风险理论 第2章_个体风险模型
精算数学
（1）保费设定； ）保费设定； （2）准备金评估； ）准备金评估； （3）再保险形式的选择及自留额的确定问 ） 题； （4）资产负债与偿付能力管理问题。 ）资产负债与偿付能力管理问题。
因为不同的人对同一潜在后果有不同的风险 态度， 态度，即使是同一个人在不同的时候对同一 个风险亦有不同的认识， 个风险亦有不同的认识，当然价值判断也就 不同，折射到保险学方面， 不同，折射到保险学方面，就会有不同保额 的产生或者保单的不同设计条款。 的产生或者保单的不同设计条款。
例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手 ， 例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手A，一个 是做梦都想发财的B，两个人手里都有10元钱 元钱， 是做梦都想发财的 ，两个人手里都有 元钱，目标是通 过购买彩票或不够买彩票这两种可能的决策方案来获得最 大的收益，结果A的决策是不作为 的决策是不作为， 却选择了购买。 大的收益，结果 的决策是不作为，而B却选择了购买。面 却选择了购买 临着同样的风险，A和B的风险态度便有了区别。 临着同样的风险， 和 的风险态度便有了区别。 的风险态度便有了区别
对于后面的两个问题， 对于后面的两个问题，构造 一个决策问题示意图来说明。 一个决策问题示意图来说明。 假如有n个决策 个决策DM1， 假如有 个决策 DM2，……，DM n为了达 ， 到某个决策目标O而提出一 到某个决策目标 而提出一 系列被选方案f, 系列被选方案 g,……,h,要 要 在其中选择一个最优秀或最 满意的方案. 满意的方案
表1中的每一项都可能形成风险，譬 中的每一项都可能形成风险， 中的每一项都可能形成风险 保险收入”如不稳定， 如“保险收入”如不稳定，假设出 现大量的退保现象， 现大量的退保现象，则会形成保费 收入现金流动风险。 税务” 收入现金流动风险。“税务”一栏 也会形成风险， 也会形成风险，假设法律法规更改 突然规定税率的提高， 突然规定税率的提高，则会形成税 金准备不足风险等等。 金准备不足风险等等。
风险理论第1章效用理论与保险
实
布
概微
务
、
率积
风
论分
、、
02
Ⅰ
01
试准 科 第一章 效用理论与保险 2 第二章 个体风险模型 3 第三章 聚合风险模型 4 第四章 破产理论 5 第五章 保费原理
本章主要内容 本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原
理以及在第保费一设章计中效的应用用理，并论分析与了保不同风险 险 态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效
上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x)是一个非减的连续函数，则有 P P 。
如果 P P，那么达成交易会同时增加被保险人与
保险人双方的期望效用。
相同的决策，即
等价于
效用函数的 确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的， 但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货 币，你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。
如果用 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效 用均衡方程的解
E u w X u W P ， （1.10）
由于 u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。
如费果P 承E 保U（损W失2）XP 。保X 险 U人W 方，那面么保：险人将以保
现代精算风险理论 第3章 聚合风险模型
E[etX ] exp( et 1)
P(N
k)
r
k k
1 pr
(1
p)k
,
E[etX
]
1
p (1
p)et
r
E[ X
]
r (1 p
p)
,Var[ X
]
r (1 p2
p)
,
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性） 设某个汽车驾驶员
3.1 引 言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要 计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在 要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记
其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额． 此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
• 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间 相互独立，即（N与X1， X2，… Xn）
例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设
4
,
Pr X
1, 2,3
1,1,1. 424
S 1N1 2N2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1
4
1 4
1, 2
4 1 2
2, 3
故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松 分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相 互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
当每一个Si 有非随机的理赔额xi 时，我们有Si xi Ni ，
第二章金融风险管理的基本理论-PPT
2、2、1 市场风险得测度方 法 ⑷ VaR法
Value at Risk 可以译为受险价值或风险估值。
VaR就是指在正常得市场条件、给定得置信 水平与给定得时间间隔内,某项资产或者某 一项资产组合预期可能发生得最大损失。
1、2、1 金融风险管理对微观经济层面得意义
可以使得经济主体以较低得成本避免或减少金融风险可能 造成得损失
可以稳定经济活动得现金流量,保证生产经营活动免受风 险因素得干扰,并提高资金使用效率。
为经济主体作出合理决策奠定了基础
有利于金融机构与企业实现可持续发展
1、2、2 金融风险管理对宏观经济层面得意义
分散策略可以用于管理证券,也可以用于管理汇率风险及银行 得信贷风险。
3、4 金融风险得转嫁策略
转嫁策略
就是指经济主体通过各种合法手段将其 承受得风险转移给其她经济主体。资产 多样化只能减少经济主体承担得非系统 性风险,对系统风险则无能为力。
经济主体可向保险公司投保,以保险费为代价,将风险转移给保险公 司。如出口信贷保险、存款保险制度、投资风险保险。
2、2、2 信用风险得测度方法
•信用风险具有不同于市场风险得一些特性,表现为: 其一,市场风险得概率分布通常可以假定为正态分布。
而贷款具有收益、损失不对称得特点,使得信用风险得 概率分布不适合于正态分布得假设。
其二,借贷双方存在显著得信息不对称。 其三,信用风险得观察数据不易获取。 •信用风险得计量方法很多,传统得方法侧重于定性分析, 如专家评定、信用评级、贷款分类等。新得度量方法 更加注重建立技术性很强得数学模型,如KMV模型与信 用度量制(CreditMetrics)等。
个人风险与社会风险可接受标准
个人风险与社会风险可接受标准引言概述：在日常生活中，我们时常会面临各种风险，包括个人风险和社会风险。
个人风险指的是个体在生活、工作等方面所面临的风险，而社会风险则是整个社会所面临的风险。
了解个人风险与社会风险的可接受标准对于我们做出决策和规划至关重要。
本文将探讨个人风险与社会风险的可接受标准。
一、个人风险的可接受标准1.1 个人风险的定义和分类个人风险是指个体在日常生活中所面临的各种可能造成损失或者伤害的风险。
个人风险可以分为健康风险、财务风险、情感风险等多种类型。
1.2 个人风险的评估方法评估个人风险的方法包括概率分析、影响分析和风险评估矩阵等。
通过对个人风险进行评估，可以更好地了解风险的大小和可能性。
1.3 个人风险的可接受标准个人风险的可接受标准是指在特定情况下，个体对于风险的容忍程度。
可接受标准受到个体的态度、价值观、经验等因素的影响。
二、社会风险的可接受标准2.1 社会风险的概念和影响社会风险是指整个社会所面临的各种可能造成不利影响的风险，如经济危机、自然灾害等。
社会风险的发生会对整个社会产生重大影响。
2.2 社会风险的评估方法评估社会风险的方法包括风险矩阵、风险评估模型等。
通过对社会风险进行评估，可以更好地了解风险的概率和影响程度。
2.3 社会风险的可接受标准社会风险的可接受标准是指在整个社会范围内，对于风险的容忍程度。
可接受标准受到政府政策、社会文化、经济发展等因素的影响。
三、个人风险与社会风险的关系3.1 个人风险与社会风险的相互影响个人风险与社会风险之间存在着相互影响的关系。
个体的行为和决策可能会对整个社会产生影响，而整个社会的变化也会影响个体的风险水平。
3.2 个人风险与社会风险的共同点和差异个人风险与社会风险在某些方面有共同点，如都需要进行评估和管理，但也存在差异，如个人风险更侧重于个体的生活和工作，而社会风险更侧重于整个社会的稳定和发展。
3.3 个人风险与社会风险的协调与平衡个人风险与社会风险需要在协调与平衡中得到有效管理。
风险理论——精选推荐
第一章风险与风险决策理论第一节风险的含义一、风险的含义▪在不同的领域关于风险的定义不同。
▪在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。
▪在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险常被分为纯粹风险和投资风险两种。
▪有人主张风险是客观存在的，因而应该被客观的度量，也有人强调风险是因人而异的主观概念。
▪对风险附加各种特殊的含义以适应其在不同领域中的应用，如社会风险、政治风险和自然风险等等。
▪等等▪风险是自然状态的不确定性（Uncertainty）与人的行为相结合而蕴含的某种后果；是相对于面临着某种不确定性状态的某个人或某些人而言的。
▪与风险直接有关的三要素：（1）自然状态的不确定性；（2）人的主观行为；（3）自然与人结合所蕴含的潜在后果。
▪最常见的三种情况：（1）从当事人或决策者的角度出发讨论潜在后果以及其所对应的不确定性，而且往往是关心不利的潜在后果；（通常的风险理论，我们主要讨论的内容）（2）从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度（Risk Attitude），或者比较一群人各自风险态度之间的差异；（度量和比较决策这个对风险的态度是风险研究的重要组成部分）（3）参照某个决策者的问题和目标来讨论每项备选方案的风险大小。
（投资分析和管理决策的核心内容）二、保险精算问题保险业务通常分成寿险和非寿险；寿险以被保险人的生命为标的，以生死为事故；非寿险是指除了寿险外的一切保险业务。
二者关系：虽然二者在本质上都是保险，但人寿保险的保修期相对较长，损失分布规律也相对比较稳定；而非寿险则多为短期保险，标的的损失情况也五花八门，损失情况较为复杂。
无论是人寿保险还是非寿险，在其经营和管理的过程中都需要在各个环节和各种层次上作一系列的管理决策，这就是保险公司内控系统中的核心问题，也称为精算问题：即如何制定合理的保费；如何提留适当的准备金；如何确定自留风险和安排再保险，等等。
《风险理论》教学大纲
《风险理论》教学大纲英文名称：Risk Theory课程编号：91134059学分/总学时：3/54（其中课堂：36学时；课内实验：18学时）先修课程：高等数学、线性代数、概率统计等授课对象：应用统计学专业学生一、教学性质与目的：本课程是统计学专业（保险与精算方向）的专业课，是数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系，在金融保险领域发挥着越来越重要的作用。
通过本课程的学习，使学生掌握风险理论的基本概念、经典风险度量模型模，掌握构建模型常用的经验法和参数估计法，能够利用模拟技术方法来模拟模型，从而使学生初步掌握处理随机风险的基本思想方法，培养学生运用基本理论分析和解决问题的能力。
二、教学内容与要求：第一章风险理论基础（2学时）【基本内容】第一节风险与风险理论概述第二节随机变量1.2.1随机变量的概率分布1.2.2随机变量的数字特征第三节条件期望1.3.1条件分布与条件期望1.3.2条件期望的性质1.3.3条件方差第四节矩母函数1.4.1矩母函数的概念1.4.2矩母函数的性质1.4.3多元矩母函数及其性质【基本要求】1.了解风险和风险理论的含义，2. 熟悉随机变量的概率分布、随机变量的数字特征；条件分布与条件期望、条件期望的性质和条件方差；熟悉矩母函数的概念、矩母函数的性质、多元矩母函数及其性质。
【重点及难点】重点：条件期望和方差、常见分布的矩母函数难点：矩母函数【教学活动与教学方式】要求学生回顾概率论中关于条件分布的性质和常见的分布函数；本章主要以讲授和自学为主。
第二章个体保单的理赔额与理赔次数模型（6学时）【基本内容】第一节理赔额的分布2.1.1 保单限额2.1.2 免赔额2.1.3 保单限额+免赔额2.1.4 相对免赔额2.1.5 比例分担免赔第二节理赔次数的分布2.2.1（a，b，0）分布族2.2.2（a，b，1）分布族2.2.3 理赔次数分布的混合模型2.2.4 免赔额对理赔次数的影响【基本要求】1.理解损失与理赔额、免赔额、保单限额的概念；2.掌握常见的损失额分布以及不同赔偿方式下理赔额的分布；3.掌握单个保单理赔次数的分布以及(a，b，0)分布类和(a，b，1)分布类。
04 累积损失模型
2h+h/2 3h f3
3h+h/2 ……
22
• 局部矩配比： 离散分布的前p阶矩等于真实分布的前p阶矩 配比方程组：考虑长度为 ph 的一个区间[x0, x0+ph), 要求离散分布的前p阶矩等于真实分布的前p阶矩, 则 有
( x0 ih) mi
r i 0
p
x0 ph 0
10
3.1 解析法：计算卷积
解析法只适用于有限情况, 如：
损失金额X为指数分布, 如： 几何-指数（Compound geometric-exponential） 负二项-指数（Compound negative binomialexponential） 更一般地, 损失金额 X 对卷积封闭, 如 伽玛分布（参数相同） 逆高斯分布（参数相同）
Q(1) PN * ( z ) [Q( z )]
* n n
[Q( z )] (1 r )
* (1) (1 r ) [Q(1)] (1 r ) 1 Q(1) E ( N *) PN (1 r ) Q(1)
注：母函数在1处的值等于1
11
例： (几何-指数) Xi 独立同分布, 均服从指数分布： 1 f ( x) exp( x / )
M X ( z ) (1 z)1
密度函数 矩母函数
N 服从几何分布：
PN ( z ) [1 ( z 1)]1
请确定 S的分布。
母函数
12
PN ( z ) [1 ( z 1)] 几何分布的母函数：
8
9 10
0.050
0.025 0.025
15
• 计算S的均值和方差.
人口暴露相对风险评价模型
人口暴露相对风险评价模型1.引言1.1 概述人口暴露相对风险评价模型是一种用于评估人群在特定环境中暴露于潜在危险因素的概率和程度的模型。
随着社会发展和人类活动的不断增加，人口暴露于各种危险因素的可能性也在增加，因此对暴露风险进行准确评估变得尤为重要。
本文旨在分析并提出一种全面而有效的人口暴露相对风险评价模型，以帮助相关决策者制定更科学和合理的政策。
本文的研究结构如下：首先，我们将介绍人口暴露评价模型的概念和相关研究背景。
这一部分将回顾已有的研究和方法，并指出它们的局限性和不足之处。
我们将强调人口暴露评价的重要性，并提出本文的研究目的和方法。
接下来，我们将详细介绍人口暴露评价模型的构建和应用。
我们将从多个维度考虑人口暴露的因素，如个人行为、环境条件和社会因素等，并综合考虑各个因素之间的相互作用。
我们将采用数学和统计方法，建立数学模型，并应用实证研究进行验证和分析。
在模型构建之后，我们将引入相对风险评价模型的概念。
相对风险评价模型将在人口暴露评价模型的基础上，进一步分析不同人群之间的相对暴露风险。
这将有助于不同决策者在制定政策时更准确地评估和比较不同人群的风险水平。
最后，我们将进行总结，并探讨本文的研究意义和未来的研究方向。
我们希望通过本文的研究成果，能够为相关决策者提供科学依据和参考，在保障人民群众生命安全和身体健康方面发挥积极作用。
通过本文的研究，我们相信人口暴露相对风险评价模型将为相关领域的决策提供有力支持，促进社会的可持续发展和人民的福祉。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍人口暴露评价模型的概念和目的，接着深入探讨相对风险评价模型的理论框架和应用方法。
接下来，我们将分析现有的人口暴露相对风险评价模型的优缺点，并提出改进的措施和建议。
最后，通过总结研究的主要结果和发现，我们将探讨本研究的意义和对相关领域的影响。
具体来看，本文的结构如下：第一部分将在引言中概述研究的背景和意义，介绍人口暴露评价模型和相对风险评价模型的基本概念和定义，并明确文章的目的和重要性。
个体风险模型中总索赔额分布函数的估值问题
２１ ０ １年 Ｏ ４月
长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＣ ａ ｇ ｈｕ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｃ ｎ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｏ ｃ ｎ ｌｇ Ｎａ ｕａ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｙ Ｓ ｉ
Ｖａ ｕ ｔｏ ｒ ｌ ｍ ｆｔ ｔ ａｉ ａ ｏ ｎ ｓ ｒｂｕ ｉｎ ｆ ｎ ｔｏ ｌａ ｉｎ ｐ ｏｂ ｅ ｏ ｏ ａｌ ｃｌ ｍ ｍ ｕ ｔｄｉｔｉ ｔｏ ｕ ｃ ｉｎ ｉ ｎ ｖｉ ａ ｉｋ ｍ ｏ ｅＩ ｎ ｉｄｉ ｄｕ Ｉｒｓ ｄ
ＺＨ ＡＯ — ｉ Ｌｉｘ ａ
（ ｓｎ ｓ ｌｅ ｅ ｏ ａ ｘ ｉ ｅ ｓｔ Ｂｕ ｉ ｅ ｓ Ｃｏ ｌ ｇ ｆＳｈ ｎ ｉＵｎ ｖ ｒ ｉｙ，Ｔａ ｙ ａ ３ ０ ｉｕ ｎ ０ ０ ３ １，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｐｒ ｖ ｄ ｄ ｔ ａ ｈ ｌ ｉ ｎ ｍ ｂ ｒｏ ｅ ｓｔ ｅ Ｌ ｇ ｒｔ ｍ ｉ ｉｔ ｉ ｕ ｉ ｎ，ｗｅｓ ｕ ｙ ｈ ｗ ｏ ｖ ｌ ａ ｅ ｏ ｉ ｅ ｈ ｔｔ ｅｃ ａｍ ｕ ｅ ｂ ｙ ｈ ｏ ａ ｉｈ ｃｄ ｓ ｒｂ ｔｏ ｔ ｄ ｏ ｔ ａｕ ｔ
Ｖｏｌ ３２ ＮＯ． ＿ ２ Ａ Ｄ ． Ｏ１ ｒ２ １
个 体 风 险模 型 中总 索赔 额 分 布 函数 的 估 值 问题
赵 丽 霞
（ 西 大 学 商 务 学 院 ，山 西 太 原 山 ００３ ） ３０ １
摘 要 ：在假 定 投保 人 数服从 Ｌ ｇ ｒ ｈ ｃ分布 的基 础 上 ， 究 了个体 风 险模 型 中 总索赔 额分 ｏ ａｉ ｍｉ ｔ 研 布 函数 的估值 问题 ， 出 了总索赔 额分布 函数 的上 、 界 ， 给 下 为保 险 公 司纯 保 费 的 厘定 提 供 了一 定 的参考 价值 。 关 键词 ：风 险模 型 ；Ｌ ｇ ｒ ｈ ｃ 布 ；估 值 ｏ ａｉ ｍｉ 分 ｔ 中图分 类号 ：０ ９ ２ 文 献标 志码 ： Ａ 文章 编号 ：１ ７ — ３ ４ ２ １ ）２０ ９— ４ ６ ４ １ ７ （ ０ １ ０ — １ １０
个体风险模型
i 1
i 1
有了矩母函数后，就可算出总理赔额S 的各阶原点矩：
k
M
k
X
0
同时还可算出其均值与方差：
E S ln MS t ' t0; Var S ln MS t '' t0
§3.4 S 分布的近似计算法
对于数目较大的保单组合来说，实用的方法是求出近似 分布。对于独立同分布的随机变量有下列中心极限定理。
(, )，设S X1 X2 Xn，求S 的分布。
【解】伽马分布的密度函数为
f ( x) x1e x ( )
经计算得到
MX
(t)
1
t
,t
由公式（3.3.1）求得
Ms (t)
n i 1
M Xi (t) (M X (t))n
1
t
n
, t
因此，S 服从伽马分布 (n , )。可见，服从伽马分布的独
例
3-2-3（续例
3-2-1）设随机变量
X1
,
X2
,
X
相互独立,
3
它
们的分布列分别为
0
X1
~
0.5
1 0.3
2 0.2
，
X
2
~
0 0.4
1 0.3
2 0.2
3 0.1
0 1 2 3 4
X3
~
0.5
0
0.3
0.1
0.1
用卷积方法求S X1 X2 X3的分布。
【解】由于S X1 X2 X3，所以S 的分布等于 X1 X2的
Fn
(
x
)
lim P n
(x)
0 0.5 0.4 0.5 0.2 0.1 0.2 0.1
个体风险模型中总索赔额分布函数的估值问题
个体风险模型中总索赔额分布函数的估值问题赵丽霞【摘要】在假定投保人数服从Logarithmic分布的基础上,研究了个体风险模型中总索赔额分布函数的估值问题,给出了总索赔额分布函数的上、下界,为保险公司纯保费的厘定提供了一定的参考价值.【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(032)002【总页数】4页(P191-194)【关键词】风险模型;Logarithmic分布;估值【作者】赵丽霞【作者单位】山西大学商务学院,山西,太原,030031【正文语种】中文【中图分类】O290 引言保险合同中，承保人面临的风险恰是投保人的损失。
记Xi表示在一定时期内第i 个投保人的索赔额变量，取值于正数，N表示此时期内的投保人数，取值于非负整数，则该时期内的总理赔额变量S可以表示为。
此模型称为开放的个体风险模型，其开放性体现在投保人数的随机性[1]。
对于承保人而言，费率的厘定通常是纯保费加上一定的风险补偿。
而理赔额总量S的分布状况是纯保费的定价基础。
因此，对理赔额总量S的分布函数进行研究是非常必要的。
但是，由于卷积公式的复杂性，索赔额变量Xi的随机和变量的分布函数F（n）（x）不易求解[2]，导致求解理赔额总量S的分布函数只能建立在一些特殊的假定之上。
文献[3-6]在假定索赔额变量Xi服从指数分布，投保人数N分别服从几何分布、泊松分布、负二项分布的基础上，给出了理赔额总量S的分布函数或是概率密度，进而求得S的各阶矩。
鉴于投保人数变量的均值通常小于方差，文中在假定投保人数N服从参数为β的Logarithmic分布的基础上，对S的分布函数FS（x）的取值范围进行了探讨。
1 主要结果引理1 若Xi（i=1，2，…，n）相互独立，服从参数为λ的指数分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为（n，λ）的Γ分布，其分布函数为:证明引理2 若Xi（i=1，2，…，n）相互独立，服从参数为λ的指数分布，N为一离散型变量，其分布律为pn（n=1，2，…），则的分布函数为证明引理3[7] 若对于任意的x（x≥0），有即F（x）为NBUE（NWUE）类分布，则对于任意的x（x≥0），有式中Xi（i=1，2，…，n）的均值;G（x）——指数分布函数，其参数为λ。
精算师2
考试时间：3小时考试形式：客观判断题考试内容和要求：考生应掌握微积分、线性代数和运筹学的基本概念和主要内容。
A.微积分（分数比例约为60％）1.函数、极限、连续2.一元函数微积分3.多元函数微积分4.级数5.常微分方程B.线性代数（分数比例约为30％）1.行列式2.矩阵3.线性方程组4.向量空间5.特征值和特征向量6.二次型C.运筹学（分数比例约为10％）1.线性规划2.整数规划3.动态规划参考书目：1.《高等数学讲义》（第二篇数学分析）樊映川编著高等教育出版社（本书可网上购买）或其他包含内容A的高等数学教材2.《线性代数》胡显佑四川人民出版社（本书可网上购买）或其他包含内容B的线性代数教材3.《运筹学》（修订版）1990年《运筹学》教材编写组清华大学出版社（本书可网上购买）或其他包含内容C的运筹学教材考试时间：3小时考试形式：客观判断题考试内容和要求：A.概率论（分数比例约为50％）1.概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式2.随机变量的数字特征，特征函数；3.联合分布律、边际分布函数及边际概率密度的计算4.大数定律及其应用5.条件期望和条件方差6.混合型随机变量的分布函数、期望和方差等B.数理统计（分数比例约为35％）1.统计量及其分布2.参数估计3.假设检验4.方差分析5.列联分析C.应用统计（分数比例约为15％）1.回归分析2.时间序列分析(移动平滑，指数平滑法及ARIMA模型)参考书目：1、《概率论与数理统计》茆诗松，周纪芗编著，中国统计出版社1999年12月第2版。
2、《统计预测——方法与应用》，易丹辉编著，中国统计出版社，2001年4月第一版。
除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。
03复利数学考试时间：2小时考试形式：客观判断题考试内容和要求：1.利息的基本概念（分数比例：8%-15%）2.年金（分数比例：20%-25%）3.收益率（分数比例：15%-25%）4.债务偿还（分数比例：15%-25%）5.债券与其他证券（分数比例：20-25%）6.利息理论的应用与金融分析（分数比例：6%-15%）7.利率风险的估量：久期、凸性及其在债券价值分析中的应用（分数比例：3%-5%）参考书目：《利息理论》（中国精算师资格考试用书）主编刘占国，中国财政经济出版社，2006年11月第1版第1～5章、第6章第6.1节04寿险精算数学考试时间：4小时考试形式：客观判断题考试内容和要求：考生应掌握生命表、纯保费（趸缴、均衡）、责任准备金（均衡、修正）、总保费、多元生命函数、多元风险模型等主要内容。
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对于所有的 x
，我们都有
f
x
0
和
x
f
x
1
，
其中求和是对那些满足 f x 0 的所有 x 求和．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
连续型的随机变量
分布函数为：
x
F (x) f (t)dt
f x 称为概率密度函数．同样 f x 0 ，且 f x dx 1 ．
• 在概率论中所学到的所有的随机变量要么为离 散型要么为连续型，几乎无一例外．
正如大多数寿险保单一样，这种保单的赔付次数为 0 或 1 ，且 事先知道赔付额 b．假设保险事故发生的概率为 q．
可以用 X Ib 理赔支付，其中 I 为 Bernoulli(q)示性随机变量， I = 1 表示自行车被盗，I = 0 表示未被盗．可以把 X 重新表示为
X Ib 1 I 0 .
• 然而保险领域却不总是这样．许多被用来模拟 保险理赔支付的分布函数有连续增长的部分， 同时也有离散的、正的跳跃部分．
设Z 代表某个保单的理赔支付，则有三 种情况： • 保单合同无理赔，因此Z=0 . • 保单合同的索赔数额大于最大的保险金额 M ，则Z =M . • 保单合同产生正常的索赔数额，则0<Z<M.
Z
的矩、矩母函数
E
etZ
和停止损失保费
E Z
d
等等，
首先计算 Z 函数的期望．为此，我们用条件期望的平滑公式：
取公式中的W g Z ，并用 I 代替 V ，其中 g 是某
个函数．再引入 hi E g Z | I i ，我们得到
g(z)[F (z) F (z 0)] g(z)F '(z)dz
为求X的分布函数F ，我们有 由此得
利用如下众所周知的方差分解准则，形如IB 的 风险方差可以通过给定I , B 的条件分布来计算：
记 q PrI 1, E B和 2 Var B ，
则有 E X | I 1 和 EX| I 00．
得 E X | I i i ， i 0,1, 类似有Var X | I i 2i ．
假设 X , Y 与 I 相互独立，Z 的分布函数可以写成： 如果假设X 是离散随机变量，Y是连续随机变量，
这种构造法产生的分布函数 F z 是混合分布，
（1） Pr X z 0 的 z 处有跳跃，
（2）但 F z 不是一个阶梯函数，因为在 Y 的值域上 F z 0 .
为了计算
则由（1.21）得到最大保费 P
：
例 2.2.5（有最大保险金额的责任险） 考虑承包责任损失为 S 的保 单．我们希望得到这个保单理赔支付 X 的均值、方差和分布，其中 免赔额为 100 ，最大理赔支付为 1000 ．即：如果 S 100 ，则 X＝ 0; 如果 S 1100 ，则 X = 1000 ；否则， X S 100 .
因此 Pr I 1 0.2, Pr I 0 0.8
例2.2.4（有索赔，且索赔额服从指数分布） 假设 风险X有如下分布：
（1）X 的均值是多少？ （2）对于风险厌恶系数为a=0.01且具有指数效用 函数的人，愿意为风险X 支付的最大保费为多少？
（1）
（2）如果被保险人使用的是参数为a = 0.01 的指数效用函数，
z
• Riemann-Stieltjes积分 • 混合随机变量的分布
对于混合随机变量 Z IX (1 I )Y
其分布为：FZ (z) qFX (z) (1 q)FY (z)
例 2.2.3（自行车被盗险）考虑自行车保单：在保险事故“自行车被 盗”发生时，赔付 b 给被保险人，同时保险人的保险责任终止．
2.3 卷 积
在个体风险模型中，我们感兴趣的是多个保单 总理赔S 的分布：
首先来计算X +Y 的分布函数：
连续形式的 全概率公式
如果 X 和 Y 是离散型的，则有 其中求和是取遍所有使得 fX x 0的x。
如果X 和Y 是连续型的，则
为求X + Y + Z的分布函数，我们在做卷积运算时所 采用的卷积次序无关紧要
假设发生理赔（S > 100）的概率是 10 % ，发生大额损失
S 1100 的概率是 2 %．给定 100 < S < 1 100 , S 服从 U（100 , 1100）
分布．
同样的，X 可以表示成X = IB ，其中I 表示理赔支付次数 (0或l ) , B 代表理赔支付．因此，
Pr[B 1000 | I 1] 0.2 Pr[B (x, x dx) | I 1] cdx, 0 x 1000 x (0,1000) c 0.0008
2.2 混合分布和风险
本节我们讨论保险风险的一些实例.由于 纯离散随机变量和纯连续随机变量都不能描 述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数 类．
根据概率论的知识，任何一个分布函数都满足
离散型的随机变量
如果 x 是 F (x) 连接点，则 f (x) F (x) F (x 0) 0 ，
如果 x 是 F (x) 不连接点，则
我们能够构造这样一个随机变量，该变量的分布为离散和连续分布的 混合分布． （1） 设 I 为示性随机变量，取值为 0 和 1 ，其中 I=1 表示某个事件发
生．假设事件发生的概率为 q Pr I 1, 0 q 1．
（2） 若 I=1 ，则索赔 Z 与 X 分布相同；若 I=0 ，则 Z 与 Y 分布相同， 即 Z=IX+（1-I）Y
§第2章 个体风险模型
本章讨论保险人风险组合的总 索赔额的分布函数。
2.1 引言
• 总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因 此非常麻烦。常用到均值，方差，矩母函数， 特征函数，母函数等。
• 有别于中心极限定理的近似方法。
• 风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变 量来刻画。因此常用Riemann-Stieltjes积分。
现在，假设自行车未锁而被盗，保险人赔付一半．在荷兰， 许多自行车被盗保单不区分这种理赔数额的差别．保险人在理 赔调查时，只要求被保险人在索赔时呈交所有的原始关键材
料．于是 X IB ，其中 B 代表随机赔付额．
假设理赔支付X = 400和X = 200 的概率分别为0.05 和0.15 ， 则有