难救援与疏散策略. 交通系统性能优化等等.



每时步产生R个粒子 每个粒子有一个起点和终点（随机），粒子到终点 后被删除 路由表固定 每个节点的单位时间的传输能力是有限的（考虑节 点全同性网络，即所有节点的相等，这里不妨设为 1）
随 机 网 络
小的簇系数 小的平均距离 泊松分布
Watts-Strogatz网络
以很小的概率p断键重连
簇系数依然很大
平均距离变得很小 指数分布
D. J. Watts and S. H. Strogatz, Nature London 393, 440, 1998. M. E. J. Newman and D. J. Watts, Phys. Lett. A 263, 341,1999.
Sen距离偏好模型
在很多实际网络中，距离因素是必 须考虑的，例如Internet和电力网等 BA模型
Sen模型
主要结论：存在一个阈值，当 大于该值时 度分布是幂率的，反之度分布是指数的。
S. S. Manna and P. Sen, Phys. Rev. E 66, 066114(2002) S. S. Manna, G. Mukherjee and P. Sen, Phys. Rev. E 69, 017102(2004)
Question 3
几何性质与簇度相关性 之间的关系到底是什么
网络中的群落（community）
M. Girvan and M. E. J. Newman, PNAS 99, 7821(2002)
Question 4
网络中群落结构的形成 是外生原因还是内生原 因，如果是内生原因， 这个机制到底是什么？